高中數(shù)學(xué) 選修第二冊(cè) 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第10課時(shí)

5.3.2函數(shù)的極值與最大(小)值(一)懷寧中學(xué)

王永安

函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)的關(guān)系:

在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi)，如果f'(x)>0，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果f'(x)<0，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.溫故知新

建構(gòu)概念探究1：觀察下圖，可以發(fā)現(xiàn)，t=a時(shí)，高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員距水面的高度最大.那么，函數(shù)h(t)在此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是多少呢?此點(diǎn)附近的圖象有什么特點(diǎn)?相應(yīng)地，導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么變化規(guī)律?hOta單調(diào)遞增h'(a)＞0單調(diào)遞減h'(a)＜0h'(a)=0思考：對(duì)于一般的函數(shù)y=f(x),是否也有同樣的性質(zhì)呢？溫故知新

建構(gòu)概念x=a探究2：下圖中函數(shù)y=f(x)在a,b,c,d,e,f,g,h點(diǎn)的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系?y=f(x)在這些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值是多少?在這些點(diǎn)附近，該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性有什么規(guī)律?yOxadefghcby=f(x)學(xué)習(xí)概念

深化理解探究2：下圖中函數(shù)y=f(x)在a,b,c,d,e,f,g,h點(diǎn)的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系?y=f(x)在這些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值是多少?在這些點(diǎn)附近，該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性有什么規(guī)律?yOxaby=f(x)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f'(a)=0;而且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè)f'(x)<0，右側(cè)f'(x)>0.我們把a(bǔ)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.類似地，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f'(b)=0;而且在點(diǎn)x=b附近的左側(cè)f'(x)>0，右側(cè)f'(x)<0.我們把b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.

學(xué)習(xí)概念

深化理解探究2：下圖中函數(shù)y=f(x)在a,b,c,d,e,f,g,h點(diǎn)的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系?y=f(x)在這些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值是多少?在這些點(diǎn)附近，該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性有什么規(guī)律?yOxadefghcby=f(x)思考:1.函數(shù)的極大值是函數(shù)的最大值嗎?極值反映了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況，刻畫了函數(shù)的局部性質(zhì)。2.函數(shù)的極大值一定大于函數(shù)的極小值嗎?

學(xué)習(xí)概念

深化理解探究3：函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示,試找函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn),并指出哪些是極大值點(diǎn),哪些是極小值點(diǎn)?yax1Ox2x3x4x5x6by=f'(x)xx(a,x2)x2(x2,x4)x4(x4,x6)x6(x6,b)f'(x)+0-0f(x)極大值極小值+0+思考:導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)嗎?學(xué)習(xí)概念

深化理解應(yīng)用鞏固內(nèi)化遷移

a總結(jié)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)y=f(x)的極值的步驟:解方程f'(x)=0.當(dāng)f(x0)=0時(shí):(1)如果在x0附近的左側(cè)f'(x)>0，右側(cè)f'(x)<0，那么f(x0)是極大值;(2)如果在x0附近的左側(cè)f'(x)<0，右側(cè)f'(x)>0，那么f(x0)是極小值.應(yīng)用鞏固內(nèi)化遷移練習(xí)1：求函數(shù)f(x)=x3-27x的極值。應(yīng)用鞏固內(nèi)化遷移練習(xí)2：求函數(shù)f(x)=ax2-4x+1的極值.應(yīng)用鞏固內(nèi)化遷移本課小結(jié)（1）函數(shù)極值的概念；（2）求函數(shù)極值的步