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北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第四章基本平面圖形專題練習(xí)題專題(一)線段的計(jì)算1、如圖,點(diǎn)C在線段AB上,點(diǎn)M,N分別是AC,BC的中點(diǎn).(1)若AC=9cm,CB=6cm,則MN=_____cm;(2)若AC=acm,CB=bcm,則MN=_____cm;(3)若AB=mcm,求線段MN的長(zhǎng);(4)若C為線段AB上任意一點(diǎn),且AB=ncm,其他條件不變,你能猜想MN的長(zhǎng)嗎?并用一句簡(jiǎn)潔的話描述你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.2、若MN=kcm,求線段AB的長(zhǎng).3、若C在線段AB的延長(zhǎng)線上,且滿足AB=pcm,M,N分別為AC,BC的中點(diǎn),你能猜想MN的長(zhǎng)度嗎?請(qǐng)畫出圖形,并說明理由.4、如圖,已知點(diǎn)C,D為線段AB上順次兩點(diǎn),M,N分別是AC,BD的中點(diǎn).(1)若AB=24,CD=10,求MN的長(zhǎng);(2)若AB=a,CD=b,請(qǐng)用含有a,b的式子表示出MN的長(zhǎng).5、如圖,N為線段AC中點(diǎn),點(diǎn)M,B分別為線段AN,NC上的點(diǎn),且滿足AM∶MB∶BC=1∶4∶3.(1)若AN=6,求AM的長(zhǎng);(2)若NB=2,求AC的長(zhǎng).6、如圖,點(diǎn)B,D在線段AC上,BD=eq\f(1,3)AB,AB=eq\f(3,4)CD,線段AB,CD的中點(diǎn)E,F(xiàn)之間的距離是20,求線段AC的長(zhǎng).7、已知線段AB=60cm,在直線AB上畫線段BC,使BC=20cm,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),求CD的長(zhǎng).8、如圖,數(shù)軸上A,B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有理數(shù)分別為10和15,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q同時(shí)從原點(diǎn)O出發(fā),以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)當(dāng)0<t<5時(shí),用含t的式子填空:BP=____,AQ=____;(2)當(dāng)t=2時(shí),求PQ的值;(3)當(dāng)PQ=eq\f(1,2)AB時(shí),求t的值.專題(二)角度的計(jì)算1、如圖,已知∠AOB內(nèi)部有三條射線OE,OC,OF,且OE平分∠BOC,OF平分∠AOC.(1)若∠AOC=30°,∠BOC=60°,則∠EOF=____;(2)若∠AOC=α,∠BOC=β,則∠EOF=____;(3)若∠AOB=θ,你能猜想出∠EOF與∠AOB之間的數(shù)量關(guān)系嗎?請(qǐng)說明理由.2、若∠EOF=γ,求∠AOB.3、如圖,若射線OC在∠AOB的外部,且∠AOB=θ,OE平分∠BOC,OF平分∠AOC,則上述(3)中的結(jié)論還成立嗎?請(qǐng)說明理由.4、如圖,已知∠AOB內(nèi)部有順次的四條射線:OE,OC,OD,OF,且OE平分∠AOC,OF平分∠BOD.(1)若∠AOB=160°,∠COD=40°,則∠EOF的度數(shù)為____;(2)若∠AOB=α,∠COD=β,求∠EOF的度數(shù);(3)從(1)(2)的結(jié)果中,你能看出什么規(guī)律嗎?5、如圖,OC平分∠AOB,∠AOD∶∠BOD=3∶5,已知∠COD=15°,求∠AOB的度數(shù).6、如圖,OC是∠AOB的平分線.(1)當(dāng)∠AOB=60°時(shí),求∠AOC的度數(shù);(2)在(1)的條件下,∠EOC=90°,請(qǐng)?jiān)趫D中補(bǔ)全圖形,并求∠AOE的度數(shù);(3)當(dāng)∠AOB=α,∠EOC=90°時(shí),直接寫出∠AOE的度數(shù).(用含α的式子表示)7、如圖1,點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn),過點(diǎn)O作射線OC,使∠BOC=60°,將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處,一邊ON在射線OB上,另一邊OM在直線AB的上方.(1)在圖1中,∠COM=30度;(2)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),使得ON在∠BOC的內(nèi)部,如圖2,若∠NOC=eq\f(1,6)∠MOA,求∠BON的度數(shù);(3)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒10°的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周,在旋轉(zhuǎn)的過程中,當(dāng)直線ON恰好平分銳角∠BOC時(shí),旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是____秒;(直接寫出結(jié)果)(4)在旋轉(zhuǎn)過程中,∠MOC與∠NOB始終保持的數(shù)量關(guān)系是____,并請(qǐng)說明理由.參考答案專題(一)線段的計(jì)算1、如圖,點(diǎn)C在線段AB上,點(diǎn)M,N分別是AC,BC的中點(diǎn).(1)若AC=9cm,CB=6cm,則MN=7.5cm;(2)若AC=acm,CB=bcm,則MN=eq\f(1,2)(a+b)cm;(3)若AB=mcm,求線段MN的長(zhǎng);(4)若C為線段AB上任意一點(diǎn),且AB=ncm,其他條件不變,你能猜想MN的長(zhǎng)嗎?并用一句簡(jiǎn)潔的話描述你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.解:(3)因?yàn)辄c(diǎn)M是AC的中點(diǎn),所以CM=eq\f(1,2)AC.因?yàn)辄c(diǎn)N是BC的中點(diǎn),所以CN=eq\f(1,2)BC.所以MN=CM+CN=eq\f(1,2)AC+eq\f(1,2)BC=eq\f(1,2)AB=eq\f(1,2)mcm.(4)猜想:MN=eq\f(1,2)AB=eq\f(1,2)ncm.結(jié)論:當(dāng)C為線段AB上一點(diǎn),且M,N分別是AC,BC的中點(diǎn),則MN=eq\f(1,2)AB一定成立.2、若MN=kcm,求線段AB的長(zhǎng).解:因?yàn)辄c(diǎn)M是AC的中點(diǎn),所以CM=eq\f(1,2)AC.因?yàn)辄c(diǎn)N是BC的中點(diǎn),所以CN=eq\f(1,2)BC.所以MN=CM+CN=eq\f(1,2)AC+eq\f(1,2)BC=eq\f(1,2)AB.所以AB=2MN=2kcm.3、若C在線段AB的延長(zhǎng)線上,且滿足AB=pcm,M,N分別為AC,BC的中點(diǎn),你能猜想MN的長(zhǎng)度嗎?請(qǐng)畫出圖形,并說明理由.解:猜想:MN=eq\f(1,2)AB=eq\f(1,2)pcm.理由如下:當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖.因?yàn)辄c(diǎn)M是AC的中點(diǎn),所以CM=eq\f(1,2)AC.因?yàn)辄c(diǎn)N是BC的中點(diǎn),所以CN=eq\f(1,2)BC.所以MN=CM-CN=eq\f(1,2)(AC-BC)=eq\f(1,2)AB=eq\f(1,2)pcm.4、如圖,已知點(diǎn)C,D為線段AB上順次兩點(diǎn),M,N分別是AC,BD的中點(diǎn).(1)若AB=24,CD=10,求MN的長(zhǎng);(2)若AB=a,CD=b,請(qǐng)用含有a,b的式子表示出MN的長(zhǎng).解:(1)因?yàn)锳B=24,CD=10,所以AC+DB=AB-CD=14.因?yàn)镸,N分別是AC,BD的中點(diǎn),所以MC+DN=eq\f(1,2)(AC+DB)=7.所以MN=MC+DN+CD=17.(2)因?yàn)锳B=a,CD=b,所以AC+DB=AB-CD=a-b.因?yàn)镸,N分別是AC,BD的中點(diǎn),所以MC+DN=eq\f(1,2)(AC+DB)=eq\f(1,2)(a-b).所以MN=MC+DN+CD=eq\f(1,2)(a-b)+b=eq\f(1,2)(a+b).5、如圖,N為線段AC中點(diǎn),點(diǎn)M,B分別為線段AN,NC上的點(diǎn),且滿足AM∶MB∶BC=1∶4∶3.(1)若AN=6,求AM的長(zhǎng);(2)若NB=2,求AC的長(zhǎng).解:設(shè)AM=x,則MB=4x,BC=3x,所以AC=AM+MB+BC=8x.因?yàn)镹為線段AC中點(diǎn),所以AN=NC=eq\f(1,2)AC=4x.(1)因?yàn)锳N=6,所以4x=6.解得x=eq\f(3,2).所以AM=eq\f(3,2).(2)NB=NC-BC=4x-3x=2,解得x=2.所以AC=8x=16.6、如圖,點(diǎn)B,D在線段AC上,BD=eq\f(1,3)AB,AB=eq\f(3,4)CD,線段AB,CD的中點(diǎn)E,F(xiàn)之間的距離是20,求線段AC的長(zhǎng).解:設(shè)BD=x,則AB=3x,CD=4x,因?yàn)榫€段AB,CD的中點(diǎn)分別是E,F(xiàn),所以BE=eq\f(1,2)AB=1.5x,DF=eq\f(1,2)CD=2x.因?yàn)镋F=BE+DF-BD=20,所以1.5x+2x-x=20.解得x=8.所以AC=AE+EF+CF=1.5x+20+2x=12+20+16=48.7、已知線段AB=60cm,在直線AB上畫線段BC,使BC=20cm,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),求CD的長(zhǎng).解:當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí),如圖1.圖1CD=eq\f(1,2)AC=eq\f(1,2)(AB-BC)=eq\f(1,2)×(60-20)=eq\f(1,2)×40=20(cm).當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖2.圖2CD=eq\f(1,2)AC=eq\f(1,2)(AB+BC)=eq\f(1,2)×(60+20)=eq\f(1,2)×80=40(cm).所以CD的長(zhǎng)為20cm或40cm.8、如圖,數(shù)軸上A,B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有理數(shù)分別為10和15,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q同時(shí)從原點(diǎn)O出發(fā),以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)當(dāng)0<t<5時(shí),用含t的式子填空:BP=5-t,AQ=10-2t;(2)當(dāng)t=2時(shí),求PQ的值;(3)當(dāng)PQ=eq\f(1,2)AB時(shí),求t的值.解:(2)當(dāng)t=2時(shí),AP<5,點(diǎn)P在線段AB上,OQ<10,點(diǎn)Q在線段OA上,如圖1.圖1此時(shí)PQ=OP-OQ=(OA+AP)-OQ=(10+t)-2t=10-t=8.(3)①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q右邊時(shí),如圖2.圖2此時(shí),AP=t,OQ=2t,OA=10,AB=5.所以PQ=OA+AP-OQ=10+t-2t=10-t.當(dāng)PQ=eq\f(1,2)AB時(shí),即10-t=2.5,解得t=7.5.②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊時(shí),如圖3.圖3此時(shí),OQ=2t,AP=t,OA=10,AB=5.所以PQ=OQ-OA-AP=2t-10-t=t-10.當(dāng)PQ=eq\f(1,2)AB時(shí),即t-10=2.5,解得t=12.5.綜上所述,當(dāng)PQ=eq\f(1,2)AB時(shí),t=7.5或12.5.

專題(二)角度的計(jì)算1、如圖,已知∠AOB內(nèi)部有三條射線OE,OC,OF,且OE平分∠BOC,OF平分∠AOC.(1)若∠AOC=30°,∠BOC=60°,則∠EOF=45°;(2)若∠AOC=α,∠BOC=β,則∠EOF=eq\f(α+β,2);(3)若∠AOB=θ,你能猜想出∠EOF與∠AOB之間的數(shù)量關(guān)系嗎?請(qǐng)說明理由.解:∠EOF與∠AOB之間的數(shù)量關(guān)系是∠EOF=eq\f(1,2)∠AOB=eq\f(1,2)θ.理由:因?yàn)镺E平分∠BOC,OF平分∠AOC,所以∠EOC=eq\f(1,2)∠BOC,∠COF=eq\f(1,2)∠AOC.所以∠EOF=∠EOC+∠COF=eq\f(1,2)∠BOC+eq\f(1,2)∠AOC=eq\f(1,2)(∠BOC+∠AOC)=eq\f(1,2)∠AOB=eq\f(1,2)θ.2、若∠EOF=γ,求∠AOB.解:因?yàn)镺E平分∠BOC,OF平分∠AOC,所以∠EOC=eq\f(1,2)∠BOC,∠COF=eq\f(1,2)∠AOC.所以∠EOF=∠EOC+∠COF=eq\f(1,2)∠BOC+eq\f(1,2)∠AOC=eq\f(1,2)(∠BOC+∠AOC)=eq\f(1,2)∠AOB.因?yàn)椤螮OF=γ,所以∠AOB=2γ.3、如圖,若射線OC在∠AOB的外部,且∠AOB=θ,OE平分∠BOC,OF平分∠AOC,則上述(3)中的結(jié)論還成立嗎?請(qǐng)說明理由.解:∠EOF=eq\f(1,2)θ成立,理由:因?yàn)镺E平分∠BOC,OF平分∠AOC,所以∠EOC=eq\f(1,2)∠BOC,∠COF=eq\f(1,2)∠AOC.所以∠EOF=∠COF-∠EOC=eq\f(1,2)∠AOC-eq\f(1,2)∠BOC=eq\f(1,2)(∠AOC-∠BOC)=eq\f(1,2)∠AOB=eq\f(1,2)θ.4、如圖,已知∠AOB內(nèi)部有順次的四條射線:OE,OC,OD,OF,且OE平分∠AOC,OF平分∠BOD.(1)若∠AOB=160°,∠COD=40°,則∠EOF的度數(shù)為100°;(2)若∠AOB=α,∠COD=β,求∠EOF的度數(shù);(3)從(1)(2)的結(jié)果中,你能看出什么規(guī)律嗎?解:(2)因?yàn)椤螮OF=∠COE+∠COD+∠FOD=eq\f(1,2)∠AOC+∠COD+eq\f(1,2)∠BOD=eq\f(1,2)(∠AOC+∠BOD)+∠COD=eq\f(1,2)(∠AOB-∠COD)+∠COD=eq\f(1,2)∠AOB+eq\f(1,2)∠COD,∠AOB=α,∠COD=β,所以∠EOF=eq\f(1,2)α+eq\f(1,2)β=eq\f(1,2)(α+β).(3)若∠AOB內(nèi)部有順次的四條射線:OE,OC,OD,OF,且OE平分∠AOC,OF平分∠BOD,則∠EOF=eq\f(1,2)(∠AOB+∠COD).5、如圖,OC平分∠AOB,∠AOD∶∠BOD=3∶5,已知∠COD=15°,求∠AOB的度數(shù).解:設(shè)∠AOD=3x,則∠BOD=5x.所以∠AOB=∠AOD+∠BOD=3x+5x=8x.因?yàn)镺C平分∠AOB,所以∠AOC=eq\f(1,2)∠AOB=eq\f(1,2)×8x=4x.所以∠COD=∠AOC-∠AOD=4x-3x=x.因?yàn)椤螩OD=15°,所以x=15°.所以∠AOB=8x=8×15°=120°.6、如圖,OC是∠AOB的平分線.(1)當(dāng)∠AOB=60°時(shí),求∠AOC的度數(shù);(2)在(1)的條件下,∠EOC=90°,請(qǐng)?jiān)趫D中補(bǔ)全圖形,并求∠AOE的度數(shù);(3)當(dāng)∠AOB=α,∠EOC=90°時(shí),直接寫出∠AOE的度數(shù).(用含α的式子表示)解:(1)因?yàn)镺C是∠AOB的平分線,所以∠AOC=eq\f(1,2)∠AOB.因?yàn)椤螦OB=60°,所以∠AOC=30°.(2)如圖1,∠AOE=∠EOC+∠AOC=90°+30°=120°.如圖2,∠AOE=∠EOC-∠AOC=90°-30°=60°.所以∠AOE的度數(shù)為120°或60°.(3)90°+eq\f(α,2)或90°-

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