圓心角、弧、弦、弦心距間關(guān)系-教學(xué)設(shè)計(jì)

安徽省2022年初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課評(píng)選活動(dòng).2.3圓的基本性質(zhì)：圓心角、弧、弦、弦心距間關(guān)系合肥市五十中學(xué)新校李怡帆教學(xué)內(nèi)容和內(nèi)容解析課標(biāo)研讀《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2022年版》對(duì)本課時(shí)歸于圖形與幾何：圖形的性質(zhì)一類，雖未做直接要求，但我參考史寧中教授主編的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》圖形的性質(zhì)及其本質(zhì)、滬科版教師用書(shū)，確定本節(jié)課要求：“探索并理解圓心角、弧、弦、弦心距之間相等關(guān)系的定理”.基于新課程目標(biāo)“以學(xué)生發(fā)展為本，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向”的要求，本節(jié)課應(yīng)重視學(xué)生發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過(guò)程，將重點(diǎn)放在幾何直觀和推理能力等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)上，同時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.教學(xué)框架圓是平面圖形，是最基本的曲線型封閉圖形。初中學(xué)段，各版本教材對(duì)圓的研究多集中在一個(gè)章節(jié)，順序大致如下：從圓的概念，到圓的性質(zhì)（圓相關(guān)構(gòu)成要素之間的關(guān)系），還研究圖形與圓的關(guān)系：如點(diǎn)與圓、直線與圓、三角形與圓、三角形與圓的關(guān)系，最后是圓的應(yīng)用：弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算、圓錐的計(jì)算、綜合實(shí)踐活動(dòng).值得一提的是;由于圓是特殊的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形，圓的動(dòng)態(tài)定義也是由旋轉(zhuǎn)引入的，故教材將第四學(xué)段要求的圖形的變化——圖形的旋轉(zhuǎn)設(shè)置在圓這一章的章始，也為本節(jié)課的學(xué)習(xí)打下知識(shí)與分析解決問(wèn)題能力的基礎(chǔ).教材呈現(xiàn)圓的仍是以幾何圖形研究一般化的路徑：概念——性質(zhì)——應(yīng)用.本節(jié)課內(nèi)容設(shè)置在圓的基本性質(zhì)這一節(jié)，學(xué)生在前期學(xué)習(xí)了圖形的變換：“旋轉(zhuǎn)”之后，對(duì)圓是特殊的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形有一定認(rèn)知；有圓及其各元素概念的知識(shí)基礎(chǔ)；有由圓的軸對(duì)稱性得到垂徑定理的方法經(jīng)驗(yàn)，所以本節(jié)課需要組織學(xué)生經(jīng)歷對(duì)圖形的分析和比較的過(guò)程.另外，本節(jié)課的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)可以幫助學(xué)生后續(xù)探究圓周角與弧之間的關(guān)系，也能得到新的方法用于解決圓中相關(guān)的計(jì)算和證明問(wèn)題.教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課選自滬科版教材《義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)第二十四章《圓》第二節(jié)第三課時(shí)，主要研究：圓心角、弧、弦、弦心距間關(guān)系.內(nèi)容解析本節(jié)課在學(xué)生學(xué)習(xí)了新的圖形變換——旋轉(zhuǎn)、圓及其基本元素的概念、垂徑定理的基礎(chǔ)上進(jìn)行的.與圓的軸對(duì)稱性得到垂徑定理的探究和證明過(guò)程類似，圓心角、弧、弦、弦心距間關(guān)系定理與推論源自于圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性（旋轉(zhuǎn)不變性），對(duì)四組量相等的探究要抓住“對(duì)應(yīng)關(guān)系”，并關(guān)注“同圓或等圓”中的前提.圓心角、弧、弦、弦心距間關(guān)系定理與推論為后面圓內(nèi)證明弧相等、弦相等和角度的計(jì)算等問(wèn)題提供了簡(jiǎn)單的方法.其證明過(guò)程為曲線型證明提供了新思路，整個(gè)過(guò)程通過(guò)數(shù)形結(jié)合，而等圓問(wèn)題到同圓問(wèn)題的轉(zhuǎn)化體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)了學(xué)生的幾何直觀和推理能力.學(xué)生學(xué)情分析1.知識(shí)層面學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了圓中的相關(guān)元素，了解了圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，并且有前面垂徑定理的研究經(jīng)驗(yàn)，但是由于才剛剛進(jìn)行圓的探索，學(xué)生對(duì)圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性的應(yīng)用不甚了解，所以在探討弧、弦、圓心角之間的相等關(guān)系時(shí)可能感到困難.學(xué)生盡管邏輯思維能力很強(qiáng)，但對(duì)于圓的認(rèn)識(shí)還很淺膚,對(duì)圓的相關(guān)概念還不能熟練運(yùn)用，故而在掌握知識(shí)的深度和靈活性方面還有欠缺.2.經(jīng)驗(yàn)層面九年級(jí)學(xué)生已初步具備數(shù)學(xué)分析、解決問(wèn)題的能力，具有一定的研究直線型幾何圖形性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)，但對(duì)于圓比較陌生，因此需要從幾何研究的本質(zhì)出發(fā)對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，讓學(xué)生感受到一以貫之的研究思路、思想、方法.在證明定理和得出推論的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生參照垂徑定理的折疊重合的探究思路，思考如何利用圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性得到新發(fā)現(xiàn).垂徑定理及其推論中五個(gè)條件，其中任意兩個(gè)是題設(shè)，那么其余三個(gè)變式是結(jié)論這一經(jīng)驗(yàn)，對(duì)本節(jié)課推論的推導(dǎo)過(guò)程十分有參考價(jià)值.本節(jié)課引導(dǎo)學(xué)生積極參與探究活動(dòng)，充分理解圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，同時(shí)通過(guò)例題和變式訓(xùn)練，讓學(xué)生能夠靈活應(yīng)用定理和推論來(lái)解決問(wèn)題.教學(xué)目標(biāo)和目標(biāo)解析單元教學(xué)目標(biāo)能把握?qǐng)A的學(xué)習(xí)與其他幾何圖形研究的一致性，理解幾何學(xué)習(xí)的相關(guān)性.在圓的性質(zhì)研究過(guò)程中，核心素養(yǎng)的感悟由感性上升為理性，在建立幾何直觀的基礎(chǔ)上，逐步形成推理能力，2.課時(shí)教學(xué)目標(biāo)（1）掌握?qǐng)A心角、弧、弦、弦心距間關(guān)系定理及推論，并能進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和證明.了解弧的度數(shù)的概念.（2）通過(guò)探索圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性得出定理和推論的過(guò)程中，進(jìn)一步體會(huì)和理解數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問(wèn)題的能力.（3）通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐，自主探索、合作交流，激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣，獲得成功的體驗(yàn).在自評(píng)和互評(píng)中，有所感悟、提升.3.課時(shí)目標(biāo)解析達(dá)到目標(biāo)（1）的標(biāo)志：能找到圓心角、弧、弦、弦心距之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)形結(jié)合能借助圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性在同圓中通過(guò)重合得到相等的圓心角所對(duì)的弧、弦、所對(duì)弦的弦心距相等.能將等圓問(wèn)題轉(zhuǎn)化為同圓問(wèn)題.通過(guò)應(yīng)用定理和推論解決同圓或等圓中的常見(jiàn)弦、弧相等的證明和角度線段長(zhǎng)的計(jì)算問(wèn)題.達(dá)到目標(biāo)（2）的標(biāo)志：在小組討論和動(dòng)手操作的過(guò)程中充分地思考，發(fā)揮團(tuán)隊(duì)和個(gè)人力量，能主動(dòng)地提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，在課堂中有收獲感，有成就感.通過(guò)定理和推論感悟數(shù)學(xué)思想，歸納得到圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等的結(jié)論.達(dá)到目標(biāo)（3）的標(biāo)志：能認(rèn)真聽(tīng)講，獨(dú)立思考，主動(dòng)跟進(jìn)課堂，培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成積極的情感、態(tài)度和價(jià)值觀.教學(xué)重點(diǎn)：理解圓心角、弧、弦、弦心距間關(guān)系定理及推論.教學(xué)難點(diǎn)：探索圓心角、弧、弦、弦心距四組量間的關(guān)系，理解定理和推論的證明過(guò)程.教學(xué)策略分析教學(xué)方式：基于上述學(xué)情，本節(jié)課改變單一的講授式教學(xué)，注重采用啟發(fā)式、探究式、參與式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生探究并證明圓心角、弧、弦、弦心距間關(guān)系定理及推論，通過(guò)討論法、自學(xué)法，讓學(xué)生對(duì)不同的知識(shí)有不同程度的學(xué)習(xí).以圖形不斷疊加的方式復(fù)習(xí)舊的知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)舊的圖形中新的問(wèn)題：圓心角，進(jìn)而提出問(wèn)題：圓心角與以前學(xué)過(guò)圓的基本元素的關(guān)系引入主體.整個(gè)設(shè)計(jì)推進(jìn)單元整體教學(xué)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，以及學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)聯(lián).在引導(dǎo)思考圓心角、弧、弦、弦心距間關(guān)系的過(guò)程中，設(shè)置問(wèn)題串.給學(xué)生提供思考、研究、探索的時(shí)間和空間，引導(dǎo)學(xué)生積極參與課堂活動(dòng)，讓學(xué)生充分經(jīng)歷“觀察——猜想——驗(yàn)證——證明”這一探索過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生鞏固幾何探索的一般思路.教學(xué)手段：本節(jié)課以現(xiàn)代化信息技術(shù)（幾何畫(huà)板）教學(xué)為主，多處展示折疊、平移、旋轉(zhuǎn)等動(dòng)態(tài)過(guò)程，另外通過(guò)旋轉(zhuǎn)圓教具，幫助學(xué)生多種渠道直觀感受變化的過(guò)程；以傳統(tǒng)黑板式教學(xué)為輔，比如本節(jié)小結(jié)構(gòu)的歸納、定理推論的總結(jié)、教師例題的示范作用、學(xué)生板書(shū)的展示.另外，還促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)課本內(nèi)容，提升學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力.借助希沃同屏助手輔助實(shí)現(xiàn)師生之間、生生之間的成果共享、多元維度的教學(xué)評(píng)價(jià)等.教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)前知整理，引出課題復(fù)習(xí)舊知，建立知識(shí)結(jié)構(gòu)從24章以來(lái)，我們步入了圓的學(xué)習(xí)，先研究了一種新的圖形變換：旋轉(zhuǎn)，又利用線段的旋轉(zhuǎn)引入了最特殊的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形：圓，這說(shuō)明圓具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，它的旋轉(zhuǎn)中心是：圓心.有以往幾何學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)完了概念之后，我們緊接著要學(xué)習(xí)圓的相關(guān)性質(zhì)：前面已經(jīng)了解了圓中一些基本元素的概念.上節(jié)課，我們由圓的軸對(duì)稱性學(xué)習(xí)了垂徑定理及其推論，還記得我們是怎么證明得到的嗎？利用圓的軸對(duì)稱性通過(guò)沿對(duì)稱軸折疊重合的方法得到弦相等，弧相等.【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生有單元整體結(jié)構(gòu)意識(shí)，知道知識(shí)的來(lái)龍去脈，從圖形的構(gòu)成角度復(fù)習(xí)前面的知識(shí)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而為后續(xù)學(xué)習(xí)圓心角的內(nèi)容和由圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性總結(jié)元素間的關(guān)系做好鋪墊.再識(shí)圓心角垂直于弦的直徑除了平分這一條弦、一條優(yōu)弧、一條劣弧，有沒(méi)有平分什么角呢？這里∠AOB是我們小學(xué)學(xué)過(guò)的圓心角.小學(xué)課本上給出概念：把頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.圖中還有哪些圓心角呢？請(qǐng)你指出.發(fā)現(xiàn)問(wèn)題我們隱去這條直徑，你能指出圓心角∠AOB所對(duì)的弧、弦嗎？圓中再出現(xiàn)一個(gè)圓心角∠，它所對(duì)的弧、弦是？讓學(xué)生分別指出.這一過(guò)程學(xué)會(huì)找圓心角與已學(xué)習(xí)的元素：弧、弦、弦心距間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.實(shí)際上，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們研究完一個(gè)對(duì)象，往往要研究?jī)蓚€(gè)對(duì)象之間的關(guān)系.比如：學(xué)完了一個(gè)三角形的邊角關(guān)系，我們?nèi)ソ又芯績(jī)蓚€(gè)三角形的關(guān)系：全等以及一般化的相似.上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了一條弦、一條弧、一個(gè)角的關(guān)系后，那么這個(gè)圓中，兩個(gè)圓心角、兩個(gè)角所對(duì)的兩條弧、兩條弦、兩條弦的弦心距之間又有怎樣的關(guān)系呢？圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性又會(huì)給我們帶來(lái)怎樣的新收獲呢？我們這節(jié)課一起來(lái)接著研究圓的基本性質(zhì).【設(shè)計(jì)意圖】深入研究過(guò)去的知識(shí)和圖形，發(fā)現(xiàn)新的知識(shí)和問(wèn)題，通過(guò)啟發(fā)式教學(xué)的形式，引導(dǎo)學(xué)生層層深入新知，發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題.圓心角的再認(rèn)識(shí)和圓心角與弧、弦之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的辨析，為下面準(zhǔn)確找到元素間的關(guān)系打下知識(shí)基礎(chǔ).數(shù)學(xué)中研究完一個(gè)對(duì)象，往往要研究?jī)蓚€(gè)對(duì)象的關(guān)系，幫助學(xué)生自然地感受這節(jié)課的必要性.探究操作，猜想證明定理初探問(wèn)題1：如果同一個(gè)圓中，兩個(gè)不相等的圓心角，它們所對(duì)的弧、所對(duì)的弦、所對(duì)弦的弦心距相等嗎？問(wèn)題2：什么情況下，這幾組量相等呢？學(xué)生能通過(guò)動(dòng)態(tài)變化的圖形感受幾組量隨著圓心角的變化而變化.提出猜想：圓心角相等時(shí)，幾組量相等.發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，接下來(lái)再嘗試證明，解決問(wèn)題.問(wèn)題3：如果同一個(gè)圓中，兩個(gè)相等的圓心角，它們所對(duì)的弦相等嗎？為什么？問(wèn)題4：兩條弦所對(duì)的弦心距相等嗎？為什么？預(yù)設(shè)：可以用全等、勾股定理、等積法、全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等等一些常見(jiàn)的多邊形證明方法，這里不局限學(xué)生的思路.循序漸進(jìn)，突破難點(diǎn)問(wèn)題5：相等的圓心角，所對(duì)的弧相等嗎？師生活動(dòng)：這是本節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn)，不急于讓學(xué)生快速解決問(wèn)題，可慢慢引導(dǎo)學(xué)生.回顧等弧的概念：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.自然想到在這個(gè)圖形中如何使得兩段弧重合.動(dòng)手操作，驗(yàn)證猜想學(xué)生在思考后可嘗試旋轉(zhuǎn).教師拿出教具，學(xué)生邊說(shuō)，教師演示，其他學(xué)生可通過(guò)小組教具同步演示，思考.先引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確描述旋轉(zhuǎn)過(guò)程：將一個(gè)圓心角所對(duì)的部分繞著圓心旋轉(zhuǎn)一定的角度使得兩部分能重合.再詢問(wèn)學(xué)生怎么想到旋轉(zhuǎn)重合的？利用圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，上節(jié)課證明垂徑定理的弧相等時(shí)，又利用圓的軸對(duì)稱性沿著對(duì)稱軸折疊重合得到弧相等的經(jīng)驗(yàn).【設(shè)計(jì)意圖】問(wèn)題層層遞進(jìn)，由學(xué)生熟悉的直線型相等的證明入手，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生思考，再引入不熟悉的曲線型：弧相等的證明.通過(guò)教具增強(qiáng)學(xué)生直觀感受，消除陌生感，通過(guò)類比過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生借助圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性解決弧相等的問(wèn)題，體會(huì)知識(shí)方法的一貫性.小組討論，合作交流問(wèn)題6：我們通過(guò)繞著圓心旋轉(zhuǎn)能夠直觀感受兩部分重合，可以先人為控制半徑OA和重合，可如何說(shuō)明OB與是重合的呢？嘗試用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇磉_(dá)、推導(dǎo)這個(gè)過(guò)程.活動(dòng)1：學(xué)生先獨(dú)立思考，在學(xué)案上試著完成推導(dǎo)過(guò)程，再小組討論，過(guò)程中教師下去巡視，對(duì)困難同學(xué)給予提示，對(duì)已完成的同學(xué)做細(xì)節(jié)指導(dǎo)，最后想法完善的學(xué)生上臺(tái)表述，教師最后展示規(guī)范的證明過(guò)程.總結(jié)：既然證明了旋轉(zhuǎn)后A與重合，B與重合，不僅能說(shuō)明弧相等、也能同樣說(shuō)明弦、弦心距都相等，學(xué)以致用.證明完畢后，我們需要靜心思考一下.以前多邊形中的證明方法可以證明弦相等、弦心距相等的問(wèn)題，但無(wú)法解決弧相等的證明，類比上一節(jié)垂徑定理的證明，我們由圓的軸對(duì)稱性通過(guò)折疊重合得弧相等，這節(jié)課我們利用圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性通過(guò)旋轉(zhuǎn)重合得弧相等，而重合這個(gè)方法好在不僅能得到弧相等，也能得到直線型相等，一舉多得！是我們圓這一章學(xué)習(xí)不同于以往的地方之一.歸納總結(jié)，形成定理問(wèn)題7：在同圓中，相等的圓心角，我們能得到什么結(jié)論呢？師生活動(dòng)：學(xué)生總結(jié)定理：在同圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)弦的弦心距相等.教師板書(shū)定理內(nèi)容，再找學(xué)生用幾何語(yǔ)言描述定理內(nèi)容，教師板書(shū).這里需要解釋，幾何表述：是弧相等，而非弧長(zhǎng)相等.預(yù)設(shè)：通過(guò)定理，學(xué)生能理解在同一個(gè)圓中，已知圓心角相等這個(gè)條件之后，能得到三個(gè)結(jié)論.【設(shè)計(jì)意圖】直觀認(rèn)識(shí)后要經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理過(guò)程，這個(gè)過(guò)程不同于以往的直線型證明，是本節(jié)課的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，通過(guò)小組活動(dòng)討論的方式減輕學(xué)生的思考?jí)毫Γ黄齐y點(diǎn),教師巡視引導(dǎo)給予各小組經(jīng)驗(yàn)支持，學(xué)生能自主總結(jié)完善證明過(guò)程，增加知識(shí)的獲得感和學(xué)習(xí)的成就感.深化探究，引申結(jié)論結(jié)合經(jīng)驗(yàn)，逆向思考數(shù)學(xué)中得到一個(gè)定理后，往往會(huì)將條件和結(jié)論互換，判斷逆命題的真假?，F(xiàn)在咱們開(kāi)始逆向思考：?jiǎn)栴}8：得到以上幾組量相等，我們只能通過(guò)兩個(gè)圓心角相等這一個(gè)條件嗎？得出新命題并證明活動(dòng)2：找不同學(xué)生代表，說(shuō)出新條件下得到新結(jié)論的命題.實(shí)際上，這里可以得到多個(gè)命題，不局限學(xué)生思考，讓他們暢所欲言，在這一過(guò)程中逐漸感受多個(gè)命題的共同特點(diǎn)，最后找一位同學(xué)能試著用一句話來(lái)總結(jié)剛才這么多同學(xué)的說(shuō)法.總結(jié)并分析推論總結(jié)推論：在同圓中，如果兩個(gè)圓心角以及這兩個(gè)角所對(duì)的弧、所對(duì)的弦、所對(duì)弦的弦心距中，有一組量相等，那么其余各組量都分別相等.推論可以簡(jiǎn)記為：在同圓中，圓心角相等?弧相等?弦相等?弦心距相等.我們?cè)谇懊鎸W(xué)習(xí)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系接觸了這個(gè)符號(hào).等價(jià)于的意思是：比如在同圓中，如果弧相等，那么它所對(duì)的弦相等，反過(guò)來(lái)，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的弧相等（注意：我們這里弦所對(duì)的弧，只研究弦所對(duì)圓心角所對(duì)的弧?。┩粋€(gè)圓中，對(duì)于圓心角、弧、弦、弦心距，以上任何一組量相等，其余三組量都相等，可以互相轉(zhuǎn)換.【設(shè)計(jì)意圖】有上節(jié)課得垂徑定理推論的經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生逆向思考，當(dāng)條件和結(jié)論互換后得命題是否是真命題，學(xué)生發(fā)言減少重復(fù)性工作，最后用“等價(jià)于”總結(jié)，幫助學(xué)生在對(duì)比之后體會(huì)數(shù)學(xué)符號(hào)的優(yōu)越性.等圓中四組量的關(guān)系問(wèn)題9：我們?cè)佼?huà)一個(gè)相等的圓，等圓中，如果圓心角相等，還有剛才的結(jié)論嗎？是的，同學(xué)們不難發(fā)現(xiàn)，我們可以通過(guò)平移轉(zhuǎn)化為前面同圓中的問(wèn)題，進(jìn)而通過(guò)旋轉(zhuǎn)重合得到剛才的幾組結(jié)論.由此可見(jiàn)，想要解決一個(gè)新的問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為我們熟悉或已經(jīng)解決過(guò)的問(wèn)題，也就是轉(zhuǎn)化與劃歸思想，補(bǔ)充定理和推論的前提條件.預(yù)設(shè)：學(xué)生能發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的方法：轉(zhuǎn)化為已研究過(guò)的內(nèi)容.【設(shè)計(jì)意圖】既然等弧的前提是“同圓或等圓中”,研究完同圓中的四組量的關(guān)系，我們繼而研究等圓中的問(wèn)題，探究過(guò)程對(duì)多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)并不難，通過(guò)平移和旋轉(zhuǎn)的過(guò)程讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法.回歸圖形問(wèn)題10：回到開(kāi)始研究的圖形，這個(gè)圖中，已知，你還能發(fā)現(xiàn)哪些新的等量關(guān)系嗎？再次觀察圖形，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)多組新的角、線段、弧相等，變化圖形，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注研究對(duì)象的共性，動(dòng)態(tài)的圖形的本質(zhì)仍是四組量對(duì)應(yīng)相等的本質(zhì).定義弧的度數(shù)在剛才的過(guò)程中，我們感受到隨著圓心角的變化，它所對(duì)的弧也在均勻地變化，既然圓心角可以用度數(shù)刻畫(huà)，弧是否可以用度數(shù)刻畫(huà)呢？活動(dòng)3：通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，弧的度數(shù)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)并不難理解，故設(shè)計(jì)學(xué)生回歸課本，自學(xué)該部分內(nèi)容，并總結(jié)這兩段話.及時(shí)檢驗(yàn)：以這個(gè)圖為例：∠AOB的度數(shù)是60°，則弧AB的度數(shù)為？【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到圓是均勻的圖形，弧與圓心角十分對(duì)應(yīng)，所以每段弧也能用度數(shù)來(lái)表示.教師和學(xué)生在課堂都不應(yīng)該被課件牽著走，要引導(dǎo)學(xué)生適當(dāng)?shù)鼗貧w課本，關(guān)注課本內(nèi)容，給學(xué)生留有發(fā)展空間，并結(jié)合教師的指引思考知識(shí)間內(nèi)在聯(lián)系.典例示范，變式鞏固分析思路，教師示范課堂剛開(kāi)始的時(shí)候，我們發(fā)現(xiàn)了垂直于弦的直徑或者半徑也能平分圓心角,如圖1.，現(xiàn)在將頂點(diǎn)移動(dòng)到圓外，試試看，你能用我們剛學(xué)的定理或者推論解決這個(gè)問(wèn)題嗎？如圖2.例已知：如圖，點(diǎn)O是∠CAB平分線上的一點(diǎn),圓O分別交∠CAB兩邊于點(diǎn)B,D和點(diǎn)C,E.求證：BD=CE.圖1圖2圖3這個(gè)題目對(duì)很多學(xué)生有一定難度，由于受過(guò)去經(jīng)驗(yàn)的影響，學(xué)生很容易想到連接幾條半徑，利用全等，這樣不太容易解決這個(gè)問(wèn)題.教師可以提醒，這里要證明的線段BD、CE在圓中還是弦，那么證明弦相等，這節(jié)課有哪些方法？再利用角平分線的性質(zhì)定理，兩條垂線段相等在這里就是兩條弦心距相等，進(jìn)而得到弦相等，解決問(wèn)題.追問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)A恰好在圓上和非圓心的圓內(nèi)時(shí)，剛才的結(jié)論還成立嗎？這個(gè)問(wèn)題留給課后思考.【設(shè)計(jì)意圖】尊重學(xué)生的一般思路，對(duì)遇到的問(wèn)題不回避，通過(guò)對(duì)比不同方法體會(huì)這節(jié)課新的知識(shí)方法的優(yōu)越性.通過(guò)例題的分析與板書(shū)，教師提供示范作用，完成后總結(jié)證明弦相等的方法.當(dāng)點(diǎn)A在圓上以及非圓心的圓內(nèi)，引導(dǎo)學(xué)生分類討論要做到完善，并且滲透后面的圓周角和其他圓內(nèi)角.總結(jié)經(jīng)驗(yàn)?zāi)壳?，想要證明弦相等，我們前面學(xué)習(xí)的多邊形證明方法均適用，但通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們?cè)谕瑘A或等圓中，想要得到弦相等又有了三個(gè)新的方法，有時(shí)，可能會(huì)更加優(yōu)化.即時(shí)應(yīng)用變式如圖3，在例題的前提下，連接OE，若OE∥AB，CE為100°，求∠OAB的度數(shù).預(yù)設(shè)：為了體現(xiàn)教——學(xué)——評(píng)一體化，這里可以安排學(xué)生板書(shū)，其他學(xué)生完成后，互相評(píng)價(jià)；希沃手機(jī)助手上傳不同的方法，一題多解，做到對(duì)比，學(xué)生自我評(píng)價(jià).【設(shè)計(jì)意圖】在例題的基礎(chǔ)上添加特定位置的條件，考察學(xué)生對(duì)新知的掌握程度.《2022年版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“評(píng)價(jià)不僅要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)果，還要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)，改進(jìn)教師教學(xué)，采用多元的評(píng)價(jià)主體和多樣的評(píng)價(jià)方式，鼓勵(lì)學(xué)生自我監(jiān)控學(xué)習(xí)的過(guò)程和結(jié)果.”該部分是本節(jié)課知識(shí)的及時(shí)練習(xí)，評(píng)價(jià)應(yīng)做到多樣化：教師點(diǎn)評(píng)、學(xué)生互評(píng)、學(xué)生自評(píng).梳理小結(jié)，整體建構(gòu)通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你經(jīng)歷了怎樣的過(guò)程？通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你收獲了什么知識(shí)？通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你感悟了哪些思想方法？【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)知識(shí)，通過(guò)本節(jié)課的探索，幫助學(xué)生掌握幾何探索的方法，進(jìn)一步滲透數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).最后總結(jié)單元框圖培養(yǎng)學(xué)生對(duì)單元學(xué)習(xí)的整體、宏觀意識(shí).目標(biāo)檢測(cè)，作業(yè)設(shè)計(jì)（1）基礎(chǔ)作業(yè)：課本第26頁(yè)，第9，10題（2）選做作業(yè)：課本第25頁(yè)第6題，20頁(yè)第2題：探究作業(yè)：思維導(dǎo)圖總結(jié)圓的對(duì)稱性得來(lái)的知識(shí).【設(shè)計(jì)意圖】分層作業(yè)，滿足不同程度學(xué)生的學(xué)習(xí)需求.其中，提升作業(yè)將課堂重點(diǎn)研究的相等問(wèn)題拓展到不等的問(wèn)題：同圓中的不等的圓心角所對(duì)的弧、弦問(wèn)題，半徑不等的圓中相等圓心角所對(duì)的弧、弦問(wèn)題.自我評(píng)價(jià)【設(shè)計(jì)意圖】課堂最后采用學(xué)生自評(píng)的方式，融合“四基”“四能”和核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)，鼓勵(lì)學(xué)生自我監(jiān)控學(xué)習(xí)的過(guò)程和結(jié)果.板書(shū)設(shè)計(jì)、實(shí)際板書(shū)教學(xué)反思借助現(xiàn)代技術(shù)實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)教學(xué)本節(jié)課一大特點(diǎn)是從動(dòng)態(tài)的圖形中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，在靜態(tài)的圖形中解決問(wèn)題，總結(jié)出一般規(guī)律后再回到動(dòng)態(tài)的圖形中