2019版數(shù)學(xué)（文）高分計(jì)劃一輪高分講義：第8章平面解析幾何 8.5　橢圓

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精8．5橢圓[知識(shí)梳理]1．橢圓的定義（1）定義：在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1,F2的距離的和等于常數(shù)(大于｜F1F2|)的點(diǎn)的軌跡(或集合）叫橢圓．這兩定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距．（2）集合語(yǔ)言:P＝｛M｜｜MF1|＋｜MF2|＝2a，且2a〉｜F1F2｜｝，|F1F2｜＝2c,其中a〉c>0，且a，c為常數(shù)．注：當(dāng)2a>｜F1F2|時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)2a＝｜F1F2｜時(shí)，軌跡為線段F1F2;當(dāng)2a<｜F1F2|時(shí)，軌跡不存在．2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f（x2，a2)＋eq\f(y2，b2）＝1（a>b〉0)eq\f（y2,a2）＋eq\f(x2,b2）＝1(a>b〉0）圖形續(xù)表3．直線與橢圓位置關(guān)系的判斷直線與橢圓方程聯(lián)立方程組，消掉y，得到Ax2＋Bx＋C＝0的形式（這里的系數(shù)A一定不為0）,設(shè)其判別式為Δ：(1)Δ〉0?直線與橢圓相交;(2)Δ＝0?直線與橢圓相切；（3）Δ<0?直線與橢圓相離．4．弦長(zhǎng)公式（1)若直線y＝kx＋b與橢圓相交于兩點(diǎn)A（x1,y1),B（x2，y2)，則｜AB｜＝eq\r(1＋k2)｜x1－x2｜＝eq\r（1＋\f(1，k2)）|y1－y2｜。(2)焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦):最短的焦點(diǎn)弦為通徑長(zhǎng)eq\f（2b2，a）,最長(zhǎng)為2a。5．必記結(jié)論（1)設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2，b2）＝1（a>b〉0)上任意一點(diǎn)P（x，y），則當(dāng)x＝0時(shí),|OP|有最小值b,P點(diǎn)在短軸端點(diǎn)處；當(dāng)x＝±a時(shí),｜OP｜有最大值a，P點(diǎn)在長(zhǎng)軸端點(diǎn)處．（2）已知過(guò)焦點(diǎn)F1的弦AB,則△ABF2的周長(zhǎng)為4a。[診斷自測(cè)］1．概念思辨(1）平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓．（）（2)方程mx2＋ny2＝1(m〉0，n>0且m≠n）表示的曲線是橢圓．()（3）橢圓上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成△PF1F2的周長(zhǎng)為2a＋2c(其中a為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，c為橢圓的半焦距)．（）（4)eq\f(x2，a2）＋eq\f（y2,b2）＝1（a〉b>0）與eq\f(y2,a2）＋eq\f（x2,b2）＝1（a〉b>0)的焦距相同．()答案（1)×（2)√（3)√（4）√2．教材衍化（1)(選修A1－1P35例3）已知橢圓的方程是eq\f（x2，a2）＋eq\f（y2,25）＝1(a>5）,它的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2,且F1F2＝8，弦AB過(guò)點(diǎn)F1，則△ABF2的周長(zhǎng)為（）A．10 B．20C．2eq\r(41） D．4eq\r（41）答案D解析因?yàn)閍〉5,所以橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,所以a2－25＝42，解得a＝eq\r（41）.由橢圓的定義知△ABF2的周長(zhǎng)為4a＝4eq\r（41)。故選D.(2)(選修A1－1P42A組T6）已知點(diǎn)P是橢圓eq\f(x2，5)＋eq\f(y2，4）＝1上y軸右側(cè)的一點(diǎn),且以點(diǎn)P及焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的面積等于1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______．答案eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(\r（15）,2)，1))或eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（\r(15),2)，－1）)解析設(shè)P(x，y),由題意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，則F1（－1,0），F(xiàn)2(1，0），由題意可得點(diǎn)P到x軸的距離為1，所以y＝±1，把y＝±1代入eq\f(x2，5)＋eq\f(y2，4）＝1,得x＝±eq\f(\r(15）,2)，又x〉0，所以x＝eq\f（\r(15)，2），∴P點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(\r（15),2），1))或eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(\r(15)，2），－1)）.3．小題熱身（1）（2014·大綱卷）已知橢圓C：eq\f（x2，a2）＋eq\f（y2,b2）＝1（a〉b>0）的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為eq\f（\r（3)，3），過(guò)F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)．若△AF1B的周長(zhǎng)為4eq\r（3），則C的方程為（)A。eq\f(x2,3）＋eq\f（y2,2)＝1 B.eq\f（x2,3）＋y2＝1C.eq\f（x2，12）＋eq\f（y2,8）＝1 D。eq\f(x2,12)＋eq\f(y2，4)＝1答案A解析由題意及橢圓的定義知4a＝4eq\r（3)，則a＝eq\r(3），又eq\f（c,a)＝eq\f(c，\r(3)）＝eq\f（\r(3），3)，∴c＝1,∴b2＝2,∴C的方程為eq\f（x2，3）＋eq\f（y2，2)＝1，故選A。（2）橢圓Γ：eq\f（x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a〉b〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y＝eq\r(3）（x＋c)與橢圓Γ的一個(gè)交點(diǎn)M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于________．答案eq\r(3)－1解析由已知得直線y＝eq\r(3）(x＋c）過(guò)M,F1兩點(diǎn)，所以直線MF1的斜率為eq\r（3)，所以∠MF1F2＝60°,則∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°,則MF1＝c,MF2＝eq\r(3）c,由點(diǎn)M在橢圓Γ上知：c＋eq\r（3）c＝2a,故e＝eq\f（c，a)＝eq\r(3）－1.題型1橢圓的定義及應(yīng)用eq\o（\s\up7(），\s\do5(典例1）)已知橢圓eq\f（x2,25）＋eq\f(y2，16）＝1上一點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F1的距離為3，則P到另一個(gè)焦點(diǎn)F2的距離為（）A．2 B．3C．5 D．7應(yīng)用橢圓的定義．答案D解析根據(jù)橢圓的定義|PF1｜＋｜PF2|＝2a＝10,得｜PF2｜＝7，故選D。[條件探究]若將典例中的條件改為“F1,F2分別為左、右焦點(diǎn),M是PF1的中點(diǎn)，且｜OM|＝3"，求點(diǎn)P到橢圓左焦點(diǎn)的距離？解由M為PF1中點(diǎn),O為F1F2中點(diǎn)，易得｜PF2|＝6，再利用橢圓定義易知|PF1|＝4.eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例2)）（2018·漳浦縣校級(jí)月考)橢圓eq\f（x2，4)＋y2＝1上的一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)F1,F2所構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形．(1)求eq\o(PF1，\s\up6（→）)·eq\o(PF2，\s\up6（→))的最大值與最小值;（2)設(shè)∠F1PF2＝θ，求證:S△F1PF2＝taneq\f(θ，2)。（1）利用向量數(shù)量積得到目標(biāo)函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值；（2）利用余弦定理、面積公式證明．解（1)設(shè)P(x，y)，∴F1(－eq\r（3）,0),F2（eq\r（3),0），則eq\o（PF1，\s\up6（→))·eq\o（PF2，\s\up6(→)）＝(－eq\r(3）－x，－y)·(eq\r（3）－x,－y）＝x2＋y2－3＝eq\f（3，4)x2－2,∵x2∈［0，4］,∴eq\f（3，4)x2－2∈[－2，1]．∴eq\o(PF1，\s\up6（→)）·eq\o(PF2,\s\up6（→)）的最大值為1,最小值為－2.（2）證明:由橢圓的定義可知||PF1｜＋｜PF2|｜＝2a，|F1F2|＝2c，設(shè)∠F1PF2＝θ，在△F1PF2中，由余弦定理可得:|F1F2|2＝|PF1|2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·|PF2｜c(diǎn)osθ＝（｜PF1|＋|PF2｜)2－2|PF1｜·｜PF2|（1＋cosθ)，可得4c2＝4a2－2｜PF1|·|PF2|(1＋cosθ)?|PF1|·｜PF2|＝eq\f(2b2，1＋cosθ)，即有△F1PF2的面積S＝eq\f（1,2）｜PF1|·｜PF2|sin∠F1PF2＝b2·eq\f(sinθ，1＋cosθ)＝b2taneq\f（θ,2）＝taneq\f（θ，2)。方法技巧橢圓定義的應(yīng)用技巧1．橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面：一是判定平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的軌跡是否為橢圓;二是利用定義求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)、面積、橢圓的弦長(zhǎng)及最值和離心率等．2．通常定義和余弦定理結(jié)合使用,求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)和面積問(wèn)題．見(jiàn)典例2.沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練1．已知Aeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(1,2)，0）），B是圓eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（x－\f(1,2)））2＋y2＝4（F為圓心）上一動(dòng)點(diǎn),線段AB的垂直平分線交BF于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)_______．答案x2＋eq\f(4，3）y2＝1解析如圖,由題意知|PA｜＝|PB｜,|PF|＋|BP|＝2.所以|PA|＋｜PF｜＝2且|PA｜＋｜PF｜>|AF｜，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓，a＝1，c＝eq\f(1,2），b2＝eq\f（3，4)。所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋eq\f(4,3)y2＝1。2．已知△ABC的頂點(diǎn)A（－4,0)和C（4,0)頂點(diǎn)B在橢圓eq\f(x2，25)＋eq\f（y2,9）＝1上，則eq\f（sinA＋sinC，sinB）＝________.答案eq\f（5,4）解析由題意知,A，C為橢圓的兩焦點(diǎn)，由正弦定理，得eq\f(sinA＋sinC,sinB)＝eq\f(｜BC|＋｜AB｜,|AC|）＝eq\f（2a，2c)＝eq\f(a,c）＝eq\f(5,4).題型2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及應(yīng)用eq\o(\s\up7（),\s\do5（典例1）)(2018·湖南岳陽(yáng)模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為它的兩個(gè)焦點(diǎn)，離心率為eq\f(\r（2）,2），過(guò)F1的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn),且△ABF2的周長(zhǎng)為16，那么橢圓C的方程為_(kāi)_______．在未明確焦點(diǎn)的具體位置時(shí),應(yīng)分情況討論．答案eq\f（x2，16)＋eq\f(y2，8）＝1或eq\f(x2,8）＋eq\f(y2,16）＝1解析由橢圓的定義及△ABF2的周長(zhǎng)知4a＝16，則a＝4，又eq\f（c，a)＝eq\f（\r（2）,2）,所以c＝eq\f（\r（2）,2)a＝2eq\r(2），所以b2＝a2－c2＝16－8＝8。當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，橢圓C的方程為eq\f（x2,16)＋eq\f（y2，8）＝1；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓C的方程為eq\f(y2,16）＋eq\f(x2，8)＝1.綜上可知，橢圓C的方程為eq\f（x2，16)＋eq\f(y2，8）＝1或eq\f（x2，8）＋eq\f（y2,16)＝1.eq\o(\s\up7()，\s\do5（典例2）)(2017·江西模擬)橢圓eq\f(x2,a2）＋eq\f(y2，b2)＝1(a>b>0),F1,F2為橢圓的左、右焦點(diǎn),且焦距為2eq\r(3），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，｜OP｜＝eq\f（\r（2)，4）a，且｜PF1｜，｜F1F2｜，|PF2｜成等比數(shù)列,求橢圓的方程．用待定系數(shù)法,根據(jù)已知列出方程組．解設(shè)P(x，y)，則｜OP｜2＝x2＋y2＝eq\f(a2,8），由橢圓定義,|PF1｜＋|PF2|＝2a，｜PF1｜2＋2｜PF1｜·｜PF2｜＋|PF2｜2＝4a2，又∵｜PF1|，｜F1F2｜，|PF2|成等比數(shù)列,∴|PF1｜·｜PF2｜＝|F1F2|2＝4c2，｜PF1｜2＋|PF2|2＋8c2＝4a2，∴(x＋c）2＋y2＋（x－c)2＋y2＋8c2＝4a2，整理得x2＋y2＋5c2＝2a2，即eq\f（a2，8)＋5c2＝2a2，整理得eq\f(c2，a2)＝eq\f（3，8)，又∵2c＝2eq\r（3）,∴c＝eq\r（3）,∴a2＝8，b2＝5。所求橢圓的方程為eq\f(x2,8）＋eq\f(y2,5)＝1。方法技巧求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟1．判斷橢圓焦點(diǎn)位置．2．設(shè)出橢圓方程．3．根據(jù)已知條件，建立方程（組）求待定系數(shù)，注意a2＝b2＋c2的應(yīng)用．4．根據(jù)焦點(diǎn)寫出橢圓方程．見(jiàn)典例1,2。提醒:當(dāng)橢圓焦點(diǎn)位置不明確時(shí),可設(shè)為eq\f(x2,m)＋eq\f(y2，n）＝1（m〉0，n>0,m≠n)，也可設(shè)為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B)．可簡(jiǎn)記為“先定型,再定量”．沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練已知橢圓eq\f(x2，a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a〉b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2。P為橢圓上的一點(diǎn),PF1與y軸相交于Meq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，\f（1,4）)），且M為PF1的中點(diǎn)，S△PF1F2＝eq\f（\r（3),2)。求橢圓的方程．解設(shè)P(x0,y0)∵M(jìn)為PF1的中點(diǎn),O為F1F2的中點(diǎn)．∴x0＝c,y0＝eq\f(1，2）。PF2∥y軸，△PF1F2是∠PF2F1＝90°的直角三角形,由題意得，eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(c2，a2)＋\f（\f（1，4)，b2）＝1，，\f(1，2）·2c·\f(1,2)＝\f（\r(3），2)，,a2＝b2＋c2,）)解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a2＝4,，b2＝1.))所求橢圓的方程為eq\f（x2，4）＋y2＝1.題型3橢圓的幾何性質(zhì)eq\o（\s\up7(）,\s\do5(典例1））(2016·全國(guó)卷Ⅲ)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：eq\f(x2，a2)＋eq\f(y2,b2)＝1（a>b>0）的左焦點(diǎn),A,B分別為C的左、右頂點(diǎn)．P為C上一點(diǎn),且PF⊥x軸．過(guò)點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過(guò)OE的中點(diǎn)，則C的離心率為()A.eq\f(1,3） B。eq\f(1，2)C.eq\f（2,3) D。eq\f（3，4)用方程思想．A，M,E三點(diǎn)共線，B，N，M三點(diǎn)共線．答案A解析由題意知過(guò)點(diǎn)A的直線l的斜率存在且不為0,故可設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋a)，當(dāng)x＝－c時(shí),y＝k（a－c)，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝ka，所以M（－c，k(a－c)）,E（0，ka)．如圖，設(shè)OE的中點(diǎn)為N,則Neq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f（ka,2)）），由于B，M，N三點(diǎn)共線，所以kBN＝kBM，即eq\f(\f（ka,2）,－a)＝eq\f(ka－c，－c－a)，所以eq\f（1，2）＝eq\f（a－c，a＋c)，即a＝3c，所以e＝eq\f（1，3).故選A。eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例2))F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f（x2,a2)＋eq\f（y2,b2）＝1（a〉b〉0）的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P，使∠F1PF2＝90°,則橢圓的離心率的取值范圍是________．由∠F1PF2＝90°，求出xeq\o\al（2，0)＝eq\f(a2c2－b2,c2）后，利用xeq\o\al（2,0）∈［0，a2］求解．答案eq\b\lc\［\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(\r（2),2)，1))解析設(shè)P(x0,y0）為橢圓上一點(diǎn)，則eq\f（x\o\al（2,0)，a2)＋eq\f（y\o\al（2，0），b2)＝1。eq\o（PF1,\s\up6(→)）＝(－c－x0，－y0)，eq\o（PF2,\s\up6（→))＝(c－x0，－y0)，若∠F1PF2＝90°，則eq\o(PF1,\s\up6(→））·eq\o(PF2,\s\up6（→）)＝xeq\o\al（2,0)＋yeq\o\al（2，0)－c2＝0.∴xeq\o\al(2,0)＋b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al（2，0）,a2））)＝c2，∴xeq\o\al（2，0)＝eq\f（a2c2－b2,c2）?！?≤xeq\o\al(2，0）≤a2,∴0≤eq\f（c2－b2，c2）≤1?！郻2≤c2，∴a2≤2c2，∴eq\f（\r（2),2)≤e〈1。［條件探究］將典例2中條件“∠F1PF2＝90°”改為“∠F1PF2為鈍角”,求離心率的取值范圍．解橢圓上存在點(diǎn)P使∠F1PF2為鈍角?以原點(diǎn)O為圓心，以c為半徑的圓與橢圓有四個(gè)不同的交點(diǎn)?b<c，如圖，由b〈c，得a2－c2<c2，即a2<2c2,解得e＝eq\f（c,a）〉eq\f(\r(2）,2)，又0<e〈1，故橢圓C的離心率的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（\r（2），2),1))。方法技巧求解橢圓離心率(或其范圍）常用的方法1．若給定橢圓的方程，則根據(jù)橢圓方程確定a2，b2，進(jìn)而求出a，c的值，從而利用公式e＝eq\f(c，a)直接求解．2．若橢圓的方程未知，則根據(jù)條件及幾何圖形建立關(guān)于a，b，c的齊次等式（或不等式），化為關(guān)于a,c的齊次方程(或不等式)，進(jìn)而化為關(guān)于e的方程(或不等式）進(jìn)行求解．見(jiàn)典例1，2。沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練(2015·重慶高考)如圖，橢圓eq\f(x2，a2)＋eq\f（y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn),且PQ⊥PF1。(1）若|PF1｜＝2＋eq\r(2)，｜PF2|＝2－eq\r(2），求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若|PF1｜＝|PQ｜，求橢圓的離心率e。解（1）由橢圓的定義，有2a＝｜PF1|＋｜PF2｜＝（2＋eq\r(2）)＋（2－eq\r(2)）＝4,故a＝2.設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知PF1⊥PF2，得2c＝｜F1F2｜＝eq\r(｜PF1｜2＋｜PF2｜2）＝eq\r（2＋\r(2）2＋2－\r(2)2）＝2eq\r(3)，即c＝eq\r（3)，從而b＝eq\r（a2－c2)＝1。故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f（x2，4）＋y2＝1。(2)連接QF1，由橢圓的定義，｜PF1｜＋|PF2|＝2a,｜QF1｜＋｜QF2|＝2a。從而由｜PF1｜＝｜PQ｜＝｜PF2|＋|QF2|,有|QF1｜＝4a－2｜PF1｜。又由PF1⊥PQ，｜PF1|＝|PQ|，知｜QF1｜＝eq\r(2)|PF1|,因此,4a－2|PF1｜＝eq\r(2）｜PF1|。|PF1|＝2(2－eq\r（2））a，從而｜PF2｜＝2a－|PF1|＝2a－2（2－eq\r（2))a＝2（eq\r(2）－1)a.由PF1⊥PF2，知｜PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝（2c）2，因此e＝eq\f（c,a）＝eq\f（\r(｜PF1|2＋｜PF2|2），2a)＝eq\r(2－\r(2)2＋\r（2)－12）＝eq\r(9－6\r(2))＝eq\r(6)－eq\r（3）。題型4直線與橢圓的綜合問(wèn)題角度1利用直線與橢圓的位置關(guān)系研究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)eq\o(\s\up7()，\s\do5(典例)）(2014·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)F1,F2分別是橢圓C：eq\f（x2，a2)＋eq\f(y2，b2)＝1(a>b〉0）的左、右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直．直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N。(1）若直線MN的斜率為eq\f（3，4），求C的離心率;（2）若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN｜＝5|F1N｜，求a,b.本題(2）用代入法列出方程，用方程組法求解．解(1）根據(jù)c＝eq\r（a2－b2）及題設(shè)知Meq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(c，\f(b2，a)）),2b2＝3ac.將b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得eq\f(c,a）＝eq\f(1,2）或eq\f(c，a)＝－2（舍去）．故C的離心率為eq\f(1，2)。(2)由題意，得原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，MF2∥y軸，所以直線MF1與y軸的交點(diǎn)D(0,2）是線段MF1的中點(diǎn)，故eq\f(b2，a）＝4，即b2＝4a。①由|MN｜＝5｜F1N｜得|DF1｜＝2|F1N｜。設(shè)N(x1，y1)，由題意知y1〈0，則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(2－c－x1＝c,,－2y1＝2，）)即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x1＝－\f(3,2)c，，y1＝－1。））代入C的方程,得eq\f(9c2,4a2)＋eq\f(1,b2）＝1.②將①及c＝eq\r(a2－b2)代入②得eq\f（9a2－4a，4a2)＋eq\f（1，4a）＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7,b＝2eq\r（7).角度2利用直線與橢圓的位置關(guān)系研究直線及弦的問(wèn)題eq\o（\s\up7（），\s\do5(典例）)(2014·全國(guó)卷Ⅰ）已知點(diǎn)A（0，－2)，橢圓E：eq\f（x2，a2）＋eq\f(y2,b2）＝1(a>b〉0)的離心率為eq\f（\r(3），2),F是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為eq\f(2\r（3)，3），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1）求E的方程;(2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)．當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程．直線與橢圓構(gòu)成方程組，用設(shè)而不求的方法求弦長(zhǎng)，再求△OPQ的面積．解（1)設(shè)F(c,0),由條件知，eq\f(2，c)＝eq\f（2\r(3）,3）,得c＝eq\r(3）.又eq\f（c,a)＝eq\f(\r(3)，2),所以a＝2，b2＝a2－c2＝1。故E的方程為eq\f（x2，4)＋y2＝1。（2)當(dāng)l⊥x軸時(shí)不合題意,故設(shè)l:y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2）．將y＝kx－2代入eq\f（x2,4)＋y2＝1得(1＋4k2）x2－16kx＋12＝0。當(dāng)Δ＝16(4k2－3）>0，即k2>eq\f(3,4)時(shí)，x1，2＝eq\f（8k±2\r（4k2－3)，4k2＋1)。從而｜PQ|＝eq\r(k2＋1)|x1－x2|＝eq\f（4\r(k2＋1）·\r(4k2－3),4k2＋1)。又點(diǎn)O到直線PQ的距離d＝eq\f（2,\r（k2＋1)），所以△OPQ的面積S△OPQ＝eq\f(1，2)d·|PQ｜＝eq\f(4\r（4k2－3),4k2＋1）。設(shè)eq\r(4k2－3）＝t,則t>0，S△OPQ＝eq\f(4t,t2＋4）＝eq\f（4,t＋\f(4,t）).因?yàn)閠＋eq\f（4,t)≥4，當(dāng)且僅當(dāng)t＝2，即k＝±eq\f(\r(7),2）時(shí)等號(hào)成立，且滿足Δ〉0，所以，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，l的方程為y＝eq\f（\r(7)，2）x－2或y＝－eq\f(\r（7)，2）x－2。方法技巧直線與橢圓相交時(shí)有關(guān)弦問(wèn)題的處理方法1．合理消元，消元時(shí)可以選擇消去y，也可以消去x.見(jiàn)角度1典例．2．利用弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式等將所求量表示出來(lái)．3．構(gòu)造基本不等式或利用函數(shù)知識(shí)求最值．見(jiàn)角度2典例．4．涉及弦中點(diǎn)的問(wèn)題常用“點(diǎn)差法”解決．沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練(2015·陜西高考）已知橢圓E：eq\f（x2，a2)＋eq\f(y2,b2）＝1(a〉b〉0)的半焦距為c，原點(diǎn)O到經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(c，0)，(0，b）的直線的距離為eq\f(1，2)c。（1)求橢圓E的離心率；（2)如圖，AB是圓M：(x＋2)2＋（y－1)2＝eq\f（5，2)的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，求橢圓E的方程．解（1）過(guò)點(diǎn)（c，0)，（0，b)的直線方程為bx＋cy－bc＝0，則原點(diǎn)O到該直線的距離d＝eq\f（bc，\r（b2＋c2)）＝eq\f（bc,a），由d＝eq\f(1，2)c,得a＝2b＝2eq\r（a2－c2)，解得離心率eq\f（c,a）＝eq\f（\r（3）,2）。（2)由(1）知，橢圓E的方程為x2＋4y2＝4b2.①依題意，圓心M(－2，1)是線段AB的中點(diǎn),且|AB|＝eq\r(10).易知，AB與x軸不垂直,設(shè)其方程為y＝k(x＋2)＋1，代入①得（1＋4k2）x2＋8k（2k＋1）x＋4（2k＋1）2－4b2＝0。設(shè)A（x1，y1)，B（x2,y2),則x1＋x2＝－eq\f(8k2k＋1，1＋4k2)，x1x2＝eq\f(42k＋12－4b2,1＋4k2)。由x1＋x2＝－4,得－eq\f(8k2k＋1，1＋4k2）＝－4，解得k＝eq\f（1，2）。從而x1x2＝8－2b2.于是|AB|＝eq\r（1＋\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)））2）｜x1－x2｜＝eq\f（\r(5)，2)eq\r(x1＋x22－4x1x2）＝eq\r(10b2－2）.由｜AB｜＝eq\r(10）,得eq\r（10b2－2)＝eq\r(10)，解得b2＝3。故橢圓E的方程為eq\f(x2,12）＋eq\f(y2,3）＝1。1.(2017·浙江高考)橢圓eq\f(x2,9）＋eq\f（y2，4)＝1的離心率是（）A。eq\f（\r（13),3） B。eq\f（\r（5)，3）C。eq\f(2，3) D.eq\f（5，9）答案B解析∵橢圓方程為eq\f（x2,9)＋eq\f(y2，4）＝1,∴a＝3,c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r（9－4)＝eq\r(5）.∴e＝eq\f(c，a）＝eq\f（\r(5)，3）.故選B.2．（2017·河北衡水中學(xué)二調(diào)）設(shè)橢圓eq\f（x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，且滿足eq\o（PF1，\s\up6（→）)·eq\o(PF2,\s\up6(→)）＝9，則｜PF1｜·｜PF2｜的值為()A．8 B．10C．12 D．15答案D解析由橢圓方程eq\f(x2，16）＋eq\f(y2，12)＝1,可得c2＝4，所以|F1F2|＝2c＝4，而eq\o(F1F2，\s\up6（→）)＝eq\o（PF2,\s\up6（→))－eq\o（PF1,\s\up6(→）），所以|eq\o（F1F2，\s\up6(→))｜＝｜eq\o（PF2，\s\up6(→))－eq\o（PF1，\s\up6（→))｜，兩邊同時(shí)平方，得|eq\o（F1F2，\s\up6(→))｜2＝|eq\o(PF1,\s\up6（→))｜2－2eq\o(PF1，\s\up6（→))·eq\o(PF2，\s\up6（→))＋｜eq\o（PF2,\s\up6(→））|2，所以｜eq\o(PF1，\s\up6(→）)|2＋｜eq\o(PF2,\s\up6(→））|2＝｜eq\o(F1F2,\s\up6(→)）｜2＋2eq\o（PF1，\s\up6(→))·eq\o(PF2，\s\up6（→))＝16＋18＝34，根據(jù)橢圓定義得｜PF1｜＋｜PF2|＝2a＝8，所以34＋2｜PF1｜|PF2|＝64,所以|PF1|·|PF2|＝15。故選D.3．（2018·武漢調(diào)研)已知直線MN過(guò)橢圓eq\f(x2,2）＋y2＝1的右焦點(diǎn)F，與橢圓交于M，N兩點(diǎn)．直線PQ過(guò)原點(diǎn)O且與直線MN平行,直線PQ與橢圓交于P，Q兩點(diǎn),則eq\f(｜PQ|2，|MN|)＝________。答案2eq\r（2)解析解法一：由題意知，直線MN的斜率不為0，設(shè)直線MN：x＝my＋1,則直線PQ：x＝my.設(shè)M(x1，y1)，N（x2,y2），P(x3，y3),Q(x4，y4）.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋1，,\f(x2，2)＋y2＝1)）?(m2＋2）y2＋2my－1＝0?y1＋y2＝－eq\f（2m，m2＋2)，y1y2＝－eq\f(1，m2＋2).∴|MN｜＝eq\r(1＋m2）｜y1－y2｜＝2eq\r(2）·eq\f(m2＋1,m2＋2）.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my，,\f(x2,2)＋y2＝1)）?（m2＋2）y2－2＝0?y3＋y4＝0，y3y4＝－eq\f（2，m2＋2).∴|PQ|＝eq\r（1＋m2)｜y3－y4|＝2eq\r(2)eq\r（\f（m2＋1,m2＋2)）。故eq\f(|PQ｜2，｜MN|)＝2eq\r（2）.解法二：取特殊位置，當(dāng)直線MN垂直于x軸時(shí),易得｜MN｜＝eq\f（2b2,a)＝eq\r(2)，|PQ｜＝2b＝2，則eq\f(｜PQ|2，｜MN｜）＝2eq\r（2）。4．（2015·安徽高考)設(shè)橢圓E的方程為eq\f（x2，a2）＋eq\f(y2，b2)＝1(a>b>0），點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a,0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，b),點(diǎn)M在線段AB上，滿足｜BM｜＝2|MA|,直線OM的斜率為eq\f（\r(5),10).（1)求E的離心率e；(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，－b），N為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為eq\f(7，2)，求E的方程．解（1)由題設(shè)條件知，點(diǎn)M的坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(2,3）a，\f(1，3）b)），又kOM＝eq\f（\r(5)，10），從而eq\f（b,2a）＝eq\f(\r（5），10），進(jìn)而得a＝eq\r(5）b，c＝eq\r（a2－b2)＝2b，故e＝eq\f（c，a）＝eq\f（2\r(5),5）。（2）由題設(shè)條件和（1)的計(jì)算結(jié)果可得,直線AB的方程為eq\f(x,\r（5）b）＋eq\f（y,b)＝1,點(diǎn)N的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(\r（5）,2）b，－\f（1,2)b））。設(shè)點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)S的坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1,\f(7，2)）)，則線段NS的中點(diǎn)T的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（\r(5),4)b＋\f(x1,2)，－\f(1,4)b＋\f（7，4)）)。又點(diǎn)T在直線AB上，且kNS·kAB＝－1，從而有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（\f(\r（5）b,4)＋\f（x1,2),\r（5)b）＋\f（－\f(1,4)b＋\f（7，4),b）＝1，,\f(\f（7,2)＋\f(1，2）b，x1－\f（\r(5），2)b)＝\r（5），))解得b＝3。所以a＝3eq\r（5），故橢圓E的方程為eq\f（x2，45）＋eq\f(y2，9）＝1.[重點(diǎn)保分兩級(jí)優(yōu)選練］A級(jí)一、選擇題1．(2018·江西五市八校模擬)已知正數(shù)m是2和8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線x2＋eq\f(y2，m)＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（)A．（±eq\r（3)，0) B．(0，±eq\r（3)）C．（±eq\r(3），0)或（±eq\r(5)，0） D．（0，±eq\r（3））或（±eq\r（5），0）答案B解析因?yàn)檎龜?shù)m是2和8的等比中項(xiàng)，所以m2＝16，則m＝4，所以圓錐曲線x2＋eq\f（y2,m）＝1即為橢圓x2＋eq\f(y2,4)＝1，易知其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±eq\r（3）),故選B。2．（2017·湖北荊門一模)已知θ是△ABC的一個(gè)內(nèi)角，且sinθ＋cosθ＝eq\f(3,4)，則方程x2sinθ－y2cosθ＝1表示(）A．焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線B．焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線C．焦點(diǎn)在x軸上的橢圓D．焦點(diǎn)在y軸上的橢圓答案D解析因?yàn)椋╯inθ＋cosθ）2＝1＋2sinθcosθ＝eq\f（9,16)，所以sinθcosθ＝－eq\f（7，32）＜0，結(jié)合θ∈(0,π)，知sinθ〉0,cosθ〈0，又sinθ＋cosθ＝eq\f(3,4)＞0，所以sinθ＞－cosθ＞0，故eq\f（1，－cosθ）＞eq\f（1，sinθ）＞0，因?yàn)閤2sinθ－y2cosθ＝1可化為eq\f(y2,－\f（1,cosθ)）＋eq\f（x2,\f(1，sinθ)）＝1，所以方程x2sinθ－y2cosθ＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．故選D。3．(2018·湖北八校聯(lián)考)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓eq\f（x2,9）＋eq\f(y2，5）＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，則eq\f(|PF2｜,|PF1|)的值為()A。eq\f(5，14) B。eq\f(5,13）C.eq\f(4,9） D。eq\f(5,9）答案B解析由題意知a＝3，b＝eq\r(5），c＝2.設(shè)線段PF1的中點(diǎn)為M，則有OM∥PF2，∵OM⊥F1F2，∴PF2⊥F1F2，∴｜PF2｜＝eq\f（b2，a）＝eq\f（5，3).又∵|PF1|＋｜PF2|＝2a＝6,∴|PF1|＝2a－|PF2｜＝eq\f(13,3),∴eq\f(|PF2|,|PF1｜)＝eq\f（5，3）×eq\f（3,13）＝eq\f(5，13）,故選B。4．（2017·全國(guó)卷Ⅲ)已知橢圓C:eq\f(x2,a2）＋eq\f(y2,b2）＝1（a〉b〉0）的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切,則C的離心率為（)A。eq\f（\r(6），3) B.eq\f（\r（3），3)C。eq\f（\r（2),3) D.eq\f(1,3）答案A解析由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心為(0,0）,半徑為a.又直線bx－ay＋2ab＝0與圓相切，∴圓心到直線的距離d＝eq\f（2ab,\r(a2＋b2）)＝a，解得a＝eq\r（3）b，∴eq\f(b,a)＝eq\f(1，\r(3）),∴e＝eq\f(c，a)＝eq\f(\r（a2－b2)，a）＝eq\r（1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r（1－\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，\r(3)））)2)＝eq\f（\r(6）,3）.故選A。5．已知橢圓eq\f（x2，a2)＋eq\f（y2，b2)＝1(a>b〉0)與雙曲線eq\f（x2,m2)－eq\f（y2，n2)＝1（m〉0,n〉0)有相同的焦點(diǎn)（－c,0)和(c,0），若c是a，m的等比中項(xiàng)，n2是2m2與c2的等差中項(xiàng),則橢圓的離心率為（）A.eq\f(\r（3)，2） B。eq\f（\r(2)，2）C。eq\f（1,2） D。eq\f（1,4)答案C解析因?yàn)闄E圓eq\f（x2,a2)＋eq\f(y2，b2)＝1（a〉b>0)與雙曲線eq\f（x2,m2）－eq\f（y2，n2）＝1(m〉0，n〉0）有相同的焦點(diǎn)（－c,0)和(c,0)，所以c2＝a2－b2＝m2＋n2。因?yàn)閏是a,m的等比中項(xiàng)，n2是2m2與c2的等差中項(xiàng)，所以c2＝am，2n2＝2m2＋c2,所以m2＝eq\f（c4,a2）,n2＝eq\f(c4，a2）＋eq\f（c2，2),所以eq\f(2c4，a2)＋eq\f（c2，2）＝c2，化為eq\f(c2，a2）＝eq\f(1,4)，所以e＝eq\f（c，a）＝eq\f（1，2)。故選C。6．（2017·荔灣區(qū)期末）某宇宙飛船運(yùn)行的軌道是以地球中心為一焦點(diǎn)的橢圓，測(cè)得近地點(diǎn)距地面m千米，遠(yuǎn)地點(diǎn)距地面n千米，地球半徑為r千米，則該飛船運(yùn)行軌道的短軸長(zhǎng)為()A．2eq\r（m＋rn＋r)千米 B。eq\r（m＋rn＋r)千米C．2mn千米 D．mn千米答案A解析∵某宇宙飛船的運(yùn)行軌道是以地球的中心F2為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓,設(shè)長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)為b，半焦距為c，則近地點(diǎn)A距地心為a－c,遠(yuǎn)地點(diǎn)B距地心為a＋c?！郺－c＝m＋r，a＋c＝n＋r，∴a＝eq\f（m＋n，2)＋r，c＝eq\f(n－m,2）.又∵b2＝a2－c2＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（m＋n，2）＋r）)2－eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(n－m,2）))2＝mn＋（m＋n)r＋r2＝(m＋r)(n＋r）．∴b＝eq\r（m＋rn＋r)，∴短軸長(zhǎng)為2b＝2eq\r（m＋rn＋r）千米，故選A.7．(2017·九江期末）如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓eq\f(x2，a2）＋eq\f（y2,b2)＝1(a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，A和B是以O(shè)為圓心，以｜OF1｜為半徑的圓與該橢圓左半部分的兩個(gè)交點(diǎn)，且△F2AB是等邊三角形，則該橢圓的離心率為(）A.eq\f(\r(3)，2) B.eq\f(1,2）C.eq\r（3)－1 D。eq\f(\r(2)，2)答案C解析連接AF1，∵F1F2是圓O的直徑，∴∠F1AF2＝90°，即F1A⊥AF2,又∵△F2AB是等邊三角形，F(xiàn)1F2⊥AB,∴∠AF2F1＝eq\f（1,2）∠AF2B＝30°，因此，在Rt△F1AF2中，｜F1F2｜＝2c，|F1A｜＝eq\f(1，2)|F1F2|＝c，｜F2A|＝eq\f(\r（3),2)｜F1F2|＝eq\r（3)c.根據(jù)橢圓的定義，得2a＝|F1A｜＋|F2A|＝（1＋eq\r（3)）c，解得a＝eq\f（1＋\r(3），2）c，∴橢圓的離心率為e＝eq\f(c,a）＝eq\r（3）－1。故選C。8．(2018·鄭州質(zhì)檢)橢圓eq\f（x2，5）＋eq\f（y2,4）＝1的左焦點(diǎn)為F,直線x＝a與橢圓相交于點(diǎn)M，N，當(dāng)△FMN的周長(zhǎng)最大時(shí)，△FMN的面積是(）A.eq\f(\r（5)，5) B.eq\f（6\r(5），5）C.eq\f（8\r(5）,5） D。eq\f（4\r(5),5）答案C解析設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為E，由橢圓的定義知△FMN的周長(zhǎng)為L(zhǎng)＝｜MN｜＋｜MF｜＋|NF|＝|MN|＋(2eq\r(5）－｜ME|）＋(2eq\r（5）－|NE｜)．因?yàn)閨ME|＋｜NE｜≥|MN|，所以|MN｜－｜ME|－｜NE|≤0，當(dāng)直線MN過(guò)點(diǎn)E時(shí)取等號(hào)，所以L＝4eq\r(5）＋|MN｜－｜ME｜－｜NE|≤4eq\r(5），即直線x＝a過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)E時(shí)，△FMN的周長(zhǎng)最大,此時(shí)S△FMN＝eq\f(1，2)×｜MN|×｜EF|＝eq\f(1,2）×eq\f（2×4,\r(5））×2＝eq\f（8\r（5),5）,故選C。9．如圖所示，內(nèi)外兩個(gè)橢圓的離心率相同,從外層橢圓頂點(diǎn)向內(nèi)層橢圓引切線AC,BD，設(shè)內(nèi)層橢圓方程為eq\f(x2,a2）＋eq\f(y2，b2)＝1(a>b>0)，若直線AC與BD的斜率之積為－eq\f（1，4)，則橢圓的離心率為()A。eq\f(1，2) B。eq\f（\r(2）,2)C.eq\f（\r（3），2） D。eq\f(3,4)答案C解析設(shè)外層橢圓方程為eq\f（x2，ma2)＋eq\f（y2，mb2)＝1（a〉b〉0，m>1)，則切線AC的方程為y＝k1(x－ma），切線BD的方程為y＝k2x＋mb，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝k1x－ma，，bx2＋ay2＝a2b2,））消去y,得（b2＋a2keq\o\al(2，1))x2－2ma3keq\o\al（2，1)x＋m2a4keq\o\al(2,1）－a2b2＝0。因?yàn)棣ぃ剑?ma3keq\o\al(2，1））2－4(b2＋a2keq\o\al（2,1））(m2a4keq\o\al(2，1)－a2b2）＝0，整理，得keq\o\al(2，1)＝eq\f(b2，a2)·eq\f（1，m2－1）.由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝k2x＋mb，,bx2＋ay2＝a2b2，））消去y，得(b2＋a2keq\o\al（2,2）)x2＋2a2mbk2x＋a2m2b2－a2b2＝0，因?yàn)棣?＝（2a2mbk2)2－4×(b2＋a2keq\o\al（2，2））（a2m2b2－a2b2)＝0，整理，得keq\o\al（2,2)＝eq\f(b2，a2)·（m2－1)．所以keq\o\al(2，1）·keq\o\al(2，2)＝eq\f（b4,a4)。因?yàn)閗1k2＝－eq\f（1，4),所以eq\f(b2,a2)＝eq\f（1,4)，e2＝eq\f（c2，a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(3，4）,所以e＝eq\f(\r(3),2)，故選C。10．（2018·永康市模擬)設(shè)橢圓C：eq\f(x2，a2)＋eq\f(y2，b2）＝1(a〉b>0）和圓x2＋y2＝b2，若橢圓C上存在點(diǎn)P，使得過(guò)點(diǎn)P引圓O的兩條切線,切點(diǎn)分別為A，B，滿足∠APB＝60°，則橢圓的離心率e的取值范圍是(）A．0〈e≤eq\f(\r(3)，2） B.eq\f(1，2）≤e<1C.eq\f(\r（3)，2）<e<1 D.eq\f（\r(3)，2）≤e〈1答案D解析由橢圓C：eq\f(x2，a2）＋eq\f(y2，b2)＝1（a〉b>0)焦點(diǎn)在x軸上，連接OA，OB，OP，依題意，O，P，A,B四點(diǎn)共圓，∵∠APB＝60°，∠APO＝∠BPO＝30°，在直角三角形OAP中，∠AOP＝60°,∴cos∠AOP＝eq\f（b，｜OP｜)＝eq\f(1,2）,∴｜OP｜＝eq\f（b，\f（1，2）)＝2b，∴b〈｜OP|≤a，∴2b≤a，∴4b2≤a2,由a2＝b2＋c2，即4（a2－c2）≤a2,∴3a2≤4c2，即eq\f（c2，a2）≥eq\f(3,4)，∴e≥eq\f（\r（3）,2），又0〈e〈1,∴eq\f(\r（3),2）≤e<1，∴橢圓C的離心率的取值范圍是eq\f（\r(3）,2)≤e<1。故選D。二、填空題11．（2017·湖南東部六校聯(lián)考）設(shè)P，Q分別是圓x2＋(y－1)2＝3和橢圓eq\f(x2,4）＋y2＝1上的點(diǎn)，則P,Q兩點(diǎn)間的最大距離是________．答案eq\f(7\r（3)，3)解析依據(jù)圓的性質(zhì)可知，P，Q兩點(diǎn)間的最大距離可以轉(zhuǎn)化為圓心到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值加上圓的半徑eq\r（3)，設(shè)Q(x,y），則圓心（0，1)到橢圓上點(diǎn)的距離為d＝eq\r(x2＋y－12）＝eq\r（－3y2－2y＋5)＝eq\r（－3\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（y＋\f(1，3）))2＋\f（16，3）),∵－1≤y≤1,∴當(dāng)y＝－eq\f（1，3)時(shí),d取最大值eq\f（4\r(3)，3），所以P，Q兩點(diǎn)間的最大距離為dmax＋eq\r(3）＝eq\f（7\r(3），3)。12．(2018·廣州二測(cè))已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F（1，0)，點(diǎn)F關(guān)于直線y＝eq\f(1,2)x的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C上，則橢圓C的方程為_(kāi)_______．答案eq\f（5x2，9)＋eq\f（5y2,4）＝1解析設(shè)F（1，0)關(guān)于直線y＝eq\f（1，2）x的對(duì)稱點(diǎn)為（x，y）,則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（0＋y，2)＝\f（1,2)×\f(1＋x，2)，,\f(y－0，x－1)×\f(1,2)＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝\f(3,5），，y＝\f(4，5)，））由于橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為(－1，0）,(1,0），所以2a＝eq\r(\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(3，5）－1)）2＋\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（4，5)))2）＋eq\r（\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(3，5)＋1））2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(4，5））)2)＝eq\f（6\r（5），5）,a＝eq\f(3\r（5），5），又c＝1，所以b2＝a2－c2＝eq\f（9,5）－1＝eq\f（4，5），所以橢圓C的方程為eq\f（\a\vs4\al（x2)，\f（9,5））＋eq\f（\a\vs4\al（y2),\f(4，5））＝1,即eq\f（5x2，9)＋eq\f（5y2，4)＝1。13．（2018·江西五市聯(lián)考）已知橢圓eq\f(x2，a2）＋eq\f(y2，b2)＝1(a〉b>0),A，B為橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（a，5），0)），則橢圓的離心率e的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)，5)，1）)解析設(shè)A（x1,y1)，B(x2,y2）,x1≠x2,則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x1－\f（a，5）））2＋y\o\al（2，1)＝\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x2－\f（a，5)）)2＋y\o\al（2,2)，,\f（x\o\al（2，1),a2)＋\f（y\o\al（2,1)，b2)＝1，,\f（x\o\al(2，2），a2）＋\f(y\o\al（2，2)，b2)＝1,))即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（2a，5)x1－x2＝x\o\al（2，1）－x\o\al（2,2）＋y\o\al（2,1)－y\o\al（2,2）,,y\o\al（2，1）＝b2－\f（b2，a2)x\o\al(2，1），,y\o\al(2，2）＝b2－\f(b2，a2）x\o\al（2，2)，))所以eq\f（2a,5)(x1－x2)＝eq\f（a2－b2，a2)(xeq\o\al（2,1）－xeq\o\al（2，2))，所以eq\f（2a3,5a2－b2)＝x1＋x2。又－a≤x1≤a，－a≤x2≤a，x1≠x2，所以－2a〈x1＋x2〈2a，則eq\f(2a3,5a2－b2)〈2a，即eq\f(b2,a2)<eq\f（4,5),所以e2>eq\f(1，5).又0<e<1，所以eq\f（\r(5),5)〈e<1.14．(2016·江蘇高考）如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓eq\f（x2,a2）＋eq\f(y2,b2)＝1（a〉b〉0）的右焦點(diǎn),直線y＝eq\f(b，2）與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，且∠BFC＝90°，則該橢圓的離心率是________．答案eq\f（\r(6),3)解析由已知條件易得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（\r(3)，2)a，\f（b,2)))，Ceq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（\r(3)，2)a,\f(b,2）))，F(xiàn)(c，0)，∴eq\o（BF，\s\up6(→）)＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(c＋\f（\r(3),2)a，－\f(b,2)）)，eq\o(CF,\s\up6（→)）＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(c－\f（\r(3)，2）a，－\f（b,2））），由∠BFC＝90°,可得eq\o（BF，\s\up6(→)）·eq\o（CF,\s\up6（→）)＝0，所以eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（c－\f（\r（3），2)a）)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（c＋\f（\r（3）,2)a）)＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（b,2)））2＝0，c2－eq\f(3，4)a2＋eq\f(1,4）b2＝0，即4c2－3a2＋（a2－c2）＝0，亦即3c2＝2a2,所以eq\f(c2，a2）＝eq\f(2,3），則e＝eq\f（c,a）＝eq\f(\r（6）,3）.B級(jí)三、解答題15．(2018·安徽合肥三校聯(lián)考）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為eq\f（\r(2），2）,且橢圓經(jīng)過(guò)圓C：x2＋y2－4x＋2eq\r（2）y＝0的圓心C.(1)求橢圓的方程；（2)設(shè)直線l過(guò)橢圓的焦點(diǎn)且與圓C相切，求直線l的方程．解（1)圓C方程化為（x－2)2＋（y＋eq\r（2）)2＝6，圓心C（2，－eq\r(2)），半徑r＝eq\r(6).設(shè)橢圓的方程為eq\f（x2,a2）＋eq\f（y2，b2）＝1（a>b>0）,則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(4,a2）＋\f(2，b2）＝1,,1－\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（b，a）））2＝\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(\r（2），2）)）2,）)所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a2＝8,,b2＝4。)）所以所求的橢圓方程是eq\f（x2,8)＋eq\f（y2，4)＝1.（2)由（1)得橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F1（－2,0），F(xiàn)2（2,0)，｜F2C｜＝eq\r(2－22＋0＋\r（2)2）＝eq\r（2）<r＝eq\r(6)。F2在圓C內(nèi)，故過(guò)F2沒(méi)有圓C的切線，所以直線l過(guò)焦點(diǎn)F1.設(shè)l的方程為y＝k（x＋2)，即kx－y＋2k＝0，點(diǎn)C（2，－eq\r(2））到直線l的距離為d＝eq\f(|2k＋\r（2）＋2k|,\r（1＋k2)），由d＝eq\r(6）,得eq\f(｜2k＋\r（2）＋2k｜,\r（1＋k2）)＝eq\r(6）.化簡(jiǎn)，得5k2＋4eq\r(2）k－2＝0,解得k＝eq\f(\r(2)，5)或k＝－eq\r（2）。故l的方程為eq\r(2)x－5y＋2eq\r（2)＝0或eq\r(2）x＋y＋2eq\r(2）＝0。16．(2018·陜西咸陽(yáng)模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：eq\f(x2,a2）＋eq\f（y2,b2)＝1（a〉b〉0）過(guò)點(diǎn)P(2，1），且離心率e＝eq\f（\r(3)，2）.(1）求橢圓C的方程；(2)直線l的斜率為eq\f（1,2)，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．求△PAB面積的最大值．解(1)∵e2＝eq\f（c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2）＝eq\f(3，4），∴a2＝4b2.又橢圓C:eq\f（x2，a2）＋eq\f（y2，b2)＝1(a>b〉0）過(guò)點(diǎn)P(2,1），∴eq\f(4，a2）＋eq\f(1,b2）＝1.∴a2＝8，b2＝2。故所求橢圓方程為eq\f(x2，8）＋eq\f（y2,2）＝1。(2)設(shè)l的方程為y＝