固體物理第二章

固體物理第二章第1頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四原子無時無刻不在其平衡位置作微小振動。原子間存在相互作用，它們的振動相互關(guān)聯(lián)，在晶體中形成了格波。在簡諧近似下，格波是由簡正振動模式所構(gòu)成，各簡正振動是獨(dú)立的。簡正振動可用簡諧振子來描述，諧振子的能量量子稱為聲子，晶格振動可用聲子系統(tǒng)來概括。晶格振動決定了晶體的宏觀熱學(xué)性質(zhì)。晶格振動理論也是研究晶體的電學(xué)性質(zhì)、光學(xué)性質(zhì)、超導(dǎo)等的重要理論基礎(chǔ)。I、簡諧晶體的經(jīng)典運(yùn)動II、簡諧晶體的量子理論III、聲子比熱容IV、非簡諧效應(yīng)V、晶格振動譜的實驗測定VI、長波近似（離子晶體的紅外光學(xué)性質(zhì)）第2頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四第二章（I）簡諧晶體的經(jīng)典運(yùn)動2.2彈性波2.3簡諧近似2.4一維單原子鏈——聲學(xué)支2.1歷史簡述2.5一維雙原子鏈——光學(xué)支2.6三維晶格振動第3頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四2.1歷史簡述晶格振動的研究始于固體熱容研究。19世紀(jì)初人們就通過Dulong-Petit定律，認(rèn)識到熱容量是原子熱運(yùn)動在宏觀上的最直接的表現(xiàn)。1907年Einstein利用Plank量子假說解釋了固體熱容隨溫度降低而下降的現(xiàn)象，推動了固體原子振動的研究。1912年玻恩（Born，1954年Nobel物理學(xué)獎獲得者）和馮卡門（Von-Karman）發(fā)表了論晶體點陣振動的論文，首次使用了周期性邊界條件。但他們的研究當(dāng)時被忽視了，因為同年發(fā)表的更為簡單的Debye熱容理論已經(jīng)可以很好地說明當(dāng)時的實驗結(jié)果了。但后來更為精確的測量卻表明了Debye模型的不足。1935年Blakman重新利用Born和Von-Karman近似討論晶格振動，發(fā)展成現(xiàn)在的晶格動力學(xué)理論。1954年黃昆和玻恩共同出版了《晶格動力學(xué)》一書，成為該領(lǐng)域公認(rèn)的權(quán)威著作。Born第4頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四我國科學(xué)家黃昆先生在晶格振動理論上做出了重要貢獻(xiàn)1945-1947：在英國布列斯托（Bristol）大學(xué)物理系學(xué)習(xí)，獲哲學(xué)博士學(xué)位。發(fā)表《稀固溶體的X光漫反射》論文，理論上預(yù)言“黃散射”。1948-1951：任英國利物浦大學(xué)理論物理系博士后研究員，這期間建立了“黃方程”，提出了聲子極化激元的概念，并與李愛扶（A.Rhys）建立了多聲子躍遷理論。1947-1952：與玻恩教授合著《晶格動力學(xué)》一書（英國牛津出版社（1954），2006年中文版）。黃先生對晶格動力學(xué)和聲子物理學(xué)的發(fā)展做出了卓越的貢獻(xiàn)。他的名字與多聲子躍遷理論、X光漫反射理論、晶格振動長波唯象方程、二維體系光學(xué)聲子模聯(lián)系在一起，他還是“極化激元”概念的最早闡述者。第5頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四2.2彈性波固體是由分立的原子構(gòu)成的，這種不連續(xù)性在晶格振動的討論中必須要考慮。但是當(dāng)波長非常長時，可以不考慮原子的性質(zhì)而把固體當(dāng)作連續(xù)介質(zhì)。這種振動的傳播稱為彈性波。應(yīng)變（e）：每單位長度的長度改變研究彈性波在棒狀樣品中的傳播，假設(shè)彈性波為縱波。定義如下物理量：應(yīng)力（S）：每單位面積上所受的力，它是x的函數(shù)，由胡克定律，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，即：楊氏模量（Y）：上式中的彈性常數(shù)棒中的彈性波u(x)：點x處的彈性位移：棒的質(zhì)量密度A：棒的橫截面積(1)(2)第6頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四波動方程由（2）式得到把（4）式代入（3）后簡化得到，方程的解其中，q=2/稱為波數(shù)；為波的頻率；A為波的振幅(3)(4)(5)(6)第7頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四色散關(guān)系（DispersionRelation）將（6）式代入（5）式得到彈性波的色散關(guān)系(7)（7）式稱為色散關(guān)系色散關(guān)系描述波在傳播過程中波長、頻率、速度等的關(guān)系（Dispersionrelationsdescribetheinterrelationsofwavepropertieslikewavelength,frequency,velocitieset.Al）利用色散關(guān)系計算彈性模量：固體中的典型值s=5105cm/s，=5g/cm3，Y=1.251012g/cms2第8頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四按照波動理論，波速等于/q，故s等于波速；是用描述介質(zhì)性質(zhì)的量來表示的波速；在真空中傳播的光波具有色散關(guān)系=cq，c為光速；液體和氣體中的聲波也滿足類似的關(guān)系；真空中的電磁波真空中的電子水波駐波Dispersionmaybecausedeitherbygeometricboundaryconditions(waveguides,shallowwater)orbyinteractionofthewaveswiththetransmittingmedium.Elementaryparticles,consideredasmatterwaves,haveanontrivialdispersionrelationevenintheabsenceofgeometricconstraintsandothermedia.色散關(guān)系可能是由幾何邊界條件引起的，也可能是波與傳播介質(zhì)相互作用引起的。即使在沒有邊界條件限制或者傳播介質(zhì)時，基本粒子（物質(zhì)波）的色散關(guān)系也不一定是線性的第9頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四以一維單原子鏈為例。把勢能U(r)在平衡位置r=a作泰勒級數(shù)展開：2.3簡諧近似平衡偏離平衡平衡時：原子間距為a，兩個最近鄰原子間的勢能為U(a)偏離平衡時：晶格振動在t時刻，第n個原子對平衡位置的偏離為un。原子偏離平衡位置時，相鄰兩原子間距為r=a+，相對位移=un-un-1，勢能變?yōu)閁(r)=U(a+)平衡位置時的相互作用能，為常數(shù)。在討論動力學(xué)問題時可略去位移線性項，由于原子處在平衡位置對應(yīng)于相互作用能的極值而消失第10頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四簡諧近似：在晶體原子間相互作用勢能的展開式中，忽略三次方和三次方以上項的近似(8)其中，稱為力常數(shù)相鄰原子之間的相互作用力為(9)這是一個線性回復(fù)力。非簡諧項：在晶體原子間相互作用勢能的展開式中三次方和三次方以上的項（主要是位移的3次項、4次項），與非簡諧項有關(guān)的物理效應(yīng)稱為非簡諧效應(yīng)，對于熱傳導(dǎo)、熱膨脹等物理現(xiàn)象的了解，非簡諧項至關(guān)重要。第11頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四在完全簡諧振動中，原子間平均的作用力正好抵消，非諧作用部分使勢能對r=a并不完全對稱，在<0處，比簡諧近似更陡斜，表示作用力變強(qiáng)了，在>0處，比簡諧近似更平緩，表示吸引力減弱了。因此，非諧作用，使得原子在振動時引起一定的相互斥力，從而引起熱膨脹等非簡諧效應(yīng)。0第12頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四2.4一維單原子鏈（簡單格子）—聲學(xué)支對于晶格振動的基本假設(shè)1、假定晶體中的離子實可用布喇菲各自的格矢Rn表示，但將Rn理解為離子實平均的平衡位置。原因是，盡管離子實不再靜止，但對晶體結(jié)構(gòu)的實驗觀察表明，布喇菲格子依然存在。2、離子實圍繞其平衡位置做小的振動，其瞬時位置對平衡位置的偏離小于離子間距。第13頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四當(dāng)晶格處于平衡時，每個原子嚴(yán)格處在格點位置上。晶格開始振動時，每個原子都偏離它們的平衡位置一個小量。由于原子之間的相互作用，各個原子同時運(yùn)動，即要考慮整個晶格的運(yùn)動。由N個原子構(gòu)成的、原子質(zhì)量為m、原子平衡間距為a的一維單原子鏈，原子之間的力通常是短程的，只需考慮最近鄰原子之間的相互作用（最近鄰近似）。在最近鄰近似下，第n個原子的簡諧近似下的牛頓運(yùn)動方程為一、簡諧近似和最近鄰近似下的運(yùn)動方程(10)第14頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四fn,n+1是第n個原子受到第n+1個原子的作用力：(11)fn,n-1是第n個原子受到第n-1個原子的作用力：(12)把（11）式和（12）式代入（10）式，得到，(13)第15頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四二、運(yùn)動方程的解第n個原子的運(yùn)動是和第n+1個、第n-1個原子相耦合的，類似地，第n+1個原子的運(yùn)動也與它的兩個相鄰原子相關(guān)聯(lián)，以此類推。從數(shù)學(xué)上看，對于晶格中的每個原子必須寫出類似的運(yùn)動方程，最終對N個耦合的微分方程聯(lián)立求解，同時必須考慮到加載晶格兩端原子上的邊界條件。解的形式：解代表一行波，其中所有的原子均以相同的頻率和振幅A振動。原子位相是連鎖的，以致從一個原子到下一個原子位相規(guī)則地增加qa（qna是第n個原子在t=0時刻的振動位相）。解存在的前提條件是晶格平移對稱性，即在相同的間隔內(nèi)存在相等的質(zhì)量。反之方程的解可望是強(qiáng)的衰減波。系統(tǒng)的所有基元以相同的頻率振動，稱之為簡正模。晶格振動的情形，簡正模是行波。(14)解的特點從形式上看，格波與連續(xù)介質(zhì)彈性波完全類似，但連續(xù)介質(zhì)彈性波中的X是可以連續(xù)取值的，而格波中只能取na格點位置這樣的孤立值。第16頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四若，l為整數(shù)，解的物理意義，兩原子有相同的位移；若，，兩原子有相反的位移。格波：在任一時刻，原子的位移有一定的周期分布，也即原子的位移構(gòu)成了波，這種波稱為格波；或晶體中所有原子共同參與的振動，以波的形式在整個晶體中傳播，稱為格波。從上面的關(guān)系式看出，q實際上是格波的波矢。（習(xí)慣上將晶格振動的波矢取成q，以和電子的波矢k相區(qū)別，兩者均為同一倒格子空間中的矢量）原子振動以波的方式在晶體中傳播。序號為n和n的原子的簡諧振動方程分別為：nn+1n+2n-1n-2第17頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四三、色散關(guān)系將方程的解（14）代入運(yùn)動方程（13），得到色散關(guān)系：色散關(guān)系可看成是q空間中周期等于2/a的正弦曲線；最大頻率等于m：(15)(16)晶體的彈性力常數(shù)=15N/m原子質(zhì)量m=610-27kgm=1014rad/s（m=1013Hz（10THz）THz波段在微波與紅外光之間。二十世紀(jì)九十年代初，超快激光技術(shù)的發(fā)展，THz波段的輻射產(chǎn)生和探測技術(shù)得到很快發(fā)展。不同材料的晶格振動頻譜具有各自的特征，可以作為這個材料的“指紋”。THz譜技術(shù)作為一種有效的無損探測方法，通過晶格振動頻譜可以鑒別和探測材料。第18頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四且有當(dāng)q0時，即對于長波極限，sin(qa/2)qa/2，此時波速為常數(shù)，即某一原子周圍若干原子都以相同的振幅和位相作振動。當(dāng)q增加時，色散曲線開始偏離直線向下彎曲，最后在q=/a處達(dá)到最大，最大頻率為m此時即相鄰原子以相同的振幅作相對運(yùn)動。第19頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四定性討論當(dāng)波長減小、q增加時，晶格的不連續(xù)性變得更為重要。原子開始對波產(chǎn)生散射，散射的結(jié)果是減小了波速而阻礙波的傳播。因為在波長減小時，散射強(qiáng)度增加。因此q越大，散射變得越強(qiáng)，波速減小得越大，這對于色散曲線向下彎曲。當(dāng)q=/a時，=2a，近鄰原子的位相相反，恢復(fù)力和頻率取最大值。對應(yīng)于q0的長波極限情形：由于原子間隔比波長小得多，>>a，以致可以把介質(zhì)作為一個連續(xù)體來處理，線性關(guān)系成立。即對于小的q，原子實際上彼此同位相運(yùn)動，由于近鄰的作用對原子產(chǎn)生的恢復(fù)力很小，也就小。當(dāng)q=0，=時，整個晶格象一個剛體一樣運(yùn)動，因而恢復(fù)力為零，這就解釋了為什么在q=0處=0。第20頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四1、位相和群速度對于任意的色散關(guān)系，相速度表示為：p是精確指定頻率和波矢q的一個純波動的傳播速度。對于格波：(17)格波的傳播速度是波長的函數(shù)，波長不同的格波傳播速度不同。這與可見光通過三角棱鏡的情況相似。不同波長的光，在棱鏡中傳播的速度不同，折射角就不同，從而導(dǎo)致色散。所以，這就是為什么通常稱與q的關(guān)系為色散關(guān)系的原因。色散關(guān)系也稱振動譜或振動頻譜。第21頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四群速度表示為：q描述的是平均頻率為和平均波矢為q的波脈沖的速度。實際上因為能量和動量是通過脈沖而不是用純波來傳送的，物理上群速度更有意義。對于格波：(18)在長波極限的情形，=sq，p=q=聲速，即在這種極限，點陣的行為象一個連續(xù)體，沒有色散發(fā)生。當(dāng)q增加時，q，即色散曲線的斜率，穩(wěn)定地減小，且在q=/a點減小到q=0。第22頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四當(dāng)q=/a時，=2a，因而被近鄰原子散射的子波位相相差。但是當(dāng)被B反射的子波到達(dá)被A反射的子波時，它們的位相相同，這點也適用于其它的子波。所有散射的子波相長地干涉，結(jié)果反射取極大。入射波AB反射子波格波的Bragg反射這種情況相對于X射線的布拉格反射：上述得到的臨界值q=/a滿足布拉格條件2dsin=n，于是有=(1/2)，d=a，q=2/，n=1，從而=2a。對于X射線而言，n可以具有除1以外的其它整數(shù)值，因為在兩個原子之間的空間內(nèi)電磁波振幅是有意義的，而彈性波的位移振幅只是在原子本身處才有意義。在q=/a處，反射波如此之強(qiáng)，以致當(dāng)它和入射波合成時形成駐波，導(dǎo)致群速度q=0，這個波既不向右運(yùn)動也不向左運(yùn)動。Bragg條件的再現(xiàn)是晶格色散關(guān)系曲線的重要特征，是入射場的波動性和晶格周期性的結(jié)果，與場的特殊性質(zhì)，電磁的還是聲學(xué)的，并無關(guān)系。駐波形成與Bragg反射第23頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四（19）式、（20）式稱為格波的平移對稱性2、原子鏈的分立性與第一布里淵區(qū)上述兩式表明波矢q=q+2/a狀態(tài)與波矢q狀態(tài)描述的是同一個晶格振動狀態(tài)。例如，q=5/2a與q=/2a振動狀態(tài)中，晶格原子的位移un是完全一樣的，即相差一個倒格矢的兩個狀態(tài)中，所有的原子振動完全相同。格波解（14）是波矢q的周期函數(shù)(19)色散關(guān)系（15）也是波矢q的周期函數(shù)(20)第24頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四這是原子鏈的分立性的結(jié)果。由于原子鏈中的原子是分立的，同一個振動狀態(tài){un}可以用不同的波矢或波長來描述。布里淵區(qū)的大小與原子間距成反比，若原子間距減小，布里淵區(qū)隨之增大。對于連續(xù)的弦的振動，一個振動狀態(tài)只能用唯一確定的波矢或波長來描述，不可能用不同的波矢或波長來描述，波矢空間的任一個波矢都與一個運(yùn)動狀態(tài)一一對應(yīng)。由于格波解和色散關(guān)系對于q的周期性，我們可以限制波矢q在一個周期的獨(dú)立取值范圍內(nèi)。通常選取以原點為對稱心得一個周期：這就是一維單原子鏈的布里淵區(qū)。晶格振動的所有可能的狀態(tài)都包含在該布里淵區(qū)中，這個區(qū)域之外的波矢q不提供任何新的振動狀態(tài)。(21)第25頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四反射對稱性：q>0，模式q代表晶格中右行波，模式-q代表相同波長的左行波。因為晶格在這兩個方向上是等價的，它們以相同的形式對兩列波作出反應(yīng)，相應(yīng)的頻率必須相同。不論原子之間的相互作用是何種類型，一般來說對稱性應(yīng)當(dāng)確實成立，因為這些性質(zhì)來自實際晶格的對稱性。例如，如果除了最近鄰的相互作用還包括其它相互作用，色散關(guān)系將更為復(fù)雜，但q空間的平移和反射的對稱性仍保持有效。第26頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四由于實際晶體的長度是有限的，記為L=Na，根據(jù)Born-Karman周期性邊界條件，有3、晶體的線度的有限性與波矢的分立性(22)代入格波解（14）式，得到，(23)(24)（l為整數(shù)）將（24）式代入（21）式，得到，該式表明，允許的波矢數(shù)目等于N，振動譜是分立譜。N是晶格的原胞數(shù)目。即晶格振動的波矢數(shù)目等于晶體的原胞數(shù)。(25)第27頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四一維單原子鏈晶格振動的波矢是分立的，相鄰兩個波矢的差為：(26)q與原子鏈的線度L成反比，隨著L的增大，q逐漸減小。當(dāng)原子鏈無限長時，q為零，這時波矢連續(xù)取值，即無限長的原子鏈中波矢是連續(xù)取值的。波矢的分立性，與系統(tǒng)線度的有限性有關(guān)。這在量子力學(xué)中的一維無限深勢阱中電子能量本征態(tài)的求解中已經(jīng)學(xué)習(xí)過。對于0<x<L的一維無限深勢阱，電子能量的本征波函數(shù)為無限深勢阱中的電子波函數(shù)滿足駐波邊界條件，即由此得到電子波矢的取值為（l為整數(shù)）相鄰兩個波矢的差為與一維單原子鏈類似，k與勢阱的線度L成反比，隨著L的增大，k逐漸減小。當(dāng)勢阱無限寬時，k為零，這對應(yīng)于自由空間中的電子，波矢是連續(xù)取值的。另外，長為L的連續(xù)弦中的駐波，波矢（波長）也是分立的，波長分別為L/2、L/3、L/4等。第28頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四僅考慮最近鄰相互作用的單原子鏈的色散關(guān)系四、小結(jié)在布里淵區(qū)邊界處，格波的群速度為零，相當(dāng)于受到布拉格反射，形成駐波。在長波極限下，qa<<1，色散關(guān)系表示為：此時鏈中分立的原子結(jié)構(gòu)可以忽略，色散關(guān)系與一維連續(xù)彈性波介質(zhì)中的聲波或彈性波相同，系數(shù)a(/m)1/2為聲速。常把q0，0的色散關(guān)系稱為聲學(xué)支（acousticBranch）。每一組(,q)所對應(yīng)的振動模式也相應(yīng)地稱為聲學(xué)模（acousticmode）。第29頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四一維雙原子晶格，單胞長度2a2.5一維雙原子鏈（復(fù)式格子）—光學(xué)支一維雙原子鏈?zhǔn)怯蓛煞N不同的原子構(gòu)成的一維原子鏈，由N個質(zhì)量為m和N個質(zhì)量為M的兩種原子相間排列而成，原子平衡間距為a，晶格周期為2a。第30頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四在簡諧近似和最近鄰近似下，第n個原胞原子的運(yùn)動方程為，上述兩個方程是耦合的，對于晶體中的每一個單胞可以寫出類似的一組方程，總共有2N個耦合的微分方程，必須聯(lián)立求解。(27)類似于單原子晶格，以行波試探解：(28)把試探解（28）代入（27）式，得到，(29)一、簡諧近似和最近鄰近似下的運(yùn)動方程第31頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四(29)式是齊次方程，只有矩陣行列式為零才有非零解，于是久期方程：這是一個關(guān)于2的二次方程，兩個根是：(30)(31)(32)(33)（31）~（33）是等價的。與解的正負(fù)號相應(yīng)，有兩個色散關(guān)系，因而與雙原子晶格相關(guān)的有兩條或兩支色散曲線。第32頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四二、色散關(guān)系一維雙原子鏈得到兩個解，兩種色散關(guān)系，它們都是q的周期函數(shù)。和一維單原子相同的討論可知，q取值范圍也是在第一布里淵區(qū)（/a）內(nèi)。此時點陣基矢是2a，倒易點陣基矢是/a，得到波矢去的取值范圍：(34)u為約化質(zhì)量這就是一維雙原子鏈的布里淵區(qū)。晶格振動的所有可能狀態(tài)都包含在該布里淵區(qū)內(nèi)，這個區(qū)域之外的波矢q不提供任何新的振動狀態(tài)。一維雙原子鏈可作帶通濾波器。第33頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四q=0時：1、零點和布里淵區(qū)邊界數(shù)值的確定q=/2a時：第34頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四2、周期性邊界條件由于實際晶體的長度是有限的，為L=N2a，根據(jù)Born-Karman周期性邊界條件，有(35)代入格波解（28）式，得到，(36)（l為整數(shù)）q的分布密度：(37)第一布里淵區(qū)內(nèi)波數(shù)q的總數(shù)就是晶體鏈原胞的數(shù)目N：每個q值對應(yīng)著兩個頻率，所以，晶格振動格波的總數(shù)=2N=晶體鏈的自由度數(shù)。(38)第35頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四三、聲學(xué)波和光學(xué)波一維雙原子鏈晶格振動的色散關(guān)系有兩支，取正號的一支頻率較大，稱為光頻支，取負(fù)號的一支稱為聲頻支。+對應(yīng)的格波稱為光學(xué)波，-對應(yīng)的格波稱為聲學(xué)波。由色散關(guān)系可以看出：由（29）式第二式得到：由于波數(shù)被限制在第一布里淵區(qū)，cosaq>0所以，即相鄰原子的振動方向相同。聲學(xué)波第36頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四在長波極限下(q0)：表明：在長波極限下，原胞內(nèi)兩種原子的運(yùn)動完全一致，振幅和位相均相同。聲學(xué)（質(zhì)心運(yùn)動）LATA原子以相同振幅平行振動第37頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四在長波近似下，-格波與聲學(xué)波有著相同的色散關(guān)系。所以我們將這種晶格振動稱為聲學(xué)波或聲學(xué)支。原胞內(nèi)兩種原子的運(yùn)動完全一致，振幅和位相均相同，因此，長聲學(xué)波代表原胞的質(zhì)心運(yùn)動。事實上，在長波極限下，晶格可以看成連續(xù)的彈性介質(zhì)，格波類似于聲波（彈性波）。第38頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四表明：波節(jié)在小原子處的駐波。在短波極限（布里淵區(qū)邊界，q=/2a）：LA=4aTA=4a第39頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四光學(xué)波由色散關(guān)系可以看出：由（29）式第一式得到：由于波數(shù)被限制在第一布里淵區(qū)，cosaq>0所以，即相鄰原子的振動方向相反。光學(xué)（原子相對運(yùn)動）第40頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四在長波極限下（q0）：表明：在長波極限下，原胞內(nèi)兩種原子振動相位相反，質(zhì)心固定不變。LOTO原子相對振動第41頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四+為什么被稱作光學(xué)支振動？如果原胞內(nèi)兩個帶相反電荷的離子（如離子晶體），那么正負(fù)離子的相對振動必然會產(chǎn)生電偶極矩，而這一電偶極矩可以和電磁波發(fā)生相互作用。在某種光波的照射下，光波的電場可以激發(fā)這種晶格振動。因此，我們稱這種振動為光學(xué)波或光學(xué)支。實際晶體的長光學(xué)波的+(0)~1013~1014/s，對應(yīng)遠(yuǎn)紅外的光波，因此離子晶體的長光學(xué)波的共振能夠引起遠(yuǎn)紅外光在=+附近的強(qiáng)烈吸收，正是基于此性質(zhì)，+支被稱作光學(xué)支。光波電磁波和光學(xué)波的共振第42頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四表明：波節(jié)在大原子處的駐波。在短波極限（布里淵區(qū)邊界，q=/2a）：LA=4aTA=4a第43頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四光學(xué)波和聲學(xué)波的區(qū)別光學(xué)支模式是描寫原胞中兩個原子相對運(yùn)動的振動模式。若這兩個原子組成一個分子，光學(xué)支模式實際上是分子振動模式，描寫的是同一個分子中的原子的相對運(yùn)動情況。聲學(xué)支模式代表同一原胞中原子的整體運(yùn)動。若初基晶胞中的兩個原子組成一個分子的話，聲學(xué)支模式則代表分子的整體運(yùn)動模式，這種振動模式的色散關(guān)系類似于聲波。長光學(xué)支格波的特征是每個原胞內(nèi)的不同原子做相對振動，振動頻率較高，它包含了晶格振動頻率最高的振動模式。長聲學(xué)支格波的特征是原胞內(nèi)的不同原子沒有相對位移，原胞做整體運(yùn)動，振動頻率較低，它包含了晶格振動頻率最低的振動模式，波速是一常數(shù)。任何晶體都存在聲學(xué)支格波，但簡單晶格（非復(fù)式格子）晶體不存在光學(xué)支格波?？v振動橫振動第44頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四2.6三維晶格振動一、動力學(xué)矩陣設(shè)晶體原胞的基矢為a1、a2、a3，沿基矢方向晶體各有N1、N2、N3個原胞，即晶體一共有N=N1N2N3個原胞。每個原胞中有n個原子，質(zhì)量分別為m1、m2、、mn，平衡位置的相對坐標(biāo)為r1、r2、、rn。設(shè)頂點的位置矢量為(39)的原胞中n個原子在t時刻偏離其平衡位置的位移為(40)第p個原子在（若直角坐標(biāo)，=x，y，z）方向的運(yùn)動方程則為(41)第45頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四在簡諧近似下，（41）右端是位移的線性代數(shù)式，其解的形式設(shè)為，(42)因為q一定，qrp相位是定值，相位因子eiqrp已歸并到振幅Ap中。(43)（42）式分量表示為(44)因為振幅Ap一共有3n個，將（43）式代入（41）式得到3n個線性齊次聯(lián)立方程，(45)由Ap有非零解得條件，即其系數(shù)行列式等于零，可解出3n個的實根。在3n個實根中，其中有三個當(dāng)波矢趨于零時有，其中是q方向傳播的彈性波的速度，是一常數(shù)。此時A1=A2==An，即原胞作剛性運(yùn)動，原胞中原子的相對位置不變，這三支格波稱為聲學(xué)波，其余的（3n-3）支格波的頻率比聲學(xué)波的最高頻率還高，稱為光學(xué)波。第46頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四二、格波的模式數(shù)根據(jù)周期性邊界條件的限制，(46)得到(47)第47頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四由（47）式可知，當(dāng)(48)h1、h2、h3為整數(shù)時，（47）式才能成立，因此波矢q具有倒格矢的量綱，容易得出(49)其中b1、b2、b3是倒格矢。三維格波的波矢是分離的，其中b1/N1、b2/N2、b3/N3是波矢的基矢，波矢的點陣具有周期性，最小的重復(fù)單元的體積為其中*、和Vc分別為倒格原胞體積、正格原胞體積和晶體體積。第48頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四一個重復(fù)單元對應(yīng)一個波矢，單位波矢空間內(nèi)的波矢數(shù)目，即波矢密度為，(50)在簡約布里淵區(qū)，波矢可取得數(shù)目為；(51)對于每一個波矢q，對應(yīng)3個聲學(xué)波，（3n-3）各光學(xué)波，所以晶格振動的模式數(shù)目為(52)nN是原子總數(shù)，3nN是所有原子的自由度數(shù)之和。晶格振動的波矢數(shù)目=晶體的原胞數(shù)格波振動模式數(shù)目=晶體中所有原子的自由度數(shù)之和第49頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四平移對稱性：三、q空間的對稱性：第一布里淵區(qū)（三維）反演對稱性：色散關(guān)系展現(xiàn)實際晶格所具有的任何轉(zhuǎn)動對稱性。例如在立方晶體中，每支的色散關(guān)系都展現(xiàn)出立方對稱性。只需在布里淵區(qū)的小范圍內(nèi)測定色散曲線，而其余的區(qū)域可以應(yīng)用對稱性來完成。如在立方晶體中，色散曲線僅需要在布里淵區(qū)1/48范圍內(nèi)確定。需要注意的是，這些對稱性可分別應(yīng)用于每支色散關(guān)系曲線，它們彼此之間互不相關(guān)。相差倒格矢G的波矢是等價的，倒格子空間的每一原胞包含同樣的信息。相反方向傳播的波具有相同的色散關(guān)系，這源于過程的時間反演對稱性。第50頁，共55頁，2023年，2月20日，星期四四、討論對于p=1的簡單晶格：與一維單原子鏈類似，只有聲學(xué)波。不同之處在于，在一維單原子鏈中，只有1個自由度，相應(yīng)于1個聲學(xué)支，原子振動的方向與波傳播的方向一致，稱為縱聲學(xué)支（LongitudinalAcousticBranch，LA）?，F(xiàn)在除去縱波外，還可有兩個原子振動方向與波傳播方向垂直的橫聲學(xué)支（TransverseAcousticBranch，TA）存在。對于縱模和橫模，原子間相互作用的力常數(shù)不同，LA和TA通常并不簡并。對于單原子鏈，或