第七章剪切與扭轉(zhuǎn)

第七章剪切與扭轉(zhuǎn)第一頁，共五十三頁，2022年，8月28日§7-1剪切與擠壓的概念一、剪切的概念

①受力特點(diǎn)：外力大小相等、方向相反、相距很近、垂直于軸線

②變形特點(diǎn)：在平行外力之間的截面，發(fā)生相對錯動變形。變形過大，將在兩外力間的某一截面處被剪斷。剪切面：被剪斷的截面二、擠壓的概念受剪切的同時，在兩構(gòu)件的接觸面上，因?yàn)橄嗷壕o而局部受壓，稱為擠壓。第二頁，共五十三頁，2022年，8月28日FF剪切面FFFV上刀刃下刀刃nnFFFFS剪切面§7-1剪切與擠壓的概念第三頁，共五十三頁，2022年，8月28日FF擠壓面FF壓潰(塑性變形)，擠壓破壞擠壓計(jì)算對聯(lián)接件與被聯(lián)接件都需進(jìn)行擠壓面—兩構(gòu)件的接觸面擠壓力—作用于接觸面的壓力擠壓應(yīng)力—擠壓面上的應(yīng)力第四頁，共五十三頁，2022年，8月28日一、剪切的實(shí)用計(jì)算§7-2剪切與擠壓的實(shí)用計(jì)算FFAV

剪力（V)—受剪面上的內(nèi)力，用截面法計(jì)算。FFF第五頁，共五十三頁，2022年，8月28日簡化假設(shè)：切應(yīng)力在受剪面上均勻分布。受剪面的面積強(qiáng)度條件：切應(yīng)力（剪應(yīng)力τ）—剪切面上的剪力分布集度許用剪應(yīng)力剪切計(jì)算只對聯(lián)接件進(jìn)行§7-1剪切與擠壓的概念第六頁，共五十三頁，2022年，8月28日二、擠壓的實(shí)用計(jì)算

簡化假設(shè)擠壓應(yīng)力在擠壓面上均勻分布。第七頁，共五十三頁，2022年，8月28日

簡化假設(shè)應(yīng)力在擠壓面上均勻分布。

擠壓應(yīng)力計(jì)算擠壓面計(jì)算面積等于實(shí)際擠壓面面積在垂直于總擠壓力作用線的平面上的投影。擠壓面上的擠壓力擠壓面的計(jì)算面積。擠壓面計(jì)算面積的取值第八頁，共五十三頁，2022年，8月28日實(shí)際擠壓面擠壓面計(jì)算面積等于實(shí)際擠壓面面積在垂直于總擠壓力作用線的平面上的投影。擠壓面計(jì)算面積的取值計(jì)算擠壓面對圓截面桿：第九頁，共五十三頁，2022年，8月28日擠壓強(qiáng)度條件許用擠壓應(yīng)力通常大于許用應(yīng)力，一般材料的許用擠壓應(yīng)力第十頁，共五十三頁，2022年，8月28日例7-1圖示鉚釘連接件，受軸向拉力F作用，F(xiàn)=100kN,鋼板厚δ=8mm，寬b=100mm,鉚釘直徑d=16mm,[τ]=140MPa,[σc]=340MPa[σ]=170MPa。試校核該連接件的強(qiáng)度。第十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日解：：連接件可能發(fā)生三種破壞：①鉚釘被剪斷；②鉚釘或鋼板擠壓破壞；③鋼板被拉斷。分析1)鉚釘剪切強(qiáng)度校核設(shè)各個鉚釘受力相等Fi=F/n例7-1第十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日取出一個個鉚釘為研究對象，畫受力圖。F1=F/n=F/4剪切面上的剪力：V=F1鉚釘滿足剪切強(qiáng)度要求。VF1第十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日2)擠壓強(qiáng)度校核Fc=F1=F/4連接件滿足擠壓強(qiáng)度要求。每個鉚釘所受的擠壓力為第十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日N3)鋼板的抗拉強(qiáng)度校核取出一塊鋼板為研究對象，畫受力圖和軸力圖。1-1截面（3-3截面）：11332-2截面：22第十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日N11332-2截面：22因此，鋼板抗拉強(qiáng)度滿足要求。綜上，連接件滿足強(qiáng)度要求。第十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日§7-3剪切虎克定律與剪應(yīng)力互等定理一、剪切虎克定律剪切變形時，在桿件受剪部位某點(diǎn)取出一微小的正六面體并放大。在剪應(yīng)力τ作用下，截面發(fā)生相對滑動，使正六面體變?yōu)樾逼叫辛骟w。原直角有了微小的變化，直角的改變量稱為剪應(yīng)變，用γ表示，單位是弧度（rad)。第十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日剪切虎克定律：當(dāng)剪應(yīng)力τ不超過材料的比例極限τb時，剪應(yīng)力τ與剪應(yīng)變γ成正比，即：曲線

式中：G—材料的剪變模量，表示材料抵抗剪切變形的能力，是材料的彈性指標(biāo)之一。對各向同性材料，第十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日二、剪應(yīng)力互等定理單元體的左右兩側(cè)面的剪應(yīng)力等值且反向。這兩個面上的剪力（τdy·dz)組成了一個力偶。其力偶矩為：τdy·dz·dx。單元體的前后兩個面上無任何應(yīng)力，而單元體是平衡的，所以其上下兩個面上必存在等值反向的剪應(yīng)力，且設(shè)單元體左右兩側(cè)面上無正應(yīng)力，只有剪應(yīng)力，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。第十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日τ=τ'在過一點(diǎn)相互垂直的兩個平面上，剪應(yīng)力必成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，方向垂直于這兩個平面的交線，且同時指向或同時背離這一交線?！魬?yīng)力互等定理單元體的前后兩個面上無任何應(yīng)力，而單元體是平衡的，所以其上下兩個面上必存在等值反向的剪應(yīng)力，且第二十頁，共五十三頁，2022年，8月28日§7-4圓軸扭轉(zhuǎn)時的內(nèi)力工程中把以扭轉(zhuǎn)變形為主的桿件稱為軸，shaft。一、扭轉(zhuǎn)的概念扭轉(zhuǎn)角：桿件任意兩橫截面之間相對轉(zhuǎn)過的角度，用表示。外力特點(diǎn)：一對等值、反向的力偶（作用在垂直于桿軸的兩個平面內(nèi)）變形特點(diǎn)：各橫截面繞桿軸發(fā)生相對轉(zhuǎn)動第二十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日二、圓軸扭轉(zhuǎn)時的內(nèi)力—扭矩圓軸扭轉(zhuǎn)時的內(nèi)力稱為扭矩，用Mn表示，單位：N·m或kN·m,用截面法計(jì)算扭矩正負(fù)號的規(guī)定：采用右手螺旋法則即以右手四指表示扭矩的轉(zhuǎn)向，當(dāng)拇指的指向與截面外法線方向一致時，扭矩為正號，反之為負(fù)號。第二十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日扭矩正負(fù)號的規(guī)定：第二十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日§4–4薄壁圓管的扭轉(zhuǎn)薄壁圓管：壁厚（r0：為平均半徑）一、實(shí)驗(yàn)：1.實(shí)驗(yàn)前：①繪縱向線，圓周線；②施加一對外力偶m。第二十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日2.實(shí)驗(yàn)后：①圓周線不變；②縱向線變成斜直線。3.結(jié)論：①圓管表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動。

②各縱向線均傾斜了同一微小角度。

③所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。第二十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日acddxbdy′′①無正應(yīng)力②橫截面上各點(diǎn)處，只產(chǎn)生垂直于半徑的均勻分布的剪應(yīng)力，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致。微小矩形單元體如圖所示：第二十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日二、薄壁圓管剪應(yīng)力大小：

A0：平均半徑所作圓的面積。第二十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日§4–6等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力·強(qiáng)度條件等直圓桿橫截面應(yīng)力①變形幾何方面②物理關(guān)系方面③靜力學(xué)方面1.橫截面變形后仍為平面；2.軸向無伸縮；3.縱向線變形后仍為平行。一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)觀察：第二十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力：1.變形幾何關(guān)系：距圓心為任一點(diǎn)處的與到圓心的距離成正比?！まD(zhuǎn)角沿長度方向變化率。第二十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日Ttmaxtmax2.物理關(guān)系：虎克定律：代入上式得：第三十頁，共五十三頁，2022年，8月28日3.靜力學(xué)關(guān)系：TOdA令代入物理關(guān)系式得：第三十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日—橫截面上距圓心為處任一點(diǎn)剪應(yīng)力計(jì)算公式。4.公式討論：①僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓截面直桿。②式中：T—橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。

—該點(diǎn)到圓心的距離。Ip—極慣性矩，純幾何量，無物理意義。第三十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日單位：mm4，m4。③盡管由實(shí)心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿，只是Ip值不同。對于實(shí)心圓截面：DdO第三十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日對于空心圓截面：dDOd第三十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日④應(yīng)力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（實(shí)心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強(qiáng)度，節(jié)約材料，重量輕，結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。第三十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日⑤確定最大剪應(yīng)力：由知：當(dāng)Wt—抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量），幾何量，單位：mm3或m3。對于實(shí)心圓截面：對于空心圓截面：第三十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日三、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時斜截面上的應(yīng)力低碳鋼試件：沿橫截面斷開。鑄鐵試件：沿與軸線約成45的螺旋線斷開。因此還需要研究斜截面上的應(yīng)力。第三十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日1.點(diǎn)M的應(yīng)力單元體如圖(b)：(a)M(b)tt′tt′(c)2.斜截面上的應(yīng)力；取分離體如圖(d)：(d)t′ttasax第三十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日(d)t′ttasaxnt轉(zhuǎn)角規(guī)定：軸正向轉(zhuǎn)至截面外法線逆時針：為“+”順時針：為“–”由平衡方程：解得：第三十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日分析：當(dāng)=0°時，當(dāng)=45°時，當(dāng)=–45°時，當(dāng)=90°時，tt′smaxsmin45°由此可見：圓軸扭轉(zhuǎn)時，在橫截面和縱截面上的剪應(yīng)力為最大值；在方向角=45的斜截面上作用有最大壓應(yīng)力和最大拉應(yīng)力。根據(jù)這一結(jié)論，就可解釋前述的破壞現(xiàn)象。第四十頁，共五十三頁，2022年，8月28日圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上任一點(diǎn)只存在剪應(yīng)力τ，其大小與橫截面上的扭矩T及點(diǎn)到圓心的距離（半徑）ρ成正比，剪應(yīng)力的方向垂直于半徑?！孛鎸π涡牡臉O慣性矩，單位：m4或mm4實(shí)心圓軸截面：空心圓軸截面：第四十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日§4—7圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度計(jì)算一、最大切應(yīng)力抗扭截面系數(shù),單位：m3、mm3對于實(shí)心圓截面對于空心圓截面第四十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日二、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度條件材料的許用剪應(yīng)力三、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強(qiáng)度計(jì)算1.強(qiáng)度校核2.截面設(shè)計(jì)3.確定許用荷載第四十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日例7-2圖示一鋼制圓軸，受一對外力偶的作用，其力偶矩Me=2.5kN·m，已知軸的直徑D=60mm，許用切應(yīng)力=60MPa試對該軸進(jìn)行強(qiáng)度校核。解：（1）計(jì)算扭矩Mn

（2）校核強(qiáng)度故軸滿足強(qiáng)度要求。第四十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日§4–8等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的變形·剛度條件一、扭轉(zhuǎn)時的變形由公式知：長為l一段桿兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角

為第四十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日二、單位扭轉(zhuǎn)角：或三、剛度條件或GIp反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為截面的抗扭剛度。[]稱為許用單位扭轉(zhuǎn)角。第四十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日剛度計(jì)算的三方面：①校核剛度：②設(shè)計(jì)截面尺寸：③計(jì)算許可載荷：有時，還可依據(jù)此條件進(jìn)行選材。第四十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日

§7—7矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時的剪應(yīng)力矩形截面桿扭轉(zhuǎn)自由扭轉(zhuǎn)；約束扭轉(zhuǎn)：桿端無約束，橫截面只有τ，無σ桿端有約束，橫截面既有τ，又有σ建筑結(jié)構(gòu)中受扭桿件多屬于此類，但一般σ可忽略，按自由扭轉(zhuǎn)考慮第四十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日自由扭轉(zhuǎn)有如下特點(diǎn)