第三節(jié)二項式的定理理

第三節(jié)二項式的定理理第一頁，共四十九頁，2022年，8月28日1.能用計數(shù)原理證明二項式定理．2．會用二項式定理解決與二項展開式

有關(guān)的簡單問題．第二頁，共四十九頁，2022年，8月28日第三頁，共四十九頁，2022年，8月28日

1．二項式定理第四頁，共四十九頁，2022年，8月28日[思考探究1]在(a＋b)n與(b＋a)n的展開式中，其通項相同嗎？提示：從整體上看，(a＋b)n與(b＋a)n的展開式是相同的，但具體到某一項是不同的，如第r＋1項Tr＋1＝an－rbr，T′r＋1＝bn－rar.第五頁，共四十九頁，2022年，8月28日2．二項式系數(shù)的性質(zhì)第六頁，共四十九頁，2022年，8月28日[思考探究2]二項式系數(shù)與項的系數(shù)有什么區(qū)別嗎？提示：二項式系數(shù)與項的系數(shù)是完全不同的兩個概念．二項式系數(shù)是指，它只與各項的項數(shù)有關(guān)，而與a，b的值無關(guān)；而項的系數(shù)是指該項中除變量外的部分，它不僅與各項的二項式系數(shù)有關(guān)，而且也與a，b的值有關(guān)．第七頁，共四十九頁，2022年，8月28日1.的展開式中x2的系數(shù)為 (

)A．10

B．5C.D．1第八頁，共四十九頁，2022年，8月28日解析：∵含x2的項為()2＝x2，∴x2的系數(shù)為.答案：C第九頁，共四十九頁，2022年，8月28日2．二項式(a＋2b)n展開式中的第二項的系數(shù)是8，則它的

第三項的二項式系數(shù)為 (

)A．24B．18C．16D．6解析：∵Tr＋1＝(2b)r，∴T2＝an－1(2b)＝2an－1b，∴2＝8，∴n＝4，∴第三項的二項式系數(shù)為＝6.答案：D第十頁，共四十九頁，2022年，8月28日3．若(x＋)n展開式的二項式系數(shù)之和為64，則展開式的

常數(shù)項為 (

)A．10 B．20C．30D．120解析：二項式系數(shù)之和2n＝64，則n＝6，Tr＋1＝·x6－r·＝x6－2r，當6－2r＝0時，即r＝3時為常數(shù)項，T3＋1＝＝20.答案：B第十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日解析：∵Tr＋1＝(ax)5－r(－1)r，且x3的系數(shù)為－80.4．若(ax－1)5的展開式中x3的系數(shù)是－80，則實數(shù)a的值是________．答案：－2第十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日5．若(x2＋1)(x－2)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a11(x－1)11，則a1＋a2＋…＋a11＝________.解析：令x＝2，則有a0＋a1＋a2＋…＋a11＝(22＋1)(2－2)9＝0，再令x＝1，則有a0＝(12＋1)·(－1)＝－2，∴a1＋a2＋a3＋…＋a11＝2.答案：2第十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日第十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日在解決二項展開式指定項或特定項的問題時，關(guān)鍵是公式Tr＋1＝an－rbr(0≤r≤n，r∈N*，n∈N*)的正確應(yīng)用．第十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日[特別警示]

應(yīng)用二項展開式的通項公式Tr＋1＝an－rbr(r＝0,1,2，…，n)時，要注意以下幾點：(1)通項公式表示的是第r＋1項，而不是第r項；(2)通項公式中a和b的位置不能顛倒；(3)展開式中第r＋1項的二項式系數(shù)與第r＋1項的系數(shù)，在一般情況下是不相同的，在具體求各項的系數(shù)時，一般先處理符號，對根式或指數(shù)的運算要細心，以防出錯．第十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日已知在()n的展開式中，第6項為常數(shù)項．(1)求n；(2)求含x2的項的系數(shù)；(3)求展開式中所有的有理項．[思路點撥]第十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日[課堂筆記]

(1)通項為Tr＋1＝＝，因為第6項為常數(shù)項，所以r＝5時，有＝0，即n＝10.(2)令＝2，得r＝(n－6)＝×(10－6)＝2，∴所求的系數(shù)為第十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日(3)根據(jù)通項公式，由題意令＝k(k∈Z)，則10－2r＝3k，即r＝5－k，∵r∈N，∴k應(yīng)為偶數(shù)．∴k可取2,0，－2，即r可取2,5,8.所以第3項，第6項與第9項為有理項，它們分別為(－)2x2，，x－2.第十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日1.對形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m、(a、b、c∈R)的式子求

其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即

可；對(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項系數(shù)之

和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可．2．一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開

式中各項系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)之和為a0＋a2＋a4

＋…＝，偶數(shù)項系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…

＝ .第二十頁，共四十九頁，2022年，8月28日在二項式(2x－3y)9展開式中，求：(1)二項式系數(shù)之和；(2)各項系數(shù)之和；(3)所有奇數(shù)項系數(shù)之和；(4)系數(shù)絕對值的和．[思路點撥]第二十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日[課堂筆記]

設(shè)(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.(1)二項式系數(shù)之和為＋…＋＝29.(2)各項系數(shù)之和為a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝1，y＝1，∴a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.(3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，令x＝1，y＝－1，可得：a0－a1＋a2－…－a9＝59，將兩式相加，可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，即為所有奇數(shù)項系數(shù)之和．第二十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，令x＝1，y＝－1，則|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝59.第二十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日1.求二項式系數(shù)最大的項：如果n是偶數(shù)，則中間一項的二項式系

數(shù)最大；

如果n是奇數(shù)，則中間兩項

的二項式系數(shù)相等且最大；第二十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日2．求展開式系數(shù)最大的項，如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展開

式中系數(shù)最大的項，一般是采用待定系數(shù)法．設(shè)展開

式各項系數(shù)分別為A1，A2，…，An＋1，且第r項系數(shù)最大，

應(yīng)用解出r來，即得系數(shù)最大的項．第二十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日已知f(x)＝(＋3x2)n展開式中各項的系數(shù)和比各項的二項式系數(shù)和大992.(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；(2)求展開式中系數(shù)最大的項．[思路點撥]第二十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日[課堂筆記]

(1)令x＝1，則二項式各項系數(shù)和為f(1)＝(1＋3)n＝4n，展開式中各項的二項式系數(shù)之和為2n.由題意知4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍)或2n＝32，∴n＝5.第二十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日由于n＝5為奇數(shù)，所以展開式中二項式系數(shù)最大項為中間兩項，它們是T3＝(x)3(3x2)2＝90x6，T4＝(x)2(3x2)3＝270x.(2)展開式通項為Tr＋1＝3r·x(5＋2r)．假設(shè)Tr＋1項系數(shù)最大，則有第二十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日∴≤r≤，∵r∈N，∴r＝4.∴展開式中系數(shù)最大項為T5＝x(3x2)4＝405x.第二十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日已知(＋x2)2n的展開式的二項式系數(shù)和比(3x－1)n的展開式的二項式系數(shù)和大992，求(2x－)2n的展開式中：(1)二項式系數(shù)最大的項；(2)系數(shù)的絕對值最大的項.第三十頁，共四十九頁，2022年，8月28日解：根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，列方程求解n.系數(shù)絕對值最大問題需要列不等式組求解．由題意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0.∴2n＝32，解得n＝5.(1)由二項式系數(shù)的性質(zhì)知，(2x－)10的展開式中第6項的二項式系數(shù)最大．即T6＝·(2x)5·(－)5＝－8064.第三十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日(2)設(shè)第r＋1項的系數(shù)的絕對值最大，∵Tr＋1＝·(2x)10－r·(－)r＝(－1)r·210－r·x10－2r，得即解得≤r≤.∵r∈Z，∴r＝3，故系數(shù)的絕對值最大的是第4項，T4＝－·27·x4＝－15360x4.第三十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日以選擇題或填空題的形式考查二項展開式的通項、二項式系數(shù)、展開式的系數(shù)等知識是高考對本講內(nèi)容的常規(guī)考法.09年北京高考則以選擇題的形式考查了二項式定理在求值中的應(yīng)用，這是一個新的考查方向．第三十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日[考題印證](2009·北京高考)若(1＋)5＝a＋b(a，b為有理數(shù))，則a＋b＝(

)A．45B．55C．70D．80第三十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日【解析】由二項式定理得：(1＋)5＝1＋＋·()2＋·()3＋·()4＋·()5＝1＋5＋20＋20＋20＋4＝41＋29，∴a＝41，b＝29，a＋b＝70.【答案】

C第三十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日[自主體驗]若對于任意實數(shù)x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，則向量m＝(a0，a2)與向量n＝(－3,4)所成角的余弦值是 (

)A．0B.C.D．1第三十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日解析：x3＝[2＋(x－2)]3，a0＝23＝8，a2＝2＝6.故m＝(8,6)，m·n＝0.答案：A第三十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日第三十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日1．(2009·浙江高考)在二項式(x2－)5的展開式中，含x4的項的系數(shù)是 (

)A．－10B．10C．－5D．5第三十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日解析：Tr＋1＝x2(5－r)(－x－1)r＝(－1)rx10－3r(r＝0,1，…，5)，由10－3r＝4得r＝2.含x4的項為T3，其系數(shù)為＝10.答案：B第四十頁，共四十九頁，2022年，8月28日2．如果的展開式中含有非零常數(shù)項，則正整

數(shù)n的最小值為 (

)A．10 B．6C．5 D．3解析：∵Tr＋1＝(3x2)n－r·＝(－1)r·3n－r·2r·x2n－5r，∴由題意知2n－5r＝0，即n＝，∵n∈N*，r∈N，∴n的最小值為5.

答案：C第四十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日3．(1－)6(1＋)4的展開式中x的系數(shù)是(

)A．－4B．－3C．3D．4解析：法一：化簡原式＝[(1－)4(1＋)4]·(1－)2＝[(1－)(1＋)]4·(1－)2＝(1－x)4·(1－)2＝(1－4x＋6x2－4x3＋x4)(1－2＋x)故系數(shù)為1－4＝－3.第四十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日法二：展開式中含x的項為(－)(－)＋＋

＝15x＋6x－24x＝－3x故x的系數(shù)為－3.答案：B第四十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日4．二項式(2x－)6的展開式的常數(shù)項是________．解析：Tr＋1＝(2x)6－r(－)r＝26－r(－1)rx6－2r，由6－2r＝0得r＝3，故展開式中的常數(shù)項為23(－1)3＝－160.答案：－160第四十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日5．(2010·安徽師大附中模擬)a＝(sinx＋cosx)dx則二項式(a)6展開式中含x2項的系數(shù)是________．第四十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日解析：a＝(sinx＋cosx)dx＝(sinx－cosx)|＝(sinπ－cosπ)－(sin0－cos0)＝