高中數(shù)學典型例題大全第二章數(shù)列-等差數(shù)列doc

【例1】在100以內(nèi)有多少個能被7個整除的自然數(shù)？解∵100以內(nèi)能被7整除的自然數(shù)構(gòu)成一個等差數(shù)列，其中a1=7，d＝7，an＝98．代入an＝a1＋(n－1)d中，有98＝7＋(n－1)·7解得n＝14答100以內(nèi)有14個能被7整除的自然數(shù)．【例2】在－1與7之間順次插入三個數(shù)a，b，b使這五個數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列．解設這五個數(shù)組成的等差數(shù)列為{an}由已知：a1＝－1，a5＝7∴7＝－1＋(5－1)d解出d＝2所求數(shù)列為：－1，1，3，5，7．插入一個數(shù)，使之組成一個新的等差數(shù)列，求新數(shù)列的通項．【例4】在[1000，2000]內(nèi)能被3整除且被4除余1的整數(shù)共有多少個？解設an=3n，bm＝4m－3，n，m∈N得n＝4k－1(k∈N)，得{an}，{bm}中相同的項構(gòu)成的數(shù)列{cn}的通項cn＝12n－3(n∈N)．則在[1000，2000]內(nèi){cn}的項為84·12－3，85·12－3，…，166·12－3∴n＝166－84＋1=83∴共有83個數(shù)．【例5】三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為15，其平方和為83，求此三個數(shù)．解設三個數(shù)分別為x－d，x，x＋d．解得x＝5，d＝±2∴所求三個數(shù)為3、5、7或7、5、3說明注意學習本題對三個成等差數(shù)列的數(shù)的設法．【例6】已知a、b、c成等差數(shù)列，求證：b＋c，c＋a，a＋b也成等差數(shù)列．證∵a、b、c成等差數(shù)列∴2b=a＋c∴(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c＝a＋(a＋c)＋c＝2(a＋c)∴b＋c、c＋a、a＋b成等差數(shù)列．說明如果a、b、c成等差數(shù)列，?；?b＝a＋c的形式去運用；反之，如果求證a、b、c成等差數(shù)列，常改證2b=a＋c．本例的意圖即在讓讀者體會這一點．可能是等差數(shù)列．分析直接證明a、b、c不可能是等差數(shù)列，有關等差數(shù)列的知識較難運用，這時往往用反證法．證假設a、b、c是等差數(shù)列，則2b=a＋c∴2ac＝b(a＋c)=2b2，b2＝ac．又∵a、b、c不為0，∴a、b、c為等比數(shù)列，又∴a、b、c為等差數(shù)列，∴a、b、c為常數(shù)列，與a≠b矛盾，∴假設是錯誤的．∴a、b、c不可能成等差數(shù)列．【例8】解答下列各題：(1)已知等差數(shù)列{an}，an≠0，公差d≠0，求證：由于目標是半角的余切形式，一般把切向弦轉(zhuǎn)化，故有【例9】若正數(shù)a1，a2，a3，…an+1成等差數(shù)列，求證：證明設該數(shù)列的公差為d，則a1－a2=a2－a3＝…＝an－an+1=－