線段的垂直平分線 教學設計

15.2線段的垂直平分線黃山市屯溪第六中學吳磊一、教學目標1.能夠利用尺規(guī)作圖作一條已知線段的垂直平分線，并能證明它的正確性；通過探究、猜想并證明線段垂直平分線的判定定理；2.經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，體會證明的必要性，增強證明的意識和能力；在定理的證明過程中，體會解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識；3.綜合運用線段的垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力；4.在學習過程中，培養(yǎng)學生的團隊協(xié)作與探究精神，增強學習數(shù)學的興趣；在數(shù)學學習中感受中華文化，增強文化自信.二、教學重難點重點：線段的垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理的證明.難點：線段垂直平分線尺規(guī)作法正確性的證明.教學過程（一）溫故導新、感悟定義1.前面我們學習了軸對稱圖形，線段是軸對稱圖形嗎？為什么？你能找出它的對稱軸嗎？（操作：對折透明紙上的線段AB，使點A與點B重合）線段是軸對稱圖形，折痕所在的直線就是這條線段的一條對稱軸。問題1：折痕所在直線是線段AB的一條對稱軸，該直線與線段AB有什么特殊的關(guān)系？問題2：設這條直線與線段AB的交點為O，O點在線段AB的什么位置？（中點，通過折紙驗證）問題3：這條直線與線段AB有什么位置關(guān)系？（垂直，通過折紙驗證）問題4：你能給出它的一個名稱和定義嗎？（垂直平分線）過線段中點且垂直于線段的直線叫做線段的垂直平分線，也叫中垂線.[設計意圖]由問題引入新課，既復習了軸對稱圖形的概念，又通過折紙活動發(fā)現(xiàn)線段對稱軸的特點，引導學生歸納定義，為學習新知做鋪墊.（二）合作交流、探究作圖任何一條線段都有垂直平分線，你能畫出線段的垂直平分線嗎？有哪些方法？（學生動手操作）方法一：通過折紙，畫出折痕所在的直線；方法二：先利用刻度尺找出線段的中點，再利用三角板過中點作垂線；PPT出示圖片（古建筑的房梁），古人是如何智慧地找到“垂直平分線”的？怎么利用尺規(guī)作圖作出線段的垂直平分線？利用圓規(guī)找一點C，使得CA=CB；如何確定一條直線？（兩個點）（學生自主探究，如何利用圓規(guī)找到符合要求的點）回顧尺規(guī)作圖的一般步驟有哪些？已知：線段AB.求作：直線CD，使CD⊥AB，且CD平分AB.作法：分別以點A和B為圓心，以大于AB的長為半徑畫弧，交于點C，D；作直線CD.（注意思考作圖中問題：為什么以大于AB的長為半徑畫弧）[設計意圖]引導學生將古建筑房梁構(gòu)造圖中蘊含的“智慧”應用到實際的尺規(guī)作圖中，增強學生的幾何直觀、應用意識，提高實踐能力，同時增強學生的文化自信.回顧尺規(guī)作圖的一般步驟，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)膶W習態(tài)度.（三）啟發(fā)引導、證明作法思考：這樣作出的直線CD就是線段AB的垂直平分線嗎？你能給出證明嗎？（學生獨立思考，教師適時指導）證明思路：證直線CD是線段AB的垂直平分線↓O是AB的中點，CD⊥AB↓AO=BO，∠AOC=∠BOC↓△AOC≌△BOC↓∠ACO=∠BCO↓△ACD≌△BCD（SSS）（同桌交流，口述證明過程）[設計意圖]運用推理論證的方法證明尺規(guī)作圖的正確性，同時在運用分析法分析證明思路中，多次把所求證的問題轉(zhuǎn)化成已知的知識來解決，提高學生分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學生的推理能力.（四）觀察演示、發(fā)現(xiàn)結(jié)論中垂線到線段交點O以及圖中點C、D與線段兩端點A、B的距離相等，即OA=OB，CA=CB，DA=DB.（特殊）你能猜想線段垂直平分線上的點有什么性質(zhì)嗎？（一般）猜想：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等.驗證：通過折紙或測量進行初步驗證，最后通過幾何畫板動態(tài)演示，驗證：隨著動點在線段垂直平分線上移動，動點與線段端點之間的距離也相應變化，但與兩端點距離始終相等.證明：根據(jù)命題畫出圖形，并寫出已知和求證，分析證明思路，最后寫出證明過程.思路：證明兩條線段相等→看成兩個三角形的邊→證明這兩個三角形全等（學生獨立完成證明過程的書寫，投影展示，并思考是否嚴謹）已知:如圖，直線MN經(jīng)過線段AB的中點O，且MN⊥AB，P是MN上任意一點.求證:PA=PB.證明:∵MN⊥AB(已知)∴∠AOP=∠BOP=90°(垂直定義)在△AOP與△BOP中,∴△AOP≌△BOP(SAS)∴PA=PB(全等三角形的對應邊相等)性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等.符號語言：∵點P是線段AB垂直平分線上的點∴PA=PB.或∵AO=BO，MN⊥AB∴PA=PB.[設計意圖]引導學生從中點出發(fā)，先猜想垂直平分線上點的性質(zhì)，然后通過測量、折紙、幾何畫板驗證猜想，再通過嚴格證明得到結(jié)論，體現(xiàn)了從特殊到一般及轉(zhuǎn)化的思想.同時注重符號語言，增強學生的符號意識.（五）再推定理、回歸作圖你能說出它的逆命題嗎？她得條件和結(jié)論分別是什么？逆命題：到線段兩端點的距離相等的點在線段垂直平分線上.證明：（學生探究交流，教師個別指導，最后請學生演示）預設證法一：過P點作AB的垂線，交AB于點C，證明點C是線段AB的中點；預設證法二：取AB中點C,作直線PC，證明PC⊥AB；預設證法三：從尺規(guī)作圖的圖中出發(fā)，得到結(jié)論.判定定理：到線段兩端點的距離相等的點在線段垂直平分線上.（判定垂直平分線需要證兩個點）反思：再次感受古人的智慧，即兩根一樣長的柱子就能確定垂直平分線上的點；推出不同的尺規(guī)作圖，感受數(shù)學中的簡潔美.[設計意圖]引導學生思考逆命題，通過證明確定判定定理，培養(yǎng)學生積極思考的數(shù)學分析能力.師生合作交流，體會解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識.通過反思，反芻作圖，感受古人智慧，體會數(shù)學的簡潔美，同時培養(yǎng)學生的應用意識.（六）例題分析、鞏固新知例已知:如圖所示,△ABC的邊AB、AC的垂直平分線相交于點P.求證:點P在BC的垂直平分線上.證明:連接PA、PB、PC.∵點P在AB、AC的垂直平分線上，（已知）∴PA=PB,PA=PC,（線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等）∴PB=PC,（等量代換）∴點P在BC的垂直平分線上.（到線段兩端點的距離相等的點在線段垂直平分線上）（引導學生用文字語言轉(zhuǎn)換，并注意與三角形角平分線、中線、高的整合，分析異同點）三角形三邊的垂直平分線相交于同一點，這個點到三角形三個頂點距離相等.[設計意圖]通過例題的分析講解，提高學生運用所學定理解決問題的能力，同時注重符號語言的規(guī)范性.（七）鞏固練習、發(fā)展思維公路同側(cè)的A、B兩村，共同出資在公路邊修建一個?？空綜，使?？空镜紸、B兩村的距離相等，請你確定?？空綜的位置.B村A村2.已知：AB⊥CD，DE⊥AC，垂足B、E分別是CD、AC的中點.求證：AC=DC.[設計意圖]通過練習，運用性質(zhì)定理解決實際問題，讓學生經(jīng)歷建模和應用的過程，感受學以致用.同時引導學生學會用執(zhí)果索因（分析法）的方法尋求證明思路.（八）課堂小結(jié)、歸納提升一個作法：尺規(guī)作圖；兩個定理：線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理；思想方法：轉(zhuǎn)化思想、從特殊到一般的研究方法.[設計意圖]通過對所學內(nèi)容的總結(jié)反思，明確所學知識和方法，更好地納入知識體系，提升思維能力水平.（九）分層作業(yè)，同步提高1.必做題：教材練習第1.2.3題；2.選做題：習題15.2第3.4題.3.操作題：根據(jù)本節(jié)課的知識自己動手用木條制作一個能直接畫出線段垂直平分線的工具.[設計意圖]分層作業(yè)，旨在提高中等生的知識能力，提升優(yōu)等生的思維能力，增加學生的數(shù)學素養(yǎng).教學反思（一）教學內(nèi)容本節(jié)課的內(nèi)容是學生已經(jīng)學習了命題與證明、全等三角形以及軸對稱圖形之后的新內(nèi)容，是以圖形的軸對稱為基礎，圍繞圖形的軸對稱性展開的。線段的垂直平分線的性質(zhì)是證明線段相等的重要手段。本節(jié)課也為后面學習等腰三角形的性質(zhì)做了鋪墊，同時為圓中垂徑分弦的學習奠定了基礎。（二）教學設計本節(jié)課從復習軸對稱圖形的定義出發(fā)，想到線段的對稱軸，從而引出線段的垂直平分線，自然生成。再由古人房梁的設計，智慧地想到如何用尺規(guī)作圖作線段的垂直平分線，并證明正確性，不僅培養(yǎng)了數(shù)學的嚴謹性，也自然而然地突破了教學難點。由垂直平分線上的特殊點猜想一般性質(zhì)并證明，得到了垂直平分線的性質(zhì)定理，緊接著證明逆命題的正確性得到判定定理，最后加以應用，連貫性地突出了教學重點。（三）思想方法本節(jié)課以陶行知“在做中學”的思想為載體，以學生為主體，通過創(chuàng)設問題串，不斷地突破重難點。通過幾何畫板的演示，引導學生猜想出性質(zhì)定理，滲透從特殊到一般的合情推理思想；定理證明多樣性的反思中滲透分類的思想；得出定理后文字語言、圖形語言和符號語言的轉(zhuǎn)換