第一節(jié)不定積分

第一節(jié)不定積分第一頁，共二十六頁，2022年，8月28日二、基本積分表三、不定積分的性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的概念第一節(jié)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束不定積分的概念與性質(zhì)

第四章第二頁，共二十六頁，2022年，8月28日一、原函數(shù)與不定積分的概念引例:一個質(zhì)量為m

的質(zhì)點,下沿直線運動,因此問題轉(zhuǎn)化為:已知求在變力試求質(zhì)點的運動速度機動目錄上頁下頁返回結(jié)束根據(jù)牛頓第二定律,加速度定義1.

若在區(qū)間I

上定義的兩個函數(shù)F(x)及f(x)滿足在區(qū)間

I

上的一個原函數(shù).則稱F(x)為f(x)如引例中,的原函數(shù)有第三頁，共二十六頁，2022年，8月28日問題:1.在什么條件下,一個函數(shù)的原函數(shù)存在?2.若原函數(shù)存在,它如何表示?

定理1.

存在原函數(shù).(下章證明)初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四頁，共二十六頁，2022年，8月28日定理2.原函數(shù)都在函數(shù)族(C為任意常數(shù))內(nèi).證:1)又知故即屬于函數(shù)族機動目錄上頁下頁返回結(jié)束即第五頁，共二十六頁，2022年，8月28日定義2.在區(qū)間

I上的原函數(shù)全體稱為上的不定積分,其中—積分號;—被積函數(shù);—被積表達(dá)式.—積分變量;(P183)若則(C為任意常數(shù))C

稱為積分常數(shù)不可丟!例如,記作機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第六頁，共二十六頁，2022年，8月28日不定積分的幾何意義:的原函數(shù)的圖形稱為的圖形的所有積分曲線組成的平行曲線族.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束的積分曲線

.第七頁，共二十六頁，2022年，8月28日例1.

設(shè)曲線通過點(1,2),

且其上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標(biāo)的兩倍,求此曲線的方程.解:所求曲線過點(1,2),故有因此所求曲線為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第八頁，共二十六頁，2022年，8月28日例2.

質(zhì)點在距地面處以初速力,求它的運動規(guī)律.解:

取質(zhì)點運動軌跡為坐標(biāo)軸,原點在地面,指向朝上,質(zhì)點拋出時刻為此時質(zhì)點位置為初速為設(shè)時刻

t

質(zhì)點所在位置為則(運動速度)(加速度)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束垂直上拋,不計阻

先由此求

再由此求第九頁，共二十六頁，2022年，8月28日先求由知再求于是所求運動規(guī)律為由知機動目錄上頁下頁返回結(jié)束故第十頁，共二十六頁，2022年，8月28日二、基本積分表(P186)從不定積分定義可知:或或利用逆向思維(k

為常數(shù))機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日或或機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日例3.求解:

原式=例4.

求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日三、不定積分的性質(zhì)推論:

若則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十五頁，共二十六頁，2022年，8月28日例5.求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十六頁，共二十六頁，2022年，8月28日例6.

求解:

原式=例7.

求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十七頁，共二十六頁，2022年，8月28日例8.

求解:

原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十八頁，共二十六頁，2022年，8月28日內(nèi)容小結(jié)1.不定積分的概念?原函數(shù)與不定積分的定義?不定積分的性質(zhì)?基本積分表(見P186)2.直接積分法:利用恒等變形,及基本積分公式進(jìn)行積分.常用恒等變形方法分項積分加項減項利用三角公式,代數(shù)公式,積分性質(zhì)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十九頁，共二十六頁，2022年，8月28日思考與練習(xí)1.

證明2.

若(P191題4)提示:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束提示:第二十頁，共二十六頁，2022年，8月28日3.

若是的原函數(shù),則提示:已知機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日4.

若的導(dǎo)函數(shù)為則的一個原函數(shù)是().提示:已知求即B??或由題意其原函數(shù)為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日5.

求下列積分:提示:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日6.求不定積分解：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日7.

已知求A,B.解:

等式兩邊對x

求導(dǎo),得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十五頁，共二十