采礦地球物理學(xué)概論 第三章 彈性動(dòng)力學(xué)

采礦地球物理學(xué)概論三、煤巖彈性動(dòng)力學(xué)編輯課件3

煤巖體彈性動(dòng)力學(xué)3.1

應(yīng)力

物體所受的力有外力和應(yīng)力。根據(jù)外力的作用方式，外力可分為體力和面力。體力是一種場(chǎng)力，分布于彈性體的體積內(nèi)，如重力，慣性力等。體力可用體力集度來(lái)表示。若單位體積ΔV上作用有總體力為ΔQ，則體力集度為（3-1）編輯課件

面力是分布在彈性體表面上的力。面力可用面力集度來(lái)表示。若單位面積ΔS上作用有總面力ΔQ，則該面積上的集度為：（3-2）（3-3）

受力彈性體內(nèi)單位面積上內(nèi)力的大小，稱(chēng)為該點(diǎn)的應(yīng)力。應(yīng)力是小面積ΔS上作用的力ΔF，當(dāng)ΔS趨向于零時(shí)的極限編輯課件圖3-1應(yīng)力編輯課件

由此可見(jiàn)，應(yīng)力的大小不僅與力的作用方向和大小矢量有關(guān)，而且與力作用的面積矢量有關(guān)。因此，應(yīng)力是一個(gè)矢量。應(yīng)力可以分為作用在與該平面垂直方向上，稱(chēng)為正應(yīng)力，和作用在與該平面平行方向上，稱(chēng)為剪應(yīng)力。若用σn表示正應(yīng)力，用τi表示剪應(yīng)力，則應(yīng)力矢量可以寫(xiě)成：（3-4）這里，1=x，2=y，3=z。編輯課件應(yīng)力矢量的各分量可以由圖來(lái)表示。圖3-2六面體上的應(yīng)力分量考慮到x，y，z軸相互垂直，根據(jù)平衡條件，則有：τ12=τ21

τ23=τ32；τ31=τ13（3-5）編輯課件

因此，給定點(diǎn)的應(yīng)力可用六個(gè)數(shù)值來(lái)表示。如果處于直角坐標(biāo)系中的某個(gè)平面法向n（α，β，γ）作用有應(yīng)力σi，那么該應(yīng)力可由某方向上的正應(yīng)力矢量σn和剪應(yīng)力矢量τi來(lái)表示。或者用平行于x，y，z軸方向上的應(yīng)力來(lái)表示，即：（3-6）（3-7）（3-8）此時(shí)，根據(jù)平衡條件可得：編輯課件圖3-3四面體上的應(yīng)力分量式中：（3-9）編輯課件或者說(shuō)：因?yàn)橐虼?，根?jù)上兩式可得，（3-10）（3-11)（3-12）編輯課件

以及應(yīng)力σij

取決于坐標(biāo)系及其變化，而應(yīng)力方向則與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)。因此應(yīng)當(dāng)找出應(yīng)力作用的條件。如果滿足條件τi=0，此時(shí)：

或者說(shuō)（3-13）(3-14)(3-15）編輯課件這樣根據(jù)上述條件，可以構(gòu)成如下方程式式中：式(3-16)中，有三個(gè)與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)的應(yīng)力不變量對(duì)于每個(gè)初始量，求余弦即可得主方向上的應(yīng)力。（3-16）（3-17）編輯課件應(yīng)力不變量的形式為（3-18）編輯課件根據(jù)平衡條件可得：類(lèi)似于三維條件，正應(yīng)力和剪應(yīng)力可以寫(xiě)成：許多采礦問(wèn)題的應(yīng)力狀態(tài)可以簡(jiǎn)化為兩維的。下面介紹兩維應(yīng)力狀態(tài)。其應(yīng)力矢量為（3-19）（3-20）（3-21）3.2

平面應(yīng)力狀態(tài)編輯課件式中這樣式(3-21)可以寫(xiě)成對(duì)于滿足下式的角度，剪應(yīng)力為零，（3-22）（3-23）（3-24）編輯課件

角度α0為主方向，第二個(gè)主方向與其垂直。在這兩個(gè)主方向上，主應(yīng)力值為若直角坐標(biāo)的軸與應(yīng)力方向一致，則（3-25）（3-26）編輯課件

主應(yīng)力與剪應(yīng)力角度的關(guān)系如圖3-4所示。圖3-4平面應(yīng)力的Mohr圓結(jié)構(gòu)編輯課件

作用在任意平面上應(yīng)力之間的關(guān)系可由莫爾（Mohr）圓來(lái)表示。在坐標(biāo)系中，圓心為半徑為此時(shí)，在2α角的圓周上的點(diǎn)其坐標(biāo)為和，其值即為式(3-26)所得。編輯課件不同形狀的物體作用著不同方向的應(yīng)力。其中有一種狀態(tài)的物體僅有形狀變形，對(duì)于這種物體，僅作用有剪應(yīng)力，在這種情況下，必須將應(yīng)力分為兩個(gè)部分（3-27）（3-28）編輯課件式(3-27)中，第一項(xiàng)稱(chēng)之為平均應(yīng)力矢量（應(yīng)力軸對(duì)稱(chēng)量），是靜水壓力形成的應(yīng)力，第二個(gè)稱(chēng)之為偏應(yīng)力張量?？紤]巖體的受力情況，除雙向受力外，還有單向應(yīng)力狀態(tài)（3-29）（3-30）和雙向軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力狀態(tài)編輯課件巖體中應(yīng)力作用的結(jié)果，使得巖體變形。在直角坐標(biāo)系x,y,z中的巖體，AB點(diǎn)作用有力，在該力的影響下，AB點(diǎn)移到了新的位置,如果之間的長(zhǎng)度等于AB間的長(zhǎng)度，這種變形我們稱(chēng)之為剛性位移、轉(zhuǎn)動(dòng)或剛性位移和轉(zhuǎn)動(dòng)。圖3-5形變圖3.3

變形編輯課件下面不考慮這種位移，僅討論物體兩點(diǎn)間距離發(fā)生變化的位移。我們用來(lái)表示位移矢量，則在直角坐標(biāo)系（x,y,z）中，變形定義為（3-31）（3-28）編輯課件這里為主應(yīng)變，為形變。因此，就象應(yīng)力一樣，也存在三個(gè)相互垂直的主應(yīng)變和三個(gè)應(yīng)變不變量（在剪應(yīng)變?yōu)榱銜r(shí)構(gòu)成的），同樣可以采用莫爾（Mohr）圓來(lái)確定某方向上的應(yīng)變。（3-32）這樣，應(yīng)變矢量可表示為編輯課件

應(yīng)變矢量可以分為兩個(gè)，平均應(yīng)變或軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)變和偏應(yīng)變張量。式中（3-35）（3-33）（3-34）編輯課件

平均應(yīng)變矢量確定應(yīng)力變化形成的巖體體積變形。同樣，應(yīng)變也有單軸應(yīng)變狀態(tài)

（3-36）（3-37）和雙向應(yīng)變狀態(tài)編輯課件式中，為彈性常數(shù)矩陣。因?yàn)槭菍?duì)稱(chēng)的，故矩陣應(yīng)包含36個(gè)彈性系數(shù)。但對(duì)于均質(zhì)體，在彈性理論中，采用兩常數(shù)來(lái)描述應(yīng)力應(yīng)變之間的關(guān)系。其總的形式為式中（3-38）（3-39）3.4

應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系線彈性關(guān)系—虎克定律編輯課件

彈性常數(shù)—壓縮模量K

和剪切模量G（等于lame常數(shù)μ*），可描述如下方程式

當(dāng)K＝１,２,３

彈性常數(shù)—楊氏模量E和泊松比ν是用下式來(lái)描述應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的

（3-40）（3-41）編輯課件壓縮模量剪切模量Lame常數(shù)楊氏模量泊松比(3-42）彈性常數(shù)之間的相互關(guān)系()編輯課件

彈性動(dòng)力學(xué)方程--微分形式或積分形式。其中物體內(nèi)的應(yīng)力、體積力（外力）及運(yùn)動(dòng)加速度是動(dòng)力學(xué)的約束條件。根據(jù)動(dòng)量定理，體積為V物體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)的總動(dòng)量變化率等于作用在這些質(zhì)點(diǎn)上的合力，為（3-43）3.5

動(dòng)力學(xué)方程式中ρ為質(zhì)點(diǎn)的密度，f為體積力，F(xiàn)為作用在表面上的面力。編輯課件這里不考慮質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量ρdv隨時(shí)間變化的問(wèn)題，則上式左邊可以寫(xiě)成邊界上的面力應(yīng)與物體內(nèi)應(yīng)力保持連續(xù)，即在邊界上有nj是邊界表面法線n的分量。(3-43)式可寫(xiě)成(3-44)（3-45）編輯課件

根據(jù)Gauss高斯定理，上式為這里要求被積函數(shù)滿足—?jiǎng)恿W(xué)方程（3-46）（3-47）動(dòng)力學(xué)方程編輯課件3.6

巖體中的波動(dòng)方程

(1)波的微分方程以縱波沿桿件運(yùn)動(dòng)為例；設(shè)桿件橫截面積為S，長(zhǎng)l，波沿x

正向傳播。在t

時(shí)刻，x

點(diǎn)的偏移量為ξ，在點(diǎn)x+dx

處則為編輯課件該偏差是由彈性壓力引起的。在x

點(diǎn)壓力為σ，而在x+dx

點(diǎn)處為在桿x

與x+dx

之間，桿件被拉長(zhǎng)。編輯課件考慮長(zhǎng)度的增量：根據(jù)虎克定律，在壓力σ下長(zhǎng)度增量：考慮單位質(zhì)量dm=Sρdx

在x

和x+dx間運(yùn)動(dòng)該單位質(zhì)量的作用力為編輯課件根據(jù)牛頓第二定律：而由上面的公式可得：波的微分方程：三維方程：編輯課件

在微單元上作用有體力式中，單位質(zhì)量上的力,ρ為密度。

巖體的彈性特征決定開(kāi)采應(yīng)力的動(dòng)態(tài)變化。這些彈性特征參數(shù)與地球物理參數(shù)如縱橫波在巖石中的傳播速度等聯(lián)系在一起?？紤]微小體積單元作用的力，位移表示為,我們引進(jìn)標(biāo)量（3-48）(2)

巖體中的波動(dòng)方程編輯課件梯度

旋度散度編輯課件

同樣，對(duì)其它兩個(gè)方向上的力求和。動(dòng)力學(xué)定律要求面力和體積力之和等于慣性力。

同時(shí)，在其上作用有面力。假設(shè)應(yīng)力在dV單元的表面按線性變化,對(duì)作用在z軸方向上的力求和，這樣可以寫(xiě)成(3-49)編輯課件根據(jù)動(dòng)力學(xué)定律可得(3-50)(3-51)矢量的形式則為編輯課件均質(zhì)材料，應(yīng)力和應(yīng)變之間滿足虎克定律，式中，λ*，μ*—lame常數(shù)θ—彈性材料張量(3-52)(3-53)(3-54)因此編輯課件當(dāng)外力時(shí)，方程式(3-51)可寫(xiě)為(3-55)(3-56)對(duì)方程(3-55)的兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)，則得：這里為laplace（拉普拉斯）算子編輯課件對(duì)方程式(3-55)兩邊采用轉(zhuǎn)子操作，則得方程(3-57)、(3-58)為采用張量形式或轉(zhuǎn)子形式描述的波動(dòng)方程。第一式與體積變形有關(guān)，而第二式則與形狀變形緊密相連，通過(guò)變換，方程(3-57)和(3-58)可以寫(xiě)成如下形式(3-58)(3-59)(3-60)(3-57)或波動(dòng)方程編輯課件

波動(dòng)方程(3-59)（3-60）表示彈性波在巖體中以如下速度向空間傳播即在無(wú)限體中，震動(dòng)有兩種不同形式的變形而產(chǎn)生兩種波——縱波P和橫波S，以不同的波速傳播。通過(guò)方程(3-61)、(3-62)可以得出lame常數(shù)方程(3-63)表示，采用測(cè)定縱橫波波速的方法，可以測(cè)定巖體的彈性常數(shù)。(3-61)(3-63)(3-62)編輯課件

沖擊礦壓和煤與瓦斯突出是壓力超過(guò)煤巖體的強(qiáng)度極限，聚積在巷道周?chē)簬r體中的能量突然釋放，在井巷發(fā)生爆炸性事故，動(dòng)力將煤巖拋向巷道，同時(shí)發(fā)出強(qiáng)烈聲響，造成煤巖體振動(dòng)和煤巖體破壞，支架與設(shè)備損壞，人員傷亡，部分巷道垮落破壞等。

3.7

沖擊礦壓發(fā)生機(jī)理編輯課件沖擊礦壓的發(fā)生需要滿足能量條件、剛度條件和沖擊傾向性條件。這些條件可用煤層和頂?shù)装宓膭偠葋?lái)說(shuō)明。當(dāng)煤層和頂?shù)装宓膭偠染笥诹?，則煤巖體處于穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)煤層的剛度小于零，但煤層和頂?shù)装宓膭偠戎痛笥诨虻扔诹?，則煤巖體處于亞穩(wěn)定或靜態(tài)破壞狀態(tài)；當(dāng)煤層和頂?shù)装宓膭偠戎托∮诹銜r(shí)，煤巖體將產(chǎn)生劇烈破壞，發(fā)生沖擊礦壓。編輯課件

煤礦中，煤層、底板、頂板構(gòu)成一個(gè)平衡系統(tǒng)。其中頂板底板的強(qiáng)度均比煤層的大，而且煤體是開(kāi)采的對(duì)象，故在壓力作用下，煤體容易遭受破壞；如果是穩(wěn)定破壞，則表現(xiàn)為煤柱的變形，巷道的壓縮等，如果是非穩(wěn)定、突然破壞，則表現(xiàn)為沖擊礦壓（即煤層沖擊）。圖3-6沖擊礦壓模型編輯課件

假設(shè)底板不變形，煤柱與頂板一起作用。頂板的質(zhì)量為M1，剛度為K，煤的質(zhì)量為M2，煤柱中的力是位移和時(shí)間的函數(shù)，即P2=f(u2，t)。則上覆巖層作用在頂部上的力和煤柱中所受的力分別為（3-64）式中:k—頂板巖層的剛度u1—頂板的位移u2—煤柱的位移編輯課件

當(dāng)系統(tǒng)平衡時(shí)，即P1=P2從能量的觀點(diǎn)看，若要系統(tǒng)平衡，則必須使頂板中聚積的能量小于煤柱中聚積的能量，即

A1≤A2

（3-66）也可以說(shuō)，頂板巖層中的能量A1小于煤柱中聚積的能量A2，則系統(tǒng)平衡。（3-65）編輯課件

假設(shè)頂板的位移為零，煤柱中的位移增加了△u2，則P1，P2均發(fā)生了變化，其增量為1）頂板運(yùn)動(dòng)的加速度為零則其能量的變化為根據(jù)(3-67)~(3-69)式可得頂板—煤層—底板系統(tǒng)平衡方程式為

k+f′(u2，t)≥0

（3-70）（3-70）式存在著三種可能性。（3-67）（3-68）（3-69）編輯課件①煤柱處于彈性階段k+f′(u2，t)＞0

說(shuō)明系統(tǒng)是穩(wěn)定的。且（3-72）圖3-7系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)圖3-8系統(tǒng)處于亞穩(wěn)定狀態(tài)編輯課件

煤柱處于殘余強(qiáng)度階段，但煤柱是逐步破壞的，強(qiáng)度是逐漸下降的，如圖3-8所示雖然k+f′(u2,t)＞0但（3-73）

②煤柱處于殘余強(qiáng)度階段(逐步破壞)

這說(shuō)明煤柱的破壞過(guò)程是靜態(tài)破壞，也可以說(shuō)，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)是亞穩(wěn)態(tài)的。編輯課件圖3-9系統(tǒng)突然動(dòng)態(tài)破壞

③煤柱處于殘余強(qiáng)度階段(脆性破壞)

煤柱處于殘余強(qiáng)度階段，煤柱是脆性破壞，強(qiáng)度發(fā)生突變，如圖3-9所示k+f′(u2,t)<0編輯課件這時(shí)，煤柱的破壞過(guò)程為動(dòng)態(tài)破壞，并伴隨有能量的突然釋放，即沖擊地壓。釋放能量的大小為（3-74）（3-75）編輯課件

設(shè)頂板的位移為零，煤柱中的位移增加了△u2，且頂板有一加速運(yùn)動(dòng)，其加速度為，則P1，P2也均發(fā)生了變化，頂板和煤層中的能量平衡也被打破。頂板和煤層中力的增量為：則其中的能量為（3-77）2）頂板突然加速運(yùn)動(dòng)（3-76）編輯課件頂板—煤柱—底板的系統(tǒng)平衡方程為因頂板有一加速運(yùn)動(dòng)，頂板的剛度k減小了此時(shí)，頂板剛度為在這種情況下，與沒(méi)有頂板的加速度相比，煤層更容易處于突變狀態(tài)，即（3-78）（3-79）（3-80）編輯課件

這時(shí)，更容易發(fā)生沖突地壓，且強(qiáng)度更猛烈。此時(shí)，系統(tǒng)破壞時(shí)釋放的能量比（3-75）式的要多圖3-10系統(tǒng)突然動(dòng)態(tài)破壞編輯課件3.8

煤巖沖擊破壞機(jī)理煤巖等脆性材料變形破壞特征變形破壞類(lèi)型—穩(wěn)定破壞與沖擊破壞深度2700m（南非）震級(jí)2.1煤柱破壞情形編輯課件

對(duì)于許多固體材料，在穩(wěn)定載荷作用下，會(huì)出現(xiàn)流變現(xiàn)象。其蠕變曲線ε(t)可分為三個(gè)階段。第一階段蠕變，應(yīng)變速率逐漸減??；第二階段蠕變，為定常蠕變；第三階段蠕變，為加速蠕變直至破壞。這就是材料從流變到突變的破壞現(xiàn)象。上述這種現(xiàn)象只有在煤巖體上所受的應(yīng)力大于煤巖體屈服強(qiáng)度的臨界值時(shí)才出現(xiàn)，即σ＞σl（臨界值），而當(dāng)應(yīng)力小于臨界值時(shí)，即σ＜σl時(shí)，蠕變曲線ε(t)趨于一個(gè)常數(shù)，而其變形速度ε(t)→0。

編輯課件

應(yīng)變曲線ε(t)和應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系σ(ε)如圖3-11~3-13所示。圖3-11三向常載荷下ε（t）的曲線編輯課件圖3-12應(yīng)力應(yīng)變之間的關(guān)系編輯課件圖3-13采深352m，放炮20天后所測(cè)得的結(jié)果編輯課件突發(fā)性—巖爆沖擊礦壓一般表現(xiàn)形式。延時(shí)性—高沖擊危險(xiǎn)區(qū)卸壓爆破后一段時(shí)間發(fā)生沖擊。卸壓爆破后觀測(cè)的電磁輻射變化規(guī)律沖擊破壞的突發(fā)性和延時(shí)性編輯課件聲發(fā)射和電磁輻射基本上隨著載荷的增大而增強(qiáng)、隨著加載及變形速度的增加而增強(qiáng)。7#煤的試驗(yàn)結(jié)果破壞過(guò)程中聲發(fā)射和電磁輻射編輯課件7#煤的試驗(yàn)結(jié)果編輯課件聲發(fā)射的Kaiser記憶效應(yīng)。砂巖在循環(huán)加載時(shí)軸向變形與聲發(fā)射的關(guān)系編輯課件電磁輻射的Kaiser記憶效應(yīng)。模擬煤層在加載時(shí)應(yīng)力與電磁輻射的關(guān)系編輯課件煤巖沖擊破壞彈塑脆性模型彈塑脆性模型（Maxwell/Hook+脆性單元）彈塑性P-t模型

采用Poynting—Thomson模型加兩個(gè)脆性單元組成，如圖3-14所示。編輯課件

其中，脆性單元的強(qiáng)度臨界值為σl，材料的破壞程度用損傷因子D來(lái)描述，即當(dāng)D=0時(shí)，材料沒(méi)有破壞，D=1時(shí)，材料完全破壞，而稱(chēng)為有效應(yīng)力。則其應(yīng)變?yōu)楣蔇是材料橫截面上微裂隙的密度及應(yīng)力集中效應(yīng)的反映。（3-81）編輯課件穩(wěn)定和沖擊破壞脆性單元的應(yīng)力σk<σl，脆性單元為剛體。脆性單元的應(yīng)力σk>σl，脆性單元及分支破壞。穩(wěn)定—當(dāng)σ=σ0=常數(shù)，兩分支中的應(yīng)力均小于σl。則其特性為P－T模型的特性，即虎克體中σH逐漸增長(zhǎng)，而Maxwell體中，σM逐漸減小。沖擊破壞—如在t時(shí)，兩分支中壓力跳躍，即有應(yīng)力增量△σ，其應(yīng)力總和超過(guò)σl，整個(gè)模型立刻破壞。編輯課件沖擊的突發(fā)性和延時(shí)性脆性破壞—載荷發(fā)生跳躍，應(yīng)力總和超過(guò)σl，整個(gè)模型立刻破壞（瞬時(shí)強(qiáng)度）。延時(shí)破壞—常載荷作用σl<σ<σl(1+EM/EH)，經(jīng)過(guò)時(shí)間△t2后破壞（長(zhǎng)時(shí)強(qiáng)度）。編輯課件

因?yàn)樵赑—T模型(圖3-15)中，當(dāng)σ=σ0=常數(shù)，ε（t0）=ε0時(shí)，（3-84）（3-85）（3-86）由上可得當(dāng)σ0＞σl

及σ0＞EHε0時(shí)σH值需從t時(shí)刻的σtH增加到σtH

(t)=σl（因σM

是衰減的，則僅有σtH

(t)，使得σtH

(t)=σl而破壞）。編輯課件彈脆性場(chǎng)的Kaiser效應(yīng)損傷因子—微裂隙密度及應(yīng)力集中效應(yīng)的反映

D(t)=Sz(t)/S0

（破壞面積/初始面積）有效應(yīng)力—σf=

σ(1-D(t))有效應(yīng)變—ε=σ[E(1-D(t))]有效彈?！狤H(t)=E0H[1-D(t)]

破壞程度—

因?yàn)槠茐氖遣豢赡娴?，D值是非減的，故彈脆性場(chǎng)表現(xiàn)為Kaiser效應(yīng)。編輯課件煤巖破壞與聲電耦合如果損傷因子D（t）變化△D時(shí)，聲發(fā)射事件和電磁輻射脈沖數(shù)總和與其變化一樣。當(dāng)△t→0時(shí)

煤巖體的損傷速度與巖體活動(dòng)性（聲發(fā)射事件數(shù)或電磁輻射脈沖數(shù)）成正比。編輯課件煤巖破壞與能量關(guān)系

如果增量△Di不是相等的，而增量△Di之和與N（事件數(shù)或脈沖數(shù)）不成正比。設(shè)破壞程度的損壞因子與變形呈線性關(guān)系ε=C1D－C0，則能量的變化△W為：