北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊教案

北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊教案1．1銳角三角函數(shù)第1課時(shí)正切與坡度優(yōu)秀領(lǐng)先飛翔夢想成人成才第1頁共12頁1．理解正切的意義，并能舉例說明；(重點(diǎn))2．能夠根據(jù)正切的概念進(jìn)行簡單的計(jì)算；(重點(diǎn))3．能運(yùn)用正切、坡度解決問題．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入觀察與思考：某體育館為了方便不同需求的觀眾，設(shè)計(jì)了不同坡度的臺階．問題1：圖①中的臺階哪個(gè)更陡？你是怎么判斷的？問題2：如何描述圖②中臺階的傾斜程度？除了用∠A的大小來描述，還可以用什么方法？方法一：通過測量BC與AC的長度算出它們的比，來說明臺階的傾斜程度；方法二：在臺階斜坡上另找一點(diǎn)B1，測出B1C1與AC1的長度，算出它們的比，也能說明臺階的傾斜程度．你覺得上面的方法正確嗎？二、合作探究探究點(diǎn)一：正切【類型一】根據(jù)正切的概念求正切值分別求出圖中∠A、∠B的正切值(其中∠C＝90°)．由上面的例子可以得出結(jié)論：直角三角形的兩個(gè)銳角的正切值互為________．解析：根據(jù)勾股定理求出需要的邊長，然后利用正切的定義解答即可．解：如圖①，tan∠A＝eq\f(16,12)＝eq\f(4,3)，tan∠B＝eq\f(12,16)＝eq\f(3,4)；如圖②，BC＝eq\r(732－552)＝48，tan∠A＝eq\f(48,55)，tan∠B＝eq\f(55,48).因而直角三角形的兩個(gè)銳角的正切值互為倒數(shù)．方法總結(jié)：求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用勾股定理求出需要的邊長，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出對應(yīng)三角函數(shù)值即可．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第1題【類型二】在網(wǎng)格中求正切值已知：如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D、E都在小正方形的頂點(diǎn)上，求tan∠ADC的值．解析：先證明△ACD≌△BCE，再根據(jù)tan∠ADC＝tan∠BEC即可求解．解：根據(jù)題意可得AC＝BC＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，CD＝CE＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，AD＝BE＝5，∴△ACD≌△BCE(SSS)．∴∠ADC＝∠BEC.∴tan∠ADC＝tan∠BEC＝eq\f(1,3).方法總結(jié)：三角函數(shù)值的大小是由角度的大小確定的，因此可以把求一個(gè)角的三角函數(shù)值的問題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)與其相等的角的三角函數(shù)值．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第3題【類型三】構(gòu)造直角三角形求三角函數(shù)值如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，D為AC的中點(diǎn)，求tan∠ABD的值．解析：設(shè)AC＝BC＝2a，根據(jù)勾股定理可求得AB＝2eq\r(2)a，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得DE與AE的長，根據(jù)線段的和差，可得BE的長，根據(jù)正切三角函數(shù)的定義，可得答案．解：如圖，過D作DE⊥AB于E.設(shè)AC＝BC＝2a，根據(jù)勾股定理得AB＝2eq\r(2)a.由D為AC中點(diǎn)，得AD＝a.由∠A＝∠ABC＝45°，又DE⊥AB，得△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝eq\f(\r(2)a,2).∴BE＝AB－AE＝eq\f(3\r(2)a,2)，tan∠ABD＝eq\f(DE,BE)＝eq\f(1,3).方法總結(jié)：求三角函數(shù)值必須在直角三角形中解答，當(dāng)所求的角不在直角三角形內(nèi)時(shí)，可作輔助線構(gòu)造直角三角形進(jìn)行解答．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第7題探究點(diǎn)二：坡度【類型一】利用坡度的概念求斜坡的坡度(坡比)堤的橫斷面如圖．堤高BC是5米，迎水斜坡AB的長是13米，那么斜坡AB的坡度是()A．1∶3B．1∶2.6C．1∶2.4D．1∶2解析：由勾股定理得AC＝12米．則斜坡AB的坡度＝BC∶AC＝5∶12＝1∶2.4.故選C.方法總結(jié)：坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個(gè)比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i＝1∶m的形式．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第9題【類型二】利用坡度解決實(shí)際問題已知一水壩的橫斷面是梯形ABCD，下底BC長14m，斜坡AB的坡度為3∶eq\r(3)，另一腰CD與下底的夾角為45°，且長為4eq\r(6)m，求它的上底的長(精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)．解析：過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，過點(diǎn)D作DF⊥BC于F，根據(jù)已知條件求出AE＝DF的值，再根據(jù)坡度求出BE，最后根據(jù)EF＝BC－BE－FC求出AD.解：過點(diǎn)A作AE⊥BC，過點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足分別為E、F.∵CD與BC的夾角為45°，∴∠DCF＝45°，∴∠CDF＝45°.∵CD＝4eq\r(6)m，∴DF＝CF＝eq\f(4\r(6),\r(2))＝4eq\r(3)(m)，∴AE＝DF＝4eq\r(3)m.∵斜坡AB的坡度為3∶eq\r(3)，∴tan∠ABE＝eq\f(AE,BE)＝eq\f(3,\r(3))＝eq\r(3)，∴BE＝4m.∵BC＝14m，∴EF＝BC－BE－CF＝14－4－4eq\r(3)＝10－4eq\r(3)(m)．∵AD＝EF，∴AD＝10－4eq\r(3)≈3.1(m)．所以，它的上底的長約為3.1m.方法總結(jié)：考查對坡度的理解及梯形的性質(zhì)的掌握情況．解決問題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造直角三角形．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第8題三、板書設(shè)計(jì)正切與坡度1．正切的概念在直角三角形ABC中，tanA＝eq\f(∠A的對邊,∠A的鄰邊).2．坡度的概念坡度是坡面的鉛直高度與水平寬度的比，也就是坡角的正切值．在教學(xué)中，要注重對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有一些學(xué)生往往不注重基本概念、基礎(chǔ)知識，認(rèn)為只要會做題就可以了，結(jié)果往往失分于選擇題、填空題等一些概念性較強(qiáng)的題目．通過引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識梳理，教會學(xué)生如何進(jìn)行知識的歸納、總結(jié)，進(jìn)一步幫助學(xué)生理解和掌握基本概念、基礎(chǔ)知識1.1銳角三角函數(shù)第1課時(shí)正切與坡度教學(xué)目標(biāo):1、理解并掌握正切的含義，會在直角三角形中求出某個(gè)銳角的正切值。2、了解計(jì)算一個(gè)銳角的正切值的方法。教學(xué)重點(diǎn)：理解并掌握正切的含義，會在直角三角形中求出某個(gè)銳角的正切值。教學(xué)難點(diǎn)：計(jì)算一個(gè)銳角的正切值的方法。教學(xué)過程：一、觀察回答：如圖某體育館，為了方便不同需求的觀眾設(shè)計(jì)了多種形式的臺階。下列圖中的兩個(gè)臺階哪個(gè)更陡？你是怎么判斷的？圖（1）圖（2）[點(diǎn)撥]可將這兩個(gè)臺階抽象地看成兩個(gè)三角形答：圖的臺階更陡，理由二、探索活動1、思考與探索一：除了用臺階的傾斜角度大小外，還可以如何描述臺階的傾斜程度呢？可通過測量BC與AC的長度，再算出它們的比，來說明臺階的傾斜程度。（思考：BC與AC長度的比與臺階的傾斜程度有何關(guān)系？）答：_________________.討論：你還可以用其它什么方法？能說出你的理由嗎？答：________________________.2、思考與探索二：ACAC1C2AC3B1B2B3我們可以作出無數(shù)個(gè)相似的RtAB1C1，RtAB2C2，RtAB3C3……，那么有：Rt△AB1C1∽_____∽____……根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，A對邊bC對邊aA對邊bC對邊aB斜邊c（2）由上可知：如果直角三角形的一個(gè)銳角的大小已確定，那么這個(gè)銳角的對邊與這個(gè)角的鄰邊的比值也_________。3、正切的定義如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分別是∠A的對邊和鄰邊。我們將∠A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A_______，記作______。即：tanA＝________＝__________（你能寫出∠B的正切表達(dá)式嗎？）試試看.4、牛刀小試BCBCA1BABAC35A2C1B（通過上述計(jì)算，你有什么發(fā)現(xiàn)？___________________.）5、思考與探索三：怎樣計(jì)算任意一個(gè)銳角的正切值呢？（1）例如，根據(jù)書本P39圖7—5，我們可以這樣來確定tan65°的近似值：當(dāng)一個(gè)點(diǎn)從點(diǎn)O出發(fā)沿著65°線移動到點(diǎn)P時(shí)，這個(gè)點(diǎn)向右水平方向前進(jìn)了1個(gè)單位，那么在垂直方向上升了約2.14個(gè)單位。于是可知，tan65°的近似值為2.14。（2）請用同樣的方法，寫出下表中各角正切的近似值。θ10°20°30°45°55°65°tanθ2.14（3）利用計(jì)算器我們可以更快、更精確地求得各個(gè)銳角的正切值。（4）思考：當(dāng)銳角α越來越大時(shí)，α的正切值有什么變化？ABAABACBADCBAECBA1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝3，則tanA＝________，tanB＝______。2、如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),連結(jié)EB，設(shè)∠EBA＝α，則tanα＝_________。四、請你說說本節(jié)課有哪些收獲？五、作業(yè)p40習(xí)題7.11、21.2m2.5m1.2m2.5m1m(單位：米)1、如圖是一個(gè)梯形大壩的橫斷面，根據(jù)圖中的尺寸，請你通過計(jì)算判斷左右兩個(gè)坡的傾斜程度更大一些？2、在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（－4,1），B（－1，3），C（－4,3），試求tanB的值。1.1銳角三角函數(shù)第2課時(shí)正弦與余弦優(yōu)秀領(lǐng)先飛翔夢想成人成才第1頁共12頁1．理解正弦與余弦的概念；(重點(diǎn))2．能用正弦、余弦的知識，根據(jù)三角形中已知的邊和角求出未知的邊和角．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入如圖，小明沿著某斜坡向上行走了13m，他的相對位置升高了5m.如果他沿著該斜坡行走了20m，那么他的相對位置升高了多少？行走了am呢？在上述情形中，小明的位置沿水平方向又分別移動了多少？根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知，當(dāng)直角三角形的一個(gè)銳角的大小確定時(shí)，它的對邊與斜邊的比值、鄰邊與斜邊的比值也就確定了．二、合作探究探究點(diǎn)：正弦和余弦【類型一】直接利用定義求正弦和余弦值在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求sinA，cosA.解析：利用勾股定理求出AC，然后根據(jù)正弦和余弦的定義計(jì)算即可．解：由勾股定理得AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(132－52)＝12，sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(5,13)，cosA＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(12,13).方法總結(jié)：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊，熟記三角函數(shù)的定義是解決問題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第1題【類型二】已知一個(gè)三角函數(shù)值求另一個(gè)三角函數(shù)值如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在BC上，AD＝BC＝5，cos∠ADC＝eq\f(3,5)，求sinB的值．解析：先由AD＝BC＝5，cos∠ADC＝eq\f(3,5)及勾股定理求出AC及AB的長，再由銳角三角函數(shù)的定義解答．解：∵AD＝BC＝5，cos∠ADC＝eq\f(3,5)，∴CD＝3.在Rt△ACD中，∵AD＝5，CD＝3，∴AC＝eq\r(AD2－CD2)＝eq\r(52－32)＝4.在Rt△ACB中，∵AC＝4，BC＝5，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(42＋52)＝eq\r(41)，∴sinB＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(4,\r(41))＝eq\f(4\r(41),41).方法總結(jié)：在不同的直角三角形中，要根據(jù)三角函數(shù)的定義，分清它們的邊角關(guān)系，結(jié)合勾股定理是解答此類問題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第8題【類型三】比較三角函數(shù)的大小sin70°，cos70°，tan70°的大小關(guān)系是()A．tan70°＜cos70°＜sin70°B．cos70°＜tan70°＜sin70°C．sin70°＜cos70°＜tan70°D．cos70°＜sin70°＜tan70°解析：根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又cos70°＝sin20°，銳角的正弦值隨著角的增大而增大，∴sin70°＞sin20°＝cos70°.故選D.方法總結(jié)：當(dāng)角度在0°<∠A<90°間變化時(shí)，0<sinA<1，1>cosA>0.當(dāng)角度在45°＜∠A＜90°間變化時(shí)，tanA＞1.變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第10題【類型四】與三角函數(shù)有關(guān)的探究性問題在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為BC邊(除端點(diǎn)外)上的一點(diǎn)，設(shè)∠ADC＝α，∠B＝β.(1)猜想sinα與sinβ的大小關(guān)系；(2)試證明你的結(jié)論．解析：(1)因?yàn)樵凇鰽BD中，∠ADC為△ABD的外角，可知∠ADC＞∠B，可猜想sinα＞sinβ；(2)利用三角函數(shù)的定義可求出sinα，sinβ的關(guān)系式即可得出結(jié)論．解：(1)猜想：sinα＞sinβ；(2)∵∠C＝90°，∴sinα＝eq\f(AC,AD)，sinβ＝eq\f(AC,AB).∵AD＜AB，∴eq\f(AC,AD)＞eq\f(AC,AB)，即sinα＞sinβ.方法總結(jié)：利用三角函數(shù)的定義把兩角的正弦值表示成線段的比，然后進(jìn)行比較是解題的關(guān)鍵．【類型五】三角函數(shù)的綜合應(yīng)用如圖，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB＝cos∠DAC.(1)求證：AC＝BD；(2)若sinC＝eq\f(12,13)，BC＝36，求AD的長．解析：(1)根據(jù)高的定義得到∠ADB＝∠ADC＝90°，再分別利用正切和余弦的定義得到tanB＝eq\f(AD,BD)，cos∠DAC＝eq\f(AD,AC)，再利用tanB＝cos∠DAC得到eq\f(AD,BD)＝eq\f(AD,AC)，所以AC＝BD；(2)在Rt△ACD中，根據(jù)正弦的定義得sinC＝eq\f(AD,AC)＝eq\f(12,13)，可設(shè)AD＝12k，AC＝13k，再根據(jù)勾股定理計(jì)算出CD＝5k，由于BD＝AC＝13k，于是利用BC＝BD＋CD得到13k＋5k＝36，解得k＝2，所以AD＝24.(1)證明：∵AD是BC上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ABD中，tanB＝eq\f(AD,BD)，在Rt△ACD中，cos∠DAC＝eq\f(AD,AC).∵tanB＝cos∠DAC，∴eq\f(AD,BD)＝eq\f(AD,AC)，∴AC＝BD；(2)解：在Rt△ACD中，sinC＝eq\f(AD,AC)＝eq\f(12,13).設(shè)AD＝12k，AC＝13k，∴CD＝eq\r(AC2－AD2)＝5k.∵BD＝AC＝13k，∴BC＝BD＋CD＝13k＋5k＝36，解得k＝2，∴AD＝12×2＝24.變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第10題三、板書設(shè)計(jì)正弦與余弦1．正弦的定義2．余弦的定義3．利用正、余弦解決問題本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)以直角三角形為主線，力求體現(xiàn)生活化課堂的理念，讓學(xué)生在經(jīng)歷“問題情境——形成概念——應(yīng)用拓展——反思提高”的基本過程中，體驗(yàn)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生感受探究的樂趣，使學(xué)生在學(xué)中思，在思中學(xué)．在教學(xué)過程中，重視過程，深化理解，通過學(xué)生的主動探究來體現(xiàn)他們的主體地位，教師是通過對學(xué)生參與學(xué)習(xí)的啟發(fā)、調(diào)整、激勵來體現(xiàn)自己的引導(dǎo)作用，對學(xué)生的主體意識和合作交流的能力起著積極作用.1.1銳角三角函數(shù)第2課時(shí)正弦與余弦［教學(xué)目標(biāo)］理解并掌握正弦、余弦的含義，會在直角三角形中求出某個(gè)銳角的正弦和余弦值。2、能用函數(shù)的觀點(diǎn)理解正弦、余弦和正切。［教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)］在直角三角形中求出某個(gè)銳角的正弦和余弦值。［教學(xué)過程］一、情景創(chuàng)設(shè)1、問題1：如圖，小明沿著某斜坡向上行走了13m后，他的相對位置升高了5m，如果他沿著該斜坡行走了20m，那么他的相對位置升高了多少？行走了am呢？20m13m20m13m2、問題2：在上述問題中，他在水平方向又分別前進(jìn)了多遠(yuǎn)？二、探索活動1、思考：從上面的兩個(gè)問題可以看出：當(dāng)直角三角形的一個(gè)銳角的大小已確定時(shí)，它的對邊與斜邊的比值________；它的鄰邊與斜邊的比值________。（根據(jù)是__________________。）2、正弦的定義如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角∠A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的______，記作________，即：sinA＝________=________.3、余弦的定義如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°,我們把銳角∠A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的______，記作=_________，即：cosA=______=_____。（你能寫出∠B的正弦、余弦的表達(dá)式嗎？）試試看.___________.4、牛刀小試根據(jù)如圖中條件，分別求出下列直角三角形中銳角的正弦、余弦值。5、思考與探索怎樣計(jì)算任意一個(gè)銳角的正弦值和余弦值呢？如圖，當(dāng)小明沿著15°的斜坡行走了1個(gè)單位長度時(shí)，他的位置升高了約0.26個(gè)單位長度，在水平方向前進(jìn)了約0.97個(gè)單位長度。根據(jù)正弦、余弦的定義，可以知道：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97（2）你能根據(jù)圖形求出sin30°、cos30°嗎？sin75°、cos75°呢？sin30°＝_____，cos30°＝_____.sin75°＝_____，cos75°＝_____.（3）利用計(jì)算器我們可以更快、更精確地求得各個(gè)銳角的正弦值和余弦值。（4）觀察與思考：從sin15°，sin30°，sin75°的值，你們得到什么結(jié)論？____________________________________________________________。從cos15°，cos30°，cos75°的值，你們得到什么結(jié)論？____________________________________________________________。當(dāng)銳角α越來越大時(shí)，它的正弦值是怎樣變化的？余弦值又是怎樣變化的？____________________________________________________________。6、銳角A的正弦、余弦和正切都是∠A的__________。三、隨堂練習(xí)1、如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，則sinA＝_____，cosA＝_____，sinB＝_____，cosB＝_____。2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，則sinA＝_____，cosB=_______,cosA=________,sinB=_______.3、如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9a，AC＝12a，AB＝15a，tanB=________,cosB=______,sinB=_______四、請你談?wù)劚竟?jié)課有哪些收獲？五、拓寬和提高已知在△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，且a：b：c＝5：12：13，試求最小角的三角函數(shù)值。1.230°，45°，60°角的三角函數(shù)值1．經(jīng)歷探索30°，45°，60°角的三角函數(shù)值的過程，進(jìn)一步體會三角函數(shù)的意義；(重點(diǎn))2．能夠進(jìn)行30°，45°，60°角的三角函數(shù)值的計(jì)算；(重點(diǎn))3．能夠根據(jù)30°，45°，60°角的三角函數(shù)值說出相應(yīng)銳角的大?。?難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入在直角三角形中(利用一副三角板進(jìn)行演示)，如果有一個(gè)銳角是30°(如圖①)，那么另一個(gè)銳角是多少度？三條邊之間有什么關(guān)系？如果有一個(gè)銳角是45°呢(如圖②)？由此你能發(fā)現(xiàn)這些特殊銳角的三角函數(shù)值嗎？二、合作探究探究點(diǎn)一：30°，45°，60°角的三角函數(shù)值【類型一】利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算計(jì)算：(1)2cos60°·sin30°－eq\r(6)sin45°·sin60°；(2)eq\f(sin30°－sin45°,cos60°＋cos45°).解析：將特殊角的三角函數(shù)值代入求解．解：(1)原式＝2×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)－eq\r(6)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)－eq\f(3,2)＝－1；(2)原式＝eq\f(\f(1,2)－\f(\r(2),2),\f(1,2)＋\f(\r(2),2))＝2eq\r(2)－3.方法總結(jié)：解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第5題【類型二】已知三角函數(shù)值求角的取值范圍若cosα＝eq\f(2,3)，則銳角α的大致范圍是()A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．0°＜α＜30°解析：∵cos30°＝eq\f(\r(3),2)，cos45°＝eq\f(\r(2),2)，cos60°＝eq\f(1,2)，且eq\f(1,2)＜eq\f(2,3)＜eq\f(\r(2),2)，∴cos60°＜cosα＜cos45°，∴銳角α的范圍是45°＜α＜60°.故選C.方法總結(jié)：解決此類問題要熟記特殊角的三角函數(shù)值和三角函數(shù)的增減性．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第9題【類型三】已知三角函數(shù)值，求角度根據(jù)下列條件，確定銳角α的值：(1)cos(α＋10°)－eq\f(\r(3),2)＝0；(2)tan2α－(eq\f(\r(3),3)＋1)tanα＋eq\f(\r(3),3)＝0.解析：(1)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值來求α的值；(2)用因式分解法解關(guān)于tanα的一元二次方程即可．解：(1)cos(α＋10°)＝eq\f(\r(3),2)，α＋10°＝30°，∴α＝20°；(2)tan2α－(eq\f(\r(3),3)＋1)tanα＋eq\f(\r(3),3)＝0，(tanα－1)(tanα－eq\f(\r(3),3))＝0，tanα＝1或tanα＝eq\f(\r(3),3)，∴α＝45°或α＝30°.方法總結(jié)：熟記特殊角的三角函數(shù)值以及將“tanα”看作一個(gè)未知數(shù)解方程是解決問題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第8題探究點(diǎn)二：特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用【類型一】特殊角的三角函數(shù)值與其他知識的綜合已知△ABC中的∠A與∠B滿足(1－tanA)2＋|sinB－eq\f(\r(3),2)|＝0，試判斷△ABC的形狀．解析：根據(jù)非負(fù)性的性質(zhì)求出tanA及sinB的值，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠A及∠B的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論．解：∵(1－tanA)2＋|sinB－eq\f(\r(3),2)|＝0，∴tanA＝1，sinB＝eq\f(\r(3),2)，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC是銳角三角形．方法總結(jié)：一個(gè)數(shù)的絕對值和偶次方都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的絕對值或偶次方相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0.變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第4題【類型二】利用特殊角的三角函數(shù)值求三角形的邊長如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分線，若AC＝eq\r(3)，求線段AD的長．解析：首先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)推出∠BAC的度數(shù)，再求出∠CAD＝30°，最后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出AD的長度．解：∵△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°.∵AD是△ABC的角平分線，∴∠CAD＝30°，∴在Rt△ADC中，AD＝eq\f(AC,cos30°)＝eq\r(3)×eq\f(2,\r(3))＝2.方法總結(jié)：解決此題的關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化的思想，將已知和未知元素化歸到一個(gè)直角三角形中，進(jìn)行解答．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第9題【類型三】構(gòu)造三角函數(shù)模型解決問題要求tan30°的值，可構(gòu)造如圖所示的直角三角形進(jìn)行計(jì)算．作Rt△ABC，使∠C＝90°，斜邊AB＝2，直角邊AC＝1，那么BC＝eq\r(3)，∠ABC＝30°，∴tan30°＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).在此圖的基礎(chǔ)上，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，探究tan15°與tan75°的值．解析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及勾股定理首先求出CD的長，進(jìn)而得出tan15°＝eq\f(CD,BC)，tan75°＝eq\f(BC,CD).解：作∠B的平分線交AC于點(diǎn)D，作DE⊥AB，垂足為E.∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE.設(shè)CD＝x，則AD＝1－x，AE＝2－BE＝2－BC＝2－eq\r(3).在Rt△ADE中，DE2＋AE2＝AD2，x2＋(2－eq\r(3))2＝(1－x)2，解得x＝2eq\r(3)－3，∴tan15°＝eq\f(2\r(3)－3,\r(3))＝2－eq\r(3)，tan75°＝eq\f(BC,CD)＝eq\f(\r(3),2\r(3)－3)＝2＋eq\r(3).方法總結(jié)：解決問題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造含有15°和75°的直角三角形，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求出15°和75°的三角函數(shù)值．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第6題三、板書設(shè)計(jì)30°，45°，60°角的三角函數(shù)值1．特殊角的三角函數(shù)值30°45°60°sinαeq\f(1,2)eq\f(\r(2),2)eq\f(\r(3),2)cosαeq\f(\r(3),2)eq\f(\r(2),2)eq\f(1,2)tanαeq\f(\r(3),3)1eq\r(3)2.應(yīng)用特殊角的三角函數(shù)值解決問題課程設(shè)計(jì)中引入非常直接，由三角板引入，直擊課題，同時(shí)也對前兩節(jié)學(xué)習(xí)的知識進(jìn)行了整體的復(fù)習(xí)，效果很好．設(shè)計(jì)引題開門見山，節(jié)省了時(shí)間，為后面的教學(xué)提供了方便．在講解特殊角三角函數(shù)值時(shí)也很細(xì)，可以說前部分的教學(xué)很成功，學(xué)生理解的很好.1.230°，45°，60°角的三角函數(shù)值教學(xué)思路（糾錯(cuò)欄）教學(xué)思路（糾錯(cuò)欄）教學(xué)目標(biāo)：1.能利用三角函數(shù)概念推導(dǎo)出特殊角的三角函數(shù)值.2.在探索特殊角的三角函數(shù)值的過程中體會數(shù)形結(jié)合思想.教學(xué)重點(diǎn)：特殊角30°、60°、45°的三角函數(shù)值.教學(xué)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算.☆預(yù)習(xí)導(dǎo)航☆一、鏈接：1.如圖，用小寫字母表示下列三角函數(shù)：sinA=sinB=cosA=cosB=tanA=tanB=2.中，如果∠A=30°,那么三邊長有什么特殊的數(shù)量關(guān)系？如果∠A=45°,那么三邊長有什么特殊的數(shù)量關(guān)系？二、導(dǎo)讀：仔細(xì)閱讀課本內(nèi)容后完成下面填空：角度a三角函數(shù)值三角函數(shù)30°45°60°sinacosatana☆合作探究☆1.求下列各式的值（1）2sin300－cos450（2）sin600cos600（3）sin2300+cos2300求滿足下列條件的銳角：(1)tan(a+10°)=1，(2)sin(a-20°)=.已知：如圖，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D,AC=2,AD=.分別求出△ABC、△ACD、△BCD中各銳角的度數(shù).☆歸納反思☆☆達(dá)標(biāo)檢測☆1．若sinα=,則銳角α=________.若2cosα=1,則銳角α=_________.2．若∠A是銳角，且tanA=,則cosA=_________3．若∠A=41°，則cosA的大致范圍是（）A．0＜cosA＜1B.＜cosA＜C.＜cosA＜D.＜cosA＜14.計(jì)算：（1）tan30°sin60°＋cos230°－sin245°tan45°（2）（說明：）1.3三角函數(shù)的計(jì)算優(yōu)秀領(lǐng)先飛翔夢想成人成才1．熟練掌握用科學(xué)計(jì)算器求三角函數(shù)值；(重點(diǎn))2．初步理解仰角和俯角的概念及應(yīng)用．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入如圖①和圖②，將一個(gè)Rt△ABC形狀的楔子從木樁的底端點(diǎn)P沿水平方向打入木樁底下，可以使木樁向上運(yùn)動．如果楔子斜面的傾斜角為10°，楔子沿水平方向前進(jìn)5cm(如箭頭所示)．那么木樁上升多少厘米？觀察圖②易知，當(dāng)楔子沿水平方向前進(jìn)5cm，即BN＝5cm時(shí)，木樁上升的距離為PN.在Rt△PBN中，∵tan10°＝eq\f(PN,BN)，∴PN＝BNtan10°＝5tan10°(cm)．那么，tan10°等于多少呢？對于不是30°，45°，60°這些特殊角的三角函數(shù)值，可以利用科學(xué)計(jì)算器來求．二、合作探究探究點(diǎn)一：利用科學(xué)計(jì)算器解決含三角函數(shù)的計(jì)算問題【類型一】已知角度，用計(jì)算器求三角函數(shù)值用計(jì)算器求下列各式的值(精確到0.0001)：(1)sin47°；(2)sin12°30′；(3)cos25°18′；(4)sin18°＋cos55°－tan59°.解析：熟練使用計(jì)算器，對計(jì)算器給出的結(jié)果，根據(jù)題目要求用四舍五入法取近似值．解：根據(jù)題意用計(jì)算器求出：(1)sin47°≈0.7314；(2)sin12°30′≈0.2164；(3)cos25°18′≈0.9041；(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.方法總結(jié)：解決此類問題關(guān)鍵是熟練使用計(jì)算器，使用計(jì)算器時(shí)要注意按鍵順序．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第3題【類型二】已知三角函數(shù)值，用計(jì)算器求銳角的度數(shù)已知下列銳角三角函數(shù)值，用計(jì)算器求銳角∠A，∠B的度數(shù)(結(jié)果精確到0.1°)：(1)sinA＝0.7，sinB＝0.01；(2)cosA＝0.15，cosB＝0.8；(3)tanA＝2.4，tanB＝0.5.解析：熟練應(yīng)用計(jì)算器，對計(jì)算器給出的結(jié)果，根據(jù)題目要求用四舍五入取近似值．解：(1)由sinA＝0.7，得∠A≈44.4°；由sinB＝0.01，得∠B≈0.6°；(2)由cosA＝0.15，得∠A≈81.4°；由cosB＝0.8，得∠B≈36.9°；(3)由tanA＝2.4，得∠A≈67.4°；由tanB＝0.5，得∠B≈26.6°.方法總結(jié)：解決此類問題關(guān)鍵是熟練使用計(jì)算器，在使用計(jì)算器時(shí)要注意按鍵順序．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第7題【類型三】利用計(jì)算器比較三角函數(shù)值的大小(1)通過計(jì)算(可用計(jì)算器)，比較下列各對數(shù)的大小，并提出你的猜想：①sin30°________2sin15°cos15°；②sin36°________2sin18°cos18°；③sin45°________2sin22.5°cos22.5°；④sin60°________2sin30°cos30°；⑤sin80°________2sin40°cos40°.猜想：已知0°＜α＜45°，則sin2α________2sinαcosα；(2)如圖，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α，請根據(jù)提示，利用面積方法驗(yàn)證(1)中提出的猜想．解析：(1)利用計(jì)算器分別計(jì)算①至⑤各式中左邊與右邊的值，比較大?。?2)通過計(jì)算△ABC的面積來驗(yàn)證．解：(1)①＝②＝③＝④＝⑤＝猜想：＝(2)已知0°＜α＜45°，則sin2α＝2sinαcosα.證明：S△ABC＝eq\f(1,2)AB·sin2α·AC，S△ABC＝eq\f(1,2)×2ABsinα·ACcosα，∴sin2α＝2sinαcosα.方法總結(jié)：本題主要運(yùn)用了面積法，通過用不同的方法表示同一個(gè)三角形的面積，來得到三角函數(shù)的關(guān)系，此種方法在后面的學(xué)習(xí)中會經(jīng)常用到．探究點(diǎn)二：利用三角函數(shù)解決實(shí)際問題【類型一】非特殊角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用如圖，從A地到B地的公路需經(jīng)過C地，圖中AC＝10千米，∠CAB＝25°，∠CBA＝45°.因城市規(guī)劃的需要，將在A、B兩地之間修建一條筆直的公路．(1)求改直后的公路AB的長；(2)問公路改直后該段路程比原來縮短了多少千米(精確到0.1)?解析：(1)過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，根據(jù)AC＝10千米，∠CAB＝25°，求出CD、AD，根據(jù)∠CBA＝45°，求出BD、BC，最后根據(jù)AB＝AD＋BD列式計(jì)算即可；(2)根據(jù)(1)可知AC、BC的長度，即可得出公路改直后該段路程比原來縮短的路程．解：(1)過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，∵AC＝10千米，∠CAB＝25°，∴CD＝sin∠CAB·AC＝sin25°×10≈0.42×10＝4.2(千米)，AD＝cos∠CAB·AC＝cos25°×10≈0.91×10＝9.1(千米)．∵∠CBA＝45°，∴BD＝CD＝4.2(千米)，BC＝eq\f(CD,sin∠CBA)＝eq\f(4.2,sin45°)≈5.9(千米)，∴AB＝AD＋BD＝9.1＋4.2＝13.3(千米)．所以，改直后的公路AB的長約為13.3千米；(2)∵AC＝10千米，BC＝5.9千米，∴AC＋BC－AB＝10＋5.9－13.3＝2.6(千米)．所以，公路改直后該段路程比原來縮短了約2.6千米．方法總結(jié)：解決問題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)關(guān)系求出有關(guān)線段的長．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第9題【類型二】仰角、俯角問題如圖，課外數(shù)學(xué)小組要測量小山坡上塔的高度DE，DE所在直線與水平線AN垂直．他們在A處測得塔尖D的仰角為45°，再沿著射線AN方向前進(jìn)50米到達(dá)B處，此時(shí)測得塔尖D的仰角∠DBN＝61.4°，小山坡坡頂E的仰角∠EBN＝25.6°.現(xiàn)在請你幫助課外活動小組算一算塔高DE大約是多少米(結(jié)果精確到個(gè)位)．解析：根據(jù)銳角三角函數(shù)關(guān)系表示出BF的長，進(jìn)而求出EF的長，得出答案．解：延長DE交AB延長線于點(diǎn)F，則∠DFA＝90°.∵∠A＝45°，∴AF＝DF.設(shè)EF＝x，∵tan25.6°＝eq\f(EF,BF)≈0.5，∴BF＝2x，則DF＝AF＝50＋2x，故tan61.4°＝eq\f(DF,BF)＝eq\f(50＋2x,2x)＝1.8，解得x≈31.故DE＝DF－EF＝50＋31×2－31＝81(米)．所以，塔高DE大約是81米．方法總結(jié)：解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒有直角三角形時(shí)，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第7題三、板書設(shè)計(jì)三角函數(shù)的計(jì)算1．已知角度，用計(jì)算器求三角函數(shù)值2．已知三角函數(shù)值，用計(jì)算器求銳角的度數(shù)3．仰角、俯角的意義本節(jié)課盡可能站在學(xué)生的角度上思考問題，設(shè)計(jì)好教學(xué)的每一個(gè)細(xì)節(jié)，讓學(xué)生更多地參與到課堂的教學(xué)過程中，讓學(xué)生體驗(yàn)思考的過程，體驗(yàn)成功的喜悅和失敗的挫折，舍得把課堂讓給學(xué)生，盡最大可能在課堂上投入更多的情感因素，豐富課堂語言，使課堂更加鮮活，充滿人性魅力，下課后多反思，做好反饋工作，不斷總結(jié)得失，不斷進(jìn)步．只有這樣，才能真正提高課堂教學(xué)效率，提高成績.1.3三角函數(shù)的計(jì)算教學(xué)目標(biāo)學(xué)會計(jì)算器求任意角的三角函數(shù)值。教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：用計(jì)算器求任意角的三角函數(shù)值。難點(diǎn)：實(shí)際運(yùn)用。教學(xué)過程拿出計(jì)算器，熟悉計(jì)算器的用法。下面我們介紹如何利用計(jì)算器求已知銳角的三角函數(shù)值和由三角函數(shù)值求對應(yīng)的銳角.求已知銳角的三角函數(shù)值.求sin63゜52′41″的值.（精確到0.0001）解先用如下方法將角度單位狀態(tài)設(shè)定為“度”：顯示再按下列順序依次按鍵：顯示結(jié)果為0.897859012.所以sin63゜52′41″≈0.8979例3求cot70゜45′的值.（精確到0.0001）解在角度單位狀態(tài)為“度”的情況下（屏幕顯示出），按下列順序依次按鍵：顯示結(jié)果為0.349215633.所以cot70゜45′≈0.3492.由銳角三角函數(shù)值求銳角例4已知tanx=0.7410,求銳角x.（精確到1′）解在角度單位狀態(tài)為“度”的情況下（屏幕顯示出），按下列順序依次按鍵：顯示結(jié)果為36.53844577.再按鍵：顯示結(jié)果為36゜32′18.4.所以，x≈36゜32′.已知cotx=0.1950,求銳角x.（精確到1′）分析根據(jù)tanx＝，可以求出tanx的值，然后根據(jù)例4的方法就可以求出銳角x的值.四、課堂練習(xí)使用計(jì)算器求下列三角函數(shù)值.（精確到0.0001）sin24゜,cos51゜42′20″,tan70゜21′,cot70゜.已知銳角a的三角函數(shù)值，使用計(jì)算器求銳角a.（精確到1′）（1）sina=0.2476;（2）cosa=0.4174;（3）tana=0.1890;（4）cota=1.3773.五、學(xué)習(xí)小結(jié)內(nèi)容總結(jié)不同計(jì)算器操作不同，按鍵定義也不一樣。同一銳角的正切值與余切值互為倒數(shù)。在生活中運(yùn)用計(jì)算器一定要注意計(jì)算器說明書的保管與使用。方法歸納在解決直角三角形的相關(guān)問題時(shí)，常常使用計(jì)算器幫助我們處理比較復(fù)雜的計(jì)算。布置作業(yè)習(xí)題：3，4，5；練習(xí)冊1.4解直角三角形優(yōu)秀領(lǐng)先飛翔夢想成人成才第1頁共12頁1．正確運(yùn)用直角三角形中的邊角關(guān)系解直角三角形；(重點(diǎn))2．選擇適當(dāng)?shù)年P(guān)系式解直角三角形．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入如圖，美麗的徒駭河宛如一條玉帶穿城而過，沿河兩岸的濱河大道和風(fēng)景帶成為該市的一道新景觀．在數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動中，小亮在河西岸濱河大道一段AC上的A，B兩點(diǎn)處，利用測角儀分別對東岸的觀景臺D進(jìn)行了測量，分別測得∠DAC＝60°，∠DBC＝75°.又已知AB＝100米，根據(jù)以上條件你能求出觀景臺D到徒駭河西岸AC的距離嗎？二、合作探究探究點(diǎn)：解直角三角形【類型一】利用解直角三角形求邊或角已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對應(yīng)邊分別為a、b、c，按下列條件解直角三角形．(1)若a＝36，∠B＝30°，求∠A的度數(shù)和邊b、c的長；(2)若a＝6，b＝6，求∠A、∠B的度數(shù)和邊c的長．解析：(1)已知直角邊和一個(gè)銳角，解直角三角形；(2)已知兩條直角邊，解直角三角形．解：(1)在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，a＝36，∴∠A＝90°－∠B＝60°，eq\f(a,c)＝cosB，即c＝eq\f(a,cosB)＝eq\f(36,\f(\r(3),2))＝24eq\r(3)，∴b＝eq\f(1,2)c＝eq\f(1,2)×24eq\r(3)＝12eq\r(3)；(2)在Rt△ABC中，∵a＝6，b＝6，∴c＝6eq\r(2)，∠A＝∠B＝45°.方法總結(jié)：解直角三角形時(shí)應(yīng)求出所有未知元素，盡可能地選擇包含所求元素與兩個(gè)已知元素的關(guān)系式求解．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第6題【類型二】構(gòu)造直角三角形解決長度問題一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在FD的延長線上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12eq\r(2)，試求CD的長．解析：過點(diǎn)B作BM⊥FD于點(diǎn)M，求出BM與CM的長度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，利用解直角三角形解答即可．解：過點(diǎn)B作BM⊥FD于點(diǎn)M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12eq\r(2)，∴BC＝AC＝12eq\r(2).∵AB∥CF，∴BM＝sin45°BC＝12eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝12，CM＝BM＝12.在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝eq\f(BM,tan60°)＝4eq\r(3)，∴CD＝CM－MD＝12－4eq\r(3).方法總結(jié)：解答此類題目的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，然后利用所學(xué)的三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解答．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第7題【類型三】構(gòu)造直角三角形解決面積問題在△ABC中，∠B＝45°，AB＝eq\r(2)，∠A＝105°，求△ABC的面積．解析：過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)勾股定理求出BD、AD的長，再根據(jù)解直角三角形求出CD的長，最后根據(jù)三角形的面積公式解答即可．解：過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∵∠B＝45°，∴∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\f(\r(2),2)×eq\r(2)＝1.∵∠A＝105°，∴∠CAD＝105°－45°＝60°，∴∠C＝30°，∴CD＝eq\f(AD,tan30°)＝eq\f(1,\f(\r(3),3))＝eq\r(3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)(CD＋BD)·AD＝eq\f(1,2)×(eq\r(3)＋1)×1＝eq\f(\r(3)＋1,2).方法總結(jié)：解答此類題目的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，然后利用所學(xué)的三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解答．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第7題三、板書設(shè)計(jì)解直角三角形1．解直角三角形的概念2．解直角三角形的基本類型及其解法3．解直角三角形的簡單應(yīng)用本節(jié)課的設(shè)計(jì)，力求體現(xiàn)新課程理念．給學(xué)生自主探索的時(shí)間，給學(xué)生寬松和諧的氛圍，讓學(xué)生學(xué)得更主動、更輕松，力求在探索知識的過程中，培養(yǎng)探索能力、創(chuàng)新能力、合作能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性、主動性.1.4解直角三角形課題解直角三角形教學(xué)目標(biāo)1、使學(xué)生綜合運(yùn)用有關(guān)直角三角形知識解決實(shí)際問題．2、培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．教學(xué)重點(diǎn)歸納直角三角形的邊、角之間的關(guān)系，利用這些關(guān)系式解直角三角形，并利用解直角三角形的有關(guān)知識解決實(shí)際問題．教學(xué)難點(diǎn)利用解直角三角形的有關(guān)知識解決實(shí)際問題．教學(xué)用具執(zhí)教者教學(xué)內(nèi)容共案個(gè)案一、新課引入：1、什么是解直角三角形？2、在Rt△ABC中，除直角C外的五個(gè)元素間具有什么關(guān)系？請學(xué)生回答以上二小題，因?yàn)楸竟?jié)課主要是運(yùn)用以上關(guān)系解直角三角形，從而解決一些實(shí)際問題．學(xué)生回答后，板書：(1)三邊關(guān)系：a2+b2=c2；(2)銳角之間關(guān)系：∠A+∠B=90°；(3)邊角之間關(guān)系第二大節(jié)“解直角三角形”，安排在銳角三角函數(shù)之后，通過計(jì)算題、證明題、應(yīng)用題和實(shí)習(xí)作業(yè)等多種形式，對概念進(jìn)行加深認(rèn)識，起到鞏固作用．同時(shí)，解直角三角形的知識可以廣泛地應(yīng)用于測量、工程技術(shù)和物理之中，主要是用來計(jì)算距離、高度和角度．其中的應(yīng)用題，內(nèi)容比較廣泛，具有綜合技術(shù)教育價(jià)值．解決這類問題需要進(jìn)行運(yùn)算，但三角的運(yùn)算與邏輯思維是密不可分的；為了便于運(yùn)算，常常先選擇公式并進(jìn)行變換．同時(shí)，解直角三角形的應(yīng)用題和實(shí)習(xí)作業(yè)也有利于培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力，要求學(xué)生通過觀察，或結(jié)合文字畫出圖形，總之，解直角三角形的應(yīng)用題和實(shí)習(xí)作業(yè)可以培養(yǎng)學(xué)生的三大數(shù)學(xué)能力和分析問題、解決問題的能力．解直角三角形還有利于數(shù)形結(jié)合．通過這一章學(xué)習(xí)，學(xué)生才能對直角三角形概念有較完整認(rèn)識，才能把直角三角形的判定、性質(zhì)、作圖與直角三角形中邊、角之間的數(shù)量關(guān)系統(tǒng)一起來．另外，有些簡單的幾何圖形可分解為一些直角三角形的組合，從而也能用本章知識加以處理．基于以上分析，本節(jié)課復(fù)習(xí)解直角三角形知識主要通過幾個(gè)典型例題的教學(xué)，達(dá)到教學(xué)目標(biāo)．二、新課講解：1、首先出示，通過一道簡單的解直角三角形問題，為以下實(shí)際應(yīng)用奠定基礎(chǔ)．根據(jù)下列條件，解直角三角形．教師分別請兩名同學(xué)上黑板板演，同時(shí)巡視檢查其余同學(xué)解題過程，對有問題的同學(xué)可單獨(dú)指導(dǎo)．待全體學(xué)生完成之后，大家共同檢查黑板上兩題的解題過程，通過學(xué)生互評，達(dá)到查漏補(bǔ)缺的目的，使全體學(xué)生掌握解直角三角形．如果班級學(xué)生對解直角三角形掌握較好，這兩個(gè)題還可以這樣處理：請二名同學(xué)板演的同時(shí)，把下面同學(xué)分為兩部分，一部分做①，另一部分做②，然后學(xué)生互評．這樣可以節(jié)約時(shí)間．2、出示例題2．在平地上一點(diǎn)C，測得山頂A的仰角為30°，向山沿直線前進(jìn)20米到D處，再測得山頂A的仰角為45°，求山高AB．此題一方面可引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)仰角、俯角的概念，同時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生加以分析：如圖6-39，根據(jù)題意可得AB⊥BC，得∠ABC=90°，△ABD和△ABC都是直角三角形，且C、D、B在同一直線上，由∠ADB=45°，AB=BD，CD=20米，可得BC=20+AB，在Rt△ABC中，∠C=30°，可得AB與BC之間的關(guān)系，因此山高AB可求．學(xué)生在分析此題時(shí)遇到的困難是：在Rt△ABC中和Rt△ABD中，都找不出一條已知邊，而題目中的已知條件CD=20米又不會用．教學(xué)時(shí)，在這里教師應(yīng)著重引②，通過①，②兩式，可得AB長．解：根據(jù)題意，得AB⊥BC，∴∠ABC=Rt△．∵∠ADB=45°，∴AB=BD，∴BC=CD+BD=20+AB．在Rt△ABC中，∠C=30°，通過此題可引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：有些直角三角形的已知條件中沒有一條已知邊，但已知二邊的關(guān)系，結(jié)合另一條件，運(yùn)用方程思想，也可以解決．3．例題3(出示投影片)如圖6-40，水庫的橫截面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡AB壩底寬AD(精確到0.1m)．坡度問題是解直角三角形的一個(gè)重要應(yīng)用，學(xué)生在解坡度問題時(shí)常遇到以下問題：1．對坡度概念不理解導(dǎo)致不會運(yùn)用題目中的坡度條件；2．坡度問題計(jì)算量較大，學(xué)生易出錯(cuò)；3．常需添加輔助線將圖形分割成直角三角形和矩形．因此，設(shè)計(jì)本題要求教師在教學(xué)中著重針對以上三點(diǎn)來考查學(xué)生的掌握情況．首先請學(xué)生分析：過B、C作梯形ABCD的高，將梯形分割成兩個(gè)直角三角形和一個(gè)矩形來解．教師可請一名同學(xué)上黑板板書，其他學(xué)生筆答此題．教師在巡視中為個(gè)別學(xué)生解開疑點(diǎn)，查漏補(bǔ)缺．解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別為E、F，則BE=23m．在Rt△ABE中，∴AB=2BE=46(m)．∴FD=CF=23(m)．答：斜坡AB長46m，坡角α等于30°，壩底寬AD約為68.8m．引導(dǎo)全體同學(xué)通過評價(jià)黑板上的板演，總結(jié)解坡度問題需要注意的問題：①適當(dāng)添加輔助線，將梯形分割為直角三角形和矩形．③計(jì)算中盡量選擇較簡便、直接的關(guān)系式加以計(jì)算．三、課堂小結(jié)：請學(xué)生總結(jié)：解直角三角形時(shí)，運(yùn)用直角三角形有關(guān)知識，通過數(shù)值計(jì)算，去求出圖形中的某些邊的長度或角的大小．在分析問題時(shí)，最好畫出幾何圖形，按照圖中的邊角之間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算．這樣可以幫助思考、防止出錯(cuò)．四、布置作業(yè)板書設(shè)計(jì)教學(xué)反思小結(jié)與復(fù)習(xí)(二)

一、新課引入二、新課講解三、課堂小結(jié)四、布置作業(yè)1.5三角函數(shù)的應(yīng)用優(yōu)秀領(lǐng)先飛翔夢想成人成才第1頁共12頁1．通過生活中的實(shí)際問題體會銳角三角函數(shù)在解決問題過程中的作用；(重點(diǎn))2．能夠建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入為倡導(dǎo)“低碳生活”，人們常選擇自行車作為代步工具，圖①所示的是一輛自行車的實(shí)物圖．圖②是這輛自行車的部分幾何示意圖，其中車架檔AC與CD的長分別為45cm和60cm，且它們互相垂直，座桿CE的長為20cm.點(diǎn)A、C、E在同一條直線上，且∠CAB＝75°.你能求出車架檔AD的長嗎？二、合作探究探究點(diǎn)：三角函數(shù)的應(yīng)用【類型一】利用方向角解決問題某船以每小時(shí)36海里的速度向正東方向航行，在點(diǎn)A測得某島C在北偏東60°方向上，航行半小時(shí)后到達(dá)點(diǎn)B，測得該島在北偏東30°方向上，已知該島周圍16海里內(nèi)有暗礁．(1)試說明點(diǎn)B是否在暗礁區(qū)域外；(2)若繼續(xù)向東航行有無觸礁危險(xiǎn)？請說明理由．解析：(1)求點(diǎn)B是否在暗礁區(qū)域內(nèi)，其實(shí)就是求CB的距離是否大于16，如果大于則不在暗礁區(qū)域內(nèi)，反之則在．可通過構(gòu)造直角三角形來求CB的長，作CD⊥AB于D點(diǎn)，CD是Rt△ACD和Rt△CBD的公共直角邊，可先求出CD的長，再求出CB的長；(2)本題實(shí)際上是問C到AB的距離即CD是否大于16，如果大于則無觸礁危險(xiǎn)，反之則有，CD的值在第(1)問已經(jīng)求出，只要進(jìn)行比較即可．解：(1)作CD⊥AB于D點(diǎn)，設(shè)BC＝x，在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，∴BD＝eq\f(1,2)x，CD＝eq\f(\r(3),2)x.在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(\r(3),3)，∴eq\f(\f(\r(3),2)x,18＋\f(1,2)x)＝eq\f(\r(3),3).∴x＝18.∵18>16，∴點(diǎn)B是在暗礁區(qū)域外；(2)∵CD＝eq\f(\r(3),2)x＝9eq\r(3)，9eq\r(3)＜16，∴若繼續(xù)向東航行船有觸礁的危險(xiǎn)．方法總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題，通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，再把條件和問題轉(zhuǎn)化到這個(gè)直角三角形中解決．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第4題【類型二】利用仰角和俯角解決問題某中學(xué)九年級學(xué)生在學(xué)習(xí)“直角三角形的邊角關(guān)系”時(shí)，組織開展測量物體高度的實(shí)踐活動．在活動中，某小組為了測量校園內(nèi)①號樓AB的高度(如圖)，站在②號樓的C處，測得①號樓頂部A處的仰角α＝30°，底部B處的俯角β＝45°.已知兩幢樓的水平距離BD為18米，求①號樓AB的高度(結(jié)果保留根號)．解析：根據(jù)在Rt△BCE中，tan∠BCE＝eq\f(BE,CE)，求出BE的值，再根據(jù)在Rt△ACE中，tan∠ACE＝eq\f(AE,CE)，求出AE的值，最后根據(jù)AB＝AE＋BE，即可求出答案．解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，CE⊥AB，∴四邊形CDBE是矩形，∴CE＝BD＝18米．在Rt△BEC中，∵∠ECB＝45°，∴EB＝CE＝18米．在Rt△AEC中，∵tan∠ACE＝eq\f(AE,CE)，∴AE＝CE·tan∠ACE＝18×tan30°＝6eq\r(3)(米)，∴AB＝AE＋EB＝18＋6eq\r(3)(米)．所以，①號樓AB的高為(18＋6eq\r(3))米．方法總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是結(jié)合仰角、俯角構(gòu)造直角三角形，然后再解直角三角形．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第1題【類型三】求河的寬度根據(jù)網(wǎng)上消息，益陽市為了改善市區(qū)交通狀況，計(jì)劃在康富路的北端修建通往資江北岸的新大橋．如圖，新大橋的兩端位于A、B兩點(diǎn)，小張為了測量A、B之間的河寬，在垂直于新大橋AB的直線型道路l上測得如下數(shù)據(jù)：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝68.2°，CD＝82米．求AB的長(精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0，sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5)．解析：設(shè)AD＝xm，則AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)得到AB＝2.5(x＋82)m，在Rt△ABD中，根據(jù)三角函數(shù)得到AB＝4x，依此得到關(guān)于x的方程，進(jìn)一步即可求解．解：設(shè)AD＝xm，則AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，tan∠BCA＝eq\f(AB,AC)，∴AB＝AC·tan∠BCA＝2.5(x＋82)．在Rt△ABD中，tan∠BDA＝eq\f(AB,AD)，∴AB＝AD·tan∠BDA＝4x，∴2.5(x＋82)＝4x，解得x＝eq\f(410,3).∴AB＝4x＝4×eq\f(410,3)≈546.7m.所以，AB的長約為546.7m.方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過測量角的度數(shù)和測量邊的長度，計(jì)算出所要求的物體的高度或?qū)挾龋兪接?xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第5題【類型四】仰角、俯角和坡度的綜合應(yīng)用如圖，小麗假期在娛樂場游玩時(shí)，想要利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量某個(gè)娛樂場地所在山坡AE的長度．她先在山腳下點(diǎn)E處測得山頂A的仰角是30°，然后，她沿著坡度是i＝1∶1(即tan∠CED＝1)的斜坡步行15分鐘抵達(dá)C處，此時(shí)，測得A點(diǎn)的俯角是15°.已知小麗的步行速度是18米/分，圖中點(diǎn)A、B、E、D、C在同一平面內(nèi)，且點(diǎn)D、E、B在同一水平直線上．求出娛樂場地所在山坡AE的長度(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.41，結(jié)果精確到0.1米)．解析：作輔助線EF⊥AC于點(diǎn)F，根據(jù)速度乘以時(shí)間得出CE的長度，通過坡度得到∠ECF＝30°，通過平角減去其他角從而得到∠AEF＝45°，即可求出AE的長度．解：作EF⊥AC于點(diǎn)F，根據(jù)題意，得CE＝18×15＝270(米)．∵tan∠CED＝1，∴∠CED＝∠DCE＝45°.∵∠ECF＝90°－45°－15°＝30°，∴EF＝eq\f(1,2)CE＝135米．∵∠CEF＝60°，∠AEB＝30°，∴∠AEF＝180°－45°－60°－30°＝45°，∴AE＝eq\r(2)EF＝135eq\r(2)≈190.4(米)．所以，娛樂場地所在山坡AE的長度約為190.4米．方法總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是能借助仰角、俯角和坡度構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．三、板書設(shè)計(jì)三角函數(shù)的應(yīng)用1．方向角的概念2．三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用本節(jié)課盡可能站在學(xué)生的角度上思考問題，設(shè)計(jì)好教學(xué)的每一個(gè)細(xì)節(jié)，上課前多揣摩．讓學(xué)生更多地參與到課堂的教學(xué)過程中，讓學(xué)生體驗(yàn)思考的過程，體驗(yàn)成功的喜悅和失敗的挫折，把課堂讓給學(xué)生，讓學(xué)生做課堂這個(gè)小小舞臺的主角．教師盡最大可能在課堂上投入更多的情感因素，豐富課堂語言，使課堂更加鮮活，充滿人性魅力，下課后多反思，做好反饋工作，不斷總結(jié)得失，不斷進(jìn)步．只有這樣，才能真正提高課堂教學(xué)效率.1.5三角函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)(一)教學(xué)知識點(diǎn)1.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險(xiǎn)的過程，進(jìn)一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的應(yīng)用.2.能夠把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，能夠借助于計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)三角函數(shù)的計(jì)算，并能對結(jié)果的意義進(jìn)行說明.(二)能力訓(xùn)練要求發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和解決問題的能力.(三)情感與價(jià)值觀要求1.在經(jīng)歷弄清實(shí)際問題題意的過程中，畫出示意圖，培養(yǎng)獨(dú)立思考問題的習(xí)慣和克服困難的勇氣.2.選擇生活中學(xué)生感興趣的題材，使學(xué)生能積極參與數(shù)學(xué)活動，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)的欲望.教具重點(diǎn)1.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險(xiǎn)的過程，進(jìn)一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的作用.2.發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和解決問題的能力.教學(xué)難點(diǎn)根據(jù)題意，了解有關(guān)術(shù)語，準(zhǔn)確地畫出示意圖.教學(xué)方法探索——發(fā)現(xiàn)法教具準(zhǔn)備多媒體演示教學(xué)過程Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課[師]直角三角形就像一個(gè)萬花筒，為我們展現(xiàn)出了一個(gè)色彩斑瀾的世界.我們在欣賞了它神秘的“勾股”、知道了它的邊的關(guān)系后，接著又為我們展現(xiàn)了在它的世界中的邊角關(guān)系，它使我們現(xiàn)實(shí)生活中不可能實(shí)現(xiàn)的問題，都可迎刃而解.它在航海、工程等測量問題中有著廣泛應(yīng)用，例如測旗桿的高度、樹的高度、塔高等.下面我們就來看一個(gè)問題(多媒體演示).海中有一個(gè)小島A，該島四周10海里內(nèi)有暗礁.今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西55°的B處，往東行駛20海里后，到達(dá)該島的南偏西25°的C處，之后，貨輪繼續(xù)往東航行，你認(rèn)為貨輪繼續(xù)向東航行途中會有觸礁的危險(xiǎn)嗎?你是如何想的?與同伴進(jìn)行交流.下面就請同學(xué)們用銳角三角函數(shù)知識解決此問題.(板書：船有觸礁的危險(xiǎn)嗎)Ⅱ.講授新課[師]我們注意到題中有很多方位，在平面圖形中，方位是如何規(guī)定的?[生]應(yīng)該是“上北下南，左西右東”.[師]請同學(xué)們根據(jù)題意在練習(xí)本上畫出示意圖，然后說明你是怎樣畫出來的.[生]首先我們可將小島A確定，貨輪B在小島A的南偏西55°的B處，C在B的正東方，且在A南偏東25°處.示意圖如下.[師]貨輪要向正東方向繼續(xù)行駛，有沒有觸礁的危險(xiǎn)，由誰來決定?[生]根據(jù)題意，小島四周10海里內(nèi)有暗礁，那么貨輪繼續(xù)向東航行的方向如果到A的最短距離大于10海里，則無觸礁的危險(xiǎn)，如果小于10海里則有觸礁的危險(xiǎn).A到BC所在直線的最短距離為過A作AD⊥BC，D為垂足，即AD的長度.我們需根據(jù)題意，計(jì)算出AD的長度，然后與10海里比較.[師]這位同學(xué)分析得很好，能將實(shí)際問題清晰條理地轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題.下面我們就來看AD如何求.根據(jù)題意，有哪些已知條件呢?[生]已知BC°＝20海里，∠BAD＝55°，∠CAD＝25°.[師]在示意圖中，有兩個(gè)直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD.你能在哪一個(gè)三角形中求出AD呢?[生]在Rt△ACD中，只知道∠CAD=25°，不能求AD.[生]在Rt△ABD中，知道∠BAD=55°，雖然知道BC＝20海里，但它不是Rt△ABD的邊，也不能求出AD.[師]那該如何是好?是不是可以將它們結(jié)合起來，站在一個(gè)更高的角度考慮?[生]我發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)三角形有聯(lián)系，AD是它們的公共直角邊.而且BC是這兩個(gè)直角三角形BD與CD的差，即BC＝BD-CD.BD、CD的對角是已知的，BD、CD和邊AD都有聯(lián)系.[師]有何聯(lián)系呢?[生]在Rt△ABD中，tan55°＝，BD=ADtan55°；在Rt△ACD中，tan25°＝，CD＝ADtan25°.[生]利用BC＝BD-CD就可以列出關(guān)于AD的一元一次方程，即ADtan55°-ADtan25°＝20.[師]太棒了!沒想到方程在這個(gè)地方幫了我們的忙.其實(shí)，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我們初中數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)思想之一.下面我們一起完整地將這個(gè)題做完.[師生共析]解：過A作BC的垂線，交BC于點(diǎn)D.得到Rt△ABD和Rt△ACD，從而BD=ADtan55°，CD＝ADtan25°，由BD-CD＝BC，又BC＝20海里.得ADtan55°-ADtan25°＝20.AD(tan55°-tan25°)＝20，AD=≈20.79(海里).這樣AD≈20.79海里>10海里，所以貨輪沒有觸礁的危險(xiǎn).[師]接下來，我們再來研究一個(gè)問題.還記得本章開頭小明要測塔的高度嗎?現(xiàn)在我們來看他是怎樣測的，并根據(jù)他得到的數(shù)據(jù)幫他求出塔的高度.多媒體演示想一想你會更聰明：如圖，小明想測量塔CD的高度.他在A處仰望塔頂，測得仰角為30°，再往塔的方向前進(jìn)50m至B處.測得仰角為60°.那么該塔有多高?(小明的身高忽略不計(jì)，結(jié)果精確到1m)[師]我想請一位同學(xué)告訴我什么是仰角?在這個(gè)圖中，30°的仰角、60°的仰角分別指哪兩個(gè)角?[生]當(dāng)從低處觀測高處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為仰角.30°的仰角指∠DAC，60°的仰角指∠DBC.[師]很好!請同學(xué)們獨(dú)立思考解決這個(gè)問題的思路，然后回答.(教師留給學(xué)生充分的思考時(shí)間，感覺有困難的學(xué)生可給以指導(dǎo))[生]首先，我們可以注意到CD是兩個(gè)直角三角形Rt△ADC和Rt△BDC的公共邊，在Rt△ADC中，tan30°=，即AC＝在Rt△BDC中，tan60°=,即BC＝，又∵AB=AC-BC＝50m，得-=50.解得CD≈43(m)，即塔CD的高度約為43m.[生]我有一個(gè)問題，小明在測角時(shí)，小明本身有一個(gè)高度，因此在測量CD的高度時(shí)應(yīng)考慮小明的身高.[師]這位同學(xué)能根據(jù)實(shí)際大膽地提出質(zhì)疑，很值得贊賞.在實(shí)際測量時(shí).的確應(yīng)該考慮小明的身高，更準(zhǔn)確一點(diǎn)應(yīng)考慮小明在測量時(shí)，眼睛離地面的距離.如果設(shè)小明測量時(shí)，眼睛離地面的距離為1.6m，其他數(shù)據(jù)不變，此時(shí)塔的高度為多少?你能畫出示意圖嗎?[生]示意圖如右圖所示，由前面的解答過程可知CC′≈43m，則CD＝43+1.6＝44.6m.即考慮小明的高度，塔的高度為44.6m.[師]同學(xué)們的表現(xiàn)太棒了.現(xiàn)在我手里有一個(gè)樓梯改造工程問題，想請同學(xué)們幫忙解決一下.多媒體演示：某商場準(zhǔn)備改善原來樓梯的安全性能，把傾角由40°減至35°，已知原樓梯長為4m，調(diào)整后的樓梯會加長多少？樓梯多占多長一段地面?(結(jié)果精確到0.0lm)請同學(xué)們根據(jù)題意，畫出示意圖，將這個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，(先獨(dú)立完成，然后相互交流，討論各自的想法)[生]在這個(gè)問題中，要注意調(diào)整前后的梯樓的高度是一個(gè)不變量.根據(jù)題意可畫㈩示意圖(如右圖).其中AB表示樓梯的高度.AC是原樓梯的長，BC是原樓梯的占地長度；AD是調(diào)整后的樓梯的長度，DB是調(diào)整后的樓梯的占地長度.∠ACB是原樓梯的傾角，∠ADB是調(diào)整后的樓梯的傾角.轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題即為：如圖，AB⊥DB，∠ACB＝40°，∠ADB＝35°，AC＝4m.求AD-AC及DC的長度.[師]這位同學(xué)把這個(gè)實(shí)際樓梯調(diào)整問題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問題.大家從示意圖中不難看出這個(gè)問題是前面問題的變式.我相信同學(xué)們一定能用計(jì)算器輔助很快地解決它，開始吧![生]解：由條件可知，在Rt△ABC中,sin40°＝，即AB＝4sin40°m，原樓梯占地長BC＝4cos40°m.調(diào)整后,在Rt△ADB中，sin35°＝，則AD＝m.樓梯占地長DB=m.∴調(diào)整后樓梯加長AD-AC＝-4≈0.48(m)，樓梯比原來多占DC＝DB-BC=-4cos40°≈0.61(m).Ⅲ.隨堂練習(xí)1.如圖，一燈柱AB被一鋼纜CD固定，CD與地面成40°夾角，且DB＝5m，現(xiàn)再在C點(diǎn)上方2m處加固另一條鋼纜ED，那么鋼纜ED的長度為多少?解：在Rt△CBD中，∠CDB=40°，DB=5m，sin40°=，BC=DBsin40°=5sin40°(m).在Rt△EDB中，DB=5m，BE=BC+EC＝2+5sin40°(m).根據(jù)勾股定理，得DE=≈7.96(m).所以鋼纜ED的長度為7.96m.2.如圖，水庫大壩的截面是梯形ABCD，壩頂AD＝6m，坡長CD＝8m.坡底BC＝30m，∠ADC=135°.(1)求∠ABC的大小：(2)如果壩長100m.那么建筑這個(gè)大壩共需多少土石料?(結(jié)果精確到0.01m3)解：過A、D分別作AE⊥BC，DF⊥BC，E、F為垂足.(1)在梯形ABCD中.∠ADC＝135°，∴∠FDC＝45°，EF＝AD=6m.在Rt△FDC中，DC＝8m.DF＝FC＝CD.sin45°=4(m).∴BE=BC-CF-EF=30-4-6=24-4(m).在Rt△AEB中，AE＝DF=4(m).tanABC＝≈0.308.∴∠ABC≈17°8′21″.(2)梯形ABCD的面積S＝(AD+BC)×AE=(6+30)×4=72(m2).壩長為100m，那么建筑這個(gè)大壩共需土石料100×72≈10182.34(m3).綜上所述，∠ABC＝17°8′21″，建筑大壩共需10182.34m3土石料.Ⅳ.課時(shí)小結(jié)1.6利用三角函數(shù)測高1．經(jīng)歷運(yùn)用儀器進(jìn)行實(shí)地測量以及撰寫活動報(bào)告的過程，能夠?qū)λ玫降臄?shù)據(jù)進(jìn)行分析；(重點(diǎn))2．能綜合應(yīng)用直角三角形的邊角關(guān)系的知識解決實(shí)際問題．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入如圖所示，站在離旗桿BE底部10米處的D點(diǎn)，目測旗桿的頂部，視線AB與水平線的夾角∠BAC為34°，并已知目高AD為1.5米．現(xiàn)在若按1∶500的比例將△ABC畫在紙上，并記為△A′B′C′，用刻度直尺量出紙上B′C′的長度，便可以算出旗桿的實(shí)際高度．你知道計(jì)算的方法嗎？實(shí)際上，我們利用圖①中已知的數(shù)據(jù)就可以直接計(jì)算旗桿的高度，而這一問題的解決將涉及直角三角形中的邊角關(guān)系．我們已經(jīng)知道直角三角形的三條邊所滿足的關(guān)系(即勾股定理)，那么它的邊與角又有什么關(guān)系？這就是本節(jié)要探究的內(nèi)容．二、合作探究探究點(diǎn)：利用三角函數(shù)測高【類型一】測量底部可以到達(dá)的物體的高度如圖，在一次測量活動中，小華站在離旗桿底部B處6米的D處，仰望旗桿頂端A，測得仰角為60°，眼睛離地面的距離ED為1.5米．試幫助小華求出旗桿AB的高度(結(jié)果精確到0.1米，eq\r(3)≈1.732)．解析：由題意可得四邊形BCED是矩形，所以BC＝DE，然后在Rt△ACE中，根據(jù)tan∠AEC＝eq\f(AC,EC)，即可求出AC的長．解：∵BD＝CE＝6m，∠A