凸顯數(shù)學(xué)思想方法的小學(xué)高年級數(shù)學(xué)實踐探究性問題及教學(xué)案例分析

凸顯數(shù)學(xué)思想方法的小學(xué)高年級數(shù)學(xué)實踐

探究性問題及教學(xué)案例分析摘要：分析了數(shù)學(xué)實踐探究性問題的功能，歸納數(shù)學(xué)實踐探究性問題的類型，提出數(shù)學(xué)實踐探究性問題的創(chuàng)設(shè)要求，并給出解題策略.通過案例分析突顯數(shù)學(xué)思想方法，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂和本質(zhì),有效提高了小學(xué)高年級學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想方法；實踐探究性問題;教學(xué)案例分析數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識在更高層次的提煉、抽象、概括，它蘊含在數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是對數(shù)學(xué)規(guī)律更一般化認識的體現(xiàn)，是形成良好數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)的紐帶，是數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力的橋梁囚.在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要有意凸顯教師的思維過程和運用的數(shù)學(xué)思想方法，凸顯學(xué)生的思維過程，要讓學(xué)生明晰解決問題時所運用的具體的思想方法.數(shù)學(xué)教育的真諦在于構(gòu)建靈動的思想，由“法”而破“題”，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)妙小學(xué)高年級學(xué)生需要掌握的基本數(shù)學(xué)思想方法有:集合思想、對應(yīng)思想、函數(shù)思想、分類思想、化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、極限的思想、優(yōu)化思想、枚舉法、類比法、歸納法、分析綜合法、觀察與試驗法、逆推法、假設(shè)法（賦值法）等.基礎(chǔ)知識和基本技能是搭建起學(xué)生數(shù)學(xué)知識體系的素材，基本的數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識體系的框架，基本活動經(jīng)驗是將這些素材合理布局在知識體系框架的具體實踐.%四基&目標(biāo)的提出，將以往教學(xué)中基本思想、基本活動經(jīng)驗這兩個％軟任務(wù)&提升到了與基礎(chǔ)知識和基本技能同等重要的％硬指標(biāo)”國.小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中設(shè)計的“綜合與實踐”的內(nèi)容模塊，是為學(xué)生提供通過綜合、實踐的過程去做數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)的機會.綜合與實踐包含了％數(shù)學(xué)探究”和''數(shù)學(xué)建?！眱蓚€層面的內(nèi)容，％數(shù)學(xué)探究”就是綜合運用數(shù)學(xué)思想、方法、知識、技能解決一些數(shù)學(xué)問題;''數(shù)學(xué)建?！本褪蔷C合所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)思想、方法、知識、技能解決一些實際生活生產(chǎn)中的問題.落實培養(yǎng)學(xué)生基本活動經(jīng)驗的目標(biāo)，％綜合與實踐”的內(nèi)容為學(xué)生的體驗性學(xué)習(xí)提供了空間和機會.實踐探究性問題的創(chuàng)設(shè)對于教學(xué)活動設(shè)計是關(guān)鍵，使教師真正做到引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷和體驗知識的發(fā)生過程，了解知識技能背后所包含的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)本質(zhì)電1數(shù)學(xué)實踐探究性問題的認識i.i數(shù)學(xué)實踐探究性問題釋義數(shù)學(xué)實踐探究性問題就是要通過學(xué)生的實際調(diào)查或動手操作來獲得經(jīng)驗，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)技能去探討問題并加以解決問題，獲得新的知識或技能國.教學(xué)中教師經(jīng)常發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生對公式定理''背&的很熟悉，在解決一些符合公式結(jié)構(gòu)的題目時得心應(yīng)手，但遇到稍靈活或稍作變形的題目就無從下手，讓數(shù)學(xué)知識活起來，學(xué)得更好，理解得更透徹是實踐探究性教學(xué)的應(yīng)有之義.教師在教學(xué)中應(yīng)發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的主體性，適時引導(dǎo)，讓學(xué)生動手操作、主動探究，在''做”中學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)，真正體驗數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值〔沖，親身經(jīng)歷知識的％再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造”的過程.1.2數(shù)學(xué)實踐探究性問題的功能開展實踐探究性的學(xué)習(xí)，能夠引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會認識數(shù)學(xué)與自然、數(shù)學(xué)與人類社會的密切聯(lián)系，在探究過程中學(xué)會參與、管理、協(xié)作、獨立思考和解決問題,體會到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣；有助于引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會發(fā)現(xiàn)和探究新的問題，特別是提高動手操作能力；使學(xué)生在面對新的問題情境時，學(xué)會數(shù)學(xué)地思考，運用所學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法尋求解決問題的策略，面對新的數(shù)學(xué)知識時,能夠主動地尋找其實際背景，并體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值開展數(shù)學(xué)實踐探究性的學(xué)習(xí)，具有5個功能：激趣功能.讓學(xué)生的學(xué)習(xí)過程更加生動活潑，激發(fā)學(xué)生探究知識的興趣，體會學(xué)習(xí)成果的實用價值；訓(xùn)練功能.許多實踐探究題目具有一定的技能技巧,因而能訓(xùn)練學(xué)生掌握一定的技能,積累“做中學(xué)”數(shù)學(xué)的經(jīng)驗；發(fā)展功能.實踐探究的過程中產(chǎn)生的興趣、情感、意志等有利于學(xué)生非智力因素的發(fā)展；陶冶功能.開展豐富多彩的實踐探究活動，讓學(xué)生體會到活動成功的愉快，幫助學(xué)生樹立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心；養(yǎng)成功能.實踐探究的過程中帶有一定的活動規(guī)則，要求學(xué)生認真遵守，還要求學(xué)生之間相互合作，和諧配合，因此有利于學(xué)生養(yǎng)成良好的行為習(xí)慣閆.數(shù)學(xué)實踐探究題目的設(shè)計，符合建構(gòu)主義的教學(xué)觀,也符合學(xué)科素養(yǎng)發(fā)展的要求，有利于助推基本活動經(jīng)驗?zāi)繕?biāo)的實現(xiàn).1.3數(shù)學(xué)實踐探究性問題的類型探究新知型問題.讓學(xué)生帶著問題用數(shù)學(xué)手段收集數(shù)據(jù)(或信息)，對數(shù)學(xué)(或信息)進行觀察、歸納、分析、猜想、獨立思考及群體討論，去獲取新的數(shù)學(xué)知識.比如在圓的認識中，設(shè)置實踐活動，讓學(xué)生用不同的工具和方法畫圓，去發(fā)現(xiàn)決定圓的大小和位置的要素，再如讓學(xué)生自主探究)的周長與半徑的數(shù)量關(guān)系等問題.應(yīng)用操作型問題.讓學(xué)生將所學(xué)知識運用到生活和社會活動中，解決一個或幾個實際問題，如學(xué)習(xí)完“量與測量”后，讓學(xué)生到操場或者校園中實際感受各度量單位的長度，培養(yǎng)學(xué)生的估測意識，還如教材中設(shè)計的包裝盒的問題，讓學(xué)生體會到合理使用材料，尋求最優(yōu)化的問題.拓展延伸型問題.讓學(xué)生通過實踐探究，對教材上的有些問題適當(dāng)拓展，學(xué)會運用所學(xué)的知識去探究問題、解決數(shù)學(xué)問題.社會調(diào)查型問題.讓學(xué)生通過調(diào)查訪問，了解數(shù)學(xué)知識在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用,如學(xué)習(xí)完統(tǒng)計知識后，讓學(xué)生到居民區(qū)調(diào)查家庭用電收費、垃圾袋的使用情況,調(diào)查了解班級同學(xué)喜歡的電視節(jié)目、喜歡的水果等等.2數(shù)學(xué)實踐探究性問題創(chuàng)設(shè)的基本要求實踐探究問題的創(chuàng)設(shè)要有利于培養(yǎng)學(xué)生的問題意識,引導(dǎo)學(xué)生從生活實際中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題同,要有利于培養(yǎng)學(xué)生的工具意識,幫助學(xué)生明白數(shù)學(xué)知識能解決哪些生活問題，體會數(shù)學(xué)思想的核心價值.要有利于培養(yǎng)學(xué)生的研究意識,讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程從接受知識變?yōu)閯?chuàng)造知識的過程，使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程更具有可視性，將抽象的數(shù)學(xué)具象化;要有利于形成學(xué)生自我學(xué)習(xí)的理念，能夠在知識的拓展應(yīng)用中,將所學(xué)的新知識應(yīng)用到新的情境中去，從而促進學(xué)生的自我發(fā)展.因此，數(shù)學(xué)實踐探究型問題的創(chuàng)設(shè)，要把握好四個基本要求.2.1適應(yīng)性實踐探究題目的創(chuàng)設(shè)，要根據(jù)學(xué)生已掌握的知識和具備的活動能力、經(jīng)驗水平進行創(chuàng)設(shè)，要讓學(xué)生能做、會做，要符合學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”,問題的素材背景應(yīng)當(dāng)是學(xué)生比較熟悉的，處在他們能力范圍內(nèi)的，這樣的問題才具有吸引力，能促使學(xué)生主動探究.例1利用圖1中的兩個圖形，只剪兩次,剪開后拼成正方形，你知道怎么剪的嗎？圖1教學(xué)思路分析本題主要考察用圖形的剪拼等方法組成新圖形的技能，六年級學(xué)生對圓和正方形的性質(zhì)都比較熟悉，所以符合學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)能夠拼成正方形必須有四條直線段作邊，可是給出的兩個圖中，邊都是曲線，所以就要考慮剪刀的直線段剪痕做正方形的邊.方法1的剪法如圖2(1)；方法2的剪法如圖2(2).(1)正方形拼法1(2)正方形拼法2圖2

思想方法分析題目是考察正方形性質(zhì)的問題,關(guān)鍵是正方形四邊是相等的直線段，要用到變換的思想方法,通過調(diào)整圖形的位置，分割圖形,運用等量代換、化歸思想方法將圖形轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)習(xí)過的圖形，進而使得問題求解.學(xué)生解答這樣的問題有一定的數(shù)學(xué)經(jīng)驗,而且題目和學(xué)生的學(xué)習(xí)生活有密切的聯(lián)系，在剪拼的過程中可培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.2.2開放性數(shù)學(xué)實踐探究問題應(yīng)當(dāng)具有開放性，問題的結(jié)論不一定是唯一的，解決策略也是多元的，要求學(xué)生進行多方面、多角度、多層次的探索，讓每個學(xué)生在探究中都能夠有所發(fā)現(xiàn)、有所發(fā)展，增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.還要按照一定的邏輯層次，準確完整地組織答案，教學(xué)中要結(jié)合學(xué)生的實際水平，分層次的逐步推進.例2教師拿來了長分別是2分米、4分米、6分米、）分米的四根細鐵絲，讓學(xué)生們用這些鐵絲制作長、寬都是整分米數(shù)的長方形鐵絲框（正方形除外）.制作時，可以幾根連在一起，你能制作出哪幾種長方形鐵絲框？教學(xué)思路分析問題核心是要滿足長方形的長加寬是周長的一半，已知長方形的周長，求長方形的長和寬.先放開讓學(xué)生自主組合鐵絲制作長方形，由于學(xué)生的解題策略不同，答案會有許多，學(xué)生互相交流可以通過連接搭配的辦法做出更多長方形鐵絲框，教師再引導(dǎo)學(xué)生有序歸納總結(jié)，不重不漏，見表1.表12分米、4分米、6分米、8分米的四根細鐵絲連接制作長方形鐵絲的組合（長（長長方形長方形長方形長方形一半長寬長寬長寬長寬單根6或2和4組合6321單根8或2和6組合84312和8組合或4和6組合10541324和8組合或2、4和6組合12651426和8組合或2、4和8組合1476152432、6和8組合1687162534、6和8組合189817263542、4、6和8組合201091827364王一干6w=王一干6w=9 "=12m=7 ?=10 汗=13m=8 n=11 ?=14(1) (2) (3)圖3將一個大正方形分割成若干個小正方形思想方法分析題目是考察長方形性質(zhì)的問題，需要把長方形的知識綜合在一起，主要用觀察法、類比法尋找規(guī)律,運用分類思想、化歸思想、有序組合的思想方法總結(jié),教學(xué)設(shè)計中要凸顯以上具體的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生能夠感受到解題的目的是掌握數(shù)學(xué)方法,不是就題解題.2.3層次性實踐探究問題應(yīng)盡可能地設(shè)計系列問題，且各問題之間的難度應(yīng)該逐漸增加,使得每個學(xué)生都能夠在能力水平上有所提高.如在統(tǒng)計的學(xué)習(xí)中,學(xué)生經(jīng)過統(tǒng)計后畫出統(tǒng)計圖，說一說從統(tǒng)計圖中可以獲得哪些信息.學(xué)生可以提出不同層次的問題,從問題的深度可以折射出學(xué)生的思維水平.例3剪一剪，看一看，一個正方形可以分割為幾個小正方形（小正方形的大小可以不同）.教學(xué)思路分析分成4個是最容易的.能否分成5個？通過學(xué)生的動手實踐:裁剪、折疊、畫圖，得出不能分成5個正方形，在這個過程中學(xué)生會剪出6、7、8個正方形，討論-=6,7,8,以此類推步長為3時都成立（圖3）,歸納得-（n!6）成立可推得n/3也成立.所以命題對于大于5的整數(shù)都成立.不同層次的學(xué)生剪出不同的分割，教師都要給予肯定.思想方法分析此題目用的數(shù)學(xué)方法是數(shù)形結(jié)合的方法、歸納法.讓學(xué)生畫圖說明一個正方形可以分割為4、6、7、8個小正方形，再歸納得出結(jié)論.畫圖是一種數(shù)學(xué)表達方式，教學(xué)時要教給學(xué)生畫圖的方法,盡量

讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言去描述問題.特別是對于如長方體、正方體、圓柱、)錐、球等基本形體的畫圖，可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)交流能力.2.4綜合性數(shù)學(xué)實踐探究問題的設(shè)計中要有意識地加強數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、現(xiàn)實生活的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生跨學(xué)科學(xué)習(xí)的能力和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力.比如節(jié)省原材料能降低產(chǎn)品的成本，針對這一現(xiàn)象設(shè)計題目，讓學(xué)生計算總結(jié)怎樣更合理.例4張亮家在裝修.木工師傅需要將一批每根長410厘米的木龍骨，鋸成甲、乙兩種木件.甲件每根長70厘米,乙件每根/110厘米.為了節(jié)約,木工師傅應(yīng)該怎樣下料呢？教學(xué)思路分析本題與實際生活密切關(guān)聯(lián)，為了降低成本,木工師傅在制作木件的時候，要盡量把木龍骨鋸成有用的甲、乙兩種木件，使余料最少.這是解決此題的關(guān)鍵，鋸的各種方案設(shè)計，通過計算進行比較得出結(jié)論.方案(1)每根木龍骨上截取甲件5根&乙件不取，余料60厘米；方案(2)每根木龍骨上截取甲件4根&乙件1根，余料20厘米；方案(3)每根木龍骨上截取甲件2根&乙件2根，余料50厘米；方案(4)每根木龍骨上截取甲件1根、乙件3根，余料10厘米.比較以上鋸木龍骨的4種方案，可知方案4最合理，因為余料最少，木料的利用率高，所以木工師傅應(yīng)該在每根木料上截取甲件1根、乙件3根.思想方法分析這一問題與租車、租船方案一樣,要運用枚舉的方法,逐一進行計算比較后，獲得結(jié)論.3數(shù)學(xué)實踐探究性問題的解題策略實踐探究題目所包含的信息比較多，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識與技能的要求比較高,需要學(xué)生具備扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能，還要具有良好的審題習(xí)慣和處理各類信息的能力以因此，在教學(xué)設(shè)計中要培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，學(xué)會從生活實際或者數(shù)學(xué)問題中發(fā)現(xiàn)問題&提出問題；要強化學(xué)生心目中的數(shù)學(xué)工具意識，進一步了解數(shù)學(xué)思想方法在各個領(lǐng)域的應(yīng)用，能夠整合運用所學(xué)的知識進行創(chuàng)新性學(xué)習(xí)，克服以往的數(shù)學(xué)很抽象的印象，變被動的接受式學(xué)習(xí)為主動的體驗式、建構(gòu)式的學(xué)習(xí).3.1明確解決問題的方向?qū)嵺`探究題目往往會用一個情境甚至實驗來說明問題，而題目中的文字、圖畫、表格都與生活有一定的聯(lián)系，在閱讀時啟發(fā)學(xué)生不妨把它與生活中的原型聯(lián)系起來，用自己的生活經(jīng)驗去思考，要源于生活又高于生活.比如人教版數(shù)學(xué)教材數(shù)學(xué)廣角中設(shè)計到的實踐活動，盡管與現(xiàn)實生活有密切聯(lián)系，但絕不能將思維停留在解決這些生活化的問題,要上升到數(shù)學(xué)思想方法和策略的高度.例5如圖4,現(xiàn)有9個分別是1千克&2千克&3千克&……、9千克的y碼,把它們?nèi)鐖D4那樣掛起來，完全平衡.請在圖中填入數(shù)字(注：圖4中刻度的間隔相等,橫桿和吊繩的重量不計).教學(xué)思路分析培養(yǎng)學(xué)生有序地思考問題，有序的語言表達.為了敘述方便,將吊鉤簡稱為/,做如圖5的排序.杠桿的刻度到杠桿中點的距離叫力臂.如的力臂為3個單位長度，簡稱3,/2的力臂為1,/3的力臂為2,/4的力臂為3；g2-l的力臂為3、/2-2的力臂為2；g4-l的力臂為1&/4-2的力臂為1&/4-3的力臂為2.要使杠桿完全平衡"就要使杠桿兩端的千克數(shù)乘力臂數(shù)的積相等，即/1上的千克數(shù)x3i/4上的千克數(shù)x3；/2上的千克數(shù)x1=/3上的千克數(shù)x2.試驗結(jié)果如圖6：/4-1上的千克數(shù)是9、/4-2上是3&/4-3上是1和2；推得：/1上的千克數(shù)是7和8；再推得/2上是4和6,g3上是5.思想方法分析題目用的是試驗法解決問題.

數(shù)學(xué)不是實驗科學(xué)，觀察和試驗不是數(shù)學(xué)的主導(dǎo)方法，但對數(shù)學(xué)有著重要的作用,可幫助人們發(fā)現(xiàn)問題、說明研究對象的某一數(shù)學(xué)性質(zhì).許多問題，可以通過試驗觀察來找到答案.3.2尋找解決問題的依據(jù)審清題目的基礎(chǔ)上，根據(jù)題目的條件和問題，聯(lián)系所學(xué)的概念、性質(zhì)、法則等基礎(chǔ)知識和基本技能，針對數(shù)學(xué)知識的綜合應(yīng)用，找到解題的“關(guān)鍵點”，尋找到解題的依據(jù)之后，要學(xué)會運用數(shù)學(xué)的思維方式，多角度思考、分析問題，大膽猜想，探求盡可能多的方法和結(jié)論，并加以整理和論證，從而將題目中的實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題.例6五個猴子相約到海灘上去分香蕉，一個猴子早到，它將香蕉分成相等的五份，多出一個扔進了海里，留下一份，拿著其他的四份找同伴去了.第二個猴子到了海灘，又將香蕉分成相等的五份，多出一個扔進了海里，留下一份，拿著其他的四份去找-伴.第三、第四個猴子都如此辦理，最后第五個猴子來到海灘，同樣將香蕉分成相等的五份，多出一個扔進了海里，留下一份，拿走了四份，海灘上只留下1個香蕉.問最初海灘上有多少個香蕉？教學(xué)思路分析經(jīng)過分析此題用逆推法比較方便.引導(dǎo)學(xué)生反向逆推并用表格表示所剩香蕉數(shù)(表2),可得出最初海灘上香蕉數(shù)有3906個.表2解題思路分析所剩香蕉數(shù)列式第四個猴子走后所剩香蕉數(shù)1x5+16第三個猴子走后所剩香蕉數(shù)6x5+1=31第二個猴子走后所剩香蕉數(shù)31x5+1=156第一個猴子走后所剩香蕉數(shù)156x5+1=781原有香蕉數(shù)781x5+1=3906思想方法分析如果一個題目給出了未知量經(jīng)過某些運算而得到的最后結(jié)果,解題時，從正向去分析解題過程比較困難，或者出現(xiàn)一些復(fù)雜的運算，這時可從反向逆推，從最后結(jié)果出發(fā)，運用加與減、乘與除之間的互逆關(guān)系，從后往前一步一步地推算.這種思想方法叫逆推法，在處理一些問題時經(jīng)常要用到逆推法.例78個小球分別編號①②③④⑤⑥⑦⑧,其中有6個球重1克，1個球重2克，1個球重3克.用天平稱3次，如圖7,問：2克重和3克重的各是幾號球？圖7天平稱小球)!)!圖7(2)教學(xué)思路分析：圖7(1)!克球"/①，②，③"圖7(2)!3克球"/①，③，⑧}%!3克球是⑥圖7(3)!3克球"/②，⑥，⑧}!2克球"/①，③，④,⑤},2克球"/①，③，④，⑤} |!2克球是②圖(3)!2克球'/②，④，⑤}1克球是②.答：2克的球是②,3克的球是⑥.思想方法分析在學(xué)生的探求過程中教師可引導(dǎo)學(xué)生運用集合思想方法解決問題,充分運用演繹推理得到結(jié)論.用集合代表天平盤中的小球,用元素與集合的關(guān)系判斷小球的所屬,層次分明、直觀清晰,學(xué)生很容易解決問題.在解決數(shù)學(xué)問題時,離不開演繹推理.小學(xué)數(shù)學(xué)教材中,在運用運算法則、運算定律、運算性質(zhì)進行計算時，主要運用演繹推理.3.3設(shè)計解決問題的合理方案實踐探究問題解決中，要在理解題意、找到解決問題所有的關(guān)系基礎(chǔ)上,設(shè)計出解決問題的合理方案或者數(shù)學(xué)模型,然后按順序進行解答，問題解決后還要回到題目中去檢驗,是否符合題目的要求和實際生活.例8劉偉要買輛獨輪車，價錢是290元,他現(xiàn)有225元，每月還有30元的零花錢.下面有三種購車