2023九年級數(shù)學下冊第一章15二次函數(shù)的應用練習湘教版

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1.5二次函數(shù)的應用

第1課時利用二次函數(shù)解決實物拋物線問題、面積問題

基礎題

知識點1利用二次函數(shù)解決實物拋物線問題

1．XX省趙縣的趙州橋的橋拱是近似的拋物線形，建立如下圖的平面直角坐標系，其函數(shù)的關12

系式為y＝－x，當水面離橋拱頂?shù)母叨菵O是4m時，這時水面寬度AB為(C)

25

A．－20m

B．10mC

．20m

D．－10m

2．西寧中心廣場有各種音樂噴泉，其中一個噴水管噴水的最大高度為3m，此時距噴水管的水平距1

離為m，在如下圖的坐標系中，這個噴泉的函數(shù)關系式是(C)

2

12

A．y＝－(x－)＋3

212

B．y＝－3(x＋)＋3

212

C．y＝－12(x－)＋3

212

D．y＝－12(x＋)＋3

2

3．某工廠大門是一拋物線水泥建筑物(如圖)，大門地面寬AB＝4m，頂部C離地面高為4.4m.(1)以AB所在直線為x軸，拋物線的對稱軸為y軸，建立平面直角坐標系，求該拋物線對應的函數(shù)表達式；

(2)現(xiàn)有一輛載滿貨物的汽車欲通過大門，貨物頂點距地面2.8m，裝貨寬度為2.4m，請通過計算，判斷這輛汽車能否順利通過大門．

中學資料1

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解：(1)如圖，過AB的中點作AB的垂直平分線，建立平面直角坐標系．點A，B，C的坐標分別為A(－2，0)，B(2，0)，C(0，4.4)．設拋物線的表達式為y＝a(x－2)(x＋2)．將點C(0，4.4)代入得

a(0－2)(0＋2)＝4.4，解得a＝－1.1，∴y＝－1.1(x－2)(x＋2)＝－1.1x＋4.4.故此拋物線的表達式為y＝－1.1x＋4.4.(2)∵貨物頂點距地面2.8m，裝貨寬度為2.4，

∴只要判斷點(－1.2，2.8)或點(1.2，2.8)與拋物線的位置關系即可．將x＝1.2代入拋物線，得y＝2.816＞2.8，∴點(－1.2，2.8)和點(1.2，2.8)都在拋物線內．∴這輛汽車能夠通過大門．

知識點2利用二次函數(shù)解決面積問題

4．(教材P32習題T2變式)如圖，假設籬笆(虛線部分)的長度為16m，則所圍成矩形ABCD的最大面積是(C)

22

A．60mC．64m

22

B．63mD．66m

2

2

5．某公司準備修建一個長方體的污水處理池，池底矩形的周長為100m，則池底的最大面積是(B)A．600m

22

B．625mD．675m

2

2

C．650m

6．(教材P31練習T2變式)將一根長為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長各做成一個正方形，則這兩個正方形面積之和的最小值是

252

cm.2

中學資料2

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7．在一幅長80cm、寬50cm的矩形風景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，假使要使整個掛圖的面積是ycm，設金色紙邊的寬為xcm，要求紙邊的寬度不得少于1cm，同時不得超過2cm.

(1)求出y關于x的函數(shù)表達式，并直接寫出自變量的取值范圍；

(2)此時金色紙邊的寬應為多少厘米時，這幅掛圖的面積最大？求出最大面積．

2

解：(1)鑲金色紙邊后風景畫的長為(80＋2x)cm，寬為(50＋2x)cm，∴y＝(80＋2x)(50＋2x)＝4x＋260x＋4000(1≤x≤2)．

652

(2)∵二次函數(shù)y＝4x＋260x＋4000的對稱軸為直線x＝－，∴在1≤x≤2上，y隨x的增大而

2增大．

∴當x＝2時，y取最大值，最大值為4536.

答：金色紙邊的寬為2cm時，這幅掛圖的面積最大，最大面積為4536cm.中檔題

8．(2023·綿陽)如圖是拋物線型拱橋，當拱頂離水面2m時，水面寬4m，水面下降2m，則水面寬度增加(42－4)m.2

2

9．某農場擬建三間長方形種牛飼養(yǎng)室，飼養(yǎng)室的一面靠墻(墻長50m)，中間用兩面墻隔開(如圖)，已知計劃中的建筑材料可建墻的長度為48m，則這三間長方形種牛飼養(yǎng)室的總占地面積的最大值是144m.

2

10．如圖，小明的父親在相距2m的兩棵樹間拴了一根繩子，給他做了個簡易秋千，拴繩子的地方

中學資料3

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離地面都是2.5m，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1m的小明距較近的那棵樹0.5m時，頭部剛好接觸到繩子，則繩子最低點距離地面的距離為多少米？

解：如圖，建立平面直角坐標系，由圖可設拋物線的函數(shù)表達式為y＝ax＋c.

??（－0.5）a＋c＝1，

把(－0.5，1)，(1，2.5)代入，得?

?a＋c＝2.5，?

2

2

a＝2，??

解得?1

c＝.??2

12

∴繩子所在拋物線的函數(shù)表達式為y＝2x＋.21

∵當x＝0時，y＝，

2

∴繩子最低點距離地面的距離為0.5m.

11．(2023·荊州)為響應荊州市“創(chuàng)立全國文明城市〞號召，某單位不斷美化環(huán)境，擬在一塊矩形空地上修建綠色植物園，其中一邊靠墻，可利用的墻長不超過18m，另外三邊由36m長的柵欄圍成，設矩形ABCD空地中，垂直于墻的邊AB＝xm，面積為ym.(如圖)

2

(1)求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)若矩形空地的面積為160m，求x的值；

(3)若該單位用8600元購買了甲、乙、丙三種綠色植物共400棵(每種植物的單價和每棵栽種的合理用地面積如下表)．問丙種植物最多可購買多少棵？此時，這批植物可以全部栽種到這塊空地上嗎？請說明你的理由．

單價(元/棵)合理用地(m/棵)22

甲140.4乙161丙280.4中學資料4

解：(1)y＝－2x2

＋36x.(9≤x＜18)(2)由題意，得－2x2

＋36x＝160.

解得x1＝8(舍去)，x2＝10.∴x的值為10.

(3)設甲、乙、丙三種植物各購買a棵，b棵，c棵．則

???a＋b＋c＝400，??a＝－1100＋6c??14a＋16b＋28c＝8600，解得?，??

b＝1500－7c.?－1100＋6c＞0，∵??1500－7c＞0，∴1831＜c＜2??32147

.

c＞0，

∴c最大為214，即丙種植物最多可以購買214棵．當c＝214時，a＝184，b＝2，

184×0.4＋2×1＋214×0.4＝161.2(m2

)．∵y＝－2x2

＋36x＝－2(x－9)2

＋162，∴當x＝9時，空地的面積最大為162m2

.∵162＞161.2，

∴這批植物可以全部栽種到這塊空地上．

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5

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第2課時利用二次函數(shù)解決銷售問題及其他問題

基礎題

知識點1商品銷售問題

1．某商店從廠家以每件21元的價格購進一批商品，該商店可以自行定價．若每件商品售價為x元，則可賣出(350－10x)件商品，那么賣出商品所賺錢y元與售價x元之間的函數(shù)關系為(B)A．y＝－10x－560x＋7350B．y＝－10x＋560x－7350C．y＝－10x＋350xD．y＝－10x＋350x－7350

2．一件工藝品進價為100元，標價135元售出，每天可售出100件．根據(jù)銷售統(tǒng)計，該件工藝品每降價1元出售，則每天可多售出4件，要使每天獲得的利潤最大，每件需降價的錢數(shù)為(A)A．5元

B．10元

C．0元

D．6元

2

2222

3．某商店經(jīng)營某種商品，已知每天獲利y(元)與售價x(元/件)之間滿足關系式y(tǒng)＝－x＋80x－1000，則每天最多可獲利600元．

4．(教材P32習題T3變式)一名在校大學生利用“互聯(lián)網(wǎng)＋〞自主創(chuàng)業(yè)，銷售一種產(chǎn)品，這種產(chǎn)品的成本價10元/件，已知銷售價不低于成本價，且物價部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價不高于16元/件，市場調查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量y(件)與銷售價x(元/件)之間的函數(shù)關系如下圖．(1)求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(2)求每天的銷售利潤W(元)與銷售價x(元/件)之間的函數(shù)關系式，并求出每件銷售價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？

解：(1)設y與x的函數(shù)關系式為y＝kx＋b.

??10k＋b＝30，

將(10，30)，(16，24)代入，得?

?16k＋b＝24.???k＝－1，

解得?

?b＝40.?

∴y與x的函數(shù)關系式為y＝－x＋40(10≤x≤16)．

中學資料6

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(2)根據(jù)題意知，W＝(x－10)y＝(x－10)(－x＋40)＝－x＋50x－400＝－(x－25)＋225.

∵a＝－1＜0，∴當x＜25時，W隨x的增大而增大．∵10≤x≤16，

∴當x＝16時，W取得最大值，最大值為144.

答：當每件銷售價為16元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是144元．

5．(教材P31例變式)“綠水青山就是金山銀山〞的理念已融入人們的日常生活中，因此，越來越多的人喜歡騎自行車出行．某自行車店在銷售某型號自行車時，以高出進價的50%標價．已知按標價九折銷售該型號自行車8輛與將標價直降100元銷售7輛獲利一致．(1)求該型號自行車的進價和標價分別是多少元？

(2)若該型號自行車的進價不變，按(1)中的標價出售，該店平均每月可售出51輛；若每輛自行車每降價20元，每月可多售出3輛，求該型號自行車降價多少元時，每月獲利最大？最大利潤是多少？

解：(1)設該型號自行車進價為x元，則標價是1.5x元，由題意，得1．5x×0.9×8－8x＝(1.5x－100)×7－7x，解得x＝1000.

則1.5×1000＝1500(元)．

答：該型號自行車進價為1000元，標價為1500元．(2)設該型號自行車降價a元，利潤為w元，由題意，得a

w＝(51＋×3)(1500－1000－a)

2032

＝－(a－80)＋26460.

203

∵－＜0，

20

∴當a＝80時，w最大＝26460.

答：該型號自行車降價80元時，每月獲利最大，最大利潤是26460元．

知識點2其他最值問題

中學資料

7

2

2

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6．煙花廠為長沙橘子洲頭周六晚上的煙花表演特別設計制作一種新型禮炮，這種禮炮的升空高度52

h(m)與飛行時間t(s)的關系式是h＝－t＋20t＋1，若這種禮炮在點火升空到最高點處引爆，則從

2點火升空到引爆需要的時間為(B)A．3s

B．4s

C．5s

D．6s

7．某果園有100棵橘子樹，平均每一棵樹結600個橘子．根據(jù)經(jīng)驗估計，每多種一棵樹，平均每棵樹就會少結5個橘子．設果園增種x棵橘子樹，果園橘子總個數(shù)為y個，則果園里增種10棵橘子樹，橘子總個數(shù)最多．中檔題

8．向空中發(fā)射一枚炮彈，經(jīng)x秒后的高度為y米，且時間與高度的關系為y＝ax＋bx＋c(a≠0)．若此炮彈在第7秒與第14秒時的高度相等，則在以下時間中炮彈所在高度最高的是(B)A．第8秒

B．第10秒

C．第12秒

D．第15秒

2

9．(2023·天門)飛機著陸后滑行的距離s(單位：米)關于滑行的時間t(單位：秒)的函數(shù)表達式是32

s＝60t－t，則飛機著陸后滑行的最長時間為20秒．

2

10．(2023·安徽)小明大學畢業(yè)回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，第一期培植盆景與花卉各50盆售后統(tǒng)計，盆景的平均每盆利潤是160元，花卉的平均每盆利潤是19元，調研發(fā)現(xiàn)：

①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利潤減少2元；每減少1盆，盆景的平均每盆利潤增加2元；②花卉的平均每盆利潤始終不變．

小明計劃其次期培植盆景與花卉共100盆，設培植的盆景比第一期增加x盆，其次期盆景與花卉售完后的利潤分別為W1，W2.(單位：元)(1)用含x的代數(shù)式分別表示W(wǎng)1，W2；

(2)當x取何值時，其次期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤W最大，最大總利潤是多少？解：(1)其次期培植的盆景比第一期增加x盆，則其次期培植盆景(50＋x)盆，花卉[100－(50＋x)]＝(50－x)盆，由題意，得

W1＝(50＋x)(160－2x)＝－2x＋60x＋8000，W2＝19(50－x)＝－19x＋950.

(2)W＝W1＋W2＝－2x＋60x＋8000＋(－19x＋950)＝－2x＋41x＋8950.41

∵－2＜0，－＝10.25，x為整數(shù)，

2×（－2）∴當x＝10時，W最大，

中學資料

8

2

2

2

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W最大＝－2×10＋41×10＋8950＝9160(元)．綜合題

11．(2023·黃岡)我市某鄉(xiāng)鎮(zhèn)在“精準扶貧〞活動中銷售一農產(chǎn)品，經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)月銷售量y(萬件)

??x＋4（1≤x≤8，x為整數(shù)），

與月份x(月)的關系為：y＝?每件產(chǎn)品的利潤z(元)與月份x(月)

?－x＋20（9≤x≤12，x為整數(shù)），?

2

的關系如下表：

xz119218317416515614713812911101011101210(1)請你根據(jù)表格求出每件產(chǎn)品利潤z(元)與月份x(月)的關系式；

(2)若月利潤w(萬元)＝當月銷售量y(萬件)×當月每件產(chǎn)品的利潤z(元)，求月利潤w(萬元)與月份x(月)的關系式；

(3)當x為何值吋，月利潤w有最大值，最大值為多少？解：(1)根據(jù)表格可知：當1≤x≤10(x為整數(shù))，z＝－x＋20；當11≤x≤12(x為整數(shù))，z＝10.∴z與x的關系式為：

??－x＋20（1≤x≤10，x為整數(shù)），

z＝???10（11≤x≤12，x為整數(shù)），??－x＋20（1≤x≤9，x為整數(shù)），或z＝?

?10（10≤x≤12，x為整數(shù)）.?

(2)當1≤x≤8時，w＝(－x＋20)