高一數(shù)學必修二課件第六章 第六節(jié)直接證明與間接證明

第六節(jié)直接證明與間接證明1.直接證明內容綜合法分析法定義利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導出___________________的證明方法從要證明的_____出發(fā)，逐步尋求使它成立的_________，直到最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)的證明方法思維特點由因導果執(zhí)果索因所要證明的結論成立結論充分條件內容綜合法分析法實施流程文字表示“因為……所以……”“由……得……”等“要證……”“只需證明……”“即證……”等2.間接證明(1)反證法的定義假設原命題不成立(即在原命題的條件下，結論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明_________，從而證明了___________的證明方法.假設錯誤原命題成立(2)利用反證法證題的步驟①假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立；②由假設出發(fā)進行正確的推理，直到推出矛盾為止；③由矛盾斷言假設不成立，從而肯定原命題的結論成立.簡言之，否定→歸謬→斷言.判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”).(1)綜合法是直接證明，分析法是間接證明.()(2)分析法是從要證明的結論出發(fā)，逐步尋找使結論成立的充要條件.()(3)用反證法證明結論“a>b”時，應假設“a<b”.()(4)反證法是指將結論和條件同時否定，推出矛盾.()(5)在解決問題時，常常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程.()(6)證明不等式最合適的方法是分析法.()【解析】(1)錯誤.綜合法和分析法都是直接證明的方法.(2)錯誤.分析法是從要證明的結論出發(fā)，逐步尋找使結論成立的充分條件，不必是充要條件.(3)錯誤.應假設“a≤b”.(4)錯誤.反證法只是將結論進行否定，然后將這個反設作為條件，推出矛盾.(5)正確.用分析法可以發(fā)現(xiàn)解決問題的思路，然后用綜合法寫出證明的步驟.(6)正確.欲證的不等式兩邊都含有根號，且都大于0，因此可用分析法，通過平方等逐步尋求使其成立的條件.答案:(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(6)√1.若a＜b＜0，則下列不等式中成立的是()(A)(B)(C)(D)【解析】選C.∵a＜b＜0，又b＞a，2.用分析法證明：欲使①A>B，只需②C<D，這里①是②的()(A)充分條件(B)必要條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件【解析】選B.分析法證明的本質是證明結論的充分條件成立，即②?①，所以①是②的必要條件.3.用反證法證明命題：“三角形的內角中至少有一個不大于60°”時，假設正確的是()(A)假設三內角都不大于60°(B)假設三內角都大于60°(C)假設三內角至多有一個大于60°(D)假設三內角至多有兩個大于60°解選B.“至少有一個不大于”的否定為“都大于”.4.已知a，b，x均為正數(shù)，且a>b，則與的大小關系是________.【解析】∵∴答案:5.設a，b是兩個實數(shù)，給出下列條件：(1)a+b>2；(2)a2+b2>2.其中能推出：“a，b中至少有一個大于1”的條件的是_____(填上序號).【解析】取a=-2，b=-1，則a2+b2>2，從而(2)推不出結論.(1)能夠推出結論，即若a+b>2，則a，b中至少有一個大于1.可用反證法證明如下：假設a≤1，且b≤1，則a+b≤2與a+b>2矛盾，因此假設不成立，即a，b中至少有一個大于1.答案:(1)考向

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綜合法的應用【典例1】(2013·南昌模擬)對于定義域為[0,1]的函數(shù)f(x)，如果同時滿足以下三條：①對任意的x∈[0,1]，總有f(x)≥0；②f(1)=1；③若x1≥0,x2≥0，x1+x2≤1都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù).試判斷g(x)=2x-1(x∈[0,1])是否為理想函數(shù)，如果是，請予證明；如果不是，請說明理由.【思路點撥】根據(jù)理想函數(shù)的定義，分析判斷g(x)是否滿足理想函數(shù)的三個條件即可.【規(guī)范解答】g(x)=2x-1(x∈[0,1])是理想函數(shù)，證明如下：因為x∈[0,1]，所以2x≥1，2x-1≥0，即對任意x∈[0,1]，總有g(x)≥0，滿足條件①.g(1)=21-1=2-1=1，滿足條件②.當x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1時，于是g(x1+x2)-[g(x1)+g(x2)]由于x1≥0,x2≥0，所以于是g(x1+x2)-[g(x1)+g(x2)]≥0,因此g(x1+x2)≥g(x1)+g(x2),滿足條件③，故函數(shù)g(x)=2x-1(x∈[0,1])是理想函數(shù).【互動探究】本例中條件不變，問題變?yōu)椤叭艉瘮?shù)f(x)是理想函數(shù)，證明f(0)=0”，如何求證？【證明】令x1=x2=0，則滿足x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,于是有f(0+0)≥f(0)+f(0),得f(0)≤0.又由條件①知f(0)≥0,故必有f(0)=0.【拓展提升】綜合法證題的思路【變式備選】設a>0,b>0,a+b=1,求證：【證明】方法一：∵a>0,b>0,a+b=1,∴又∵當且僅當時取等號，方法二：∵a+b=1,≥故等號成立的條件是考向2分析法的應用【典例2】已知函數(shù)f(x)=3x-2x，求證：對于任意的x1,x2∈R，均有【思路點撥】用分析法證明，從要證明的不等式出發(fā)，將其逐步簡化，直至得出明顯成立的不等式.【規(guī)范解答】要證明即證明因此只要證明即證明因此只要證明由于x1,x2∈R時，由基本不等式知顯然成立，故原結論成立.【拓展提升】分析法證題的技巧1.逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結論成立的充分條件.正確把握轉化方向是使問題順利獲解的關鍵.2.證明較復雜的問題時，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個與結論等價(或充分)的中間結論，然后通過綜合法由條件證明這個中間結論，從而使原命題得證.【變式訓練】已知a>0，求證：【證明】要證只要證∵a>0，故只要證即從而只要證只要證即而該不等式顯然成立，故原不等式成立.考向3

反證法的應用【典例3】已知數(shù)列{an}滿足a1=λ,n∈N*，其中λ為實數(shù).求證：數(shù)列{an}不是等比數(shù)列.【思路點撥】先假設數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則其前3項構成等比數(shù)列，由此推出矛盾.【規(guī)范解答】由已知可得假設存在實數(shù)λ，使{an}是等比數(shù)列，則必有即于是可得9=0，矛盾，所以假設錯誤，即數(shù)列{an}不是等比數(shù)列.【互動探究】本題條件不變，問是否存在實數(shù)λ，使得{an}是等差數(shù)列？【解析】假設存在實數(shù)λ，使得{an}是等差數(shù)列，由已知得所以解得λ=-18.于是an=-18+3(n-1)=3n-21,因此an+1=3n-18.代入中檢驗，成立，所以存在實數(shù)λ=-18，使得{an}是等差數(shù)列.【拓展提升】適合用反證法證明的六類問題適合用反證法證明的題型有：(1)易導出與已知矛盾的命題.(2)否定性命題.(3)唯一性命題.(4)至多、至少型命題.(5)一些基本定理.(6)必然性命題等.【變式備選】已知非零實數(shù)a,b,c構成公差不為0的等差數(shù)列.求證：不能構成等差數(shù)列.【證明】假設能構成等差數(shù)列，則由于是得bc+ab=2ac，而由于a,b,c構成等差數(shù)列，即2b=a+c，所以(a+c)2=4ac，即(a-c)2=0，于是得a=b=c，這與a,b,c構成公差不為0的等差數(shù)列矛盾.故假設不成立，因此不能構成等差數(shù)列.【滿分指導】分析法與綜合法的綜合應用【典例】(12分)(2012·長沙模擬)已知函數(shù)f(x)=ln(x+2)，a,b,c是兩兩不相等的正實數(shù)，且a,b,c成等比數(shù)列，試判斷f(a)+f(c)與2f(b)的大小關系，并證明你的結論.【思路點撥】【規(guī)范解答】f(a)+f(c)>2f(b)①.…………2分證明如下：因為a,b,c是兩兩不相等的正實數(shù)，所以由…………4分又因為a,b,c成等比數(shù)列，所以b2=ac,于是…………6分…………………8分由于ac+2(a+c)+4=b2+2(a+c)+4>b2+4b+4,且函數(shù)f(x)=ln(x+2)是單調遞增函數(shù)④，………………10分因此ln[ac+2(a+c)+4]>ln(b2+4b+4),故f(a)+f(c)>2f(b).………12分【失分警示】(下文①②③④見規(guī)范解答過程)1.(2013·上海模擬)“”是“對任意正數(shù)x,均有”的()(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件【解析】選A.當x＞0時，令解得因此當時，必有“對任意正數(shù)x,均有”，反之不成立，所以是充分不必要條件.2.(2013·韶關模擬)用反證法證明命題：“若a,b∈N,ab可被5整除，那么a,b中至少有一個能被5整除”時，假設的內容應該是()(A)a,b都能被5整除(B)a,b都不能被5整除(C)a,b不都能被5整除(D)a能被5整除【解析】選B，“a,b中至少有一個能被5整除”的否定是“a,b都不能被5整除”.3.(2013·安陽模擬)有下列條件：①ab＞0,②ab＜0,③a＞0,b＞0,④a＜0,b＜0,其中能使成立的條件的個數(shù)是__________.【解析】要使只要且即a,b不為0且同號即可，故有3個.答案:34.(2013·寧德模擬)設函數(shù)f(x)定義在(0,+∞)上，f(1)=0，導函數(shù)f′(x)=g(x)=f(x)+f′(x).(1)求g(x)的單調區(qū)間和最小值.(2)是否存在x0>0，使得|g(x)-g(x0)|<對任意x>0成立？若存在，求出x0的取值范圍；若不存在，請說明理由.【解析】(1)由題設易知f(x)=lnx,g(x)=lnx+

令g′(x)=0得x=1.當x∈(0,1)時，g′(x)<0，故(0,1)是g(x)的單調遞減區(qū)間，當x∈(1,+∞)時，g′(x)>0，故(1,+∞)是g(x)的單調遞增區(qū)間，因此x=1是g(x)的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點，所以最小值為g(1)=1.(2