2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)三角函數(shù)三角恒等變換題型大全

第五節(jié)三角恒等變換突破點(diǎn)(一)三角函數(shù)的化簡求值基礎(chǔ)聯(lián)通1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)C(α＋β)S(α－β)S(α＋β)T(α－β)；變形：T(α＋β)；變形：2.二倍角公式S2αsin2α＝α；變形：C2αcos2α＝變形：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)T2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)三角函數(shù)式的化簡[例1]已知α∈(0，π)，化簡：eq\f(1＋sinα＋cosα·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)－sin\f(α,2))),\r(2＋2cosα))＝________.三角函數(shù)的給角求值[例2]求值：(1)eq\f(1＋cos20°,2sin20°)－sin10°（eq\f(1,tan5°)－tan5°）；(2)sin50°(1＋eq\r(3)tan10°)．能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])計算：eq\f(1－cos210°,cos80°\r(1－cos20°))＝()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(2),2)2.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])(1＋tan18°)·(1＋tan27°)的值是()A.eq\r(3)B．1＋eq\r(2)C．2 D．2(tan18°＋tan27°)3.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一])化簡：eq\f(sin2α＋cos2α－1sin2α－cos2α＋1,sin4α)＝________.4.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一])化簡：eq\f(2cos4x－2cos2x＋\f(1,2),2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)))＝________.突破點(diǎn)(二)三角函數(shù)的條件求值給值求值問題[例1]已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))·cos（eq\f(π,3)－α）＝－eq\f(1,4)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))).(1)求sin2α的值；(2)求tanα－eq\f(1,tanα)的值．給值求角問題[例2](1)設(shè)α，β為鈍角，且sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝－eq\f(3\r(10),10)，則α＋β的值為()A.eq\f(3π,4)B.eq\f(5π,4)C.eq\f(7π,4) D.eq\f(5π,4)或eq\f(7π,4)(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7)，則2α－β的值為________．能力練通1.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一])已知sin2α＝eq\f(1,3)，則cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C．－eq\f(2,3) D．－eq\f(1,3)2.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一])若α，β都是銳角，且cosα＝eq\f(\r(5),5)，sin(α－β)＝eq\f(\r(10),10)，則cosβ＝()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(2),10)C.eq\f(\r(2),2)或－eq\f(\r(2),10) D.eq\f(\r(2),2)或eq\f(\r(2),10)3.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])若sin2α＝eq\f(\r(5),5)，sin(β－α)＝eq\f(\r(10),10)，且α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))，β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，則α＋β的值是()A.eq\f(7π,4)B.eq\f(9π,4)C.eq\f(5π,4)或eq\f(7π,4) D.eq\f(5π,4)或eq\f(9π,4)4.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])若銳角α，β滿足(1＋eq\r(3)tanα)(1＋eq\r(3)tanβ)＝4，則α＋β＝________.5.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一])已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且sineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2)＝eq\f(\r(6),2).(1)求cosα的值；(2)若sin(α－β)＝－eq\f(3,5)，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，求cosβ的值．跟蹤練習(xí)1、1.判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.()(2)存在實(shí)數(shù)α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立.()(3)公式tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)可以變形為tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且對任意角α，β都成立.()(4)存在實(shí)數(shù)α，使tan2α＝2tanα.()2.(2016·全國Ⅲ卷)若tanθ＝－eq\f(1,3)，則cos2θ＝()A.－eq\f(4,5) B.－eq\f(1,5) C.eq\f(1,5) D.eq\f(4,5)3.(2015·重慶卷)若tanα＝eq\f(1,3)，tan(α＋β)＝eq\f(1,2)，則tanβ等于()A.eq\f(1,7) B.eq\f(1,6) C.eq\f(5,7) D.eq\f(5,6)4.(2017·廣州調(diào)研)已知sinα＋cosα＝eq\f(1,3)，則sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝()A.eq\f(1,18) B.eq\f(17,18) C.eq\f(8,9) D.eq\f(\r(2),9)5.(必修4P137A13(5)改編)sin347°cos148°＋sin77°·cos58°＝________.6.(2017·寧波調(diào)研)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝－eq\f(1,3)，θ為銳角，則sin2θ＝________，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,3)))＝________.7三角函數(shù)式的化簡(1)(2017·杭州模擬)cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝()A.sin(α＋2β) B.sinαC.cos(α＋2β) D.cosα(2)化簡：eq\f(（1＋sinα＋cosα）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)－sin\f(α,2))),\r(2＋2cosα))(0<α<π)＝________.8、(1)eq\r(2＋2cos8)＋2eq\r(1－sin8)的化簡結(jié)果是________.(2)化簡：eq\f(2cos4α－2cos2α＋\f(1,2),2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)))＝________.9、三角函數(shù)式的求值(1)[2sin50°＋sin10°(1＋eq\r(3)tan10°)]·eq\r(2sin280)＝________.(2)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(3,5)，eq\f(17π,12)<α<eq\f(7π,4)，則eq\f(sin2α＋2sin2α,1－tanα)的值為________.(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7)，則2α－β的值為________.10、(1)4cos50°－tan40°＝()A.eq\r(2) B.eq\f(\r(2)＋\r(3),2)C.eq\r(3) D.2eq\r(2)－1(2)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＋sinα＝－eq\f(4\r(3),5)，－eq\f(π,2)<α<0，則cosα的值為________.(3)(2017·紹興月考)已知cosα＝eq\f(1,7)，cos(α－β)＝eq\f(13,14)(0<β<α<eq\f(π,2))，則tan2α＝________，β＝________.突破點(diǎn)(三)三角恒等變換的綜合問題三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問題[典例]已知向量m＝(sinx,1)，n＝（eq\r(3)Acosx，eq\f(A,2)cos2x）(A>0)，函數(shù)f(x)＝m·n的最大值為6.(1)求A；(2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移eq\f(π,12)個單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的eq\f(1,2)倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,24)))上的值域．能力練通1．已知函數(shù)f(x)＝2sinxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，求函數(shù)f(x)的值域．2．已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sinωx－cosωx－1，x∈R(其中ω>0)．(1)求函數(shù)f(x)的值域；(2)若函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝－1的兩個相鄰交點(diǎn)間的距離為eq\f(π,2)，求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間．3．已知函數(shù)f(x)＝2cos2ωx－1＋2eq\r(3)sinωxcosωx(0<ω<1)，直線x＝eq\f(π,3)是函數(shù)f(x)的圖象的一條對稱軸．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)已知函數(shù)y＝g(x)的圖象是由y＝f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，然后再向左平移eq\f(2π,3)個單位長度得到的，若geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝eq\f(6,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求sinα的值．[課時達(dá)標(biāo)檢測][練基礎(chǔ)小題——強(qiáng)化運(yùn)算能力]1．(2017·麗水模擬)計算eq\f(sin110°sin20°,cos2155°－sin2155°)的值為()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)2．(2017·臨安中學(xué)高三月考)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(1,2)，－eq\f(π,2)＜α＜0，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))的值是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C．－eq\f(1,2) D．13．(2017·江西新余三校聯(lián)考)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))＝－eq\f(7,8)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的值為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(7,8)C．±eq\f(1,4) D．±eq\f(7,8)4．已知sin（eq\f(π,6)－α）＝eq\f(1,3)，則cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))的值是()A.eq\f(7,9)B.eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(7,9)5．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＋sinα＝eq\f(4\r(3),5)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(7π,6)))的值是________．[練常考題點(diǎn)——檢驗(yàn)高考能力]一、選擇題1．已知sin2α＝eq\f(1,3)，則cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝()A．－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C．－eq\f(2,3) D.eq\f(2,3)2．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝－eq\f(\r(3),3)，則cosx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝()A．－eq\f(2\r(3),3)B．±eq\f(2\r(3),3)C．－1 D．±13．若tanα＝2taneq\f(π,5)，則eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,5))))＝()A．1B．2C．3 D．44．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(7\r(2),10)，cos2α＝eq\f(7,25)，則sinα＝()A.eq\f(4,5)B．－eq\f(4,5)C.eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)5．在斜三角形ABC中，sinA＝－eq\r(2)cosB·cosC，且tanB·tanC＝1－eq\r(2)，則角A的值為()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2)D.eq\f(3π,4)6．(2017·浙江金麗衢十二校聯(lián)考)已知銳角α，β滿足sinα－cosα＝eq\f(1,6)，tanα＋tanβ＋eq\r(3)·tanαtanβ＝eq\r(3)，則α，β的大小關(guān)系是()A．α<eq\f(π,4)<βB．β<eq\f(π,4)<αC.eq\f(π,4)<α<β D.eq\f(π,4)<β<α二、填空題7．函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))－2eq\r(2)sin2x的最小正周期是________．8．已知cos4α－sin4α＝eq\f(2,3)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝________.9．已知tanα，tanβ是方程x2＋3eq\r(3)x＋4＝0的兩根，且α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，則α＋β＝________.10．若0<α<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<β<0，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1,3)，cos（eq\f(π,4)－eq\f(β,2)）＝eq\f(\r(3),3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))＝________.三、解答題11．已知函數(shù)f(x)＝cos2x＋sinxcosx，x∈R.(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))的值；(2)若sinα＝eq\f(3,5)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋\f(π,24))).12．已知函數(shù)f(x)＝4tanxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))－eq\r(3).(1)求f(x)的定義域與最小正周期；(2)討論f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的單調(diào)性．本節(jié)主要包括3個知識點(diǎn)：1.三角函數(shù)的化簡求值；2.三角函數(shù)的條件求值；3.三角恒等變換的綜合問題.答案第五節(jié)本節(jié)主要包括3個知識點(diǎn)：1.三角函數(shù)的化簡求值；2.三角函數(shù)的條件求值；3.三角恒等變換的綜合問題.突破點(diǎn)(一)三角函數(shù)的化簡求值基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβC(α＋β)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_βS(α－β)sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_βS(α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_βT(α－β)tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)；變形：tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)T(α＋β)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)；變形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)2.二倍角公式S2αsin2α＝2sin_αcos_α；變形：1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2C2αcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；變形：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)T2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“神”三角函數(shù)式的化簡1.三角函數(shù)式化簡的一般要求：(1)函數(shù)名稱盡可能少；(2)項(xiàng)數(shù)盡可能少；(3)盡可能不含根式；(4)次數(shù)盡可能低、盡可能求出值．2．常用的基本變換方法有：異角化同角、異名化同名、異次化同次，降冪或升冪，“1”的代換，弦切互化等．[例1]已知α∈(0，π)，化簡：eq\f(1＋sinα＋cosα·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)－sin\f(α,2))),\r(2＋2cosα))＝________.[解析]原式＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cos\f(α,2)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)－sin\f(α,2))),\r(4cos2\f(α,2))).因?yàn)棣痢?0，π)，所以eq\f(α,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以coseq\f(α,2)>0，所以原式＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cos\f(α,2)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)－sin\f(α,2))),2cos\f(α,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)－sin\f(α,2)))＝cos2eq\f(α,2)－sin2eq\f(α,2)＝cosα.[答案]cosα[方法技巧]三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則三角函數(shù)的給角求值[例2]求值：(1)eq\f(1＋cos20°,2sin20°)－sin10°eq\f(1,tan5°)－tan5°；(2)sin50°(1＋eq\r(3)tan10°)．[解](1)原式＝eq\f(2cos210°,2×2sin10°cos10°)－sin10°eq\f(cos5°,sin5°)－eq\f(sin5°,cos5°)＝eq\f(cos10°,2sin10°)－sin10°·eq\f(cos25°－sin25°,sin5°cos5°)＝eq\f(cos10°,2sin10°)－sin10°·eq\f(cos10°,\f(1,2)sin10°)＝eq\f(cos10°,2sin10°)－2cos10°＝eq\f(cos10°－2sin20°,2sin10°)＝eq\f(cos10°－2sin30°－10°,2sin10°)＝eq\f(cos10°－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°－\f(\r(3),2)sin10°)),2sin10°)＝eq\f(\r(3)sin10°,2sin10°)＝eq\f(\r(3),2).(2)sin50°(1＋eq\r(3)tan10°)＝sin50°(1＋tan60°·tan10°)＝sin50°·eq\f(cos60°cos10°＋sin60°sin10°,cos60°cos10°)＝sin50°·eq\f(cos60°－10°,cos60°cos10°)＝eq\f(2sin50°cos50°,cos10°)＝eq\f(sin100°,cos10°)＝eq\f(cos10°,cos10°)＝1.[方法技巧]給角求值問題的解題規(guī)律解決給角求值問題的關(guān)鍵是兩種變換：一是角的變換，注意各角之間是否具有和差關(guān)系、互補(bǔ)(余)關(guān)系、倍半關(guān)系，從而選擇相應(yīng)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把非特殊角的三角函數(shù)相約或相消，從而轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)；二是結(jié)構(gòu)變換，在熟悉各種公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、符號特征的基礎(chǔ)上，結(jié)合所求式子的特點(diǎn)合理地進(jìn)行變形．能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])計算：eq\f(1－cos210°,cos80°\r(1－cos20°))＝()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(2),2)解析：選Aeq\f(1－cos210°,cos80°\r(1－cos20°))＝eq\f(sin210°,sin10°\r(1－1－2sin210°))＝eq\f(sin210°,\r(2)sin210°)＝eq\f(\r(2),2).2.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])(1＋tan18°)·(1＋tan27°)的值是()A.eq\r(3) B．1＋eq\r(2)C．2 D．2(tan18°＋tan27°)解析：選C原式＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝1＋tan18°tan27°＋tan45°(1－tan18°tan27°)＝2，故選C.3.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一])化簡：eq\f(sin2α＋cos2α－1sin2α－cos2α＋1,sin4α)＝________.解析：eq\f(sin2α＋cos2α－1sin2α－cos2α＋1,sin4α)＝eq\f(sin22α－cos2α－12,2sin2α·cos2α)＝eq\f(sin22α－cos22α＋2cos2α－1,2sin2α·cos2α)＝eq\f(－2cos22α＋2cos2α,2sin2α·cos2α)＝eq\f(1－cos2α,sin2α)＝eq\f(2sin2α,2sinαcosα)＝eq\f(sinα,cosα)＝tanα.答案：tanα4.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一])化簡：eq\f(2cos4x－2cos2x＋\f(1,2),2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)))＝________.解析：原式＝eq\f(－2sin2xcos2x＋\f(1,2),\f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))))＝eq\f(\f(1,2)1－sin22x,2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)))＝eq\f(\f(1,2)cos22x,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x)))＝eq\f(1,2)cos2x.答案：eq\f(1,2)cos2x突破點(diǎn)(二)三角函數(shù)的條件求值考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“神”給值求值問題[例1](2017·合肥模擬)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))·coseq\f(π,3)－α＝－eq\f(1,4)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))).(1)求sin2α的值；(2)求tanα－eq\f(1,tanα)的值．[解](1)∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝coseq\f(π,6)＋α·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝－eq\f(1,4)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝－eq\f(1,2).∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，∴2α＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(4π,3)))，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2)，∴sin2α＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))－\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))coseq\f(π,3)－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))sineq\f(π,3)＝eq\f(1,2).(2)∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，∴2α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))，又由(1)知sin2α＝eq\f(1,2)，∴cos2α＝－eq\f(\r(3),2).∴tanα－eq\f(1,tanα)＝eq\f(sinα,cosα)－eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(sin2α－cos2α,sinαcosα)＝eq\f(－2cos2α,sin2α)＝－2×eq\f(－\f(\r(3),2),\f(1,2))＝2eq\r(3).[方法技巧]給值求值問題的求解思路(1)先化簡所求式子；(2)觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系(從三角函數(shù)名及角入手)；(3)將已知條件代入所求式子，化簡求值．給值求角問題[例2](1)設(shè)α，β為鈍角，且sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝－eq\f(3\r(10),10)，則α＋β的值為()A.eq\f(3π,4) B.eq\f(5π,4)C.eq\f(7π,4) D.eq\f(5π,4)或eq\f(7π,4)(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7)，則2α－β的值為________．[解析](1)∵α，β為鈍角，sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝－eq\f(3\r(10),10)，∴cosα＝eq\f(－2\r(5),5)，sinβ＝eq\f(\r(10),10)，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\f(\r(2),2)>0.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，∴α＋β＝eq\f(7π,4).(2)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝eq\f(tanα－β＋tanβ,1－tanα－βtanβ)＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,7),1＋\f(1,2)×\f(1,7))＝eq\f(1,3)>0，∴0<α<eq\f(π,2).又∵tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×\f(1,3),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝eq\f(3,4)>0，∴0<2α<eq\f(π,2)，∴tan(2α－β)＝eq\f(tan2α－tanβ,1＋tan2αtanβ)＝eq\f(\f(3,4)＋\f(1,7),1－\f(3,4)×\f(1,7))＝1.∵tanβ＝－eq\f(1,7)<0，∴eq\f(π,2)<β<π，∴－π<2α－β<0，∴2α－β＝－eq\f(3π,4).[答案](1)C(2)－eq\f(3π,4)[方法技巧]給值求角時選取函數(shù)的原則和解題步驟(1)通過先求角的某個三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時，遵照以下原則：①已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；②已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)．若角的范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，選正、余弦函數(shù)皆可；若角的范圍是(0，π)，選余弦函數(shù)較好；若角的范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，選正弦函數(shù)較好．(2)解給值求角問題的一般步驟：①求角的某一個三角函數(shù)值；②確定角的范圍；③根據(jù)角的范圍寫出所求的角的大?。芰毻ㄗ?yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一])已知sin2α＝eq\f(1,3)，則cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C．－eq\f(2,3) D．－eq\f(1,3)解析：選Bcos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,2))),2)＝eq\f(1＋sin2α,2)＝eq\f(1＋\f(1,3),2)＝eq\f(2,3).2.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一])(2017·杭州模擬)若α，β都是銳角，且cosα＝eq\f(\r(5),5)，sin(α－β)＝eq\f(\r(10),10)，則cosβ＝()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(2),10)C.eq\f(\r(2),2)或－eq\f(\r(2),10) D.eq\f(\r(2),2)或eq\f(\r(2),10)解析：選A∵α，β都是銳角，且cosα＝eq\f(\r(5),5)，sin(α－β)＝eq\f(\r(10),10)，∴sinα＝eq\f(2\r(5),5)，cos(α－β)＝eq\f(3\r(10),10)，從而cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝eq\f(\r(2),2)，故選A.3.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])(2017·臺州模擬)若sin2α＝eq\f(\r(5),5)，sin(β－α)＝eq\f(\r(10),10)，且α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))，β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，則α＋β的值是()A.eq\f(7π,4) B.eq\f(9π,4)C.eq\f(5π,4)或eq\f(7π,4) D.eq\f(5π,4)或eq\f(9π,4)解析：選A因?yàn)棣痢蔱q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))，所以2α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，2π))，又sin2α＝eq\f(\r(5),5)，所以2α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，故cos2α＝－eq\f(2\r(5),5).又β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，所以β－α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,4)))，故cos(β－α)＝－eq\f(3\r(10),10).所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2α·cos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－eq\f(2\r(5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(10),10)))－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2)，又α＋β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)，2π))，故α＋β＝eq\f(7π,4).4.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])若銳角α，β滿足(1＋eq\r(3)tanα)(1＋eq\r(3)tanβ)＝4，則α＋β＝________.解析：因?yàn)?1＋eq\r(3)tanα)(1＋eq\r(3)tanβ)＝4，所以1＋eq\r(3)(tanα＋tanβ)＋3tanαtanβ＝4，即eq\r(3)(tanα＋tanβ)＝3－3tanαtanβ＝3(1－tanαtanβ)，即tanα＋tanβ＝eq\r(3)(1－tanαtanβ)．∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\r(3).又∵α，β為銳角，∴α＋β＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)5.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一])已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且sineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2)＝eq\f(\r(6),2).(1)求cosα的值；(2)若sin(α－β)＝－eq\f(3,5)，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，求cosβ的值．解：(1)已知sineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2)＝eq\f(\r(6),2)，兩邊同時平方，得1＋2sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)＝eq\f(3,2)，則sinα＝eq\f(1,2).又eq\f(π,2)<α<π，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(\r(3),2).(2)因?yàn)閑q\f(π,2)<α<π，eq\f(π,2)<β<π，所以－eq\f(π,2)<α－β<eq\f(π,2).又sin(α－β)＝－eq\f(3,5)，所以cos(α－β)＝eq\f(4,5).則cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝－eq\f(\r(3),2)×eq\f(4,5)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－eq\f(4\r(3)＋3,10).突破點(diǎn)(三)三角恒等變換的綜合問題利用三角恒等變換將三角函數(shù)化簡后研究圖象及性質(zhì)是高考的熱點(diǎn)．在高考中以解答題的形式出現(xiàn)，考查三角函數(shù)的值域、最值、單調(diào)性、周期、奇偶性、對稱性等問題.考點(diǎn)貫通抓高考命題的“形”與“神”三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問題[典例]已知向量m＝(sinx,1)，n＝eq\r(3)Acosx，eq\f(A,2)cos2x(A>0)，函數(shù)f(x)＝m·n的最大值為6.(1)求A；(2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移eq\f(π,12)個單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的eq\f(1,2)倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,24)))上的值域．[解](1)f(x)＝m·n＝eq\r(3)Asinxcosx＋eq\f(A,2)cos2x＝Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sin2x＋\f(1,2)cos2x))＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).因?yàn)锳>0，由題意知A＝6.(2)由(1)知f(x)＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移eq\f(π,12)個單位后得到y(tǒng)＝6sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))＋\f(π,6)))＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象；再將得到圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的eq\f(1,2)倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,3)))的圖象．因此g(x)＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,3))).因?yàn)閤∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,24)))，所以4x＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(7π,6)))，故g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,24)))上的值域?yàn)閇－3,6]．[方法技巧]三角恒等變換在三角函數(shù)圖象和性質(zhì)中的應(yīng)用(1)圖象變換問題先根據(jù)和角公式、倍角公式把函數(shù)表達(dá)式變?yōu)檎倚秃瘮?shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋t或余弦型函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式，再進(jìn)行圖象變換．(2)函數(shù)性質(zhì)問題求函數(shù)周期、最值、單調(diào)區(qū)間的方法步驟：①利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式化成y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式；②利用公式T＝eq\f(2π,ω)(ω>0)求周期；③根據(jù)自變量的范圍確定ωx＋φ的范圍，根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值，另外求最值時，根據(jù)所給關(guān)系式的特點(diǎn)，也可換元轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值；④根據(jù)正、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間列不等式求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的單調(diào)區(qū)間．能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失”1．已知函數(shù)f(x)＝2sinxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，求函數(shù)f(x)的值域．解：(1)f(x)＝2sinxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinx＋\f(1,2)cosx))＝eq\r(3)×eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(1,2)sin2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋eq\f(\r(3),2).所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝π.由－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得－eq\f(π,12)＋kπ≤x≤eq\f(5π,12)＋kπ，k∈Z，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)＋kπ，\f(5π,12)＋kπ))，k∈Z.(2)當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，2x－eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1))，f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，1＋\f(\r(3),2))).故f(x)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，1＋\f(\r(3),2))).2．已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sinωx－cosωx－1，x∈R(其中ω>0)．(1)求函數(shù)f(x)的值域；(2)若函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝－1的兩個相鄰交點(diǎn)間的距離為eq\f(π,2)，求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間．解：(1)f(x)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinωx－\f(1,2)cosωx))－1＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))－1.由－1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))≤1，得－3≤2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))－1≤1.所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇－3,1]．(2)由題設(shè)條件及三角函數(shù)圖象和性質(zhì)可知，y＝f(x)的周期為π，所以eq\f(2π,ω)＝π，即ω＝2.所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))－1，由2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得kπ－eq\f(π,6)≤x≤kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)．所以函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)．3．已知函數(shù)f(x)＝2cos2ωx－1＋2eq\r(3)sinωxcosωx(0<ω<1)，直線x＝eq\f(π,3)是函數(shù)f(x)的圖象的一條對稱軸．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)已知函數(shù)y＝g(x)的圖象是由y＝f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，然后再向左平移eq\f(2π,3)個單位長度得到的，若geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝eq\f(6,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求sinα的值．解：(1)f(x)＝cos2ωx＋eq\r(3)sin2ωx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,6)))，由于直線x＝eq\f(π,3)是函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,6)))的圖象的一條對稱軸，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)ω＋\f(π,6)))＝±1，因此eq\f(2π,3)ω＋eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，解得ω＝eq\f(3,2)k＋eq\f(1,2)(k∈Z)，又0<ω<1，所以ω＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))).由2kπ－eq\f(π,2)≤x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得2kπ－eq\f(2π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為2kπ－eq\f(2π,3)，2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)．(2)由題意可得g(x)＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2π,3)))＋\f(π,6)))，即g(x)＝2coseq\f(x,2)，由geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝2coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(6,5)，得coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(3,5)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，故eq\f(π,6)<α＋eq\f(π,6)<eq\f(2π,3)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，所以sinα＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))·coseq\f(π,6)－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))·sineq\f(π,6)＝eq\f(4,5)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(4\r(3)－3,10).[課時達(dá)標(biāo)檢測]重點(diǎn)保分課時——一練小題夯雙基，二練題點(diǎn)過高考[練基礎(chǔ)小題——強(qiáng)化運(yùn)算能力]1．(2017·麗水模擬)計算eq\f(sin110°sin20°,cos2155°－sin2155°)的值為()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)解析：選Beq\f(sin110°sin20°,cos2155°－sin2155°)＝eq\f(sin70°sin20°,cos310°)＝eq\f(cos20°sin20°,cos50°)＝eq\f(\f(1,2)sin40°,sin40°)＝eq\f(1,2).2．(2017·臨安中學(xué)高三月考)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(1,2)，－eq\f(π,2)＜α＜0，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))的值是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)C．－eq\f(1,2) D．1解析：選C由已知得cosα＝eq\f(1,2)，sinα＝－eq\f(\r(3),2)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα＝－eq\f(1,2).3．(2017·江西新余三校聯(lián)考)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))＝－eq\f(7,8)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的值為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(7,8)C．±eq\f(1,4) D．±eq\f(7,8)解析：選C因?yàn)閏oseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))＝eq\f(7,8)，所以有sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,8)))＝eq\f(1,16)，從而求得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的值為±eq\f(1,4)，故選C.4．已知sineq\f(π,6)－α＝eq\f(1,3)，則cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))的值是()A.eq\f(7,9) B.eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(7,9)解析：選D∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(1,3)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2α))＝cos2eq\f(π,6)－α＝1－2sin2eq\f(π,6)－α＝eq\f(7,9)，∴cos2eq\f(π,3)＋α＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋2α))＝cosπ－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2α))＝－coseq\f(π,3)－2α＝－eq\f(7,9).5．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＋sinα＝eq\f(4\r(3),5)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(7π,6)))的值是________．解析：∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＋sinα＝eq\f(4\r(3),5)，∴sineq\f(π,3)cosα＋coseq\f(π,3)sinα＋sinα＝eq\f(4\r(3),5)，∴eq\f(3,2)sinα＋eq\f(\r(3),2)cosα＝eq\f(4\r(3),5)，即eq\f(\r(3),2)sinα＋eq\f(1,2)cosα＝eq\f(4,5)，故sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(7π,6)))＝sinαcoseq\f(7π,6)＋cosαsineq\f(7π,6)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinα＋\f(1,2)cosα))＝－eq\f(4,5).答案：－eq\f(4,5)[練?？碱}點(diǎn)——檢驗(yàn)高考能力]一、選擇題1．已知sin2α＝eq\f(1,3)，則cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝()A．－eq\f(1,3) B.eq\f(1,3)C．－eq\f(2,3) D.eq\f(2,3)解析：選D依題意得cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝cosαcoseq\f(π,4)＋sinαsineq\f(π,4)2＝eq\f(1,2)(cosα＋sinα)2＝eq\f(1,2)(1＋sin2α)＝eq\f(2,3).2．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝－eq\f(\r(3),3)，則cosx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝()A．－eq\f(2\r(3),3) B．±eq\f(2\r(3),3)C．－1 D．±1解析：選C∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝－eq\f(\r(3),3)，∴cosx＋cosx－eq\f(π,3)＝cosx＋cosxcoseq\f(π,3)＋sinxsineq\f(π,3)＝eq\f(3,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosx＋\f(1,2)sinx))＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝eq\r(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)))＝－1.3．若tanα＝2taneq\f(π,5)，則eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,5))))＝()A．1B．2C．3 D．4解析：選Ceq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,5))))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(3π,10)＋\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,5))))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,5))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,5))))＝eq\f(sinαcos\f(π,5)＋cosαsin\f(π,5),sinαcos\f(π,5)－cosαsin\f(π,5))＝eq\f(\f(sinα,cosα)cos\f(π,5)＋sin\f(π,5),\f(sinα,cosα)cos\f(π,5)－sin\f(π,5))＝eq\f(2·\f(sin\f(π,5),cos\f(π,5))cos\f(π,5)＋sin\f(π,5),2·\f(sin\f(π,5),cos\f(π,5))cos\f(π,5)－sin\f(π,5))＝eq\f(3sin\f(π,5),sin\f(π,5))＝3，故選C.4．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(7\r(2),10)，cos2α＝eq\f(7,25)，則sinα＝()A.eq\f(4,5) B．－eq\f(4,5)C.eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)解析：選C由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(7\r(2),10)得sinα－cosα＝eq\f(7,5)，①由cos2α＝eq\f(7,25)得cos2α－sin2α＝eq\f(7,25)，所以(cosα－sinα)·(cosα＋sinα)＝eq\f(7,25)，②由①②可得cosα＋sinα＝－eq\f(1,5)，③由①③可得sinα＝eq\f(3,5).5．在斜三角形ABC中，sinA＝－eq\r(2)cosB·cosC，且tanB·tanC＝1－eq\r(2)，則角A的值為()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2)D.eq\f(3π,4)解析：選A由題意知，sinA＝－eq\r(2)cosB·cosC＝sin(B＋C)＝sinB·cosC＋cosB·sinC，在等式－eq\r(2)cosB·cosC＝sinB·cosC＋cosB·sinC兩邊同除以cosB·cosC得tanB＋tanC＝－eq\r(2)，又tanB·tanC＝1－eq\r(2)，所以tan(B＋C)＝eq\f(tanB＋tanC,1－tanBtanC)＝－1.由已知，有tanA＝－tan(B＋C)，則tanA＝1，所以A＝eq\f(π,4).6．(2017·浙江金麗衢十二校聯(lián)考)已知銳角α，β滿足sinα－cosα＝eq\f(1,6)，tanα＋tanβ＋eq\r(3)·tanαtanβ＝eq\r(3)，則α，β的大小關(guān)系是()A．α<eq\f(π,4)<β B．β<eq\f(π,4)<αC.eq\f(π,4)<α<β D.eq\f(π,4)<β<α解析：選B∵α為銳角，sinα－cosα＝eq\f(1,6)，∴α>eq\f(π,4).又tanα＋tanβ＋eq\r(3)tanαtanβ＝eq\r(3)，∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\r(3)，∴α＋β＝eq\f(π,3)，又α>eq\f(π,4)，∴β<eq\f(π,4)<α.二、填空題7．函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))－2eq\r(2)sin2x的最小正周期是________．解析：∵f(x)＝eq\f(\r(2),2)sin2x－eq\f(\r(2),2)cos2x－eq\r(2)(1－cos2x)＝eq\f(\r(2),2)sin2x＋eq\f(\r(2),2)cos2x－eq\r(2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))－eq\r(2)，∴f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.答案：π8．已知cos4α－sin4α＝eq\f(2,3)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝________.解析：∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝cos2α＝eq\f(2,3)>0，∴2α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴sin2α＝eq\r(1－cos22α)＝eq\f(\r(5),3)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝eq\f(1,2)cos2α－eq\f(\r(3),2)sin2α＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)－eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(5),3)＝eq\f(2－\r(15),6).答案：eq\f(2－\r(15),6)9．已知tanα，tanβ是方程x2＋3eq\r(3)x＋4＝0的兩根，且α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，則α＋β＝________.解析：由題意得tanα＋tanβ＝－3eq\r(3)<0，tanα·tanβ＝4>0，∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋