工程力學(xué)(天津大學(xué))第15章答案

第十五章壓桿穩(wěn)定第十五章壓桿穩(wěn)定思考題15?1在§15?2中對(duì)兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿，按圖a所示的坐標(biāo)系及撓曲線形狀，推導(dǎo)出了歐拉公式π2EIFcrl2F試問如分別取圖b，c，d所示的坐標(biāo)系及撓曲線形狀時(shí)，撓曲線微分方程及所得到的公式cr與圖a情況下得到的結(jié)果是否相同？xxxxFcrFcrFcrFcrlyyyy(a)(b)(c)(d)思考題15?1圖15?2歐拉公式在什么范圍內(nèi)適用？如果把中長(zhǎng)桿誤認(rèn)為細(xì)長(zhǎng)桿應(yīng)用歐拉公式計(jì)算其臨界力，會(huì)導(dǎo)至什么后果？15?3圖示8種截面形態(tài)的細(xì)長(zhǎng)壓桿，如果各方向的支承條件相同，問壓桿失穩(wěn)時(shí)會(huì)在哪個(gè)方向彎曲？思考題15?3圖第十五章壓桿穩(wěn)定15?4兩根壓桿的材料、長(zhǎng)度與桿端的支承條件均相同，橫截面面積也相同，但其中一個(gè)為圓形截面，另一個(gè)為正方形截面，問哪一根桿能夠承受的壓力較大？15?5若兩根壓桿的材料相同且柔度相等，這兩根壓桿的臨界應(yīng)力是否一定相等，臨界力是否一定相等？15?6由兩個(gè)型號(hào)相同的不等邊角鋼組成的中心受壓桿件，有下面兩種布置方案，在兩端約束條件相同的情況下，哪種布置合理，為什么？(a)(b)(a)(b)思考題15?7圖思考題15?6圖17?7與上題類似由兩個(gè)型號(hào)相同的等邊角鋼組成的中心受壓桿件，圖中的兩種布置方案，哪種布置合理，為什么？15?8為什么在選擇壓桿的截面時(shí)，必須采用試算方法？習(xí)題15?1圖示各桿的材料和截面均相同，試問哪根桿能夠承受的壓力最大，哪根最?。縁FFFm5Fm9m8m7Fm5m5m2(a)(b)(c)(d)(e)(f)習(xí)題15?1圖：λFcr解對(duì)于材料和截面面積均相同的壓桿，柔度越大，臨界力越小，因而壓桿越容易l失穩(wěn)，亦即能夠承受的壓力最小。根據(jù)，由于各桿的截面均相同，因此只需比較各i桿的計(jì)算長(zhǎng)度l即可（a）l155m（b）l0.774.9m第十五章壓桿穩(wěn)定（c）l0.594.5m（d）l224m（e）l188m（f）上、下兩段分別計(jì)算，臨界力應(yīng)取較小者，而計(jì)算長(zhǎng)度l應(yīng)取較大者上段l0.552.5m下段l0.753.5m經(jīng)比較可得，桿（f）能夠承受的壓力最大，桿（e）能夠承受的壓力最小。EA15?2圖示平面桁架各桿均為細(xì)長(zhǎng)桿，彈性模量均為，橫截面積均為，截面慣性矩均為I。ACF(1)若在點(diǎn)與上作用一對(duì)向外的拉力，如圖a所示;ACF(2)若在點(diǎn)與上作用一對(duì)向內(nèi)的壓力，如圖b所示;試求結(jié)構(gòu)達(dá)到臨界狀態(tài)時(shí)的最小荷載.BBaaaa1212FFFF55ACAC3434DD(a)(b)FFBBN1N1FFFFAAFFN2N2N1N1FFN4N4FN5FN5(c)(d)(e)(f)習(xí)題15?2圖解：(1)取節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，其受力圖如(c)A所示，列出平衡方程Fcos450Fcos450F0N1N4Fsin450Fsin4500N1N4FFN4()2F拉2解得N1B再取節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，其受力圖如(d)所示，列出平衡方程Fsin450Fsin4500N2N1FFcos450Fcos4500N5N1N4第十五章壓桿穩(wěn)定FF2F(拉)解得N1N22F2FF(壓)N5N12EI2EI桿5的臨界壓力為FN5,cr2a222a結(jié)構(gòu)的臨界荷載取決于桿5的臨界壓力，其值為2EI2a2FFcrN5,cr(2)用同樣的方法可以求得FFFF2F(壓)N1N2N3N42F2FF(拉)N5N12EIa2F桿1－4的臨界壓力為N1,cr結(jié)構(gòu)的臨界荷載取決于桿1－桿4的臨界壓力，其值為22EIF2FcrN1,cra215?3如圖所示的壓桿，由100×100×10等邊角鋼制成，材料為Q235鋼，試求該壓桿的臨界力。解：首先計(jì)算壓桿的柔度Fliyxi0由于壓桿失穩(wěn)時(shí)將繞y0軸轉(zhuǎn)動(dòng)，因此式中的應(yīng)取對(duì)軸的慣ym20x0xi.y性半徑，即=1.96cm1xy0000.71.242.861.96102可見此壓桿屬于小柔度桿，不能使用歐拉公式計(jì)算臨界力。現(xiàn)采用拋物線型經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算臨界應(yīng)力習(xí)題15?3圖42.8623510.43222.7MPa21crs123c由此可得壓桿的臨界力第十五章壓桿穩(wěn)定FA222.710619.261104428.9103N428.9kNcrs15?4一矩形截面木質(zhì)壓桿，在xz平面內(nèi)為兩端固定，在xy平面內(nèi)為下端固定上端lbhEλp自由。已知=4m，=120mm，=200mm，木材的彈性模量=10GPa，=59。問當(dāng)壓F力逐漸增大時(shí)，壓桿將在哪個(gè)平面內(nèi)失穩(wěn)，并計(jì)算壓桿的臨界力。xyxz解：由于壓桿在平面與平面內(nèi)的支承情況不同，因此x壓桿在兩個(gè)平面內(nèi)的柔度也不同，壓桿在柔度大的平面內(nèi)失穩(wěn)Fxz(1)壓桿若在平面內(nèi)失穩(wěn)Ihb3/12b12012byi34.6mmyyAbh12zhl0.541l57.834.6103yiyzxy(2)壓桿若在平面內(nèi)失穩(wěn)習(xí)題15?4圖Ibh3/12h20012iz57.7mmzAbh12242l138.657.7103ziz由于y，因此當(dāng)壓力逐漸增大時(shí)，壓桿將在平面內(nèi)失穩(wěn)，壓桿的臨界力為Fxyz1010912020031012/1212310N123kNEI22Fz3cr242l22BCda15?5圖示結(jié)構(gòu)中為圓截面桿，其直徑=80mm，AC為邊長(zhǎng)=70mm的正方形ABC截面桿。已知該結(jié)構(gòu)的約束情況為端固定，、為球鉸。兩桿材料均為Q235鋼，彈性模Enst量=210GPa，可各自獨(dú)立彎曲而互不影響。若結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定安全系數(shù)=2.5，試求所能承受的許用壓力。解：可分別計(jì)算BC桿和桿的許用壓力，兩者較小值即為結(jié)構(gòu)所能承受的許用壓力。兩桿材料均為Q235鋼，兩桿的軸力均為FCAFBm2BC(1)桿為兩端鉸支的圓截面壓桿，截面的慣性半徑為daCAId4/64d8020mm44iBCm3BCAd2/4aBC其柔度為習(xí)題15?5圖第十五章壓桿穩(wěn)定12lBCBCi100p0.02BCBC因此可以用歐拉公式計(jì)算臨界力2210100.084/64104210N1042kN2EI9FBC,cr3BClBCBC2122F1024417kN2.5由此可得FBC,crnstCA(2)桿為一端固定一端鉸支的正方形截面壓桿，截面的慣性半徑為a4/12a2a7012IiCA20.2mmCA12ACA其柔度為0.73lCACAi104p0.0202CACA因此可以用歐拉公式計(jì)算臨界力2210100.074/12940.410N940.4kN2EI9FCA,cr3CA20.732lCACAF940.4376kN2.5由此可得FCA,crnst因此F376kNl15?6柱的下端固定，上端鉸支，柱長(zhǎng)=6m，柱由兩根28a號(hào)槽Fσ鋼組成，[]=160MPa。(1).當(dāng)兩槽鋼的腹板固結(jié)在一起而形成工字形截面時(shí)，試求柱F的許用荷載[]；(2).若支承、長(zhǎng)度及槽鋼型號(hào)均不改變，如何提高柱的許用荷載，試求許用荷載的最大值。l習(xí)題15?6圖第十五章壓桿穩(wěn)定15?7圖示結(jié)構(gòu)由兩個(gè)圓截面桿組成，已知二桿的直徑及所用的材料均相同，且二桿均為大F柔度肝。試問：當(dāng)從零開開始逐漸增大時(shí)，哪個(gè)桿首先失穩(wěn)？FF600300CDABddhlB45°30°CAd習(xí)題15?7圖習(xí)題15?8圖15?8圖示托架中AB桿的直徑=40mm，長(zhǎng)度=800mm，兩端可視為鉸支，材料為dlσQ235鋼，=240MPa。s(1)試求托架的臨界荷載；FABCD(2)若已知=70kN，桿的穩(wěn)定安全系數(shù)規(guī)定為2，而梁確保安全，試問此托架是否安全？BCFa15?9圖示三角架中，為圓截面桿，材料為Q235鋼，已知=12kN，=1m，dσ=40mm，材料的許用應(yīng)力[]=170MPa，試BC(1)校核桿的穩(wěn)定。(2)從BC桿的穩(wěn)定考慮，求此三角架所能承受的最大安全荷載。F3m1.5mAqB45°BAam545°.1DCdC習(xí)題15?9圖習(xí)題15?10圖ADdσBC15?10圖示結(jié)構(gòu)中為鑄鐵圓桿，直徑=60mm，許用壓應(yīng)力[]=120MPa，1cdσq桿為Q235鋼圓桿，直徑=10mm，[]=160MPa，試求許用分布荷載[]。2CDqAB15?11圖示結(jié)構(gòu)的梁上作用有均布荷載=50kN/m，撐桿為圓截面木桿，兩σABd端鉸支，木材的許用壓應(yīng)力[]=11MPa，試求撐桿所需的直徑。壓2.4m0.8mFqACCBDlm8BD.1dllA習(xí)題15?11圖習(xí)題15?12第十五章壓桿穩(wěn)定l26dE圖示結(jié)構(gòu)中三桿均為16Mn鋼圓桿，直徑均為，彈性模量為，。因15?12d變形微小，故可認(rèn)為壓桿受力達(dá)到F后，其承載能力不能再提高。試求結(jié)構(gòu)所受荷載的Fcr極限值F。max15?13圖示結(jié)構(gòu)中CF為鑄鐵圓桿，直徑=100mm，許用壓應(yīng)力[]=120MPa，BEdσ1cdσABCD可視為剛體，試求結(jié)構(gòu)的許為Q235鋼圓桿，直徑=50mm，[]=160MPa，橫梁2F用荷載[]。已知EE=120GPa，=200GPa。鋼鐵EBm2m2F2m2maADCFm2a習(xí)題15?13圖習(xí)題15?14圖15?14一支由4根80mm×80mm×6mm等邊角鋼組成，如圖所示。支柱的兩端為lσ，材料為Q235鋼，強(qiáng)度許用應(yīng)力[]=160MPa，試求支鉸支，柱長(zhǎng)=6m，承受壓力450kNa柱截面邊長(zhǎng)的尺寸。15?15鋼屋架如圖所示，上部各結(jié)點(diǎn)處荷載均為=30kN，屋架的上弦桿用兩個(gè)等邊FdσCD角鋼組成，連接兩角鋼的鉚釘孔直徑=23mm，材料的許用應(yīng)力[]=160MPa，試選擇桿的截面。F1m1mFBCdAFDFm1CdAB習(xí)題15?15圖15?16圖示結(jié)構(gòu)中的AB梁用16號(hào)工字鋼制成，習(xí)題15?16圖CD桿為圓鋼，直徑=60mm，已知dEσsσλ材料的彈性模量=205GPa，屈服極限=275MPa，中柔度桿的臨界應(yīng)力=338–1.21，crFλλnnst=90，=50，強(qiáng)度安全系數(shù)=2，穩(wěn)定安全系數(shù)=3，試求荷載的容許值。ps第十五章壓桿穩(wěn)定答案15?1圖f所示桿的臨界力最大，因而能夠承受的壓力最大，圖e所示桿的臨界力最小，因而能夠承受的壓力最小。2EI2a222EI15?2(1)(2)a2F15?3=2180k