微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)分析方法

微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)分析方法第1頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四凸集定義

第2頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四例子

1維空間：?jiǎn)蝹€(gè)點(diǎn)2維空間：直線、射線、線段圓、橢圓、矩形、梯形、三角形等第3頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四三維空間呢？第4頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四第5頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四總結(jié)“沒有任何孔，邊緣不能有縮進(jìn)”

——蔣中一第6頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四意義經(jīng)濟(jì)分析中，常假設(shè)可行集合（約束集）為凸集。約束條件下可行集是凸集保證最優(yōu)解唯一的必要條件。第7頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四問題經(jīng)濟(jì)學(xué)分析中，有哪些約束集合？第8頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四第9頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四練習(xí)題：判斷下列集合是否為凸集第10頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四凹函數(shù)（concave）第11頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四凹函數(shù)的定義以最簡(jiǎn)單的單變量函數(shù)為例來定義：，和是定義域中的兩個(gè)量，令，如果滿足則稱為凹函數(shù)（小于等于，凸函數(shù)）若則稱為嚴(yán)格凹函數(shù)（小于，嚴(yán)格凸函數(shù)）第12頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四直觀圖形嚴(yán)格凹函數(shù)ABCD第13頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四直觀圖形非嚴(yán)格凹函數(shù)第14頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四總結(jié)兩點(diǎn)間的曲線（弧）與兩點(diǎn)間的直線重合，或在其之上。第15頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四用一階導(dǎo)數(shù)來定義第16頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四xf(x)圖示第17頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四總結(jié)該曲線與其切線重合或者位于其切線的下方。過曲線上任何一點(diǎn)的做切線，該曲線均在切線或切線下方。第18頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四凹函數(shù)的定義對(duì)雙變量函數(shù)來說：

第19頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四圖示ABCDzy第20頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四總結(jié)在曲面上，任何兩點(diǎn)的連線均在對(duì)應(yīng)的曲線的下方，則稱為凹函數(shù)。第21頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四一階導(dǎo)數(shù)的定義當(dāng)且僅當(dāng)：即：做任何一個(gè)切面，函數(shù)值均在切面或切面之下。第22頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四對(duì)于多變量函數(shù)第23頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四凹函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的判定方法若函數(shù)存在二階連續(xù)偏微分，則：第24頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四與上述判定方法等價(jià)的方法：引入海塞矩陣多變量函數(shù)：該函數(shù)的一階全微分表示為：第25頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四二階全微分表達(dá)式第26頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四簡(jiǎn)化表達(dá)第27頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四海塞矩陣（二階導(dǎo)數(shù)矩陣）第28頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四二階全微分的簡(jiǎn)潔表達(dá)（引入海塞矩陣）第29頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四二階導(dǎo)數(shù)的判定方法當(dāng)且僅當(dāng)海塞矩陣為負(fù)半定時(shí)，該函數(shù)為凹函數(shù)。

負(fù)半定：即順序主子式值正負(fù)交替變化，一階小于等于零，二階大于等于零……當(dāng)（非當(dāng)且僅當(dāng)）海塞矩陣為負(fù)定時(shí)，該函數(shù)為嚴(yán)格凹函數(shù)。

負(fù)定：即即順序主子式值正負(fù)交替變化，一階小于零，二階大于零……第30頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四順序主子式值正負(fù)交替變化第31頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四二階導(dǎo)數(shù)的判定方法當(dāng)且僅當(dāng)海塞矩陣為正半定時(shí)，該函數(shù)為凸函數(shù)。

正半定：即順序主子式值全部大于等于零當(dāng)（非當(dāng)且僅當(dāng)）海塞矩陣為正定時(shí)，該函數(shù)為嚴(yán)格凸函數(shù)。

正定：即即順序主子式值全部大于零第32頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四練習(xí)檢驗(yàn)下列函數(shù)的凹凸性：第33頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四（使用順序主子式方法檢驗(yàn)）第34頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四擬凹函數(shù)（quasiconcave）第35頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四定義第36頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四定義第37頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四圖示N函數(shù)圖形上任意一段弧MN,使N點(diǎn)高于M點(diǎn)，如果除M和N點(diǎn)外，該弧段上的點(diǎn)均高于或等于M點(diǎn)，則該函數(shù)為擬凹函數(shù)。AB第38頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四思考：與凹函數(shù)的關(guān)系？凹函數(shù)一定是擬凹函數(shù)，但擬凹函數(shù)不一定是凹函數(shù)。擬凹性是比凹性要弱的條件。第39頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四典型圖示Xf(x)第40頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四上等值集判定方法如果該函數(shù)的上等值集是凸集，則該函數(shù)為擬凹函數(shù)。上等值集的定義：第41頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四例子：

第42頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四第43頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四一階導(dǎo)數(shù)定義第44頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四擬凹函數(shù)的二階必要條件第45頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四加邊海塞矩陣第46頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四第47頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四擬凹函數(shù)的充分條件第48頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四擬凸函數(shù)的充分條件第49頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四練習(xí)第50頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四無約束條件下的極值問題第51頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四最優(yōu)化的一階條件第52頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四滿足一階條件是極值的必要條件？充分條件？第53頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四雙變量的情形第54頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四第55頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四A第56頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四第57頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四A第58頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四二階條件第59頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四二階必要條件第60頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四回憶：關(guān)于凹函數(shù)第61頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四等式約束條件下的最優(yōu)化問題第62頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四自由極值、約束極值在無約束的最優(yōu)化問題中，決策變量之間是彼此獨(dú)立的。但是當(dāng)存在約束條件時(shí)，決策變量之間就要受到相互影響。第63頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四xyz自由極值約束極值第64頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四多約束條件下：約束條件的數(shù)量應(yīng)少于決策變量的數(shù)量第65頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四約束條件下求極值的方法拉格朗日乘數(shù)法目標(biāo)函數(shù)：約束條件：構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)：

第66頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四第67頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四面臨多個(gè)約束時(shí)的一階條件第68頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四面臨多個(gè)約束時(shí)的一階條件第69頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四拉格朗日乘數(shù)的含義第70頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四單個(gè)等式約束情形下極值的二階條件第71頁，共75頁，2023年，2月20日，星期四極大值的二階充分條件：用海塞加邊行列式注意：與前