數(shù)學：《圓錐曲線與方程》知識點串講

《圓錐曲線與方程》（理）知識點串講一、橢圓1．橢圓的定義文字敘述：平面內(nèi)與兩個定點，的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距．數(shù)學語言：集合，其中，，，，為常數(shù)，則集合表示以，為焦點的橢圓．注意：（1）與圓的定義（平面內(nèi)到一個定點的距離等于定長的點的軌跡）類比可知：二者的定義方式一致———都是通過對平面內(nèi)與定點的距離滿足某些條件的動點的軌跡研究得出的．（2）注意橢圓定義中的限制條件：當時，點的軌跡為線段；當時，點的軌跡不存在（或不表示任何圖形）．2．兩種標準方程（1），焦點在軸上；（2），焦點在軸上．注意：（1）參數(shù)關系：，，中最大．（2）判斷焦點位置的方法：①橢圓的焦點在軸上標準方程中項的分母較大；②橢圓的焦點在軸上標準方程中項的分母較大．3．橢圓方程的一般形式，其焦點位置有如下規(guī)律：當時，焦點在軸上；當時，焦點在軸上．注意：在求橢圓的標準方程時，有時不知焦點在哪一個坐標軸上時，一般可設所求橢圓的標準方程為，不必考慮焦點位置，用待定系數(shù)法求出的值即可．如：求焦點在坐標軸上，且經(jīng)過和兩點的橢圓的標準方程．4．理解橢圓應注意的幾點（1）橢圓的兩個焦點總在它的長軸上．（2）離心率的大小對橢圓形狀的影響：∵．∴當趨近于1時，變小且越接近于，橢圓越扁平；當趨近于時，變大且越接近于１，橢圓越圓．二、雙曲線1．雙曲線的定義文字敘述：在平面內(nèi)到兩個定點，距離之差的絕對值等于常數(shù)（小于）的點的軌跡叫做雙曲線，這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫做雙曲線的焦距．數(shù)學語言描述：集合，其中，，，為常數(shù)，則集合表示以，為焦點的雙曲線．注意：（1）定義中的限制條件．當時，點的軌跡為以，為端點的兩條射線；當時，軌跡不存在（或不表示任何圖形）；當時，點的軌跡是線段的垂直平分線．（2）定義中的“絕對值”必不可少．若有“絕對值”，點的軌跡表示雙曲線的兩支；若去掉“絕對值”，點的軌跡僅為雙曲線的一支．2．兩種標準方程（1），焦點在軸上；（2），焦點在軸上．注意：雙曲線與橢圓標準方程的不同：（1）“＋”、“－”號不同：橢圓標準方程中是“＋”號，雙曲線標準方程中是“－”號；（2）的大小關系不同：橢圓標準方程中，而雙曲線中大小不確定；（3）關系不同：橢圓標準方程中，而雙曲線中．3．雙曲線方程的一般形式，其焦點位置有如下規(guī)律：當，時，焦點在軸上；當，時，焦點在軸上．注意：當不知焦點在哪個坐標軸上，求標準方程時常用此形式．如：求焦點在坐標軸上，且經(jīng)過和的雙曲線的標準方程．4．理解雙曲線應注意的幾點（1）橢圓的離心率是描述橢圓扁平程度的一個重要數(shù)據(jù)．同樣，雙曲線的離心率是描述雙曲線“張口”大小的一個重要數(shù)據(jù)，由于，當從接近1逐漸增大時，的值就從接近于逐漸增大，雙曲線的“張口”逐漸增大．（2）要掌握根據(jù)雙曲線的標準方程求它的漸近線方程的求法．∵，∴把標準方程中的“1”用“”替換即可得出漸近線方程．（3）已知漸近線方程求雙曲線的標準方程的方法：①漸近線方程為的雙曲線的方程為：（且為常數(shù)）．②與雙曲線有共同漸近線的雙曲線的方程可設為（且為常數(shù)）．三、拋物線1．拋物線的定義平面內(nèi)到一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線，焦點到準線的距離（定長）叫做拋物線的焦參數(shù)．注意：（1）拋物線的定義還可敘述為“平面內(nèi)與一個定點和一條定直線的距離的比等于1的點的軌跡叫做拋物線”．（2）定義的實質(zhì)可歸結為“一動三定”．一個動點，一個定點（拋物線的焦點），一條定直線（拋物線的準線），一個定值（點與點的距離和它到直線的距離之比等于1．）（3）定點，否則動點的軌跡不是拋物線，而是過點垂直于直線的一條直線．2．拋物線的標準方程頂點在原點，軸與坐標軸重合的拋物線的標準方程有4種形式：分別為：（其中）．注意：（1）的幾何意義：焦參數(shù)是焦點到準線的距離，故恒為正數(shù)．（2）焦點的橫（縱）坐標是一次項系數(shù)的．（3）準線與坐標軸的交點與拋物線的焦點關于原點對稱．3．標準方程的求法（1）在中，只含有一個參數(shù)，因此只要有一個獨立的條件就可以求出其參數(shù)（常用待定系數(shù)法）．（2）求拋物線的標準方程時，首先要確定標準方程的形式，這是解題的關鍵．4．理解拋物線應注意的幾點（1）拋物線的性質(zhì)與橢圓、雙曲線差別較大：拋物線的離心率等于１，它只有一個焦點、一個頂點、一條對稱軸，它不是中心對稱圖形，因而沒有對稱中心．（2）拋物線的開口大?。河煞匠炭芍?，對于同一個值，值越大也越大，不妨說拋物線開口越大，這樣可以較好地理解不同的值與其開口大小的關系．（3）拋物線定義的妙用：常利用拋物線的定義將點到焦點的距離與到準線的距離進行相互轉(zhuǎn)化．四、曲線的方程與方程的曲線1.在直角坐標系中，如果某曲線Ｃ（看作適合某種條件的點的集合或軌跡）上的點與一個二元方程的實數(shù)解建立了如下的關系：（1）曲線上的點的坐標都是這個_____（純粹性）；（2）以這個方程的解為坐標的點都在_____（完備性），那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線（圖形）.注意：由曲線方程的定義可知，如果曲線Ｃ的方程是，那么點在曲線Ｃ上的充