應(yīng)力狀態(tài)理論

關(guān)于應(yīng)力狀態(tài)理論第一頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一全應(yīng)力：——A上的內(nèi)力分解為兩個(gè)分量：：

正應(yīng)力——截面法向分量。：切應(yīng)力——截面切向分量。P第二頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一過(guò)一點(diǎn)可以截取無(wú)限個(gè)平面，因此，一點(diǎn)的應(yīng)力是方位的描述量。問(wèn)題：是否可以根據(jù)有限方位上的應(yīng)力，表示“一點(diǎn)的應(yīng)力”？此問(wèn)題稱為“一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)分析”。又稱“應(yīng)力張量分析”P(pán)第三頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一單元體的應(yīng)力狀態(tài)單元體：——變形固體內(nèi)按一定方位截割的邊長(zhǎng)趨于無(wú)窮小的正六面體。n第四頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：圍繞變形固體內(nèi)一點(diǎn)所取的單元體的6個(gè)面上應(yīng)力的大小，可以反映該點(diǎn)任意方向上應(yīng)力的狀態(tài)。單元體稱為應(yīng)力狀態(tài)單元體。描述一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)所需要的單元體6個(gè)面上的應(yīng)力分量是yxzx——x方向正應(yīng)力y——y方向正應(yīng)力z——z方向正應(yīng)力x'xy'y'zz'x——x反向正應(yīng)力'y——y反向正應(yīng)力'z——z反向正應(yīng)力第五頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一xyzxy—x平面指向y方向的切應(yīng)力；τ′xy—x平面指向y反向的切應(yīng)力xyyx—y平面指向x方向的切應(yīng)力；τ′yx—y平面指向x反向的切應(yīng)力yxyzzyxzzxyz—y平面指向z方向的切應(yīng)力;xz—x平面指向z方向的切應(yīng)力zy—z平面指向y方向的切應(yīng)力;zx—z平面指向x方向的切應(yīng)力第六頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一一共18個(gè)應(yīng)力分量，稱為一點(diǎn)的應(yīng)力張量應(yīng)用內(nèi)力平衡關(guān)系，可以證明材料力學(xué)中以引起的變形的方向確定應(yīng)力的符號(hào)應(yīng)力張量寫(xiě)成矩陣形式,有9個(gè)元素第七頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一另外，可以證明——切應(yīng)力互等定理xyyxyzzyxzzxxyz第八頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一獨(dú)立的應(yīng)力張量分量為6個(gè)寫(xiě)成矩陣為一點(diǎn)任意方向的應(yīng)力可以由這6個(gè)應(yīng)力分量確定。另一種敘述為：已知一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)單元體上6個(gè)應(yīng)力分量，求該點(diǎn)任意方向的應(yīng)力?！獞?yīng)力狀態(tài)分析第九頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一平面應(yīng)力狀態(tài)分析xyzxyyxx'xy'y'zz如圖，當(dāng)Z平面上切應(yīng)力為零，即xyyxyzzyxzzxxyzx'xy'y'zz單元體應(yīng)力狀態(tài)如圖第十頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一n單元體應(yīng)力狀態(tài)如圖這時(shí)，獨(dú)立的應(yīng)力分量為，，和與XY平面垂直的平面上的應(yīng)力沒(méi)有Z方向的分量，并且由x，y及xy決定?！矫鎽?yīng)力狀態(tài)已知x，y及xy，求任意斜截面n上的應(yīng)力——平面應(yīng)力狀態(tài)分析。xyzxyyxy'yzx'x第十一頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一平面應(yīng)力狀態(tài)單元體的表示：n截面上的應(yīng)力分解為xyzxyyxy'yzx'xn正應(yīng)力切應(yīng)力是截面法向與x軸的夾角，規(guī)定：逆時(shí)針為正；順時(shí)針為負(fù)。，的符號(hào)規(guī)定同前。平面應(yīng)力狀態(tài)單元體表示xxyyxyyxyxxyxn第十二頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法xxyyxyyxyxxyxn已知平面應(yīng)力狀態(tài)單元體x，y

，xy（yx=-xy）求和xyyxxynxdAdAxdAy第十三頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一應(yīng)力符號(hào)定義第十四頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一角度符號(hào)：逆時(shí)針：+

；順時(shí)針：-第十五頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一單元體內(nèi)力平衡關(guān)系第十六頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一第十七頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一第十八頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一第十九頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一主應(yīng)力，主平面——主平面第二十頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一第二十一頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一最大切應(yīng)力和最小切應(yīng)力第二十二頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一主平面與最大切應(yīng)力作用平面的關(guān)系第二十三頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法消去2得：若以為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)建立坐標(biāo)系，得原點(diǎn)半徑圓方程第二十四頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一第二十五頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一第二十六頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一第二十七頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一第二十八頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一第二十九頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一第三十頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一主平面第三十一頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一主應(yīng)力第三十二頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一最大切應(yīng)力（最小切應(yīng)力）第三十三頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一單元體應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)力圓的對(duì)應(yīng)關(guān)系第三十四頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一第三十五頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一第三十六頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一第三十七頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一已知一點(diǎn)A的應(yīng)力狀態(tài)如圖，求：A點(diǎn)的主應(yīng)力和主平面。（應(yīng)力單位為MPa）2552622A第三十八頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一2552622A解：將A點(diǎn)的兩個(gè)截面看成平面應(yīng)力狀態(tài)單元體的兩個(gè)截面則：代入2552622A22第三十九頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一兩式消去2得：解得于是該單元體應(yīng)力狀態(tài)為222222225534.634.6第四十頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一222222225534.634.6主應(yīng)力：主平面：46.346.36.76.728.3°應(yīng)力圓（單位：MPa）第四十一頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一特殊應(yīng)力狀態(tài)單元體Ax(，0)Ay(0，0)“單向拉伸”應(yīng)力狀態(tài)單元體與應(yīng)力圓第四十二頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一Ay(0,)Ax(0,-)“純剪切”應(yīng)力狀態(tài)單元體與應(yīng)力圓0第四十三頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一Ax(，-)Ay(0，)第四十四頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一“三向拉伸應(yīng)力”狀態(tài)第四十五頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一三向應(yīng)力狀態(tài)分析xyzxyyxx'xy'y'zz考慮特殊情況：z

是主應(yīng)力231主單元體，三個(gè)主應(yīng)力規(guī)定：第四十六頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一第四十七頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一第四十八頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一第四十九頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一第五十頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一第五十一頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一第五十二頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一第五十三頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一第五十四頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一第五十五頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一第五十六頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一第五十七頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一應(yīng)變狀態(tài)分析和應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系應(yīng)變——單元體變形大小的度量。應(yīng)變的形式有兩種線應(yīng)變——單元體尺寸改變的度量。用表示，定義為xyzdxdydzx方向的線應(yīng)變x單元體x

方向變形量線應(yīng)變的符號(hào)：伸長(zhǎng)為正；縮短為負(fù)線應(yīng)變的單位：表示在單位長(zhǎng)度上發(fā)生10-6的變形量。第五十八頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一同理，定義其中δv

，δw表示單元體在y，z方向的變形量。一般地，任意方向的線應(yīng)變表示為——原長(zhǎng)；l——（原長(zhǎng)的）變形量。第五十九頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一切應(yīng)變（剪應(yīng)變）——單元體形狀改變的度量。用表示，定義為xyzdxdydzxy——單元體xy平面內(nèi)直角的改變量。同樣，可以定義切應(yīng)變具有角度的單位——弧度。切應(yīng)變符號(hào):直角增加為正;直角減小為負(fù);第六十頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一切應(yīng)力與切應(yīng)變的符號(hào)關(guān)系第六十一頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一平面應(yīng)變狀態(tài)分析xxyyxyyxyxxyxn

與平面應(yīng)力狀態(tài)分析類似，應(yīng)用幾何的方法可以建立單元體正應(yīng)變x、y，切應(yīng)變xy、yx

與任意方向上正應(yīng)變

，切應(yīng)變

的變換關(guān)系。首先，可以證明第六十二頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一dxdyoabcmnoabcmn第六十三頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一主應(yīng)變，主平面主應(yīng)變：主平面：主平面上切應(yīng)變?yōu)榱?。?duì)于各向同性材料，可以證明，任意點(diǎn)的應(yīng)變主方向與應(yīng)力主方向是一致的。第六十四頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一平面應(yīng)變測(cè)量在工程中，可以應(yīng)用實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)定一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)，從而確定主平面和主應(yīng)變。方法是在測(cè)點(diǎn)選定三個(gè)方向1，2，3

測(cè)出對(duì)應(yīng)的正應(yīng)變1，2，3，于是有解出x

，y，xy代入主應(yīng)變關(guān)系式和主平面關(guān)系即可。第六十五頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一45o90o應(yīng)用0o-45o-90o“直角應(yīng)變花”測(cè)量的應(yīng)變0

，45

，90

計(jì)算測(cè)點(diǎn)的主應(yīng)變與主方向。第六十六頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一解：取0

為x方向；90為y方向，有代入45o90oxy解出有第六十七頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一于是主應(yīng)變：主方向：第六十八頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力狀態(tài)分析——利用平衡條件；應(yīng)變狀態(tài)分析——利用幾何條件。——與材料的特性無(wú)關(guān)。相同受力條件下不同材料的變形不同。材料的受力與變形之間的關(guān)系——把這種關(guān)系稱為物理關(guān)系——取決于材料自身性質(zhì)，由試驗(yàn)確定，稱為材料的力學(xué)性質(zhì)?；疚锢黻P(guān)系：材料應(yīng)力-應(yīng)變之間的關(guān)系——胡克定律。適用于線性彈性材料第六十九頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一材料單向拉伸變形，當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)一定量值時(shí)，線應(yīng)變與正應(yīng)力成正比，表示為E——材料的彈性模量材料純剪切變形，當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)一定量值時(shí)，切應(yīng)變與切應(yīng)力成正比，表示為G——材料的切變模量胡克定律第七十頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一橫向變形與泊松比試驗(yàn)證實(shí)，幾乎所有的材料在產(chǎn)生縱向線應(yīng)變時(shí)，會(huì)產(chǎn)生與垂直方向上的線應(yīng)變′，且方向與相反，大小成比例。稱為橫向變形效應(yīng)?！獰o(wú)量綱比例常數(shù)，材料性質(zhì)。稱為泊松比對(duì)任何材料泊松比值

0<<0.5對(duì)于普通碳鋼，第七十一頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系——廣義胡克定律xyyxyzzyxzzxxyzxyz一個(gè)方向（如x方向）的線應(yīng)變由三個(gè)線應(yīng)變構(gòu)成：第七十二頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一廣義胡克定律1）各向同性材料2）小變形——正應(yīng)力不引起切應(yīng)變；切應(yīng)力不引起線應(yīng)變3）對(duì)于任意方向(包括主單元體)成立此定律適用于:第七十三頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一——主應(yīng)力與主應(yīng)變平面應(yīng)力狀態(tài)第七十四頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一各向同性材料彈性模量E、泊松比、切變模量G之間的關(guān)系體積應(yīng)變平均應(yīng)力123第七十五頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一例：從鋼構(gòu)件內(nèi)某一點(diǎn)的周?chē)〕鲆粏卧w如圖所示。根據(jù)理論計(jì)算已經(jīng)求得=30MPa，=15MPa。材料E=200GPa。=0.30。試求對(duì)角線AC的長(zhǎng)度改變l。解:將單元體看成一平面應(yīng)力狀態(tài)于是：第七十六頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一由廣義胡克定律第七十七頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年，星期一45°045已知某點(diǎn)的單元體應(yīng)力狀態(tài)如圖，現(xiàn)測(cè)得該點(diǎn)x方向線應(yīng)變0=25010-6

；與x成45方向的線應(yīng)變45=14010-6

。材料彈性模量E=210GPa；泊松比=0.28。求：該點(diǎn)的主應(yīng)力大小及主方向。第七十八頁(yè)，共八十八頁(yè)，編輯于2023年