江西師大附中2020屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精江西師大附中2020屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)文科試卷含解析江西師大附中2019年高三期中考試文科數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷(選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁.滿分150分，考試時間120分鐘。注意事項：1。答卷前，考生務(wù)必將自己的準考證號。姓名填寫在答題卡上?？忌J真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名、考試科目"與考生本人的準考證號、姓名是否一致.2。第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。第Ⅱ卷用0。5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答。若在試題卷上作答，答題無效.3?？荚嚱Y(jié)束后，監(jiān)考員將試題卷.答題卡一并收回.參考公式：在線性回歸方程中，棱錐體積公式，，.其中S為底面積，h為高.第Ⅰ卷（選擇題部分，共60分）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知全集，，,則（）A. B。 C. D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】求出中方程的解，確定集合,根據(jù)全集求出的補集，找出與補集的交集即可．【詳解】解：由中的方程變形得:，解得：或，即，全集，，則，故選：．【點睛】此題考查了交、并、補集的混合運算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題．2.已知復(fù)數(shù)，則“”是“為純虛數(shù)”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C。充要條件 D。既非充分又非必要條件【答案】A【解析】復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則且，解得，所以“”是“為純虛數(shù)”的充分不必要條件．故選．3。已知向量，,則向量在上的投影為（）A。 B. C。 D。3【答案】A【解析】【分析】設(shè)向量與的夾角為,求得的值，只根據(jù)向量在上的投影為,計算求得結(jié)果．【詳解】解：由題意可得，,,設(shè)向量與的夾角為，則，向量在上投影為，故選:．【點睛】本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，求向量的模的方法，一個向量在另一個向量上的投影的定義，屬于基礎(chǔ)題．4.某防疫站對學(xué)生進行身體健康調(diào)查，欲采用分層抽樣的辦法抽取樣本，某中學(xué)共有學(xué)生2000名,抽取了一個容量為200的樣本，已知樣本中男生比女生少6人，則該校共有男生（）A.1030人 B.1050人 C。950人 D。970人【答案】D【解析】【分析】根據(jù)樣本容量和男生比女生少6人,可得樣本中男生數(shù)，再根據(jù)抽取的比例可得總體中的男生人數(shù)．【詳解】解：樣本容量為200,男生比女生少6人,樣本中男生數(shù)為97人,又分層抽樣的抽取比例為，總體中男生數(shù)為人．故選：．【點睛】本題考查了分層抽樣的定義,熟練掌握分層抽樣的特征是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．5.在雙曲線中，已知c，a，b成等差數(shù)列，則該雙曲線的離心率等于（)A. B。 C。 D.【答案】C【解析】【分析】由等差數(shù)列的中項的性質(zhì),可得，由，,的關(guān)系和離心率公式，計算即可得到所求值．【詳解】解：因為，，成等差數(shù)列，可得,即,，即為,即,．故選：．【點睛】本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用等差數(shù)列的中項的性質(zhì)，考查雙曲線的基本量的關(guān)系，以及運算能力，屬于基礎(chǔ)題．6.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的體積為（）A。8 B.12 C.16 D.20【答案】D【解析】【分析】由已知中的三視圖,可知該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱錐，求出底面面積，代入錐體體積公式，可得答案【詳解】解：由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱錐，其底面面積,高，故體積；故選：．【點睛】本題考查的知識點是由三視圖求體積和表面積，解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀，屬于基礎(chǔ)題．7.將函數(shù)的圖像向右平移（）個單位長度,再將圖像上每一點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變)，所得圖像關(guān)于直線對稱，則的最小值為(）A. B. C。 D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的平移和伸縮變換，求得變換后的解析式；根據(jù)對稱軸代入即可求得的表達式，進而求得的最小值．【詳解】將函數(shù)的圖像向右平移（)個單位長度，再將圖像上每一點的橫坐標縮短到原來的倍后解析式變?yōu)橐驁D像關(guān)于直線對稱所以代入化簡得,k∈Z所以當k=0時,取得最小值為所以選D【點睛】本題考查了三角函數(shù)圖像的平移變換，三角函數(shù)對稱軸的應(yīng)用，屬于中檔題．8.已知圖是下列四個函數(shù)之一的圖象,這個函數(shù)是（）A。 B.C. D。【答案】C【解析】【分析】令與驗證,排除，而中，當時，，函數(shù)值恒小于,不符合；選．【詳解】解：令與驗證，中，,，不符合；中，，，不符合；中，當時，，即函數(shù)值恒小于，不符合；故選：．【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象與函數(shù)解析式之間的關(guān)系，從特殊值入手，用排除法解選擇題是有效的方法．9.拋物線的焦點為F，準線為l,點P為拋物線上一點，，垂足為A，若直線AF的斜率為，則等于（）A.8 B. C.4 D.【答案】C【解析】【分析】求出直線的方程，求出點和的坐標，利用拋物線的定義即可求的值．【詳解】解：拋物線方程為，焦點，準線方程，直線的斜率為，直線的方程為，當時，，可得點坐標為，垂足，點縱坐標為，代入拋物線方程，得點坐標為，．故選：．【點睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，定義的應(yīng)用，以及曲線交點的求法,利用拋物線的定義是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．10。設(shè)等比數(shù)列的前n項和為,若，則數(shù)列的前100項和為（）A。 B. C。 D.【答案】D【解析】【分析】通過與作差可得，進而可知，利用裂項相消法計算即得結(jié)論．【詳解】解：,當時,，兩式相減得：,又，數(shù)列為等比數(shù)列,,即，，，,所求值為,故選:．【點睛】本題考查數(shù)列的通項及前項和,考查裂項相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．11.某醫(yī)務(wù)人員說：“包括我在內(nèi)，我們社區(qū)診所醫(yī)生和護士共有16名。無論是否把我算在內(nèi),下面說法都是對的.在這些醫(yī)務(wù)人員中：護士多于醫(yī)生；女醫(yī)生多于女護士；女護士多于男護士;至少有一名男醫(yī)生."請你推斷說話的人的性別與職業(yè)是（)A。男醫(yī)生 B.女醫(yī)生 C。男護士 D。女護士【答案】A【解析】【分析】設(shè)女護士人數(shù)為，男護士人數(shù)為，女醫(yī)生人數(shù)為，男醫(yī)生人數(shù)為，根據(jù)已知構(gòu)造不等式組，推理可得結(jié)論．【詳解】解：設(shè)女護士人數(shù)為，男護士人數(shù)為，女醫(yī)生人數(shù)為，男醫(yī)生人數(shù)為,則有：①；②；③；④；⑤；得出：假設(shè)：僅有：，,，時符合條件,又因為使中任意一個數(shù)減,依然符合條件,只有符合,即為男護士,假設(shè)：則沒有能滿足條件的情況綜上，這位說話的人是男護士，故選:．【點睛】本題考查邏輯推理，考查簡單的合情推理等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、分析判斷能力,屬于中檔題.12。函數(shù)上任意一點處的切線，在其圖像上總存在異與點A的點,使得在B點處的切線滿足，則稱函數(shù)具有“自平行性”。下列有關(guān)函數(shù)的命題:①函數(shù)具有“自平行性”;②函數(shù)具有“自平行性”；③函數(shù)具有“自平行性"的充要條件為實數(shù)；④奇函數(shù)不一定具有“自平行性”；⑤偶函數(shù)具有“自平行性”.其中所有敘述正確的命題的序號是（)A。①③④ B。①④⑤ C.②③④ D。①②⑤【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知中函數(shù)具有“自平行性”的定義，逐一分析5個函數(shù)是否具有“自平行性"，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．【詳解】解：函數(shù)具有“自平行性”,即對定義域內(nèi)的任意自變量，總存在，使得．對于①，，具有周期性,必滿足條件，故①正確；對于②，，對任意，不存在，使得成立，故②錯誤；對于③，當時，，而時，，解得（舍去）或，則,故③正確；對于④，，不符合定義，故④正確;對于⑤,同④，其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，故⑤不正確．故選：．【點睛】本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數(shù)具有“自平行性”的定義，正確理解函數(shù)具有“自平行性"的定義,是解答的關(guān)鍵．第Ⅱ卷（非選擇題部分，共90分）注意事項:第Ⅱ卷共2頁，須用黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答.若在試題卷上作答,答題無效.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分。13。執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入，則輸出的值是?！敬鸢浮?3【解析】試題分析：執(zhí)行程序框圖，依次得到，符合條件，輸出，其值為23.考點:程序框圖。14.在等差數(shù)列中，對任意正整數(shù)n，都有﹐則________.【答案】2015?！窘馕觥俊痉治觥吭O(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)，得到，兩式相減得到，再令，求出，問題得以解決．【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，,，，，當時，，，，故答案為:2015．【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式,考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．15。已知x，y滿足,且的最小值為8，則正實數(shù)a的取值范圍為________。【答案】.【解析】【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,根據(jù)的最小值為8，確定直線滿足的條件即可得到結(jié)論．【詳解】解：設(shè)，則的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到原點的距離的平方，圓心到直線的距離，此時,滿足的最小值為8，即切點在區(qū)域內(nèi)，即在的上方,的斜率為，，的斜率，即的直線方程為，由，解得，即，則滿足，解得，，,故答案為：．【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,根據(jù)條件確定直線滿足的條件，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法，屬于中檔題16。已知棱長等于的正方體，它的外接球的球心為O﹐點E是AB的中點,則過點E的平面截球O的截面面積的最小值為________.【答案】?！窘馕觥俊痉治觥慨斶^球內(nèi)一點的截面與垂直時，截面面積最小可求截面半徑，即可求出過點的平面截球的截面面積的最小值．【詳解】解:棱長等于的正方體,它的外接球的半徑為3，當過點的平面與垂直時，截面面積最小,，，故答案為：．【點睛】本題考查過點的平面截球的截面面積的最小值及接體問題,找準量化關(guān)系是關(guān)鍵,屬于中檔題．三、解答題:本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說明.證明過程或演算步驟.17.在中，角,，的對邊分別為，，，且滿足.（1）求角的大小；(2)若,求面積的最大值．【答案】（1);（2）【解析】試題分析:(1）由平面向量的數(shù)量積定義與正弦定理進行化簡的值，進而求教B;（2)利用余弦定理與基本不等式進行求解．試題解析：（1)由題意得（a－c)cosB＝bcosC．根據(jù)正弦定理有（sinA－sinC）cosB＝sinBcosC,所以sinAcosB＝sin(C＋B），即sinAcosB＝sinA．因為sinA〉0，所以cosB＝，又B∈（0，π），所以B＝．(2）因為|｜＝,所以即b＝根據(jù)余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝（2－)ac（當且僅當a＝c時取等號)，即ac≤3（2＋）．故△ABC的面積S＝acsinB≤．考點：1．正弦定理；2．余弦定理；3．基本不等式．18。汽車是碳排放量比較大的行業(yè)之一,歐盟規(guī)定，從2015年開始，將對排放量超過130g/km的型新車進行懲罰(視為排放量超標）,某檢測單位對甲、乙兩類型品牌抽取5輛進行排放量檢測，記錄如下（單位：g/km）：甲80110120140150乙100120xy160經(jīng)測算發(fā)現(xiàn)，乙品牌車排放量的平均值為.（Ⅰ）從被檢測的5輛甲類品牌中任取2輛,則至少有一輛排放量超標的概率是多少？（Ⅱ)若乙類品牌的車比甲類品牌的的排放量的穩(wěn)定性要好，求x的范圍.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ)?！窘馕觥俊痉治觥?Ⅰ）由題意逐個列出從被檢測的5輛甲類品牌中任取2輛，共有10種不同的排放量結(jié)果及事件包含的結(jié)果，利用古典概型事件的概率公式即可求得;（Ⅱ）由題意算出甲乙的平均值，并算出方差,利用乙類品牌的車的排放量穩(wěn)定性比甲類品牌的車的排放量的穩(wěn)定性好，建立方程求解．【詳解】解：（Ⅰ）從被檢測的5輛甲類品牌中任取2輛，共有10種不同的排放量結(jié)果：，,，,，，，，，，設(shè)“至少一輛不符合排放量"為事件，則包含以下種結(jié)果：，,，，，,所以.（Ⅱ）因為，所以，.因為，所以由乙類品牌的車的排放量穩(wěn)定性比甲類品牌的車穩(wěn)定性要好,得即,所以，解得所以的取值范圍為【點睛】本題考查了古典概型的事件的概率，還考查了方差的意義及利用方差意義建立方程，還考查了一元二次方程的求解，屬于中檔題．19.已知四棱錐中，平面ABCD,底面ABCD是邊長為a的菱形，，.（Ⅰ）求證:平面平面PAC；（Ⅱ）設(shè)AC與BD交于點O,M為OC的中點，若點M到平面POD的距離為，求的值.【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）結(jié)合，，由面面垂直的判定定理易證；（Ⅱ）利用等體積法，結(jié)合題目所給條件即可得出所求的值．【詳解】（Ⅰ)證明:平面，平面，,在菱形中，有，平面，平面,平面，又平面,平面平面（Ⅱ）解:,在中，有．在中，，，，，,．的值為．【點睛】本題考查面面垂直的證明，考查等體積法的運用，屬于中檔題．20.如圖所示，已知A、B、C是長軸長為4的橢圓E上的三點,點A是長軸的一個端點，BC過橢圓中心O，且，.(Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）設(shè)是以原點為圓心,短軸長為半徑的圓,過橢圓E上異于其頂點的任一點P，作的兩條切線，切點分別為M，N,若直線MN在x軸、y軸上的截距分別為m,n，試計算的值是否為定值?如果是，請給予證明；如果不是,請說明理由?！敬鸢浮浚á瘢?；（Ⅱ）是定值，證明見解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由已知得，數(shù)形結(jié)合求得的坐標，代入橢圓方程求得,則橢圓方程可求；(Ⅱ)設(shè)，,由，是切點，可知、、、四點共圓．分別寫出以為直徑的圓的方程與圓的方程，聯(lián)立可得所在直線方程求出直線在,軸上的截距,結(jié)合在橢圓上可得的值是定值．【詳解】解：（Ⅰ）依題意知：橢圓的長半軸長,則，設(shè)橢圓的方程為由橢圓的對稱性知，又，，為等腰直角三角形，點C的坐標為,點B的坐標為，將C的坐標代入橢圓方程得所求的橢圓的方程為（Ⅱ）設(shè)點,由，是的切點知，，，、、、四點在同一圓上，且圓的直徑為OP則圓心為，其方程為,即①即點，滿足方程①,又點,都在上,,坐標也滿足方程②②①得直線的方程為,令，得，令得，,，又點Р在橢圓E上，，即為定值?！军c睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與圓、圓與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,屬于中檔題．21.已知為常數(shù),，函數(shù)，(其中是自然對數(shù)的底數(shù)）。(1）過坐標原點作曲線的切線，設(shè)切點為,求證:；（2)令，若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),求的取值范圍．【答案】（1);(2).【解析】試題分析：(1）先對函數(shù)求導(dǎo)，,可得切線的斜率，即，由是方程的解，且在上是增函數(shù)，可證；（2）由，，先研究函數(shù),則，由在上是減函數(shù)，可得,通過研究的正負可判斷的單調(diào)性，進而可得函數(shù)的單調(diào)性,可求出參數(shù)范圍.試題解析：（1）(），所以切線的斜率,整理得，顯然，是這個方程的解,又因為在上是增函數(shù)，所以方程有唯一實數(shù)解，故．（2），,設(shè),則，易知在上是減函數(shù)，從而．①當，即時，，在區(qū)間上是增函數(shù)，∵，∴在上恒成立，即在上恒成立．∴在區(qū)間上是減函數(shù)，所以滿足題意．②當，即時，設(shè)函數(shù)的唯一零點為,則在上遞增，在上遞減,又∵,∴，又∵,∴在內(nèi)有唯一一個零點，當時，，當時，。從而在遞減，在遞增，與在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)矛盾?！嗖缓项}意．綜上①②得，．請考生在第(22）、（23）中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑,把答案填在答題卡上。選修4—4：坐標系與參數(shù)方