浙教版八年級數(shù)學(xué)上冊第2章特殊三角形PPT復(fù)習課件

第2章特殊三角形八年級數(shù)學(xué)上冊（浙教版）2.1圖形的軸對稱1．如果把____________沿著一條直線折疊后，直線兩側(cè)的部分能夠_________，那么這個圖形叫做__________，這條直線叫做_______．練習1：下列圖形：①長方形；②三角形；③圓．其中是軸對稱圖形的是_______．(填序號)一個圖形互相重合軸對稱圖形對稱軸①③2．對稱軸_________連結(jié)兩個對稱點的線段．練習2：如圖，直線AC是四邊形ABCD的對稱軸，則______垂直平分______.垂直平分ACBD3．一般地，由一個圖形變?yōu)開__________，并使這兩個圖形沿某一條直線折疊后能夠_________，這樣的圖形改變叫做圖形的________，這條直線叫做________．練習3：下列各組圖形中成軸對稱是()D另一個圖形互相重合軸對稱對稱軸4．成軸對稱的兩個圖形是___________．練習4：如圖，△ABC與△DEF關(guān)于直線l對稱，若∠C＝40°，∠B＝80°，則∠F＝______．全等圖形80°知識點1：軸對稱圖形及其性質(zhì)1．在下列“綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水”四個標志中，是軸對稱圖形的是()A2．如圖，△ABC的周長為30cm，把△ABC的邊AC對折，使頂點C和頂點A重合，折痕交邊BC于點D，交邊AC于點E，連結(jié)AD.若AE＝4cm，則△ABD的周長是()A．22cmB．20cmC．18cmD．15cmA3．如圖，已知五邊形ABCDE是軸對稱圖形，請用無刻度的直尺畫出它的一條對稱軸．(保留作圖痕跡)解：連結(jié)EC，BD其交點為M，經(jīng)A，M作直線l，即為對稱軸知識點2：圖形的軸對稱4．觀察下列各組圖形，其中成軸對稱的有_________．(填序號)(1)(2)(4)5．下列各組圖中，左右兩個圖形成軸對稱的是()A知識點3：軸對稱的性質(zhì)6．如圖，∠A＝30°，∠C′＝60°，△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線l對稱，則∠B＝_______．90°7．如圖，若△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線MN對稱，BB′交MN于點O，則下列說法中不一定正確的是()A．AC＝A′C′B．AB∥B′C′C．AA′⊥MND．BO＝B′OB8．如圖，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D，C分別落在點D′，C′的位置．若∠AED′＝40°，則∠EFB的度數(shù)為()A．70° B．65° C．80° D．35°A9．如圖所示是由同樣大小的小正方形組成的網(wǎng)格，△ABC的三個頂點均落在小正方形的頂點上，在網(wǎng)格上畫出三個頂點都落在小正方形的頂點上，且與△ABC成軸對稱的三角形共有()A．5個 B．4個 C．3個 D．2個A10．如圖，P是∠AOB外的一點，M，N分別是∠AOB兩邊上的點，點P關(guān)于OA的對稱點Q恰好落在線段MN上，點P關(guān)于OB的對稱點R落在MN的延長線上，若PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，則線段QR的長為()A．4.5cmB．5.5cmC．6.5cmD．7cmA11．李林把全家旅游乘飛機的時間定格在了電子鐘上，他從鏡子中看到鏡子對面墻上掛著的電子鐘讀數(shù)如圖所示，則李林全家旅游乘飛機的時間是_________．21：2012．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB邊上，將△CBD沿CD折疊，使點B恰好落在AC邊上的點E處，若∠A＝26°，則∠CDE＝________．71°13．如圖，在正方形網(wǎng)格上有一個△DEF.(1)作△DEF關(guān)于直線HG的軸對稱圖形；(2)作△DEF的EF邊上的高；(3)若網(wǎng)格上的最小正方形邊長為1，求△DEF的面積．14．如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD于點E，BE＝DE，已知AC＝10cm，BD＝8cm，求陰影部分的面積．15．如圖，已知兩條定直線a和l，其中在定直線l上有一個定點A，在定直線a上有一個動點P，請找到使PA和點P到直線l距離之和最小時的點P的位置．解：(1)作點A關(guān)于直線a的對稱點A′；(2)過點A′作A′B⊥直線l于點Q，交a于點P.則PA＋PQ最小16．在4×4的方格中有五個同樣大小的正方形如圖所示擺放，移動其中一個正方形到空白方格中，使其與另四個正方形組成的新圖形是一個軸對稱圖形，這樣的移法共有多少種？并畫出圖形．解：共13種移法，如圖：第2章特殊三角形八年級數(shù)學(xué)上冊（浙教版）2．2等腰三角形1．等腰三角形：(1)有________相等的三角形叫做等腰三角形；(2)在等腰三角形中，相等的兩條邊叫做______，另一條邊叫做_______，兩腰所夾的角叫做_______，腰與底邊所夾的角叫做_______．練習1：如果等腰三角形的兩邊長為2，4，則第三邊的長為_____．兩邊腰底頂角底角42．等腰三角形是軸對稱圖形，___________所在直線是它的對稱軸．練習2：已知AD是等腰△ABC的頂角平分線，∠BAD＝60°，則∠B＝_______．3．三條邊都相等的三角形叫做____________．練習3：已知等邊三角形的周長為3，則其邊長為_______.

30°頂角平分線1等邊三角形知識點1：等腰三角形1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在AC上且AD＝BD＝BC，則圖中的等腰三角形有()A．1個B．2個C．3個D．4個C2．(2017·紹興模擬)等腰三角形的兩邊長分別為4cm和8cm，則它的周長為()A．16cmB．17cmC．20cmD．16cm或20cm3．等腰三角形的周長為16，其中一邊長為6，則另兩邊長為___________．C5，5或6，4知識點2：等腰三角形的軸對稱性4．等腰三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸是()A．過頂點的直線B．底角的角平分線所在的直線C．頂角的角平分線所在的直線D．腰上的高所在的直線CC6．如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD為∠BAC的平分線，E為AD上一點，則∠ABE與∠ACE的大小關(guān)系怎樣？請說明理由．解：∵△ABC是等腰三角形，且AB＝AC，AD為∠BAC的平分線，∴AD所在的直線為△ABC的對稱軸．又∵E為AD上一點，∴△ABE與△ACE關(guān)于AD所在的直線對稱，∴∠ABE＝∠ACEC知識點3：等邊三角形的概念及軸對稱性7．等邊三角形對稱軸的條數(shù)是()A．1條B．2條C．3條D．4條8．有一條邊長為6cm，且周長是18cm的等腰三角形是____________．等邊三角形9．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE＝BD＝CE＝BC，EF＝DF，則圖中的等腰三角形的個數(shù)是()A．11個B．12個C．13個D．15個B10．(2016·杭州期中)已知等腰三角形一腰上的中線將它的周長分成9cm和12cm兩部分，則等腰三角形的底邊長為()A．9cmB．5cmC．6cm或5cmD．5cm或9cmD11．若實數(shù)x，y滿足|x－5|＋(y－8)2＝0，則以x，y的值為邊長的等腰三角形的周長為________．12．如圖，已知線段m，n，以m為腰，以n為底邊作等腰三角形，并作出它的對稱軸．18或21解：圖略13．已知等腰三角形的底邊長和一腰長是方程組的解，求這個三角形的各邊長．解：解方程組得①當2為腰，1為底時，則三角形的三邊長為2，2，1；②當1為腰，2為底時，∵1＋1＝2，∴不能構(gòu)成三角形，∴三角形的各邊長為2，2，114．如圖，AB，AC是等腰三角形ABC的兩腰，AD平分∠BAC，△BCD是等腰三角形嗎？并說明理由．解：△BCD是等腰三角形．理由：∵AB，AC是等腰三角形ABC的兩腰，AD平分∠BAC，∴直線AD是△ABC的對稱軸，∴B，C關(guān)于AD對稱，∴直線AD垂直平分BC，∴DB＝DC，∴△BCD是等腰三角形15．如圖，已知一個等腰三角形底邊的長為5cm，一腰上的中線把其周長分成的兩部分的差為1cm，求等腰三角形的腰長．16．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，E為BC上一點，點A和點E關(guān)于BD對稱，點B和點C關(guān)于DE對稱，求∠ABC和∠C的度數(shù)．解：∵點A與點E關(guān)于BD對稱，∴∠ABD＝∠DBC.又∵點B和點C關(guān)于DE對稱，∴∠DBC＝∠C.∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∠A＝90°，∴∠ABD＋∠DBC＋∠C＝90°，∴3∠C＝90°，∴∠C＝30°，∴∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝2∠C＝60°第2章特殊三角形八年級數(shù)學(xué)上冊（浙教版）2．3等腰三角形的性質(zhì)定理第1課時等邊對等角1．等腰三角形的兩個底角_______，這個定理也可以說成在同一個三角形中，____________．練習1：(2017?麗水)等腰三角形的一個內(nèi)角為100°，則頂角的度數(shù)是______．2．等邊三角形的各個內(nèi)角都等于_____．練習2：若△ABC為等邊三角形，則∠A＝______．相等等邊對等角100°60°60°知識點1：等腰三角形的兩底角相等1．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，則∠B的度數(shù)為()A．30° B．75° C．150° D．125°2．(2016?杭州模擬)已知等腰三角形的一個內(nèi)角為50°，則這個等腰三角形的頂角為()A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65°3．(2016?嵊州期末)在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝100°，則∠C＝_____．BC40°4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC內(nèi)一點，且BD＝DC.求證：∠ABD＝∠ACD. 證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB，∴∠ABC－∠DBC＝∠ACB－∠DCB，即∠ABD＝∠ACD知識點2：等邊三角形的各內(nèi)角都相等5．如圖，△ABC是等邊三角形，點D在AC邊上，∠DBC＝35°，則∠ADB的度數(shù)為()A．25° B．60° C．85° D．95°D6．若AD是等邊三角形ABC的中線，則∠BAD的度數(shù)是_______．7．如圖，BD，CE是等邊三角形ABC的兩條角平分線，BD，CE相交于點O，則∠BOC的度數(shù)是_______．30°120°8．如圖，一個等邊三角形紙片，剪去一個角后得到一個四邊形，則圖中∠α＋∠β的度數(shù)是_______．240°9．如圖，在△ABC中，D，E是BC上兩點，且BD＝DE＝AD＝AE＝EC，則∠BAC的度數(shù)是()A．90° B．108° C．120° D．135°10．如圖，△ABC中，D為AB上一點，E為BC上一點，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，則∠CDE的度數(shù)為()A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°CD11．(2016·嘉興模擬)如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC上一點，AD＝AB，若∠A＝50°，則∠DBC＝_____．25°12．如圖，AB∥EF，CE＝CA，∠E＝65°，求∠CAB的度數(shù)．解：∵CE＝CA，∴∠E＝∠CAE.又∵∠E＝65°，∴∠CAE＝65°，∵AB∥EF，∴∠E＋∠BAE＝180°，∴∠E＋∠CAE＋∠CAB＝180°，∴∠CAB＝180°－65°×2＝50°13．如圖，AB∥CD，E是AB的中點，CE＝DE.求證：(1)∠AEC＝∠BED；(2)AC＝BD.證明：(1)∵CE＝DE，∴∠ECD＝∠EDC.又∵AB∥CD，∴∠ECD＝∠AEC，∠EDC＝∠BED，∴∠AEC＝∠BED(2)由SAS證明△ACE≌△BDE即可14．如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AB上，且BD＝AE，AD與CE交于點F.(1)求證：AD＝CE；(2)求∠DFC的度數(shù)．解：(1)∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠BAC.又∵BD＝AE，∴△ABD≌△CAE(SAS)，∴AD＝CE(2)∵△ABD≌△CAE，∴∠BAD＝∠ACE，∴∠DFC＝∠FAC＋∠ACF＝∠FAC＋∠BAD＝∠BAC＝60°15．【提出問題】(1)如圖①，在等邊三角形ABC中，M是BC上的任意一點(不含端點B，C)，連結(jié)AM，以AM為邊作等邊三角形AMN，連結(jié)CN.求證：∠ABC＝∠ACN.證明：(1)∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，同理AM＝AN，∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，可證△ABM≌△ACN(SAS)，∴∠ABC＝∠ACN【類比探究】(2)如圖②，在等邊三角形ABC中，M是BC延長線上的任意一點(不含端點C)，其他條件不變，(1)中結(jié)論∠ABC＝∠ACN還成立嗎？請說明理由．解：成立．證△ABM≌△ACN(SAS)，∴∠ABC＝∠ACN第2章特殊三角形八年級數(shù)學(xué)上冊（浙教版）2.3等腰三角形的性質(zhì)定理第2課時等腰三角形三線合一1．等腰三角形的_____________、_______________和________互相重合，簡稱等腰三角形三線合一．練習1：如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，AD平分∠BAC，則BD＝______．頂角平分線底邊上的中線高線4知識點：等腰三角形三線合一1．(2016·溫州期中)如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，∠BAD＝20°，則∠BAC＝_______．40°2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠1＝∠2，BD＝5cm，則BC的長為_______cm.103．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D是BC的中點，則∠DAC的度數(shù)是()A．30°B．40°C．50°D．70°B4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∠BAD＝20°，DE⊥AC于點E，則∠EDC的度數(shù)是()A．20°B．30°C．40°D．50°A5．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是角平分線，則下列結(jié)論：①AD⊥BD；②BD＝DC；③∠B＝∠C；④∠BAD＝∠CAD中，其中正確的個數(shù)是()A．4個B．3個C．2個D．1個A解：∵AB＝AC，∠BAC＝110°，∴∠C＝∠B＝35°，又∵D是BC邊上的中點，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的中點，∠BAC＝110°，求∠C和∠BAD的度數(shù)．7．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，E是AC的中點，則的值為()A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．2∶3B8．(2016·杭州期末)如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于點D，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，對于下列結(jié)論：①AD⊥BC；②AE＝AF；③AD上任意一點到AB，AC的距離相等；④AD上任意一點到B，C兩點的距離相等．其中正確的個數(shù)有()A．1個B．2個C．3個D．4個D9．已知線段a，b，用直尺和圓規(guī)作等腰三角形，使底邊上的高為a，腰為b(b＞a)．解：圖略，(1)作線段AM＝2a；(2)作線段AM的垂直平分線DE；(3)以點A為圓心，以b為半徑畫弧交直線DE于B，C兩點；(4)連結(jié)AB，AC.則△ABC即為所求10．(2016·寧波月考)如圖，AB＝AC，BD＝DC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn).求證：DE＝DF.證明：∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD平分∠BAC.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF11．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，BE⊥AC于點E.求證：∠CBE＝∠BAD.證明：∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，∴∠C＋∠CAD＝90°.又∵BE⊥AC，∴∠C＋∠CBE＝90°，∴∠CBE＝∠CAD，∴∠CBE＝∠BAD12．如圖，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC內(nèi)一點，且OB＝OC.求證：AO⊥BC.證明：在△AOB和△AOC中，∵AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC，∴△AOB≌△AOC(SSS)，∴OA平分∠BAC.又∵AB＝AC，∴OA⊥BC13．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點E在CA的延長線上，∠E＝∠AFE，請判斷EF與BC的位置關(guān)系，并說明理由．解：EF⊥BC.理由：過點A作AD⊥BC于點D，延長EF交BC于點G.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴2∠CAD＝∠BAC.又∵∠BAC是△AEF的外角，∴∠BAC＝∠E＋∠AFE.∵∠E＝∠AFE，∴∠BAC＝2∠E，∴∠CAD＝∠E，∴AD∥EF，∴∠EGC＝∠ADC＝90°，∴EF⊥BC14．在△ABC中，AB＝AC.(1)如圖①，若∠BAD＝30°，AD是BC邊上的高線，AD＝AE，則∠EDC＝_______；(2)如圖②，若∠BAD＝40°，AD是BC邊上的高線，AD＝AE，則∠EDC＝________；(3)通過以上兩題，你發(fā)現(xiàn)了∠BAD與∠EDC之間有什么關(guān)系？請用式子表示_________________．20°15°解：(4)仍成立．理由：∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠BAD＋∠B＝∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝∠AED＋∠EDC＝(∠EDC＋∠C)＋∠EDC＝2∠EDC＋∠C.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠BAD＝2∠EDC(4)如圖③，若AD不是BC邊上的高線，AD＝AE，是否仍有上述結(jié)論？若有，請說明理由．第2章特殊三角形八年級數(shù)學(xué)上冊（浙教版）2．4等腰三角形的判定定理1．如果一個三角形有_________相等，那么這個三角形是等腰三角形，也可以簡單地說成：在同一個三角形中，_____________．練習1：在△ABC中，∠A＝30°，當∠B＝___________時，△ABC是等腰三角形．2．_____________的三角形是等邊三角形；有一個角是60°的_______三角形是等邊三角形．練習2：在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，則△ABC是_______三角形．兩個角等角對等邊30°或75°三個角都相等等腰等邊知識點1：等腰三角形的判定1．在△ABC中，有兩個內(nèi)角如下，則能判定△ABC為等腰三角形的是()A．∠A＝40°，∠B＝50°B．∠A＝40°，∠B＝60°C．∠A＝20°，∠B＝80° D．∠A＝40°，∠B＝80°2．(2016·舟山期中)如圖，OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，則CD等于()A．3cm B．4cmC．1.5cm D．2cmCA3．(2016·杭州月考)如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，則下列結(jié)論中不正確的是()D4．如圖，在△ABC中，D為BC上一點，DA平分∠EDC，且∠E＝∠B，DE＝DC.求證：AB＝AC.證明：∵DA平分∠EDC，∴∠ADE＝∠ADC.又∵DA＝DA，DE＝DC，∴△ADE≌△ADC(SAS)，∴∠E＝∠C.又∵∠E＝∠B，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC知識點2：等邊三角形的判定5．在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝60°，則△ABC是________三角形．6．如圖，△ABC以點A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△AB′C′，則△ABB′是________三角形．等邊等邊7．等腰三角形補充下列條件后，仍不一定成為等邊三角形的是()A．有一個內(nèi)角是60°B．有一個外角是120°C．有兩個角相等D．腰與底邊相等C8．如圖，在△ABC中，點D是AB上的一點，且AD＝DC＝DB，∠B＝30°.求證：△ADC是等邊三角形．證明：∵DC＝DB，∴∠B＝∠DCB＝30°，∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝60°.又∵AD＝DC，∴△ADC是等邊三角形9．給出下列三角形：①有兩個角等于60°；②有一個角等于60°的等腰三角形；③三個外角(每個頂點處各取一個外角)都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的是()A．①②③ B．①②④C．①③ D．①②③④D10．如圖，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分線，若在邊AB上截取BE＝BC，連結(jié)DE，則圖中等腰三角形的個數(shù)是()A．2個 B．3個 C．4個 D．5個D11．如圖，在△ABC中，D，E分別是AC，AB上的點，BD與CE相交于點O，給出下列三個條件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD.上述三個條件中，哪兩個條件可判定△ABC是等腰三角形______________．(填序號)①③或②③12．如圖①，△ABD，△CBD是兩個邊長均為1的等邊三角形，將△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到圖②，則陰影部分的周長為____．213．如圖，在△ABC中，點E在AB上，點D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD與CE相交于點F，試判斷△AFC的形狀，并說明理由．解：△AFC是等腰三角形．理由：在△BAD與△BCE中，∵∠BAD＝∠BCE，∠B＝∠B，BD＝BE，∴△BAD≌△BCE(AAS)，∴BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∴∠BAC－∠BAD＝∠BCA－∠BCE，即∠FAC＝∠FCA，∴△AFC是等腰三角形14．如圖，一艘輪船在近海處由南向北航行，點C是燈塔，輪船在A處測得燈塔在其北偏西38°的方向上，輪船又從A處向北航行30海里到B處，測得燈塔在其北偏西76°的方向上．(1)求∠ACB的度數(shù)；(2)輪船在B處時，到燈塔C的距離是多少？解：(1)∠ACB＝∠NBC－∠NAC＝76°－38°＝38°(2)∵∠ACB＝∠NAC＝38°，∴AB＝BC＝30海里，即輪船在B處時，到燈塔C的距離是30海里15．如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F.(1)求∠F的度數(shù)；(2)若CD＝2，求DF的長．解：(1)∠F＝30°(2)證△EDC是等邊三角形，△ECF是等腰三角形，∴DC＝CE＝CF＝2，∴DF＝416．如圖，E為等邊三角形ABC的AC邊上一點，∠1＝∠2，CD＝BE，試判斷△ADE的形狀，并說明理由．解：△ADE是等邊三角形．理由：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.又∵∠1＝∠2，BE＝CD，∴△ABE≌△ACD(SAS)，∴∠DAE＝∠BAE＝60°，AE＝AD，∴△ADE是等邊三角形第2章特殊三角形八年級數(shù)學(xué)上冊（浙教版）2．5逆命題和逆定理1．在兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的_______，而第一個命題的結(jié)論是第二個命題的_______，那么這兩個命題叫做___________．如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題就叫做它的__________．練習1：“兩直線平行，同位角相等”的逆命題是________________________.條件互逆命題結(jié)論逆命題同位角相等，兩直線平行2．如果一個定理的逆命題能被證明是________，那么就叫它是原定理的_________，這兩個定理叫做___________．練習2：定理“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”與_____________________________互為逆定理．真命題逆定理互逆定理同旁內(nèi)角互補，兩直線平行3．線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理：到__________________的點在線段的_______________．練習3：如圖，AC＝AD，BC＝BD，則有()A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB與CD互相垂直平分D．CD平分∠ACBA線段兩端距離相等垂直平分線上知識點1：互逆命題1．命題“若a是偶數(shù)，則3a是偶數(shù)”的逆命題是()A．若3a是偶數(shù)，則a是偶數(shù)B．若3a是偶數(shù)，則a是奇數(shù)C．若3a是奇數(shù)，則a是奇數(shù)D．若3a是奇數(shù)，則a是偶數(shù)A2．命題“全等三角形的面積相等”的逆命題是_______________________________．面積相等的兩個三角形全等3．寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假．(1)兩直線平行，內(nèi)錯角相等；(2)如果a＝0，b＝0，那么ab＝0.解：內(nèi)錯角相等，兩直線平行；真命題解：如果ab＝0，那么a＝0且b＝0；假命題知識點2：逆定理4．下列定理中，有逆定理的是()A．對頂角相等B．同角的余角相等C．全等三角形的對應(yīng)角相等D．線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等DD5．下面定理中，沒有逆定理的是()A．同旁內(nèi)角互補，兩直線平行B．全等三角形的對應(yīng)邊相等C．角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等D．等角的補角相等6．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，請寫出它的逆定理．(1)兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等；(2)成軸對稱的兩個圖形是全等圖形；(3)等腰三角形頂角的平分線與底邊上的高線互相重合．解：(1)有逆定理．如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形對應(yīng)的兩邊及其夾角相等(2)無逆定理(3)有逆定理．若一個三角形的一個角的平分線與這個角所對邊上的高線互相重合，則這個三角形是等腰三角形7．對于以下說法：①如果一個命題是真命題，那么它的逆命題不一定是真命題；②每個定理都有逆定理；③基本事實是通過推理判斷為正確的命題；④“同位角相等”是定理．其中正確的說法有()A．1個B．2個C．3個D．4個A8．寫出下列各命題的逆命題，并判斷其逆命題是真命題還是假命題，若是假命題，請舉反例說明．(1)兩直線平行，同位角相等；(2)垂直于同一條直線的兩直線平行；解：同位角相等，兩直線平行；真命題解：如果兩條直線平行，那么這兩條直線垂直于同一條直線；真命題(3)相等的角是內(nèi)錯角；(4)有一個角是60°的三角形是等邊三角形．解：內(nèi)錯角相等；假命題，舉反例略解：等邊三角形有一個角是60°；真命題9．寫出命題“等腰三角形的頂角平分線垂直于底邊”的逆命題，并判斷這個逆命題的真假，若是真命題，給出證明；若是假命題，請舉一個反例．解：逆命題為：如果一個三角形的一個角的平分線垂直于這個角的對邊，那么這個三角形是等腰三角形，它是真命題．已知：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC于點D.求證：△ABC為等腰三角形．證明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.又∵AD＝AD，∴△ADB≌△ADC(ASA)，∴AB＝AC，∴△ABC為等腰三角形10．如圖，在△ABC中，邊AB，BC的垂直平分線交于點P.(1)求證：PA＝PB＝PC；(2)點P是否也在邊AC的垂直平分線上？由此你還能得出什么結(jié)論？解：(1)∵點P在AB和BC的垂直平分線上，∴PA＝PB，PB＝PC，∴PA＝PB＝PC(2)由(1)知PA＝PC，∴點P也在AC的垂直平分線上．結(jié)論：三角形三邊的垂直平分線相交于一點11．如圖，點D，E在△ABC的邊BC上，連結(jié)AD，AE，給出下面三個等式：①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE，其中的兩個作為命題的條件，另一個作為命題的結(jié)論，構(gòu)成三個命題：①②?③；①③?②；②③?①.(1)以上三個命題是真命題的為______________________________；(直接作答)(2)請選擇一個真命題進行證明．(先寫出所選命題，然后證明)①②?③；①③?②；②③?①解：答案不唯一，如選擇①③?②.證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.又∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴AD＝AE12．我們把兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．如圖，四邊形ABCD是一個箏形，其中AB＝CB，AD＝CD，請你寫出與箏形ABCD的角或者對角線有關(guān)的一個結(jié)論，并證明你的結(jié)論．解：答案不唯一，如結(jié)論：(1)∠DAB＝∠DCB；(2)BD平分∠ADC和∠ABC；(3)DB垂直平分AC.結(jié)論(1)證明：在△ABD和△CBD中，∵AB＝CB，AD＝CD，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD(SSS)，∴∠DAB＝∠DCB；結(jié)論(2)證明：同上可證△ABD≌△CBD，∴∠ADB＝∠CDB，∠ABD＝∠CBD，即BD平分∠ADC和∠ABC；結(jié)論(3)證明：∵AD＝CD，∴點D在線段AC的垂直平分線上，同理，點B在線段AC的垂直平分線上，∴DB垂直平分AC第2章特殊三角形八年級數(shù)學(xué)上冊（浙教版）2．6直角三角形第1課時直角三角形的性質(zhì)1．有一個角是_______的三角形叫做直角三角形，直角三角形可以用符號“______”表示．練習1：如圖，CD是△ABC的高，則圖中的直角三角形有____________________．直角Rt△Rt△BCD，Rt△ACD2．直角三角形的兩銳角______．練習2：在直角三角形中，一個銳角為57°，則另一個銳角為______．3．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的______．練習3：在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是中線，且CD＝2，則AB＝_____．互余33°一半4知識點1：直角三角形的定義1．已知△ABC中，∠B＝∠C＝45°，那么這個三角形是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形2．已知△ABC三個內(nèi)角滿足∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，則△ABC是______三角形．B直角知識點2：直角三角形兩銳角互余3．在直角三角形中，有一個銳角等于60°，則另一個銳角的度數(shù)是()A．75° B．60° C．45° D．30°4．(2016·杭州期末)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A－∠B＝70°，則∠A的度數(shù)為()A．80° B．70° C．60° D．50°DA5．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的一條高線，若∠B＝28°，求∠ACD的度數(shù)．解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCD＝90°.∵CD是△ABC的一條高線，∴∠B＋∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B＝28°知識點3：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半6．在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，則以下判斷正確的是()A．CD＝2AB B．CD＝ACC．CD＝BC D．CD＝AD＝BDD7．如圖，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中點M與點C被湖隔開，若測得AM的長為1.2km，則M，C兩點間的距離為()A．0.5km B．0.6kmC．0.9km D．1.2km8．在等腰直角三角形ABC中，AD是斜邊上的高，BC＝9cm，則AD＝____cm.D9．如圖，在Rt△ABC中，AC≠AB，AD是斜邊BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，則圖中與∠C相等的角的個數(shù)是()A．2個 B．3個 C．4個 D．5個BB11．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC，交BC于點D，點E為AC的中點，連結(jié)DE，則△CDE的周長為______．1412.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，∠A＝3∠B.求∠ACD，∠BCD的度數(shù)．

解：∠ACD＝22.5°，∠BCD＝67.5°13．如圖，一個太陽能熱水器(∠ACB＝90°)受光面的一邊AB長為2m，傾斜角∠ABC＝30°，連桿CD經(jīng)過AB的中點D，求AC，CD的長．14．如圖，在△MNP中，∠MNP＝45°，H是△MNP的高MQ，NR的交點．求證：HN＝PM.證明：∵MQ是△MNP的高，∴∠MQN＝90°.又∵∠MNP＝45°，∴∠QMN＝45°，∴MQ＝NQ.∵NR是△MNP的高，∴∠NRP＝90°，∴∠PMQ＝∠RNQ，∴△PMQ≌△HNQ(ASA)，∴HN＝PM15．如圖，AD，BE分別是△ABC的邊BC，AC上的高線，F(xiàn)是ED的中點，G是AB的中點，則GF⊥DE，請說明理由．16．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，EF為AB的垂直平分線，交AB于點E，交BC于點F，BF＝5cm，求FC的長．第2章特殊三角形八年級數(shù)學(xué)上冊（浙教版）2．6直角三角形第2課時直角三角形的判定1．直角三角形的判定定理：有______________的三角形是直角三角形．練習1：在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝50°，則△ABC是________三角形．兩個角互余直角知識點：根據(jù)兩銳角互余判定直角三角形1．已知三角形的一個角等于另兩個角的差，則這個三角形一定是()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形BD3．下列條件：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3；③∠A＝90°－∠B；④∠A＝∠B＝2(1)∠C.其中能確定△ABC是直角三角形的有(

)A．1個B．2個C．3個D．4個D4．如圖，點P是射線ON上一動點，∠AON＝30°，當∠A＝______________時，△AOP為直角三角形．60°或90°5．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，∠1＝∠B.求證：△ABC是直角三角形．證明：∵AD⊥BC，∴∠1＋∠C＝90°.∵∠1＝∠B，∴∠B＋∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形6．四個三角形的三個內(nèi)角的比分別是1∶3∶4，2∶5∶7，1∶3∶5和2∶6∶9，在這四個三角形中，直角三角形有()A．1個B．2個C．3個D．4個7．把等邊△ABC的一邊AB延長一倍到點D，連結(jié)CD，則△ADC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等邊三角形D．不能確定BB8．如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，AB＝2CD，則△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等邊三角形D．不能確定B9．在△ABC中，AD是BC邊上的中線，AH⊥BC于點H，則下列說法中錯誤的是()A．若∠B＋∠C＝90°，則AD＝BD＝CDB．若∠B＝∠CAH，則△ABC為直角三角形D．若AD＝CD，則∠BAC＝90°C10．如圖，輪船從B處以每小時50海里的速度沿南偏東30°方向勻速航行，在B處觀測燈塔A位于南偏東75°方向上，輪船航行半小時到達C處，在C處觀測燈塔A位于北偏東60°方向上，則C處與燈塔A的距離是______海里．2511．在△ABC中，如果3∠A＝32∠B＝∠C，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．解：△ABC是直角三角形．理由：設(shè)∠A＝x°，則∠B＝2x°，∠C＝3x°，∴x＋2x＋3x＝180，∴x＝30，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形證明：∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°，∴∠C＋∠D＝90°.又∵∠A＝∠C，∴∠A＋∠D＝90°，∴△ABD是直角三角形12．如圖，CE⊥AD，垂足為E，∠A＝∠C.求證：△ABD是直角三角形．13．如圖，AD，BF分別是△ABC的高線與角平分線，BF，AD交于點E，∠1＝∠2.求證：△ABC是直角三角形．證明：∵AD⊥BC，∴∠EBD＋∠BED＝90°，∵∠BED＝∠1，∠1＝∠2，∴∠EBD＋∠2＝90°，又∵∠EBD＝∠ABE，∴∠ABE＋∠2＝90°，∴∠BAF＝90°，∴△ABC是直角三角形14．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，CD⊥AB于點D.求證：AB＝2BC.證明：∵CD，CE三等分∠ACB，∠ACB＝90°，∴∠1＝∠2＝∠3＝30°.又∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠B＝90°－∠3＝60°，∴∠A＝90－∠B＝30°，∴∠1＝∠A＝30°，∴AE＝CE，∴∠BEC＝∠1＋∠A＝60°，∴△BCE為等邊三角形，∴CE＝BE＝BC，即AE＝CE＝BE＝BC.∵AB＝AE＋BE，∴AB＝2BC15．如圖，在等腰Rt△ABC中，P是斜邊BC上的中點，以P為頂點的直角的兩邊分別與邊AB，AC交于點E，F(xiàn)，連結(jié)EF.當∠EPF繞頂點P旋轉(zhuǎn)時(點E不與點A，B重合)，△PEF始終是等腰直角三角形，請你說明理由．16．在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC，垂足為D，BE⊥AC，垂足為E，AD交BE于點F，連結(jié)CF.(1)如圖①，若∠BAC是銳角，求證：△CDF是等腰直角三角形；(2)如圖②，若∠BAC是鈍角，求證：△CDF是等腰直角三角形．證明：(1)∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，∴∠ABC＝∠BAD，∴BD＝AD.∵BE⊥AC，∴∠FBD＋∠ACB＝90°.∵∠CAD＋∠ACB＝90°，∴∠FBD＝∠CAD.又∵∠BDF＝∠ADC＝90°，∴△BFD≌△ACD(ASA)．∴FD＝CD.又∵∠ADC＝90°，∴△CDF是等腰直角三角形(2)同(1)可證△BFD≌△ACD，∴FD＝CD.又∵∠ADC＝90°，∴△CDF是等腰直角三角形第2章特殊三角形八年級數(shù)學(xué)上冊（浙教版）2.7探索勾股定理第1課時勾股定理1．勾股定理：直角三角形___________的平方和等于_______的平方．如果a，b為直角三角形的兩條直角邊的長，c為斜邊長，則____________．練習1：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，則AC＝____．兩條直角邊斜邊3知識點1：勾股定理的證明1．利用圖①或圖②兩個圖形中的有關(guān)面積的等量關(guān)系都能證明數(shù)學(xué)中一個十分著名的定理，這個定理稱為___________，該定理結(jié)論的數(shù)學(xué)表達式是____________.勾股定理2．(2016?杭州期中)我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖)，如果大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊分別是a和b，那么ab的值為()A．49 B．25 C．12 D．1C知識點2：勾股定理的應(yīng)用3．若一個直角三角形的一條直角邊長為6，斜邊長為10，則另一條直角邊的長為()A．4 B．6 C．8 D．12CB5．如圖，陰影部分是一個正方形，則此正方形的面積為()A．9 B．16 C．25 D．8A6．如圖，強臺風過后，一棵大樹在離地面3.6m處折斷倒下，倒下部分與地面的接觸點離樹的底部4.8m，則該樹的原高度為________．9.6m7．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c.(1)若b＝2，c＝3，求a的值；(2)若a∶c＝3∶5，b＝32，求a，c的值．8．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，若BC＝10，AD＝12，則AC＝______．13 第8題圖10．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的邊長分別是3，5，2，3，則最大正方形E的面積是_____．4711．某樓梯的側(cè)面視圖如圖所示，其中AB＝5m，BC＝3m，∠C＝90°，因某種活動要求鋪設(shè)紅地毯，則在AB段樓梯所鋪地毯的長度至少應(yīng)為____m.7解：略D 第12題圖14．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜邊AB上的高，且AB＝13，BC＝12.(1)求AC的長；(2)求CD的長．15．某人拿著一根長竹竿進一個寬3米的城門，他先將竹竿橫著拿，無法進入，又豎起來拿，結(jié)果竹竿比城門高1米．當他把竹竿斜著拿時，兩端恰好頂著城門的對角，問竹竿長多少米？16．如圖，將長方形ABCD沿過點C的直線折疊，使點D的對應(yīng)點F落在AB邊上，已知AD＝6，CD＝10，設(shè)折痕交AD于點E.求DE的長．17．如圖，公路MN和公路PQ在點P處交會，已知∠QPN＝30°，點A處有一所小學(xué)，AP＝160米，假設(shè)拖拉機行駛時，周圍100米內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否受到噪音影響？若受影響，假設(shè)拖拉機的速度為18千米/小時，那么學(xué)校受影響的時間為多少？第2章特殊三角形八年級數(shù)學(xué)上冊（浙教版）2.7探索勾股定理第2課時勾股定理的逆定理1．勾股定理的逆定理：如果三角形中兩邊的_________等于第三邊的________，那么這個三角形是直角三角形．練習1：如果△ABC的三邊AB＝5，AC＝13，BC＝12，則∠B＝_______．平方和平方90°知識點1：勾股定理的逆定理1．下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)作為三角形的邊長，其中能構(gòu)成直角三角形的是()B2．在△ABC中，AB＝8，BC＝15，AC＝17，則下列說法錯誤的是()A．△ABC是直角三角形，且AC為斜邊B．△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°C．△ABC的面積為60D．△ABC是直角三角形，且∠A＝90°DB②③④直角三角形合格知識點2：勾股定理的逆定理的應(yīng)用6．木工師傅做一個長方形桌面，量得它的長為80分米，寬為60分米，對角線為100分米，則這個桌面_________．(填“合格”或“不合格”)7．如圖，甲、乙兩船從港口A同時出發(fā)，甲船以30海里/時的速度向北偏東35°的方向航行，乙船以40海里/時的速度向另一方向航行，2h后，甲船到達C島，乙船到達B島，若C，B兩島相距100海里，求乙船航行的方向．B9．如圖，△ABC的頂點都在正方形網(wǎng)格的格點上，若小方格的邊長為1，則△ABC的形狀是(

)A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．等腰直角三角形B10．已知△ABC的三邊長分別為10，24，26，則最長邊上的中線長為_______．13直角12．(2016?湖州期中)有一塊田地的形狀和尺寸如圖，則它的面積為______.

第11題圖第12題圖9616．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝9，BC＝12，AD＝8，CD＝17.求四邊形ABCD的面積．第2章特殊三角形八年級數(shù)學(xué)上冊（浙教版）2.8直角三角形全等的判定1．斜邊和一條_________對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等(可以簡寫成“________________”或“HL”)．練習1：如圖1，∠C＝∠D＝90°，要使用“HL”判定Rt△ABC與Rt△ABD全等，則應(yīng)添加一個條件是__________________．斜邊、直角邊直角邊AC＝AD或BC＝BD圖12．角平分線性質(zhì)定理的逆定理：角的內(nèi)部，到_________________的點，在這個角的平分線上．練習2：如圖2，PM⊥OA，PM＝1，當點P到OB的距離為______時，∠POA＝∠POB.角兩邊的距離相等1圖2知識點1：斜邊、直角邊定理1．(2016·杭州期中)如圖，OD⊥AB于點D，OP⊥AC于點P，且OD＝OP，則△AOD與△AOP全等的理由是()A．SSSB．ASAC．SSAD．HLD2．下列條件中，不能判定兩個直角三角形全等的是()A．兩個銳角對應(yīng)相等B．一條直角邊和一個銳角對應(yīng)相等C．兩條直角邊對應(yīng)相等D．一條直角邊和一條斜邊對應(yīng)相等A3．(2016·紹興月考)如圖，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，還需添加條件___________________________________________．(只需寫出符合條件的一種情況)AC＝