正弦定理余弦定理及其應(yīng)用

sin()sin()正弦定理、余弦定理其應(yīng)用河南省新高級(jí)中（465550）萬(wàn)立勇河南省新代崗?。?65550）胡霞正弦定理和余弦理是解斜三角形和判定三角形型的重要工具要作用是將已知條件中的、角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系或邊關(guān)系。在近年高考中主要有以下五大命題熱點(diǎn)：一、求解三角形的基元素是指已知兩邊一二角一邊或三邊求它三個(gè)元素問(wèn)題，進(jìn)而求三角形的三線（中線、高線角平分線及周長(zhǎng)等基本問(wèn)題例：

ABC

中，

A

3

，BC，則

ABC

的周長(zhǎng)為（）A．

43sin

3．43sinB36

3C．

6sinB

3D．B36

3分析：由正弦定，求出或體求出則周長(zhǎng)為得到結(jié)果．解：由正弦定理：

3sin3

bbc23

，得＝

2＋sin(B3

故三角形的周長(zhǎng)為＋b6sin

6

3

，故選D)

評(píng)注題是選擇題也可ABC為三角形時(shí)B＝3，故排除而(．

6

應(yīng)為33＋例：ABC中知

AB

466,cosB36

邊的中線BDA的值．分析：本題關(guān)鍵利用余弦定理，求出ACBC再由正弦定理，即得解：設(shè)E的點(diǎn)，連接則DE，且

DE

126AB23

，設(shè)BE＝x在BDE利用余弦定理可得：

2BE

EDcosBED

，5x

2

82662336

x，1，x

73

（舍去）故，而

22BCcos

，即

AC

2213

又

306

，221故

2

330

，

sinA

70146二判三形形：出角形中的三關(guān)系，判此三的

22形。22例：

ABC

中，已知

cosB

，那么

ABC

一定是（A．角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D．正三角形解法：由

cosB

AAB，即A，得，A故(．解法2由題意，得＝

2sinA2a

，定理，得＝a

2

c2ac

b

2

．a(chǎn)c2bc∴＝即a，a，故選．2ac評(píng)注：判斷三角形狀，通常用兩種典型方法：統(tǒng)一化為角，再判法，⑵統(tǒng)一化為邊，再判斷解法．三解決面有問(wèn)主是用、余定，并合角的面公來(lái)解．例：在ABC中，若

120，AB5，7，則ABC面積＝_________分析：本題只需余弦定理，求出邊再運(yùn)用面積公式＝?jīng)Q．

12

ABACA即可解解：由余弦定理，得＝

AB

2

ACBC2254912AB10AC2

，解得AC＝3

∴S＝

12

1531AB．ABACAACh，得＝AB4232。2故選(．四求問(wèn)例年國(guó)高考天津)在ABC中A、B、C

所對(duì)的邊長(zhǎng)分別、b

，設(shè)

滿(mǎn)條件b

2ca

和

cb2

3，和tanB的．分析：本題給出些條件式的求值問(wèn)題，關(guān)鍵還運(yùn)用正、余弦定理．解：由余弦定理

b

2

c2a212

，因此，

A在ABC中∠C=180－∠B=120由已知條件，應(yīng)正弦定理

cB)120cosB32

解cotB從而tanB

五正弦理三形實(shí)應(yīng)用利用正余弦定理斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海、幾何等方面都要用到解角形的知識(shí)，例析如下：（一量問(wèn)題

例如示了測(cè)河的寬度一岸邊選定A點(diǎn)，望對(duì)岸標(biāo)記物C，CAB=30°，∠CBA=75°AB=120cm，求CD

C的寬度。分析：求河的寬，就是求ABC

A

圖

D

B在AB上高，而在河的一邊，已測(cè)出AB、∠CAB、∠CBA，個(gè)三角形可確定。解：由正弦定理

ACABsinCBAsinACB

，∴AC=AB=120m，又∵

S

ABC

1ABACCAB2

ABCD

，解得CD=60m。點(diǎn)評(píng)：雖然此題算簡(jiǎn)單，但是意義重大，屬寬問(wèn)（二險(xiǎn)問(wèn)題例艦艇測(cè)得燈塔在它的東向，此艦艇以30海時(shí)的速度向正東前進(jìn)30分鐘后又測(cè)燈塔在它的東若燈塔周?chē)＠飪?nèi)有暗礁，問(wèn)此艦艇繼續(xù)向東航行有無(wú)觸礁的險(xiǎn)？解析艇A點(diǎn)測(cè)到燈塔S在東方上；艦艇航行半小時(shí)后到達(dá)B點(diǎn)測(cè)得S在

北方向上。在△ABC中AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，

西

A

15

30

°

C

東由正弦定理得BS=AB=15作SC直線

南

圖垂足為，。這表明航線離燈的距離為海里燈周?chē)?0海內(nèi)有暗礁繼航行有觸礁的危險(xiǎn)。點(diǎn)評(píng)：有關(guān)斜三形的實(shí)際問(wèn)題，其解題的一般驟是理解題，分清已知與所求，其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞術(shù)語(yǔ)示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)析與所研究問(wèn)題有的一個(gè)或幾個(gè)三角形，通過(guò)合運(yùn)用正弦定理和余弦理

22求解。22（三擊問(wèn)題例如船在A處船A的南偏東45°

北方向，距A有9n并的

A度沿南

45

°偏西航行以28n的速度航行，應(yīng)沿什么方，用多少盡快追上乙

B15

°船？

C解析乙船C相遇。在ABC設(shè)，。

圖3理

2ABcos

，28t

2

18120t(，128t2

60t0

）3=0，得t=，t=432

（舍）∴AC=28×

34

3=21=154根據(jù)正弦定理，

sin

BCsinAC

15

3532114

，又角，535372253，又＜＜，∴arcsin＜，1414142144∴甲船