2018版高中數(shù)學第二章數(shù)列223等差數(shù)列前n項和一學案蘇教版

等差數(shù)列的前n項和(一)學習目標1.掌握等差數(shù)列前n項和公式及其獲得思路.2.經(jīng)歷公式的推導過程，體驗從特殊到一般的研究方法，學會察看、概括、反省.3.嫻熟掌握等差數(shù)列的五個量a1，d，n，an，Sn的關(guān)系，能夠由此中三個求此外兩個．知識點一等差數(shù)列前n項和公式的推導思慮高斯用1＋2＋3＋＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋＋(50＋51)＝101×50快速求出了等差數(shù)列前100項的和．但假如是求1＋2＋3＋＋n，不知道共有奇數(shù)項仍是偶數(shù)項怎么辦？梳理“倒序相加法”能夠推行到一般等差數(shù)列求前n項和，其方法以下：Sn＝a1＋a2＋a3＋＋an－1＋ana1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋＋[a1＋(n－2)d]＋[a1＋(n－1)d]；Sn＝an＋an－1＋an－2＋＋a2＋a1an＋(an－d)＋(an－2d)＋＋[an－(n－2)d]＋[an－(n－1)d]．兩式相加，得2Sn＝n(a1＋an)，n1n由此可得等差數(shù)列.{an}的前n項和公式Sn＝2依據(jù)等差數(shù)列的通項公式n1a＝a＋(n－1)d，代入上式可得n＝1＋____________.Sna知識點二等差數(shù)列前n項和公式的特點思慮1等差數(shù)列{an}中，若已知a2＝7，能求出前3項和S3嗎？思慮2我們平等差數(shù)列的通項公式變形：n＝1＋(－1)d＝＋(1－)，剖析出通項公式aandnad與一次函數(shù)的關(guān)系．你能類比這個思路剖析一下Sn＝na1＋nn－d嗎？2梳理等差數(shù)列{a}的前n項和S，有下邊幾種常有變形：nn(1)n＝·a1＋an；Sn2Sn＝n2＋(a1－d)n；22dSnddSn

dn＝2n＋(a1－2)({n}是公差為2的等差數(shù)列)．知識點三等差數(shù)列前n項和公式的性質(zhì)思慮假如{an}是等差數(shù)列，那么a1＋2＋＋10，11＋12＋＋a20，21＋22＋＋a30是等aaaaaa差數(shù)列嗎？梳理

Sm，S2m，S3m分別為等差數(shù)列

{an}的前

m項，前

2m項，前

3m項的和，則

Sm，S2m－Sm，S3m2－S2m也成等差數(shù)列，公差為md.種類一等差數(shù)列前n項和公式的應用命題角度1方程思想例1已知一個等差數(shù)列{an}的前10項的和是310，前20項的和是1220，由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前n項和的公式嗎？反省與感悟(1)在解決與等差數(shù)列前n項和相關(guān)的問題時，要注意方程思想和整體思想的運用；組成等差數(shù)列前n項和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二．追蹤訓練1在等差數(shù)列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.命題角度2實質(zhì)應用例2某人用分期付款的方式購置一件家電，價錢為1150元，購置當日先付150元，此后每個月的這天都交托50元，并加付欠款利息，月利率為1%.若交托150元后的一個月開始算分期付款的第一個月，則分期付款的第10個月該交托多少錢？所有貸款付清后，買這件家電實質(zhì)花銷多少錢？反省與感悟成立等差數(shù)列的模型時，要依據(jù)題意找準首項、公差和項數(shù)或許首項、末項和項數(shù)．此題是依據(jù)首項和公差選擇前n項和公式進行求解．追蹤訓練2甲、乙兩物體分別從相距70m的兩處同時相向運動，甲第1分鐘走2m，此后每分鐘比前1分鐘多走1m，乙每分鐘走5m.甲、乙開始運動后幾分鐘相遇？(2)假如甲、乙抵達對方起點后立刻返回，甲持續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1m，乙持續(xù)每分鐘走5m，那么開始運動幾分鐘后第二次相遇？種類二等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)的應用例3(1)等差數(shù)列{an}的前項和為30，前2項和為100，求數(shù)列{an}的前3項的和3m；mmmS(2)兩個等差數(shù)列{an}，{n}的前n項和分別為n和n，已知Sn7n＋2，求a5＝的值．bSTTnn＋3b5反省與感悟等差數(shù)列前n項和Sn的相關(guān)性質(zhì)在解題過程中，假如運用適當能夠達到化繁為簡、化難為易、事半功倍的成效．Sn追蹤訓練3設{an}為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知S7＝7，S15＝75，Tn為數(shù)列n的前n項和，求n.T1．在等差數(shù)列{an}中，若S10＝120，則a1＋a10的值是________．2．記等差數(shù)列的前n項和為Sn，若S2＝4，S4＝20，則該數(shù)列的公差d＝________.3．在一個等差數(shù)列中，已知a10＝10，則S19＝________.4．已知等差數(shù)列{an}中，1a1＝2，d＝－2，Sn＝－15，求n及an；a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求d.1．求等差數(shù)列前n項和公式的方法稱為倒序相加法，在某些數(shù)列乞降中也可能用到．2．等差數(shù)列的兩個乞降公式中，一共波及a1，an，Sn，n，d五個量，若已知此中三個量，通過方程思想可求此外兩個量．在利用乞降公式時，要注意整體思想的應用，注意下邊結(jié)論的運用：若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)；若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap.3．本節(jié)基本思想：方程思想，函數(shù)思想，整體思想，分類議論思想．答案精析問題導學知識點一思慮不知道共有奇數(shù)項仍是偶數(shù)項致使不可以配對．但我們能夠采納倒序相加往返避這個問題：設Sn＝1＋2＋3＋＋(n－1)＋n，又Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋＋2＋1，∴2S＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)，n∴2n＝(＋1)，∴n＝nn＋.SnnS2梳理－nnd2知識點二3a＋a3a＋a32思慮1S＝11＝3a＝21.2＝32思慮2nnn－d2d按n的降冪睜開S＝na1＋2d＝2n＋(a1－2)n是對于n的二次函數(shù)形式，且常數(shù)項為0.知識點三思慮(a11＋a12＋＋a20)－(a1＋a2＋＋a10)＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋＋(a20－a10)＝10d＋10d＋＋10d＝100d，近似可得10個(a21＋a22＋＋a30)－(a11＋a12＋＋a20)＝100d.a1＋a2＋＋a10，a11＋a12＋＋a20，a21＋a22＋＋a30是等差數(shù)列．題型研究例1解方法一由題意知S10＝310，20，S＝1220將它們代入公式n1nn－d，S＝na＋210a1＋45d＝310，獲得20a1＋190d＝1220，a＝4，解方程組得1d＝6.nnn－22方法二S10＝a1＋a10a1＋a10＝62，①＝310?2aaS20＝1＋20＝1220?a1＋a20＝122，2②②－①得20－10＝60，aa10d＝60，∴d＝6，a1＝4.Sn＝na1＋nn－1d＝3n2＋n.2追蹤訓練1解an＝a1＋

n－

d，由

nn－Sn＝na1＋

2

d，a1＋n－＝11，得nn－na2n＝5，n＝7，解方程組得或a1＝3a1＝－1.例2解設每次交款數(shù)額挨次為a1，a2，，a20，則a1＝50＋1000×1%＝60(元)，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5(元)，a10＝50＋(1000－9×50)×1%55.5(元)，即第10個月對付款55.5元．因為{an}是以60為首項，以－0.5為公差的等差數(shù)列，60＋－×20＝1105(元)，因此有S20＝2即所有付清后實質(zhì)付款1105＋150＝1255(元)．追蹤訓練2解(1)設n分鐘后第1次相遇，依題意，nn－＋5n＝70，有2n＋2整理得n2＋13n－140＝0.解得n＝7，n＝－20(舍去)．因此第1次相遇是在開始運動后7分鐘．設n分鐘后第2次相遇，依題意，有2n＋nn－2＋5n＝3×70，整理得n2＋13n－420＝0.解得n＝15，n＝－28(舍去)．因此第2次相遇是在開始運動后15分鐘．例3解(1)方法一在等差數(shù)列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列，∴30,70，S3m－100成等差數(shù)列．∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.SS2mS3方法二在等差數(shù)列中，mm，，成等差數(shù)列，m2m3m2S2mSmS3m∴＝＋.2mm3m即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.1a1＋9a1＋a952a2(2)b5＝1b19＝b1＋b92＋b2＝S97×9＋265＝＝.99＋312T追蹤訓練3解設等差數(shù)列{a}的公差為d，則S＝na＋12nn1∵S7＝7，S15＝75，7a1＋21d＝7，a1＋3d＝1，∴即15a1＋105d＝75，a1＋7d＝5，a1＝－2，解得d＝1.Sn115∴n＝a1＋2(n－1)d＝2n－2，SSn＋1n1∴n＋1－n＝2，S1n2，公差為2，∴數(shù)列n是等差數(shù)列，其首項為－nn－11129∴Tn＝n×(－2)