變形幾何理論

變形幾何理論第1頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三2.1點的應變狀態(tài)2.2應變與位移關(guān)系方程2.3應變增量2.4應變速度張量2.5主應變圖與變形程度表示第2頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三2.1點的應變狀態(tài)基本概念應變張量點的應變狀態(tài)主應變、應變不變量、體積應變球應變張量與偏差應變張量八面體應變應變分量與位移分量微分關(guān)系第3頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三1.基本概念物體變形時，各點位置的改變量稱作位移。2.1點的應變狀態(tài)第4頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三位移類別：剛性位移，如平移、轉(zhuǎn)動變形位移：變形體內(nèi)不同點的位移分量不同物體變形時，單元體將發(fā)生第5頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三正應變(線應變):線元尺寸長度上的變化rr1=r+ΔrrXΔrXX軸分量的線應變XYryΔryy軸分量的線應變相對應變線元伸長時為正縮短為負2.小應變第6頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三切應變:線元方位上的改變xyπ/2-ΦXYΦXYΔrrry角度減小Φ取正號，增大時取負號。工程剪應變

第7頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三xyπ/2-ΦXYγYXγXY=γYX=

ΦXY/2剪應變(理論剪應變)

角標意義？第8頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三在實際變形中，線元PA及PC的偏轉(zhuǎn)角度不一定相同，現(xiàn)設其實際的偏轉(zhuǎn)角度為和xyαXYαYX第9頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三第10頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三首先，來看一個極小的單元體經(jīng)小變形后變成了一個偏斜的平行六面體。3.質(zhì)點的應變狀態(tài)第11頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三可以設想為單元體先平移，再進行正應變和剪應變第12頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三rXΔrXryΔryrzΔrz第13頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三等九個分量可構(gòu)成一個張量，叫做相對位移張量在一般情況下，即（非對稱張量）。第14頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三將它分解：

后一項是反對稱張量，表示剛體轉(zhuǎn)動，叫做剛體轉(zhuǎn)動張量；前一項是對稱張量，表示純變形，應變張量一般用表示，即：第15頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三便于記憶，下標可以理解為：第一個下標表示通過P點單元體的棱邊（線元）的方向，第二個下標表示該線元的變形方向。應變張量

正應變或線應變伸長為正，縮短為負；剪應變或切應變夾角減小為正，增大為負。第16頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三思考物體變形單元體發(fā)生哪些位移？工程剪應變、理論剪應變區(qū)別？應變張量下標意義？與應力張量下標意義有何不同？第17頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三§3-3位移分量和小變形幾何方程物體內(nèi)任意一點的位移矢量為u，在三個坐標軸方向的位移分量u、v、w。上式即可定義一物體內(nèi)的位移場。位移分量的偏導數(shù)就是相對位移張量的分量，也即

第18頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三可知：()剪應變(理論剪應變)

得到小應變分量和位移分量的關(guān)系：第19頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三簡記為：

小應變分量也是坐標的連續(xù)函數(shù)，它可以確定物體中的應變張量場。上式叫做小應變幾何方程，坐標的連續(xù)函數(shù)，確定應變張量場。如物體中的位移場為已知，則可由幾何方程求得小應變分量。第20頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三§3-4變形連續(xù)方程或協(xié)調(diào)方程。什么叫變形連續(xù)方程或協(xié)調(diào)方程。六個應變分量有（取決于三個位移分量對x、y、z的偏導）有一定的關(guān)系，才能保證物體中的所有單元體在變形之后仍然可以連續(xù)地組合起來。

上式表示了在每個坐標平面內(nèi)應變分量的關(guān)系。第21頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三同理得：表示了不同平面中應變分量之間的關(guān)系。第22頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三

1.物理意義：表示各應變分量之間的相互關(guān)系“連續(xù)協(xié)調(diào)”即變形體在變形過程中不開裂，不堆積；

2.應變協(xié)調(diào)方程說明：同一平面上的三個應變分量中有兩個確定，則第三個也就能確定；在三維空間內(nèi)三個切應變分量如果確定，則正應變分量也就可以確定；

3.如果已知位移分量，則按幾何方程求得的應變分量自然滿足協(xié)調(diào)方程；若是按其它方法求得的應變分量，則必須校驗其是否滿足連續(xù)性條件。第23頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三思考變形協(xié)調(diào)方程的物理意義是什么？如何判斷應變場是否存在？第24頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三例

設其中a，b為常數(shù)，試問上述應變場在什么情況下成立？解：當時，a=-2b，上式成立，應變場成立。第25頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三§3-5塑性變形時的體積不變條件設單元體初始邊長為dx、dy、dz，則變形前的體積為變形后的體積為

當塑性變形時，變形物體變形前后的體積保持不變，即第26頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三§3-6主應變、應變張量的不變量，主剪應變和最大剪應變通過一點，存在三個相互垂直的應變主方向（主軸），在主方向上的線元沒有角度偏轉(zhuǎn)，只有正應變。如果取正應變主軸為坐標軸，則應變張量就簡化為：第27頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三主應變圖應變張量的特征方程：應變張量的第一不變量：應變張量的第二不變量：第28頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三應變張量的第三不變量：在與應變主方向成±45°角的方向上，存在三對各面相互垂直的線元。它們的剪應變有極值。叫做主剪應變。如第29頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三塑性力學圖變形體內(nèi)一點的主應力圖與主應變圖結(jié)合構(gòu)成變形力學圖。它形象地反映了該點主應力、主應變有無和方向。主應力圖有9種可能，主應變有3種可能，二者組合，則有27種可能的變形力學圖。但單拉、單壓應力狀態(tài)只可能分別對應一種變形圖，所以實際變形力學圖應該只有23種組合方式。討論：第30頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三球應變張量與偏差應變張量平均線應變

球應變張量

應變偏張量應變偏張量表示形狀變化，球應變張量表示體積變化，塑性變形時，體積不變，即應變偏張量即是應變張量§3-7應變偏張量和球張量，八面體應變和等效應變

第31頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三例.試求平面應變情況下的應變分量的不變量及主應變表達式。解:

第32頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三八面體應變在正八面體的平面的法線方向線元的應變稱為八面體應變八面體線應變

八面體切應變第33頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三等效應變單向拉伸時，主應變?yōu)棣?及第34頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三例題設物體中任意一點的位移分量u＝10×10-3+0.1×10-3xy+0.05×10-3z;v=5×10-3-0.05×10-3x+0.1×10-3yz,w=10×10-3-0.1×10-3xyz，求點A（1，1，1）與B（0.5，－1，0）的應變分量、應變球張量，主應變不變量，八面體應變，等效應變。解：

第35頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三將A(1,1,1)代入上式：對于點A：第36頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三第37頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三§3-8應變增量和應變速率張量一、全量應變和應變增量的基本概念前面所討論的應變是反映單元體在某一變形過程終了時的變形大小，稱作全量應變。其度量基準是用變形以前的原始尺寸。而增量應變則是指變形過程中某一極短階段的無限小應變，其度量基準不是原始尺寸，而是用變形過程中某一瞬間的尺寸。第38頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三彈性變形是線性可逆的，應變狀態(tài)與應力狀態(tài)同步，與加載過程無關(guān)。而塑性變形是非線性不可逆的。加載時產(chǎn)生新的塑性變形，卸載時已產(chǎn)生的塑性變形不隨應力而變。因此塑性變形是歷次變形的疊加結(jié)果，并不一定是單值地對應于應力狀態(tài)，或者說與應力狀態(tài)不同步，因此全量應變在塑性變形中的應用受到很大限制。

經(jīng)物體在變形過程中某瞬時的形狀尺寸為原始狀態(tài)，在此基礎上發(fā)生的無限小應變就是應變增量。第39頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三在描述整個變形過程時，引入時間參數(shù)

速度場

二、應變增量

（位移增量的分量）應變增量與位移增量之間的關(guān)系，也即幾何方程。第40頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三應當指出：塑性變形過程中某瞬時的應變增量是當時具體變形條件下的無限小應變，描寫的是瞬時情況和過程；而當時的全量應變則是該瞬時以前的變形積累的結(jié)果，只能描寫變形的起始近似結(jié)果。

應變增量和小應變張量一樣，具有三個主方向，三個主應變增量三個不變量，三對主剪應變增量、偏張量、球張量、等效應變增量等。第41頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三三、應變速率張量

一點的應變速率也是二階對稱張量第42頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三應變速率表示單位時間的應變，即變形速度。區(qū)別：·第43頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三思考塑性變形的應力應變關(guān)系為何要用增量理論？應變增量與全量應變的區(qū)別？第44頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三一、平面應變狀態(tài)變形物體在某一方向不產(chǎn)生變形，稱為平面變形，其應力狀態(tài)稱為平面應變狀態(tài)下的應力狀態(tài)。平面應變的應力狀態(tài)特點

1）不產(chǎn)生變形的方向為主方向，與該方向垂直的平面上沒有切應力；2）在該方向有阻止變形的正應力；3）有應力分量沿該軸均勻分布，即與該軸無關(guān)。

§3-9平面變形問題和軸對稱問題第45頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三1）變形體內(nèi)所有質(zhì)點在與某一方向垂直的平面上沒有應變作用，所有質(zhì)點都是兩向應力狀態(tài)，設該方向為z軸。

則εz＝γxz＝γyz＝0，只有ε

x、ε

y、γxy三個應力分量。

ε

x=-ε

y

2）各應力分量與z軸無關(guān)，整個物體的應變分布可以在xy坐標平面上表示出來。

第46頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三以應力主軸為坐標軸時，則+若已知應力狀態(tài)，可用判別塑性變形的類型：如>0對應于廣義拉伸變形；=0對應于廣義剪切變形；<0對應于廣義壓縮變形。第47頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三軸對稱狀態(tài)的幾何方程通過軸線子午面平面第48頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三應力應變分析的相似性與差異性相似性：張量表示、張量分析、張量關(guān)系相似

第49頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三概念：應力

——研究面元ds上力的集度應變

——研究線元dl的變化情況內(nèi)部關(guān)系：應力—應力平衡微分方程應變—應變連續(xù)（協(xié)調(diào)）方程彈性變形：相容方程塑性變形：體積不變條件差異性：第50頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三等效關(guān)系：等效應力—彈性變形和塑性變形表達式相同等效應變—彈性變形和塑性變形表達式不相同對于彈性變形：

（μ—泊松比(材料在單向受拉或受壓時，橫向正應變與軸向正應變的絕對值的比值)）對于塑性變形：第51頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三應力理論變形幾何理論全應力、正應力、剪應力全應變、正應變、剪應變應力張量、球應力張量、偏應力張量應變張量、球應變張量、偏應變張量主平面、主應力、應力不變量、應力偏張量不變量主平面、主應變、應變不變量主剪平面、主剪應力和最大剪應力主剪平面、主剪應變和最大剪應變八面體應力與等效應力八面體應變與等效應變應