多邊形的內(nèi)角和 優(yōu)秀教案

多邊形的角和【學(xué)標(biāo)．使學(xué)生了解多邊形的內(nèi)角、外角等概念。．能通過(guò)不同方法探索多邊形的內(nèi)角和與外角和公式，并會(huì)應(yīng)用它們進(jìn)行有關(guān)計(jì)算。【學(xué)難】1．重點(diǎn)：多邊形的內(nèi)角和公式。多邊形的外角和公式。2．難點(diǎn)：邊形的內(nèi)角和定理的推導(dǎo)。【學(xué)程一、探究．我們知道三角形的內(nèi)角和為180°。．我們還知道，正方形的四個(gè)角都等于90°，那么它的內(nèi)角和為360°，同樣長(zhǎng)方形的內(nèi)角和也是360°。．正方形和長(zhǎng)方形都是特殊的四邊形，其內(nèi)角和為，那么一般的四邊形的內(nèi)角和為多少呢？師：畫一個(gè)任意的四邊形，用量角器量出它的四個(gè)內(nèi)角，計(jì)算它們的和，與同伴交流你的結(jié)果，從中你得到什么結(jié)論？生：同學(xué)們進(jìn)行量一量，算一算及交流后老師加以歸納得到四邊形的內(nèi)角和為360°的感性認(rèn)識(shí)，是否成為定理要進(jìn)行推導(dǎo)。二、思考幾個(gè)問(wèn)題．從四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引幾條對(duì)角線？它們將四邊形分成幾個(gè)三角形？那么四邊形的內(nèi)角和等于多少度？．從五邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引幾條對(duì)角線？它們將五邊形分成幾個(gè)三角形？那么這五邊形的內(nèi)角和為多少度？．從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，以引幾條對(duì)角線？它們將n形分成幾個(gè)三角形？n邊形的內(nèi)角和等于多少度？1/5綜上所述，你能得到多邊形內(nèi)角和公式嗎？設(shè)多邊形的邊數(shù)為n則n形的內(nèi)角和等于（n-2×180°。想一想：要得到多邊形的內(nèi)角和必需通過(guò)三角形的內(nèi)角和定理”來(lái)完成，就是把一個(gè)多邊形分成幾個(gè)三角形除利用對(duì)角線把多邊形分成幾個(gè)三角形外還有其他的分法嗎？你會(huì)用新的分法得到n形的內(nèi)角和公式嗎？由同學(xué)動(dòng)手并推導(dǎo)在與同伴交流后，老師歸納以五邊形為例）分法一：在五邊形ABCDE內(nèi)任取一點(diǎn)，連結(jié)OA、OB、、OD、，則得五個(gè)三角形其五個(gè)三角形內(nèi)角和為而∠1∠234∠5不是五邊形的內(nèi)角應(yīng)減去，∴五邊形的內(nèi)角和為5×180°-2×180°＝（）×180°=540°。如果五邊形變成n形，用同樣方法也可以得個(gè)三角形的內(nèi)角和減去一個(gè)周角，即可得：n邊形內(nèi)角和（）×180°。1

2

5

4

3

分法二：在邊AB上取一點(diǎn)O連OEOD、OC，則可以得（5－1）個(gè)三角形，而∠1∠2、∠3∠4是五邊形的內(nèi)角，應(yīng)舍去?！辔暹呅蔚膬?nèi)角和為（5-1）＝（）×180°用同樣的辦法也可以把n邊形分（n-1個(gè)三角形不是n邊形內(nèi)的∠AOB去，即可得n形的內(nèi)角和為（）。

三、例題例1果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另一組對(duì)角有什么關(guān)系？2/5已知：四邊形ABCD∠A＋∠C＝180°求：∠B與∠的關(guān)系。分析：本題要求∠B與∠的關(guān)系，由于已知∠A＋∠C＝，所以可以從四邊形的內(nèi)角和入手，就可得到完滿的答案。AD解：如圖，四邊形ABCD，∠A＋∠C＝。∵∠A+∠B+∠D=（4－2）×180°=360°，∴∠B∠D=－（∠A∠）這就是說(shuō)：如果四邊形一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另一組對(duì)角也互補(bǔ)。例2圖六邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角些外角的和叫做六邊形的外角和邊形的外角和等于多少？B

1

A

6

F2C

3

5ED

4已知：∠1∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分別為六邊形ABCDEF的外角。求：∠1+2+∠∠4+∠5+∠6的值。分析關(guān)于外角問(wèn)題我們馬上就會(huì)聯(lián)想到平角這樣我們就得到六邊形的個(gè)外角加上它相鄰的內(nèi)角的總和為6×180°，由于六邊形的內(nèi)角和為（6-2）×180°=720°，這樣就可求得∠∠∠3+∠4+∠。解：∵六邊形的任何一個(gè)外角加上它相鄰的內(nèi)角和為180°∴六邊形的六個(gè)外角加上各自相鄰內(nèi)角的總和為由于六邊形的內(nèi)角和為（）×180°=720°∴它的外角和為6×180°-720°=360°如果把六邊形換成n形為不小于3正整數(shù)）3/5同樣也可以得到其外角和等于360°。即多邊形的外角和等于360°。所以我們說(shuō)多邊形的外角和與它的邊數(shù)無(wú)關(guān)。對(duì)此，我們也可以像以下這種，理解為什么多邊形的外角和等于360°。如下圖，從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)A出發(fā)，沿多邊形各邊走過(guò)各頂點(diǎn)，再回到A點(diǎn)，然后轉(zhuǎn)向出發(fā)時(shí)的方向在行程中所轉(zhuǎn)的各個(gè)角的和就是多邊形的外角和由于走了一周所得的各個(gè)角的和等于一個(gè)周角，所以多邊形的外角和等于。四、課堂練習(xí)（一）判斷題。．當(dāng)多邊形邊數(shù)增加時(shí)，它的內(nèi)角和也隨著增加）．當(dāng)多邊形邊數(shù)增加時(shí)．它的外角和也隨著增加）．三角形的外角和與一多邊形的外角和相等）．從n邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引出n-2）條對(duì)角線，得到n-2）個(gè)三角形）5．四邊形四個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)角不小于直角）（二）填空題。1．一個(gè)多形的每一個(gè)外角都等于，則這個(gè)多邊形為2．一個(gè)多形的每個(gè)內(nèi)角都等于，則這個(gè)多邊形為

邊形。邊形。3．內(nèi)角和于外角和的多邊形是

邊形。．內(nèi)角和為1440°的多邊形是。．一個(gè)多邊形的內(nèi)角的度數(shù)從小到大排列時(shí)，恰好依次增加相同的度數(shù)，其中最小角為，最大的是140°，那么這個(gè)多邊形是

邊形。6．若多邊內(nèi)角和等于外角和的3倍，則這個(gè)多邊形是

邊形。7．五邊形對(duì)角線有

條，它們內(nèi)角和為。8．一個(gè)多形的內(nèi)角和為4320°，則它的邊數(shù)為。4/5．多邊形每個(gè)內(nèi)角都相等，內(nèi)角和為則它的每一個(gè)外角為。．四邊形的∠A、、∠D的外角之比為1：3：4，那么∠A：：：∠D=。11．四邊形的四個(gè)內(nèi)角中，直角最多有

個(gè)，鈍角最多有

個(gè)，銳角最多有

個(gè)。12．如果一個(gè)多邊形的邊數(shù)增加一條，那么這個(gè)多邊形的內(nèi)角和增加，外角和增加。（三）選擇題。1．多邊形的每個(gè)外角與它相鄰內(nèi)角的關(guān)系是（）A．為余角B互為鄰補(bǔ)角C．個(gè)角相等D外角大于內(nèi)角2．若n邊形每個(gè)內(nèi)角都等于那么這個(gè)n邊形是（）A．邊形B十邊形C．一邊形D．二邊形．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為那么這個(gè)多邊形的對(duì)角線條數(shù)為（）A條B條C．8條D條．隨著多邊形的邊數(shù)n的增加，它的外角和（）A．加B減小C．變D．定5．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是那么這個(gè)多邊形是（）A．邊形B八邊形C．邊形D．二邊形6．一個(gè)多邊形每個(gè)內(nèi)角為則這個(gè)多邊形（）A．邊形B五邊形C．邊形D．邊形一個(gè)多邊形每個(gè)外角都是個(gè)多邊形的外