回歸模型中的隨機(jī)誤差項問題

回歸模型中的隨機(jī)誤差項問題第1頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四一、古典假定假定1：隨機(jī)項ui具有零均值：

E(ui|xi)=0i=1,2,…,n假定2：隨機(jī)項ui具有同方差：

Var(ui|xi)=u2

i=1,2,…,n假定3：隨機(jī)項ui無序列相關(guān)性：

Cov(ui,uj)=0i≠j

i,j=1,2,…,n假定5：u服從正態(tài)分布

ui~N(0,u2)i=1,2,…,n第一節(jié)概述第2頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/42

有了以上這些假定，根據(jù)高斯－馬爾可夫（Gauss-Markov）定理，我們知道古典回歸模型的最小二乘估計量（OLSE）是線性最優(yōu)無偏估計量(BLUE)，而且服從正態(tài)分布。因此，就可以進(jìn)行參數(shù)的區(qū)間估計，而且也可以檢驗真實總體回歸系數(shù)的顯著性。第3頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/43二、古典假定的違背及造成的后果

在實際經(jīng)濟(jì)問題中，上述的古典假定不一定都能得到滿足。如果這些假定不完全滿足，則OLSE的BLUE特性將不復(fù)存在。當(dāng)然，每一個假定不滿足所造成的后果是不同的。在本章中，我們將嚴(yán)格考察上述假定，找出如果有一個或多個假定得不到滿足時，估計量的性質(zhì)將會發(fā)生什么變化,并研究當(dāng)出現(xiàn)這些情況時，應(yīng)該如何處理，即古典模型假定違背的經(jīng)濟(jì)計量問題。第4頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/44

關(guān)于假定1，一般地我們認(rèn)為假定E(ui|xi)=0

是合理的。因為隨機(jī)項u是多種因素的綜合，而每種因素的影響都“均勻”地微小，它對因變量的影響不是系統(tǒng)的，且正負(fù)影響相互抵消，故所有可能取值平均起來為零。即使有輕度的違反，從實踐的觀點來看可能不會產(chǎn)生嚴(yán)重的后果，因為它可能只影響回歸方程的截距項。關(guān)于隨機(jī)項正態(tài)性分布的假定，如果我們的目的僅僅是估計，這種假定并不是絕對必要的。事實上，無論是否是正態(tài)分布，OLSE估計式都是BLUE。剩下的四個假定將在下面的四節(jié)中分別加以討論。第5頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/45三、廣義最小二乘法（GLS）

給定線性回歸模型Y=Xβ

+u(4.7)

若古典假定完全滿足，根據(jù)Gauss-Markov定理，其系數(shù)的最小二乘估計量

B＝(X′X)–1

X′Y(4.8)

具有BLUE性質(zhì)。若古典假定得不到完全滿足，特別是假定2（同方差性）和假定3（無序列相關(guān)性）得不到滿足時，對OLSE的影響更大。第6頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/46使得其中的重新滿足假定2(同方差性)和假定3(無序列相關(guān)性)。這樣就可以對上式使用OLS估計參數(shù)，從而使得上式的OLSE仍然為BLUE。其中Ω≠I，Ω是一個n×n的正定對稱方陣。若因假定2和假定3不滿足時，有廣義最小二乘法（GeneralLeastSquares－GLS）就是為了解決上述問題提出的。其基本思路是：若假定2同方差性）和假定3（無序列相關(guān)性）得不到滿足時，我們可以采取適當(dāng)?shù)淖儞Q，使原模型變?yōu)橐韵碌男问剑旱?頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/47

此時可以覓得一個n×n的非奇異矩陣P，使得：PΩP′=I

即P′P

=Ω-1

然后用覓得的P乘以(4.7)的兩邊，有：

PY=PXβ+Pu

記

(4.7)就轉(zhuǎn)換為：由于：(4.14)第8頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/48所以，(4.14)

滿足同方差性和無序列相關(guān)性，即可以采用OLS估計參數(shù)了。其參數(shù)的OLSE為：GLSE的協(xié)方差矩陣為：上式中的稱為廣義最小二乘估計量（GLSE），可以證明，它具有線性、無偏性和最小方差性，即它是最優(yōu)線性無偏估計量（BLUE）(4.16)第9頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/49第二節(jié)異方差一、異方差及其產(chǎn)生的原因則稱隨機(jī)誤差項u具有異方差性(Heteroscedasticity)。如果被解釋變量觀測值的分散程度是隨解釋變量的變化而變化的，如圖4.1所示，可以把異方差看成是由于某個解釋變量的變化而引起的，則

當(dāng)不能滿足同方差的假設(shè)，即u的條件方差在不同次的觀測中不再是一個常數(shù)，而是取得不同的數(shù)值，即第10頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/410圖4.1異方差示意圖

xyf(y)第11頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/411異方差舉例例：截面資料下研究居民家庭的儲蓄行為

yi=0+1xi+uiyi：第i個家庭的儲蓄額xi：第i個家庭的收入高收入家庭：儲蓄的差異較大低收入家庭：儲蓄則更有規(guī)律性，差異較小

ui的方差呈現(xiàn)單調(diào)遞增型變化第12頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/412yx圖4.2收入-儲蓄模型中的異方差第13頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/413例:以某一行業(yè)的企業(yè)為樣本建立企業(yè)生產(chǎn)函數(shù)模型

Q=AKαLeu其中，Q為產(chǎn)出量，K為資本，L為勞動力，u為隨機(jī)項。u在該問題中表示了包括不同企業(yè)在設(shè)計上、生產(chǎn)工藝上的區(qū)別，技術(shù)熟練程度和管理上的差別以及其它因素。這些因素在小企業(yè)之間差別不大，而在大企業(yè)之間，這些因素都相差甚遠(yuǎn)，即隨機(jī)項的方差隨著解釋變量的增大而增大。第14頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/414異方差產(chǎn)生的原因1、模型中省略的解釋變量如果將某些未在模型中出現(xiàn)的重要影響因素歸入隨機(jī)誤差項，而且這些影響因素的變化具有差異性，則會對被解釋變量產(chǎn)生不同的影響，從而導(dǎo)致誤差項的方差隨之變化，即產(chǎn)生異方差性。

2、測量誤差一方面，解釋變量取值越大測量誤差會趨于增大；另一方面，測量誤差可能隨時間而變化。3、截面數(shù)據(jù)中總體各單位的差異如前面家庭儲蓄行為中高低收入家庭的差異。

4.模型函數(shù)形式設(shè)定錯誤如把變量間本來為非線性的關(guān)系設(shè)定為線性，也可能導(dǎo)致異方差。第15頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/415注意：☆異方差問題多在于截面數(shù)據(jù)中而非時間序列數(shù)據(jù)中。☆本教材只討論橫截面數(shù)據(jù)的異方差問題。第16頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/416二、異方差產(chǎn)生的后果最小二乘估計量仍然是線性無偏的，但不再具有最小方差性。參數(shù)的顯著性檢驗和置信區(qū)間的建立發(fā)生困難。雖然最小二乘法參數(shù)的估計量是無偏的，但這些參數(shù)方差的估計量、是有偏的。預(yù)測的精確度降低。第17頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/417三、異方差的檢驗

由于異方差性就是相對于不同的解釋變量觀測值，隨機(jī)誤差項具有不同的方差。那么：

檢驗異方差性，也就是檢驗隨機(jī)誤差項的方差與解釋變量觀測值之間的相關(guān)性及其相關(guān)的“形式”。(一)圖示法

隨機(jī)項u的異方差與解釋變量的變化有關(guān)。因此，可利用因變量y與解釋變量x的散點圖或殘差e2i與x的散點圖，對隨機(jī)項u的異方差作近似的直觀判斷。第18頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/418yxyxyxyxA同方差B遞增異方差C遞減異方差D復(fù)雜異方差第19頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/419第20頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/420（二）Goldfeld-Quandt檢驗該方法該檢驗方法是Goldfeld和Quandt于1965年提出的，用于檢驗是否存在遞增或遞減異方差，要求觀測值為大樣本。基本思想是將樣本分為兩部分，然后分別對兩個樣本進(jìn)行回歸，并計算比較兩個回歸的剩余平方和是否有明顯差異，以此判斷是否存在異方差。原假設(shè)為：H0：u同方差，即σ21=…=σ2n備擇假設(shè)為：H1：u是遞增異(或遞減)方差，即σ2i隨xi遞增(或遞減)(i=1,2,…,n)第21頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/421G-Q檢驗的步驟：1.將n對樣本觀察值(xi,yi)按觀察值xi的大小排隊。2.將序列中間的c個觀察值除去，并將剩下的觀察值劃分為較小與較大的相同的兩個子樣本，每個子樣樣本容量均為(n-c)/2。注意：對于n≥30時，c=n/4最合適。3.對每個子樣分別進(jìn)行OLS回歸，并計算各自的殘差平方和。分別用RSS1與RSS2表示較小與較大的殘差平方和，它們的自由度均為(n-c)/2–k–1，k為模型中自變量個數(shù)。 4.選擇統(tǒng)計量第22頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/422如果檢驗遞增方差：如果檢驗遞增方差：5.進(jìn)行檢驗可以證明，在原假設(shè)下，如果具有等方差性，兩個方差估計量應(yīng)該相差不大，F(xiàn)值就應(yīng)接近于1。如果存在異方差，那么F值就應(yīng)該比1大出許多。在給定的顯著性水平下，利用F分布的臨界值Fα進(jìn)行顯著性檢驗。當(dāng)F＞Fα?xí)r，應(yīng)拒絕H0，認(rèn)為存在異方差性，當(dāng)F不大于Fα?xí)r，應(yīng)接受H0，認(rèn)為存在同方差性。第23頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/423例4.1根據(jù)隨機(jī)抽取的21個農(nóng)村家庭年底儲蓄余額與年內(nèi)家庭純貨幣收入的資料，按收入排序后的數(shù)據(jù)見下表。其中，

x為年內(nèi)家庭純貨幣收入（元），

y為年底家庭儲蓄余額（元）。家庭編號xy家庭編號xy1590.2107122827.7315892664.94123133084.1722093809.5159143462.7128784875.54189153932.5237225991.25233165150.79535061109.95312177153.35808071357.87401189076.851175881682.85221910448.211583991890.586642011575.4818196102098.258712112500.8420954112499.581033

表4.1家庭儲蓄余額與純貨幣收入數(shù)據(jù)表第24頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/424（三）White檢驗White檢驗的基本思想：如果存在異方差，其方差與解釋變量有關(guān)，可以分析方差是否與解釋變量有某些形式的聯(lián)系以判斷異方差性。但是方差一般是未知的，可用OLS法估計的殘差平方作為其估計量。在大樣本的情況下，做對常數(shù)項，解釋變量，解釋變量的平方及其交叉乘積等所構(gòu)成的輔助回歸，利用輔助回歸相應(yīng)的檢驗統(tǒng)計量，即可判斷是否存在異方差性。

第25頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/425例如，二元線性回歸模型為

(4.21)異方差與解釋變量x1、x2的一般線性關(guān)系為

（4.22）其中vi為隨機(jī)誤差。White檢驗的基本步驟如下：1.運(yùn)用OLS估計（4.21）。

2.計算殘差序列ei，并求e2i。3.做e2i對x1i,x2i

,x21i,x22i

,x1ix2i

,的輔助回歸，即第26頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/4264.計算統(tǒng)計量nR2,n為樣本容量，R2為輔助回歸的樣本決定系數(shù)。5.在原假設(shè)“誤差項同方差”下，nR2服從自由度為5的χ2分布。給定顯著性水平α，查分布表得臨界值χ2α(5)

，如果nR2＞χ2α(5)

，則拒絕原假設(shè)，表明模型中隨機(jī)誤差存在異方差（EViews軟件中給出nR2對應(yīng)的概率(Probability)。若

Probability＜α，則表明模型中隨機(jī)誤差存在異方差，α一般取0.05）。

White檢驗的特點是，不僅能夠檢驗異方差的存在性，同時在多變量的情況下，還能判斷出是由哪一個變量引起的異方差，通常應(yīng)用于截面數(shù)據(jù)的情形。此方法不需要異方差的先驗信息，但要求觀測值為大樣本。第27頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/427（四）Park檢驗Park將σ2i看成是解釋變量xi的某個函數(shù)。他所建議的函數(shù)形式是：或由于σ2i通常是未知的，Park建議用e2i作為替代變量并作如下回歸：如果γ在統(tǒng)計上是顯著的，就表明存在異方差。如果它不顯著，則可接受同方差假設(shè)。Park檢驗不但可以用于檢驗異方差，還可以找出異方差的數(shù)學(xué)形式。第28頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/428（五）戈里瑟(Gleiser)檢驗Glejeser檢驗的基本思路是：在殘差|ei|關(guān)于解釋變量的各種冪次影響關(guān)系中，確定出一個最顯著的函數(shù)形式，它不僅可以說明異方差的存在，還確定了異方差的表現(xiàn)形式。具體步驟如下：1.利用最小二乘法對模型進(jìn)行回歸，計算殘差ei。2.對|ei|關(guān)于xi的各種冪次關(guān)系進(jìn)行回歸，再利用最小二乘法進(jìn)行估計。例如可以取以下形式第29頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/429對各個回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計檢驗，如果某種回歸形式的擬合優(yōu)度高，系數(shù)的t檢驗顯著，就說明|ei|與xi存在該種影響關(guān)系，從而異方差存在。注意:Glejeser檢驗的計算工作量較大，一般是先通過其它檢驗方法確定了存在異方差之后，再用此方法確定異方差的形式。第30頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/430（六）Spearman等級（秩）相關(guān)檢驗

這是一種非參數(shù)檢驗。方法為：1.利用最小二乘法對模型進(jìn)行回歸，計算殘差ei及其絕對值|ei|；2.給出xj的每個xji的位次和|ei|的位次；3.計算每個樣本點xji的位次和|ei|的位次之差di

4.計算Spearman等級（秩）相關(guān)系數(shù)：第31頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/4315.對Spearman等級（秩）相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗。檢驗統(tǒng)計量為：在原假設(shè)“總體的Spearman等級（秩）相關(guān)系數(shù)為0”下，上述統(tǒng)計量服從自由度為（n－2）的t分布。上述統(tǒng)計量服從自由度為（n－2）的t分布。對應(yīng)給定顯著性水平的臨界值tα/2(n-2)，若t≤tα/2(n-2)

，則認(rèn)為不存在異方差，若t＞tα/2(n-2)

，則認(rèn)為存在異方差。第32頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/432四、解決異方差問題的途徑基本思路：變換原模型，使經(jīng)過變換后的模型具有同方差性，然后再用OLS法進(jìn)行估計。常用方法是加權(quán)最小二乘法（WeightedLeastSquare，WLS），它是廣義最小二乘法（GLS）的一個應(yīng)用。第33頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/433

在同方差假定下，OLS把每個殘差平方都同等的看待，都賦予相同的權(quán)數(shù)1。但是,當(dāng)存在異方差時，方差越小，其樣本值偏離均值的程度越小，其觀測值越應(yīng)受到重視，即方差越小，在確定回歸線時的作用越大；反之方差越大，其樣本值偏離均值的程度越大，其觀測值所起的作用應(yīng)當(dāng)越小。也就是說，在擬合存在異方差的模型的回歸線時，對具有不同方差的殘差應(yīng)該區(qū)別對待。從樣本的角度，對較小方差的殘差給予較大的權(quán)數(shù)，對較大方差的殘差給予較小的權(quán)數(shù)，從而使加權(quán)的殘差平方和比其簡單平方和能更好地反映不同樣本點數(shù)據(jù)對殘差平方和的影響。

（一）加權(quán)最小二乘法第34頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/434通常將權(quán)數(shù)取為：

則加權(quán)的殘差平方和為：

根據(jù)最小二乘原理，使加權(quán)的殘差平方和最小，即：解得：其中：這種求解參數(shù)估計式的方法為加權(quán)最小二乘法，這樣估計出的參數(shù)稱為加權(quán)最小二乘估計量（WLSE）。第35頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/435實際應(yīng)用中，由于隨機(jī)項的方差未知，WLS是無法使用的，因此，一般采用以下等價的方法：在一元模型中，由異方差的含義，條件方差可表示為解釋變量的函數(shù)，若這種函數(shù)可以估計出來，比如：這時用乘以的兩邊，得：記：則：這說明轉(zhuǎn)換后的模型具有了同方差性，可以使用OLS進(jìn)行估計了。第36頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/436在多元模型中，若方差與m個解釋變量有關(guān)，則可設(shè)：用去乘以原模型兩端得：類似一元模型的情況，可以說明轉(zhuǎn)換后的模型具有了同方差性，可以使用OLS進(jìn)行估計了?？梢姡@種方法的思路實際上就是當(dāng)確定了異方差的具體的形式時，將原模型加以適當(dāng)?shù)摹白儞Q”，使得“變換”后的模型消除或減輕異方差的影響。第37頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/437再以一元模型為例進(jìn)行分析:假定1:此時用xi的倒數(shù)去乘以原模型的兩邊得：此時:這樣轉(zhuǎn)換后的模型具有同方差性。(其中,)對轉(zhuǎn)換后的模型應(yīng)用OLS，即可求得：于是，得到原模型的樣本回歸方程為：第38頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/438假定2此時用的倒數(shù)去乘以原模型的兩邊,可得對轉(zhuǎn)換后的模型應(yīng)用OLS得：其中：進(jìn)一步還原可得到原模型的樣本回歸方程。第39頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/439（二）模型的對數(shù)變換

在經(jīng)濟(jì)意義成立的情況下，如果對線性模型作對數(shù)變換，其變量均用對數(shù)代替，通常可以降低異方差性的影響。原因：運(yùn)用對數(shù)變換能使測定變量值的尺度縮小。如取自然對數(shù)，它可以將兩個數(shù)值之間原來10倍的差異縮小到只有2倍多的差異。經(jīng)過自然對數(shù)變換后的模型，其殘差表示相對誤差，而相對誤差往往比絕對誤差有較小的差異。第40頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/440注意：對變量取對數(shù)雖然能夠減少異方差對模型的影響，但應(yīng)注意取對數(shù)后變量的經(jīng)濟(jì)意義。如果變量之間在經(jīng)濟(jì)意義上并非呈對數(shù)線性關(guān)系，則不能簡單地對變量取對數(shù)，這時只能用其他的方法對異方差進(jìn)行修正。如果異方差是由省略的解釋變量而造成的，進(jìn)行模型轉(zhuǎn)換雖然可以消除異方差，但參數(shù)估計值仍然可能不準(zhǔn)確，此時最好的解決方法是找出被省略的解釋變量，并加入到模型中去。第41頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/441（三）在OLS下，使用異方差性一致估計量

存在異方差時，參數(shù)的OLSE仍是無偏和一致估計量，應(yīng)該說還是具有良好性質(zhì)的估計量。但異方差性造成系數(shù)的置信區(qū)間和假設(shè)檢驗結(jié)果不可信賴，造成方差的OLSE有偏。White設(shè)計了異方差性一致估計量指標(biāo)，解決了異方差條件下回歸系數(shù)方差的估計問題。這種估計量的性質(zhì)不是“最好”，但它們對于同方差性的違背不敏感，被稱為方差的穩(wěn)健估計量（RobustEstimators）。下面我們用一元線性回歸模型對White方法作一說明。第42頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/442OLS估計的斜率系數(shù)的方差公式是：如果滿足同方差假定，則存在一個常數(shù)方差，將其代入(4.34)，有：

(4.34)但在異方差條件下，不存在這樣的常數(shù)方差，White的方法是在(4.34)式中用取代(這里是第i個OLS殘差），得到異方差性一致標(biāo)準(zhǔn)誤差：第43頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/443注意：不能用得到的一致估計量，White得到的是的一致估計量，它是的加權(quán)平均。

同樣的分析適用于多元回歸OLSE的情況，用White方法得到的第j個OLS回歸系數(shù)方差的異方差性一致估計值由下式給出：其中是從xj對方程中所有其它解釋變量OLS回歸得到的殘差，ei為原多元回歸模型的第i個OLS殘差。第44頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/444

通過使用諸方差的White異方差性一致估計值代替其OLS估計值，我們解決了異方差性造成系數(shù)的置信區(qū)間和假設(shè)檢驗結(jié)果不可信賴的問題。與本節(jié)前面介紹的WLS法相比，這種的解決異方差性的方法的優(yōu)越之處在于，不需要知道異方差性的具體形式。因此，在異方差性的基本結(jié)構(gòu)未知的情況下，建議仍采用OLS法估計系數(shù)，而采用方差的穩(wěn)健估計量，White的異方差性一致估計量就是一種很好的選擇。第45頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/445例4.3

表4.5列出了2003年我國各地區(qū)的FDI和GDP的數(shù)據(jù)，試建立我國各地區(qū)FDI對GDP的回歸模型，并檢驗、矯正異方差。省份y(FDI，萬美元)x(GDP，億元)省份y(FDI，萬美元)x(GDP，億元)北京2191263663.1河南539037048.59天津1534732447.66湖北1568865401.71河北964057098.56湖南1018354638.73山西213612456.59廣東78229413625.87內(nèi)蒙88542150.41廣西418562735.13遼寧2824106002.54海南42125670.93吉林190592522.62重慶260832250.56黑龍江321804430四川412315456.32上海5468496250.81貴州45211356.11江蘇105636512460.83云南83842465.29浙江4980559395陜西331902398.58安徽367203972.38甘肅23421304.6福建2599035232.17青海2522390.21江西1612022830.46寧夏1743385.34山東60161712435.93新疆15341877.61表4.5我國各地區(qū)2003年FDI和GDP的數(shù)據(jù)第46頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/446第三節(jié)自相關(guān)一、自相關(guān)及其產(chǎn)生的原因若違背這個假定，Cov(ui

,uj)≠0，即u在不同的樣本點下的取值相關(guān)連，則稱隨機(jī)誤差項u存在序列相關(guān)（SeriesCorrelation）或自相關(guān)（Autocorrelation）。對于線性回歸模型，隨機(jī)項互不相關(guān)的基本假設(shè)表現(xiàn)為：Cov(ui

,ul)=0

il,i,l=1,2,…,n注意：自相關(guān)問題主要存在于時間序列數(shù)據(jù)中，所以本節(jié)研究的都是時間序列數(shù)據(jù)的自相關(guān)問題；為了討論和理解方便，下面的內(nèi)容中用t,t-1,…表示時間序列數(shù)據(jù)的不同的觀測點，稱之為“期”，并將其作為隨機(jī)項或其它變量的下標(biāo)，如ut表示u在第t期所取的值

。

第47頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/447自相關(guān)產(chǎn)生的原因

1、被解釋變量的自相關(guān)

2、解釋變量的省略3、隨機(jī)項本身存在自相關(guān)4、回歸模型函數(shù)形式設(shè)定錯誤5、經(jīng)濟(jì)變量的慣性作用第48頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/448

二、自相關(guān)產(chǎn)生的后果1、最小二乘估計量仍然是線性無偏的但不具有最優(yōu)性，一般情況下，參數(shù)估計值的真實方差會被低估。2、因為最小二乘估計量的方差估計是有偏的，所以通?；貧w系數(shù)顯著性的t檢驗將失去意義。類似地，F(xiàn)檢驗和R2檢驗不可靠。3、因變量的預(yù)測精度降低。第49頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/449三、自相關(guān)的檢驗

然后，通過分析這些“近似估計量”之間的相關(guān)性，以判斷隨機(jī)誤差項是否具有序列相關(guān)性。序列相關(guān)性檢驗方法有多種，但基本思路相同：基本思路:

首先，采用OLS法估計模型，以求得隨機(jī)誤差項的“近似估計量”，用ei表示：第50頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/450（一）圖示法1、繪制et和et-1的散點圖如果大部分散點落在Ⅰ、Ⅲ象限，如圖A所示。那么et和et-1就是正相關(guān)，這表明隨機(jī)項u存在一階正自相關(guān)；如果大部分點落在Ⅱ、Ⅳ象限，如圖B所示，那么et和et-1就是負(fù)相關(guān)，這表明隨機(jī)項u存在負(fù)自相關(guān)。etet-1etet-1A誤差項一階正自相關(guān)B誤差項一階負(fù)自相關(guān)第51頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/4512、繪制殘差et的時間序列圖如果隨t的變化et并不存在明顯的規(guī)律性，則ut是非自相關(guān)的;如果隨著t的變化et是幾個正的后面跟著幾個負(fù)的，呈現(xiàn)較長周期的循環(huán)，則et(ut)之間存在正的自相關(guān)(圖A)；如果隨著t的變化et不斷地改變符號，呈現(xiàn)鋸齒型，則判定et之間存在負(fù)自相關(guān)，表明ut存在負(fù)自相關(guān)（圖B）。tetettA誤差項一階正自相關(guān)B誤差項一階負(fù)自相關(guān)第52頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/452（二）Durbin—Watson檢驗

如果總體回歸模型的隨機(jī)誤差項之間存在一階自相關(guān)形式，可寫成誤差項一階自回歸方程，記為AR(1)：ut=ut-1+vt

，其中，ρ為自回歸系數(shù)，vt是滿足以下標(biāo)準(zhǔn)的誤差項：E(v|ut-1)=0,Var(v|ut-1)=σ2,Cov(vt

,vt+s)=0s≠0檢驗隨機(jī)誤差項是否具有AR(1)形式的思路:首先，通過構(gòu)造樣本回歸方程，計算出殘差et

；然后，計算自回歸系數(shù)ρ的OLS估計值：1.DW統(tǒng)計量的提出第53頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/453在大樣本情況下，由于,所以有:，(由于)其中，是自相關(guān)系數(shù)的樣本估計值。在在大樣本情況下，樣本一階自回歸系數(shù)大致等于樣本的一階自相關(guān)系數(shù)，其取值范圍為[-1，1]。最后，檢驗的顯著性。如果統(tǒng)計顯著，可以認(rèn)為總體隨機(jī)誤差項存在一階自相關(guān)，反之亦然。第54頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/454

由于不服從任何的常見分布，導(dǎo)致檢驗統(tǒng)計量無法構(gòu)造，無法對其進(jìn)行統(tǒng)計顯著性檢驗。為此，德賓(J.Durbin)和瓦特森(G.S.Watson)于1951年提出了一種適用于小樣本的檢驗序列自相關(guān)的方法，使用與有密切聯(lián)系而且分布已知的DW統(tǒng)計量來替代。這種方法被稱為Durbin—Watson檢驗(DW檢驗)。該方法的假定條件是：（1）解釋變量x非隨機(jī)變量；（2）隨機(jī)誤差項ut為一階自回歸形式：ut=ut-1+vt

,其中，-1≤ρ≤1,ρ為自回歸系數(shù),vt滿足古典假設(shè)；（3）原回歸模型截距項不為零，即只適用于有常數(shù)項的回歸模型；（4）數(shù)據(jù)數(shù)列無缺失項。第55頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/4552.DW統(tǒng)計量的構(gòu)造

針對原假設(shè)：H0:=0，即不存在一階自回歸，構(gòu)如下造統(tǒng)計量：

D.W.統(tǒng)計量的分布與出現(xiàn)在給定樣本中的x值有復(fù)雜的關(guān)系，下面證明其值介于0到4之間。第56頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/456因為，所以，0≤DW≤4。證明：

展開D.W.統(tǒng)計量：

(*)這里，只相差一期值，當(dāng)n較大時，可以認(rèn)為三者相等。所以上式可以寫為：

第57頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/457DW-1(-1,0)0(0,1)14(2,4)2(0,2)0也就是說，DW值越接近于2，u的自相關(guān)性越??；DW值越接近于零，u正自相關(guān)程度越高；DW值越接近于4，u負(fù)自相關(guān)程度越高。第58頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/4583.DW統(tǒng)計量的使用⑴當(dāng)DW<dL時,拒絕原假設(shè)H0:ρ=0；接受備擇假設(shè)H1:ρ≠0，u存在一階正自相關(guān)。⑵當(dāng)DW>(4－dL)時,拒絕原假設(shè)H0:ρ=0；接受備擇假設(shè)H1:ρ≠0，u存在一階負(fù)自相關(guān)。⑶當(dāng)dU<DW<(4－dU)時,接受原假設(shè)H0:ρ=0,不存在自相關(guān)。⑷當(dāng)dL<DW<dU

或(4－dU)<DW<(4－dL)時，則這種檢驗沒有結(jié)果，即u是否存在自相關(guān)，不能確定。DW4-dU42dUdL4-dL正自相關(guān)不能確定無自相關(guān)不能確定負(fù)自相關(guān)0第59頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/4594．DW檢驗的局限性DW檢驗僅適用于一階自回歸。DW檢驗有著兩個不能確定的區(qū)域。一但DW值落在這兩個區(qū)域，就無法確定是否存在自相關(guān)。在這種情況下，只有通過增加樣本觀測值或選取其它的樣本，重新檢驗或采用別的檢驗方法。如果模型自變量中存在滯后的因變量，如：即使ut存在自相關(guān)，DW值也經(jīng)常接近于2。第60頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/460可以證明在無自相關(guān)的假設(shè)下，h近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，所以可以用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布對其顯著性進(jìn)行檢驗。針對第三種情況，德賓（J.Durbin）設(shè)計了一個新的檢驗統(tǒng)計量：其中，是yt-1系數(shù)估計量的標(biāo)準(zhǔn)差。

第61頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/461（三）Breusch-Godfrey檢驗對于模型設(shè)隨機(jī)誤差項存在p階自相關(guān)：(vt滿足古典假定)(不存在p階自相關(guān))。BG檢驗步驟如下：對于原假設(shè)1.用OLS估計樣本回歸方程，求出殘差et

。2.作輔助回歸，并計算回歸方程的R2。第62頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/4623.大樣本和H0成立下，布魯奇和高德佛瑞證明了：(n為樣本容量)4.統(tǒng)計決策。在給定的顯著性水平α下，查表得臨界值，若，就拒絕H0，此時，至少有一個在統(tǒng)計上顯著異于零，表明存在高階自相關(guān)。否則，接受零假設(shè)，認(rèn)為不存在高階自相關(guān)。注意：實際應(yīng)用時，可以從1階，2階…逐次向高階檢驗。第63頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/463四、自相關(guān)模型的經(jīng)濟(jì)計量方法

通過檢驗，如果確定模型的隨機(jī)項存在自相關(guān)，就應(yīng)對產(chǎn)生自相關(guān)的原因進(jìn)行分析。如果自相關(guān)是由于模型中省略某些解釋變量造成的,那么就應(yīng)根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論找出被省略的解釋變量，將它包含在模型之中。如果自相關(guān)是由于錯誤地確定模型的數(shù)學(xué)形式造成的，比如說本來是非線性型而錯誤地確定為線性型，那么就應(yīng)該修正模型的數(shù)學(xué)形式。若排除了上述造成自相關(guān)的原因之后，經(jīng)過自相關(guān)檢驗，隨機(jī)項仍存在自相關(guān)，可采用以下的方法解決自相關(guān)問題。第64頁，共73頁，2023年，2月20日，星期四2023/4/464（一）一階差分法以一元模型為例其中,ut為一階自回歸AR(1):若模型存在完全一階正自相關(guān)，即ρ=1，則上式變?yōu)椋河捎冢簝墒较鄿p得：由于vt為滿足古典假定的誤差項，無自相關(guān)問題。對上式使用OLS估計參數(shù)，可得到β1最佳線性無偏估計量。ut=ut-1+vtvt滿足古典假設(shè)ut=ut-