第三章 復(fù)變積分

第三章復(fù)變積分第一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日3.1復(fù)變積分

定義

設(shè)曲線復(fù)平面，函數(shù)在l上有意義，將曲線l任意分割為n段，分點(diǎn)為，是段上任意一點(diǎn)，作和數(shù)1Az0Bz2z1znzn-12nl當(dāng)，時(shí)，此和數(shù)的極限存在，且與的選取無(wú)關(guān)，則稱此極限值為函數(shù)沿曲線l的積分，記為第二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日一個(gè)復(fù)變積分是兩個(gè)實(shí)變積分的有序組合。定理

是分段光滑曲線l上的連續(xù)函數(shù)，的復(fù)變積分一定存在。第三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日復(fù)變積分的基本性質(zhì)若，，……，，則若，則若是的逆向，則對(duì)常數(shù)a，有

，M

為在l上的上界，L為l的長(zhǎng)度。

第四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

例題解求，l為沿實(shí)軸01，在平行于虛軸11+i；沿虛軸0i，在平行于實(shí)軸i1+i；沿直線01+i。對(duì)于

01z=xz=1+iy1+i第五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于

0iz=x+iz=iy1+i對(duì)于

0z=(1+i)t1+i第六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)時(shí)，令，則試證，l是以a為圓心，為半徑的圓周。

例題解當(dāng)?shù)恼麛?shù)時(shí)，

第七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日單連通區(qū)域單連通區(qū)域在區(qū)域內(nèi)作任何簡(jiǎn)單的閉合圍道，圍道內(nèi)的點(diǎn)都屬于該區(qū)域。反之，為復(fù)連通區(qū)域（多連通區(qū)域）3.2單連通區(qū)域的柯西定理積分值與積分路徑之間的關(guān)系——柯西定理定義

復(fù)連通區(qū)域第八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日單連通區(qū)域的柯西定理定理

若函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則沿內(nèi)任何一個(gè)分段光滑的閉合圍道l有，l可以是的邊界。

證明現(xiàn)僅在在中連續(xù)的前提下證明這個(gè)定理。

利用格林定理（stokes公式）（，且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）于是

第九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日由C-R條件因?yàn)檫B續(xù)，連續(xù)在單連通區(qū)域中，解析函數(shù)的積分值與積分路徑無(wú)關(guān)?？芍谑?yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日推論

若函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則也在內(nèi)解析，且證明對(duì)求導(dǎo)即可。設(shè)內(nèi)一點(diǎn)，為鄰點(diǎn)，則，∵積分與路徑無(wú)關(guān)

∴zz0z+DzDz第十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日可得

（復(fù)變積分性質(zhì)）

∵連續(xù)，，，使當(dāng)時(shí)，

∴

即

定義

原函數(shù)若，為

的原函數(shù)。

原函數(shù)不唯一，任意兩個(gè)原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)。第十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

例題計(jì)算積分，n為整數(shù)。

解①當(dāng)n為自然數(shù)時(shí)，在C上解析，是它的一個(gè)原函數(shù)，

對(duì)于任意C上的積分路線，有

②當(dāng)時(shí)，在C/0上解析，原函數(shù)仍可取為

在不包含的任一單連通區(qū)域內(nèi)，有

③當(dāng)時(shí)，在C/0上解析，原函數(shù)為

故在不包含的任一單連通區(qū)域內(nèi)，第十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

例題解計(jì)算圍道積分

令，可知，第十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

例題解計(jì)算圍道積分

令，得，即被積函數(shù)有奇點(diǎn)，，均不在積分圍道內(nèi)，在中，被積函數(shù)仍解析，由單連通區(qū)域的柯西定理可知如果所求積分的圍道是，也就是說(shuō)，被積函數(shù)在圍道包圍的區(qū)域內(nèi)有奇點(diǎn)，這時(shí)單連通區(qū)域的柯西定理不再適用。第十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日3.3復(fù)連通區(qū)域的柯西定理Gc0c1c2cn定理

復(fù)連通區(qū)域的柯西定理

若是復(fù)連通區(qū)域內(nèi)的單值解析函數(shù)，則

其中，是構(gòu)成復(fù)連通區(qū)域的邊界的各個(gè)分段光滑閉合曲線，都包含在的內(nèi)部，所有積分路經(jīng)走向相同。

第十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日證明G’a1a2anb1b2bn如圖，取均為逆時(shí)針?lè)较?，作割線將與連接起來(lái)，得到單連通區(qū)域，應(yīng)用單連通區(qū)域的柯西定理即第十七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日∵在內(nèi)單值

即

∴∴第十八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

例題解計(jì)算，n為整數(shù)，l為逆時(shí)針?lè)较?。①?dāng)n為自然數(shù)時(shí)，顯然，在整個(gè)復(fù)平面解析，l圍道包含的區(qū)域是單連通區(qū)域，由單連通區(qū)域柯西定理可知

②當(dāng)n為負(fù)整數(shù)時(shí)，在C/0內(nèi)解析，若l圍道內(nèi)不包含則也有若l圍道內(nèi)含有，由復(fù)連通區(qū)域的柯西定理可知

第十九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日綜上，即

一般地，

第二十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日3.4兩個(gè)有用的引理引理一

若函數(shù)f(z)在z=a

點(diǎn)的空心鄰域內(nèi)連續(xù)，且當(dāng)1arg(za)

2，

za0

時(shí)，(za)f(z)一致地趨近于k，則其中C

是以a

為圓心，

為半徑，夾角為21

的圓弧，za=，1arg(za)

2。

第二十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日證明因?yàn)樗?/p>

當(dāng)1arg(za)

2，

za0

時(shí)，(za)f(z)一致地趨近于k

，這意味著，>0，（與arg(za)無(wú)關(guān)的）r()>0，使當(dāng)

za=<r

時(shí)(za)f(z)-k<。即axCz21第二十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日引理二

設(shè)函數(shù)f(z)在∞點(diǎn)的鄰域內(nèi)連續(xù)，當(dāng)1argz

2，z∞

時(shí)，zf(z)一致地趨近于K，則其中CR

是以原點(diǎn)為圓心，R

為半徑，夾角為21

的圓弧，z=R，1arg

z

2。

第二十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日證明因?yàn)樗?/p>

當(dāng)1argz

2，

z∞

時(shí)，zf(z)一致地趨近于K

，這意味著，>0，（與argz無(wú)關(guān)的）M()>0，使當(dāng)

z=R>M

時(shí)

zf(z)－K<

成立。即第二十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日3.5柯西積分公式柯西定理從一個(gè)側(cè)面反映了解析函數(shù)的基本特性：解析函數(shù)在它的解析區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)的函數(shù)值是密切相關(guān)的——處處可導(dǎo)

C-R方程是這種關(guān)聯(lián)的微分形式

柯西定理是這種關(guān)聯(lián)的積分形式同樣，下面的柯西積分公式也清楚地表現(xiàn)出這種關(guān)聯(lián)性。第二十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日有界區(qū)域的柯西積分公式定理設(shè)f(z)

的單值函數(shù)，的邊界C是分段光滑曲線，點(diǎn)a∈G，則積分路線沿C

的正向（逆時(shí)針?lè)较颍ＷC明在G

內(nèi)作圓

，保持，積分路線沿C的正向（逆時(shí)針?lè)较颍?。第二十六?yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日由復(fù)連通區(qū)域的柯西定理，有此結(jié)果與r的大小無(wú)關(guān)，故令r→0，因?yàn)榱顒t（一致趨近）由引理一（）可得所以第二十七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

例題解計(jì)算圍道積分

有界區(qū)域柯西積分公式第二十八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

例題解計(jì)算圍道積分

有界區(qū)域柯西積分公式（復(fù)連通區(qū)域柯西定理）第二十九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

例題解計(jì)算圍道積分，C為閉合曲線

周期為4pq0p/2p3p/22p5p/23p7p/24pr32.852.52.1522.152.52.853第三十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日有界區(qū)域柯西積分公式（復(fù)連通區(qū)域柯西定理）第三十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日則f(z)在以

a為圓心R為半徑的區(qū)域內(nèi)解析，由單連通區(qū)域的柯西積分公式，得柯西積分公式的特殊形式——均值定理解析函數(shù)f(z)在解析區(qū)域G內(nèi)任意一點(diǎn)a的函數(shù)值f(a)，等于（完全位于G

內(nèi)的）以a為圓心的任一圓周上的函數(shù)值的平均。定理證明令第三十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日在C

外作一個(gè)以原點(diǎn)為圓心，R為半徑的圓CR，對(duì)于C

和

CR包圍的復(fù)連通區(qū)域，根據(jù)單連通區(qū)域的柯西積分公式，有

CR的走向是逆時(shí)針?lè)较?，只要R

足夠大，結(jié)果與R

無(wú)關(guān)，令R→∞，

若對(duì)無(wú)界區(qū)域，需要假設(shè)f(z)在簡(jiǎn)單閉合圍道C上及C

外（包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)）單值解析。

a為

C

外一點(diǎn)，積分路線C的走向是繞無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的正向，即順時(shí)針?lè)较颍ㄗ髠?cè)法則）。（#）第三十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日由引理二知，代入（#）式，所以當(dāng)

K=0

時(shí)，即得無(wú)界區(qū)域的柯西積分公式。定理無(wú)界區(qū)域的柯西積分公式若f(z)在簡(jiǎn)單閉合圍道C

上及C

外解析，且當(dāng)z→∞

時(shí)，一致地趨于0，則a

為C外一點(diǎn)，積分路線為順時(shí)針?lè)较?。第三十四?yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日證明令由引理二知：由單連通區(qū)域的柯西定理知：所以即第三十五頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

例題解計(jì)算圍道積分

（復(fù)連通區(qū)域柯西定理）無(wú)界區(qū)域柯西積分公式第三十六頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日第三十七頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日3.6解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)柯西積分公式

f(z)

解析，在G內(nèi)f(z)的任何階導(dǎo)數(shù)

均存在，且C是的正向邊界，第三十八頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日證明①第三十九頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日②以此類推，可得一個(gè)復(fù)變函數(shù)，在一個(gè)區(qū)域內(nèi)只要一階導(dǎo)數(shù)存在，則它的任何階導(dǎo)數(shù)都存在，且都是這個(gè)區(qū)域的解析函數(shù)。第四十頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

例題解計(jì)算積分

（柯西型積分）第四十一頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日3.7柯西型積分和含參量積分的解析性定義

在一段分段光滑的（閉合或不閉合）曲線

C

上連續(xù)的函數(shù)F(x)

所構(gòu)成的積分稱為柯西型積分。它是曲線外點(diǎn)z的函數(shù)，且可通過(guò)積分號(hào)下求導(dǎo)得到。第四十二頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

例題計(jì)算積分所求積分為柯西型積分，且在︱x︱=1上，解故當(dāng)（在外）時(shí)，積分圍道為順時(shí)針?lè)较驘o(wú)界區(qū)域的柯西公式第四十三頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)（在內(nèi)）時(shí)，應(yīng)用復(fù)連通區(qū)域的柯西定理所以第四十四頁(yè)，共五十頁(yè)，2022年，8月28日

例題計(jì)算積分解因?yàn)?/p>