畢業(yè) 輔助函數(shù)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

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09級(jí)畢業(yè)論文辯論稿

輔助函數(shù)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

學(xué)號(hào)：902091126

組別：第（9）組

內(nèi)容提要

高等數(shù)學(xué)中運(yùn)用輔助函數(shù)就像是在幾何中添加輔助線，在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用是十分重要的.當(dāng)我們遇到特別的題目時(shí)，用常規(guī)方法可能比較繁雜.這時(shí)我們就需要構(gòu)造輔助函數(shù)，就宛如架起一座橋梁，不需要大量的算法就可以得到結(jié)果.因此，學(xué)習(xí)構(gòu)造輔助函數(shù)對(duì)于我們證明、解題是十分有幫助的.本論文是從證明定理與解題兩方面分別來(lái)闡述輔助函數(shù)的作用，通過(guò)本文我們會(huì)更好的了解輔助函數(shù)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.

當(dāng)lim?x?0，則limx?x0時(shí)，誤差??0.因此，在近似計(jì)算時(shí)時(shí)不夠確切，那么我們就需要構(gòu)造一個(gè)足夠確切的能把誤差估計(jì)出來(lái)的多項(xiàng)式，這個(gè)多項(xiàng)式是

P(x)?A0?A1(x?x0)?A2(x?x0)2?????An(x?x0)n

來(lái)近似表示函數(shù)f(x)，并且，還要寫(xiě)出誤差f(x)?P(x)的具體表達(dá)式.這時(shí)，我們開(kāi)始證明.

證明設(shè)函數(shù)P(x)滿足P(x0)?f(x0)，P(x0)?f(x0)，P(x0)?f(x0)，?，

''''''P(n)(x0)?f(n)(x0)，依次求出A0,A1,A2,???,An

顯然，P(x0)?A0，則A0?f(x0)；

P'(x'0)?A1,A1?f(x0)；P''(xAf''(x0)0)?2!?A2，2=2!，?，P(n)(x?An,An?f(n)(x0)0)?n!n!;至此，這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)都已經(jīng)求出，得

P(x)?f(x'f''(x0)0)?f(x0)(x?x0)?2!(x?x2?f(n)(x0)0)????n!(x?x0)n接下來(lái)，我們需要求出誤差的具體表達(dá)式.

設(shè)Rn(x)?f(x)?P(x)，則Rn(x0)?f(x0)?P(x0)?0故得出R'n(x0)?Rn(x0)?R''(x?)????n()n0nR(0x)?0由柯西中值定理可以得到

Rn(x)(x?xn?1?Rn(x)?Rn(x0)x?xn?1?R'n(?1)?1)(?n，?1?(x0,x).0)(0)?0(n1?x0)繼續(xù)使用柯西中值定理得

R'n(?1)?R'''n(x0)(n?1)(?n?Rn(?2)?n?1，1?x0)?0n(n?1)(2?x)這里?2在?1與x0之間；連續(xù)使用n?1此后，得出R(n?1)n(x)Rn(?2)(x?xn?1?，0)(n?1)!

3

但是Rn(n?1)(x)?f(n?1)(x)?P(n?1)(x)，由于P?n?(x)?n!?An，

n!?An是一個(gè)常數(shù)，所以P(n?1)(x)?0，

于是得

Rn(n?1)(x)?f(n?1)(x).

f(n?1)(?)(x?x0)n?1，綜上所述，余項(xiàng)Rn(x)?(n?1)!這樣，泰勒公式得證.

(三)構(gòu)造輔助函數(shù)證明拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣，也是柯西中值定理的特別狀況.它的應(yīng)用十分廣泛，像洛必達(dá)法則，泰勒展開(kāi)式都是它的應(yīng)用.對(duì)于它的證明，我們知道有好多的方法來(lái)證明它，現(xiàn)在我們做輔助函數(shù)來(lái)證明.

定理3設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，在?a,b?內(nèi)可導(dǎo)，則在?a,b?至少存在一點(diǎn)?，使得

??f'(?)?f(b)?f(a)

b?a分析從結(jié)論中可以看出，若將?換成變量x，則可得到一階微分方程

f(b)?f(a)f(x)?

b?a'其通解為

f(x)?f(b)?f(a)x?C.

b?a若將函數(shù)C變?yōu)閤函數(shù)C(x)，那么得到一個(gè)輔助函數(shù)，

C(x)?f(x)?現(xiàn)在我們來(lái)開(kāi)始證明證明做輔助函數(shù)

f(b)?f(a)x.

b?aC(x)?f(x)?有

f(b)?f(a)x，

b?abf(a)?af(b).

b?aC(a)?C(b)?則C(x)滿足羅爾定理的三個(gè)條件，故在?a,b?至少存在一點(diǎn)?使

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C'(?)?f’(?)?所以

f(b)?f(a)?0

b?af’(?)?拉格朗日中值定理證畢.

f(b)?f(a)?0.

b?a三、輔助函數(shù)在解題中的應(yīng)用

(一)構(gòu)造輔助函數(shù)證明恒等式

恒等式是很常見(jiàn)的一種題型，對(duì)于這種題型的證明，找到簡(jiǎn)單快速的證明方法可以節(jié)省好多時(shí)間.如對(duì)于下面的題，形式比較繁雜，還存在一階導(dǎo)數(shù)，我們可以構(gòu)造輔助函數(shù)，然后變幻形式，創(chuàng)立出中值定理的成立條件，利用中值定理來(lái)證明，就會(huì)很簡(jiǎn)單了.

例1設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，在?a,b?內(nèi)可導(dǎo)，證明在?a,b?內(nèi)至少存在一點(diǎn)?，使得

??

分析令

bf(b)?af(a)?f(?)??f'(?)

b?abf(b)?af(a)?k，

b?a則

bf(a)?kb?af(a)?ka

為關(guān)于a與b的對(duì)稱式，故取

F(x)?xf(x)?kx.

證明令F(x)?xf(x)?bf(b)?af(a)x

b?a則F(x)在a,b上連續(xù)，在?a,b?內(nèi)可導(dǎo)，又由于??F(a)?F(b)?0，

所以F(x)在a,b上滿足羅爾定理，那么存在一個(gè)??(a,b)，使得F(?)?0.即

'??bf(b)?af(a)f(?)+?f(?)??0，

b?a'5

即

bf(b)?af(a)?f(?)+?f'(?).

b?a上題構(gòu)造輔助函數(shù)后應(yīng)用了羅爾定理，使得上式證明變得簡(jiǎn)單明白.下面這個(gè)題屬于條件恒等式，我們要看好條件，可以適當(dāng)?shù)倪M(jìn)行變形，做輔助函數(shù).

例2設(shè)f(x)在0,???上連續(xù)，在0,???內(nèi)可導(dǎo)，且0?f(x)?存在一點(diǎn)??0,???，使得

??x，則至少21?x?1??2f(?)?.22(1??)'分析我們先把?看成變量x，由于結(jié)論可化為

1?x2?0.f(x)?22(1?x)'即(f(x)?x')?0.21?xx顯然其通解為f(x)??C,把常數(shù)C變成一個(gè)關(guān)于x的函數(shù)C(x),我們就得21?x到一個(gè)輔助函數(shù)，C(x)?f(x)?證明做輔助函數(shù)

x.21?xxC(x)?f(x)?.21?x那么

21?x'',C(x)?f(x)?22(1?x)x又由于已知條件0?f(x)?,我們可以得到21?xf(0)?0,limf(x)?0,

x???并且C(x)?f(x)?x?0.21?x'若C(x)?0,x?(0,??)時(shí)，則C(x)?0,那么就有

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21?xf'(x)?.22(1?x)若C(x)?0,x?(0,??)時(shí)，那么一定存在a?(0,??),使得

C(a)???

又由于C(x),在0,???上連續(xù)，由介值定理可知，一定存在b,c兩點(diǎn)，

?0?b?a?c???,使得

C(a)?C(b)?C(c)?0,

對(duì)C(x)在?a,b?上使用羅爾定理，那么至少存在一點(diǎn)

??(b,c)?(0,??),使得

C'(?)?0,即

1??2f(?)?.22(1??)'上題是將一個(gè)客觀存在的數(shù)?看成是變量x，利用拉格良朗日常數(shù)變易法的思想將方程通解里的常數(shù)C變成一個(gè)x的函數(shù)C(x),我們就得到了證明這個(gè)命題的輔助函數(shù)，并且在證明這種恒等式的例子中，運(yùn)用中值定理比較廣泛，而在中值定理中，羅爾定理是最常用的，如上題.這種方法能開(kāi)拓我們的學(xué)習(xí)做題的思路.(二)構(gòu)造輔助函數(shù)證明不等式

用作差法證明不等式是最常用的一種方法，而輔助函數(shù)就是在作差之后構(gòu)造的式子，是十分簡(jiǎn)單便利的，并且構(gòu)造出來(lái)的輔助函數(shù)也很明白.我們先來(lái)看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子.

例3當(dāng)x?0，證明x?ln(1?x).

分析構(gòu)造輔助函數(shù)證明不等式用作差法是最常用的，主要就是將不等號(hào)右端的式子移到左邊，形成一個(gè)減法式，右邊為零，試證不等號(hào)左邊式子的單調(diào)性，就可以證明白；

證明我們做輔助函數(shù)?(x)?x?ln(1?x).顯然，當(dāng)x?0時(shí)，有?'(x)?1,1?0.

因此，?(x)在x?(0,??)時(shí)是增函數(shù)，而?(x)在x?0處連續(xù)，并且f(0)?0.所以f(x)?x?ln(1?x?)f這樣，原不等式證畢.

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(0?)

上個(gè)證明是比較簡(jiǎn)單的，證明其單調(diào)性就能快速得出答案.而下面這個(gè)例子，我們需要研究一下它的左右兩邊的性質(zhì)，這有利于我們思考如何構(gòu)造輔助函數(shù).

4n?4223242n2?2?2?????2?e6n?3.例4證明不等式22?13?14?1n?1分析由于此式左邊相乘的項(xiàng)數(shù)多，直接移項(xiàng)作差證明會(huì)十分困難，而不等式左右

兩邊的式子都是冪級(jí)數(shù)形式，并且右邊為?e化簡(jiǎn)后作差，構(gòu)造輔助函數(shù)更簡(jiǎn)單一些.

證明把不等式的兩邊取對(duì)數(shù)得

4n?46n?3，故我們可以先把兩邊取對(duì)數(shù)形式，

2232n24n?4ln(2)?ln(2)?????ln(2)?

2?13?1n?16n?3我們先來(lái)研究不等式的左邊

左邊

2232n2?ln(2)?ln(2)?????ln(2)2?13?1n?1?ln2?ln1?lnn?ln(n?1)

?ln2nn?12x4x?4構(gòu)造輔助函數(shù)?(x)?ln?.

x?16x?3對(duì)?(x)求導(dǎo)得?(x)?'112?.

x(x?1)(6x?3)'從而得知，當(dāng)x?2時(shí)，?(x)?0,?(x)為嚴(yán)格遞增.

44?(2)?ln??0

315而?(x)??(2)?0.故得出ln則原不等式成立，證畢.

其實(shí)，在證明不等式的方法中，還有好多，如比較法，分析法，綜合法等，但是有時(shí)，這些方法比較麻煩，運(yùn)算過(guò)程多.這時(shí)，若是針對(duì)題目構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，把題轉(zhuǎn)化為對(duì)這個(gè)題的性質(zhì)的研究，就像對(duì)定義域、值域、單調(diào)性、連續(xù)性、最值等的研究.這樣，運(yùn)算就比較簡(jiǎn)單了.

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2n4n?4?.n?16n?3

(三)構(gòu)造輔助函數(shù)探討方程的根

關(guān)于方程的根的探討主要是根的存在性個(gè)個(gè)數(shù)問(wèn)題，構(gòu)造輔助函數(shù)來(lái)解這方面的一些題，宛如證明不等式，構(gòu)造輔助函數(shù)的方法類似，會(huì)比一般的方法更為簡(jiǎn)單.

例5方程x?asinx?b,a?0,b?0,證明方程至少有一個(gè)正根且不超過(guò)a?b.分析此題我們可以構(gòu)造輔助函數(shù)?(x),在[a,b]上連續(xù)，若能得出?(a),?(b)異號(hào)，則存在??[0,a?b]，使得f(?)?0,那么?就是方程的根且不超過(guò)a?b，即運(yùn)用介值定理.

證明設(shè)?(x)?asinx?b?x,?(x)在[0,a?b]上連續(xù)，則顯然?(0)?b?0,

?(a?b)?asina(?b?)a?0?2?2k?時(shí)，即

現(xiàn)在我們探討，若a?b?sina(?b?)則方程有一個(gè)正根為a?b另一種狀況，若a?b?f(a?b)?0,1,?2?2k?,即sin(a?b)?1,則?(a?b)?0.符合介值定理

條件，則存在一點(diǎn)??[0,a?b]，使得?(?)?0.

那么?就是方程?(x)?0的根，

綜上所述，方程至少有一個(gè)正根且不超過(guò)a?b，證畢.例6方程x?x?1,x?R,證明方程有且只有一個(gè)正根.

分析我們可以構(gòu)造輔助函數(shù)?(x)?x?x?1,先證明此方程有根，然后再證

22?(x)有且只有一個(gè)正根.

證明做輔助函數(shù)?(x)?x?x?1,顯然?(x)在R上連續(xù)，

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由零點(diǎn)定理可知，

?(0)??1,?(1)?1存在一點(diǎn)??(0,1),使得?(?)?0，則點(diǎn)?為方程的根，接下來(lái)，我們用反證法證明有且只有一個(gè)根.

設(shè)存在一點(diǎn)??(0,1),且???,得?(?)?0，由于?(x)在R上可導(dǎo)，對(duì)于

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x?0有?'(x)?2x?1?0.

那么根據(jù)微分中值定理可知，存在??(?,?),使得?(?)??(?)??'(?)(???)?0

但?(?)??(?)?0,矛盾，故原方程有且只有一個(gè)正根，證畢.

在上題可知，在解這類關(guān)于方程的根的問(wèn)題，我們需要結(jié)合在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理來(lái)思考.

(四)構(gòu)造輔助函數(shù)證明中值問(wèn)題

探討這樣的問(wèn)題，是我們經(jīng)常遇到的一類問(wèn)題，一般我們是把問(wèn)題適當(dāng)變形，然后觀測(cè)變形后的式子，構(gòu)造相應(yīng)的輔助函數(shù)，使之符合中值定理，介值定理，零點(diǎn)定理之類的條件，就可以輕松證明白.

例7設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(1)?0,求證存在??(0,1),使得f(?)??'f(?)?.

證明構(gòu)造輔助函數(shù)?(x)?xf(x),顯然

?(0)?f(0)?0?0,?(1)?f(1)?1?0,

又由于f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，故根據(jù)羅爾定理可知，存在一點(diǎn)

??(0,1),使得?'(?)?0,即

?'(?)??f'(?)?f(?)?0,

即?f(?)??f(?)，則f(?)??''f(?)?.證畢.

例8設(shè)f(x),g(x),h(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)

?，使

f'(?)g'(?)h'(?)f(a)g(a)h(a)?0

f(b)g(b)h(b)證明做輔助函數(shù)

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n!F(x)?f(a)g(a)h(a)

r!?n?r?!f(b)g(b)h(b)則依題設(shè)有F(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且

f(x)g(x)h(x)F(a)?F(b)?0,

由羅爾定理，在(a,b)內(nèi)至少有一地點(diǎn)?，使F(?)?0.從而即有

'f'(?)g'(?)h'(?)f(a)g(a)h(a)?0

f(b)g(b)h(b)證畢.

中值問(wèn)題很明顯，是關(guān)于微分中值定理（其中包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的問(wèn)題.做一個(gè)這個(gè)題的輔助函數(shù)，它必需滿足其中一個(gè)中值定理的條件，則根據(jù)中值定理的性質(zhì)即可得出.(五)構(gòu)造輔助函數(shù)求極限

一些求極限的題目，我們也可以用做輔助函數(shù)來(lái)解決，求極限的方法有好多，簡(jiǎn)單的方法也不少，只是一些特別的題目可能用我們學(xué)過(guò)的方法很不好解開(kāi)，而構(gòu)造輔助函數(shù)后就十分簡(jiǎn)單了.

例9求limnn.

n??解作輔助函數(shù)f(x)?x,則f(x)?e1xlnxx.所以

?e1x???xlimlimf(x)?limex???x???lnxx?elnxx???xlim?e0?1

故limnn?limf(n)?1.

n??n??例10求f(x)?1111的極限.?????x?1x?2x?3x?x1xxxx(?????)xx?1x?2x?3x?x解變形f(x)???1?1111?????????123xx?1?1?1?1??xxxx??

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1x1??

ixi?11?x構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)?1?01?xdx，這個(gè)積分函數(shù)將f(x)變成了積分函數(shù)，求這個(gè)

1函數(shù)的積分，就是f(x)的極限.

11g(x)??dx?ln(1?x)?ln2

001?x1所以，f(x)的極限是ln2.

解這方面的題時(shí)，需要我們將題中的離散變量轉(zhuǎn)化為連續(xù)變量.像例1中，還需考慮趨近的過(guò)程?n?0?，還運(yùn)用了洛必達(dá)法則，主要是求輔助函數(shù)的極限，則原函數(shù)的極限也求出.例2中的條件剛好滿足定積分的定義，將其轉(zhuǎn)化為定積分，求這個(gè)定積分的值，

就求出了這個(gè)極限.

四、總結(jié)

在這篇論文中，列舉了大量的例子來(lái)說(shuō)明輔助函數(shù)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，并且如何構(gòu)造輔助函數(shù)，本文也有所涉及，下面我列舉了幾種方法.

常數(shù)k值法構(gòu)造輔助函數(shù)是將所得的結(jié)論進(jìn)行變形，然后把常數(shù)部分分開(kāi)出來(lái)，并使常數(shù)部分得k，將這個(gè)式子進(jìn)行恒等變形，使式子變成一端成為a和f?a?的表達(dá)式，另一端成為b和f?b?的表達(dá)式，再將a和b的值換為x，這樣得出的式子就為所做得輔助函，詳見(jiàn)例1.

微分方程法構(gòu)造輔助函數(shù)是關(guān)于解存在???a,b?，使f'???????,f????這類的問(wèn)題，構(gòu)造輔助函數(shù)的方法是先將?變?yōu)閤，解出其通解形式為??x,y??c，此時(shí)輔助函數(shù)為F?x????x,y?，詳見(jiàn)例2.

作差法構(gòu)造輔助函數(shù)是將題適當(dāng)變形后，將等號(hào)（或不等號(hào)）右邊的式子移到左邊做差，得到的式子即為輔助函數(shù)，即若解不等式f(x)?g(x)，可以將這個(gè)式子的差

F(x)作為輔助函數(shù)，那么，F(xiàn)(x)?f(x)?g(x)，則只需證明F(x)在其定義域內(nèi)大

于零即可.詳見(jiàn)例3