高中契林匹克物理競賽解題方法

迎戰(zhàn)高考5

高中契林匹克物理競賽解題方法

奧賽訓(xùn)練常規(guī)方法5:整體法

方法簡介

整體是以物體系統(tǒng)為研究對象，從整體或全過程去把握物理現(xiàn)象的木質(zhì)和規(guī)律，是一種

把具有相互聯(lián)系、相互依賴、相互制約、相互作用的多個物體，多個狀態(tài)，或者多個物理

變化過程組合作為一個融洽加以研究的思維形式。整體思維是一種綜合思維，也可以說是

一種綜合思維，也是多種思維的高度綜合，層次深、理論性強、運用價值高。因此在物理

研究與學(xué)習(xí)中善于運用整體研究分析、處理和解決問題，一方面表現(xiàn)為知識的綜合貫通，

另一方面表現(xiàn)為思維的有機組合。靈活運用整體思維可以產(chǎn)生不同凡響的效果，顯現(xiàn)

“變”的魅力，把物理問題變繁為簡、變難為易。

賽題精講

例1：如圖1—1所示，人和車的質(zhì)量分別為m和讓人用水平力F拉繩子，圖中兩端

繩子均處于水平方向，不計滑輪質(zhì)量及摩擦，若人和車保持相對靜止，且水平地面是光

滑的，則車的加速度為.

解析：要求車的加速度，似乎需將車隔離出來才能求解，事實上，人和車保持相對靜

止，即人和車有相同的加速度，所以可將人和車看做一個整體，

Ml

M

圖1-5

對整體用牛頓第二定律求解即可.

將人和車整體作為研究對象，整體受到重力、水平面的支持力和兩條繩的拉力.在豎直

方向重力與支持力平衡，水平方向繩的拉力為2F,所以有：

2F=(M+m)a,解得：a

2F

Mm

例2用輕質(zhì)細線把兩個質(zhì)量未知的小球懸掛起來，如圖1—2所示，今對小球a持續(xù)施

加一個向

左偏下30°的恒力，并對小球b持續(xù)施加一個向右偏上30°的同樣大小的恒力，最后

達到平衡，表示平衡狀態(tài)的圖可能是()

解析表示平衡狀態(tài)的圖是哪一個，關(guān)鍵是要求出兩條輕質(zhì)細繩對小球a和小球b的拉

力的方向，只要拉力方向求出后，。圖就確定了。

先以小球a、b及連線組成的系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)共受五個力的作用，即兩個重力

(ma+mb)g,作用在兩個小球上的恒力Fa、Fb和上端細線對系統(tǒng)的拉力T1.因為系統(tǒng)處于平

衡狀態(tài)，所受合力必為零，由于Fa、Fb大小相等，方向相反，可以抵消，而(ma+mb)g的

方向豎直向下，所以懸線對系

統(tǒng)的拉力T1的方向必然豎直向上.再以b球為研究對象，b球在重力mbg、恒力Fb和連

線拉力T2三個力的作用下處于平衡狀態(tài)，已知恒力向右偏上30°,重力豎直向下，所以

平衡時連線拉力T2的方向必與恒力Fb和重力mbg的合力方向相反，如圖所示，故應(yīng)選A.

例3有一個直角架AOB,OA水平放置，表面粗糙，0B豎直向下，表面光滑，OA上套有

小環(huán)

P,0B上套有小環(huán)Q,兩個環(huán)的質(zhì)量均為m,兩環(huán)間由一根質(zhì)量可忽略、不何伸長的細繩

相連，并在某一位置平衡，如圖1—4所示.現(xiàn)將P環(huán)向左移動一段距離，兩環(huán)再次達到平

衡，那么將移動后的平衡狀態(tài)和原來的平衡狀態(tài)相比，0A桿對P環(huán)的支持力N和細繩上的

拉力T的變化情況是A.N不變，T變大B.N不變，T變小C.N變大，T變小D.N變

大，T變大解析：先把P、Q看成一個整體，受力如圖1一4一甲所示，則繩對兩環(huán)的拉

力為內(nèi)力，不必考慮，又因0B桿光滑，則桿在豎直方向上對Q無力的作用，所以整體在

豎直方向上只受重力和0A桿對它的支持力，所以N不變，始終等于P、Q的重力之和。

再以Q為研究對象，因0B桿光滑，所以細繩拉力的豎直分量等于Q環(huán)的重力，當P環(huán)向

左移動一段距離后，發(fā)現(xiàn)細繩和豎直方向

夾角a變小，所以在細繩拉力的豎直分量不變的情況下，拉力T應(yīng)變小.由以上分析可

知應(yīng)選B.

例4如圖1-5所示，質(zhì)量為M的劈塊，其左右劈面的傾角分別為61=30°、

02=45°,質(zhì)量分別為

ml=3kg和m2=2.0kg的兩物塊，同時分別從左右劈面的頂端從靜止開始下滑，劈塊始終

與水平面保持相對靜止，各相互接觸面之間的動摩擦因數(shù)均為口=0.20,求兩物塊下滑過

程中(ml和m2均未達到底端)劈塊受到地面的摩擦力。(g=10m/s2)

解析選M、ml和m2構(gòu)成的整體為研究對象，把在相同時間內(nèi)，M

保持靜止、ml和m2分別以不同的加速度下滑三個過程視為一個整體過程來研究。根據(jù)

各種性質(zhì)的力產(chǎn)生的條件，在水平方向，整體除受到地面的靜摩擦力外，不可能再受到其

他力；如果受到靜摩擦力，那么此力便是整體在水平方向受到的合外力。

根據(jù)系統(tǒng)牛頓第二定律，取水平向左的方向為正方向，則有()F合x=Ma'+mlalx

—m2a2x

其中a'、alx和a2x分別為M、ml和m2在水平方向的加速度的大小，而a'=0,

alx=g(sin30°—ucos30°)?cos30°a2x=g(sin450—ucos45°),cos45°F合

=mlg(sin30°—ucos30°),cos30°—m2g(sin45°—ucos45°),cos45°

.,.3X10X(2-222,OX10X(22)2-2.3N

負號表示整體在水平方向受到的合外力的方向與選定的正方向相反.所以劈塊受到地面

的摩擦力的大小為2.3N

,方向水平向右

1

3

3

2

2

2

第1頁共12頁

左右

什b

圖1—2

高中奧林匹克物理競賽解題方法

例6.如圖1—7所示，質(zhì)量M=10kg的木塊ABC靜置于粗糙的水平地面上，滑動摩擦因

數(shù)N=0.02,在木塊的傾角0為30°的斜面上，有一質(zhì)量m=l.0kg的物塊靜止開始沿斜

面下滑，當滑行路程s=L4m時，其速度v=1.4m/s,在這個過程中木塊沒有動，求地面對

木塊的摩擦力的大小和方向.(重力加速度取g=10/s2)

解析物塊m由靜止開始沿木塊的斜面下滑，受重力、彈力、

摩擦力，在這三個恒力的作用下做勻加速直線運動，由運動學(xué)公式可以求出下滑的加速

度，物塊m是處于不平衡狀態(tài)，說明木塊M一定受到地面給它的摩察力，其大小、方向可

根據(jù)力的平衡條件求解。此題也可以將物塊m、木塊M視為一個整體，根據(jù)系統(tǒng)的牛頓第

二定律求解。

由運動學(xué)公式得物塊m沿斜面下滑的加速度：

2

vt2v0vt2a0.7m/s2.

2s2s

解得繩CB的能力：T

3Grlcos

(2tan)2Lsincos

例8質(zhì)量為1.Okg的小球從高20m處自由下落到軟墊上，反彈后上升的最大高度為

5.0m,小球與

軟墊接觸的時間為LOs,在接觸時間內(nèi)小球受合力的沖量大小為(空氣阻力不計，取

g=10m/s2)A.ION?sB.20N?sC.30N?sD.40N?s

解析小球從靜止釋放后，經(jīng)下落、接觸軟墊、反彈上升三個過程后到達最高點。動量

沒有變化，初、末動量均為零，如圖1一9所示。這時不要分開過程求解，而是要把小球

運動的三個過程作為一個整體來求解。

設(shè)小球與軟墊接觸時間內(nèi)小球受到合力的沖量大小為1,下落高度

為H1,下落時間為tl,接觸反彈上升的高度為112,上升的時間為t2,則以豎直向上為

正方向，根

(mg)t1Imgt20

據(jù)動量定理得：而tl

以m和M為研究對象，受力如圖1一7一甲所示。由系統(tǒng)的牛頓第二定律可解得地面對木

塊M的摩擦力為f=macos9=0.61N,方向水平向左.

例7有一輕質(zhì)木板AB長為L,A端用較鏈固定在豎直墻匕另一端用水平輕繩CB拉

住。板上

依次放著A、B、C三個圓柱體，半徑均為r,重均為G,木板與墻的夾角為。，如圖

1—8所示，不計一切摩擦，求BC繩上的張力。

解析以木板為研究對象，木板處于力矩平衡狀態(tài)，若分別以圓柱體A、B、C為研究對

象，求A、B、C對木板的壓力，非常麻煩，且容易出錯。若將A、B、C整體作為研究對

象，則會使問題簡單化。

以A、B、C整體為研究對象，整體受到重力3G、木板的支持力F和墻對整體的支持力

FN,其中重力的方向豎直向下，如圖1—8一甲所示。合重力經(jīng)過圓柱B的軸心，墻的支持

力FN垂直于墻面，并經(jīng)過圓柱C的軸心，木板給的支持力F垂直于木板。由于整體處于

平衡狀態(tài)，此三力不平行必共點，即木板給的支持力F必然過合重力墻的支持力FN的交

點.

根據(jù)共點力平衡的條件：LF=O,可得：F=3G/sin6.由幾何關(guān)系可求出F的力臂

L=2rsin2。+r/sin。+r?cot9

以木板為研究對象，受力如圖1-8-乙所示，選A點為轉(zhuǎn)軸，根據(jù)力矩平衡條件

EM=0,有：F?I=T?Leos9

2Hlg

t2

2H2g

故I(2gHl2gH230Ns

例9.總質(zhì)量為M的列車以勻速率vO在平直軌道上行駛，各車廂受的阻力都是車重的k

倍，而與車速無關(guān).某時刻列車后部質(zhì)量為m的車廂脫鉤，而機車的牽引力不變，則脫鉤

的車廂剛停下的瞬間，前面列車的速度是多少？

解析此題求脫鉤的車廂剛停下的瞬間，前面列車的速度，就機車來說，在車廂脫鉤

后，開始做勻加速直線運動，而脫鉤后的車廂做勻減速運動，由此可見，求機車的速度可

用勻變速直線運動公式和牛頓第二定律求解.

現(xiàn)在若把整個列車當作一個整體，整個列車在脫鉤前后所受合外力都為零，所以整個列

車動量守恒，因而可用動量守恒定律求解.

根據(jù)動量守恒定律，得：

MvO=(M—m)VV=MvO/(M—m)

即脫鉤的車廂剛停下的瞬間，前面列車的速度為MvO/(M—m).【說明】顯然此題用整體

法以列車整體為研究對象，應(yīng)用動量守恒定律求解比用運動學(xué)公式和牛頓第二定律求簡

單、快速.

例10總質(zhì)量為M的列車沿水平直軌道勻速前進，其末節(jié)車廂質(zhì)量為m,中途脫鉤，司

機發(fā)覺時，機車已走了距離L,于是立即關(guān)閉油門，撤去牽引力，設(shè)運動中阻力與質(zhì)量成

正比，機車的牽引力是恒定的，求，當列車兩部分都靜止時，它們的距離是多少？

解析本題若分別以機車和末節(jié)車廂為研究對象用運動學(xué)、牛頓第二定律求解，比較復(fù)

雜，若以整體為研究對象，研究整個過程，則比較簡單。

假設(shè)末節(jié)車廂剛脫鉤時.，機車就撤去牽引力，則機車與末節(jié)車廂同時減速，因為阻力與

質(zhì)量成正比，減速過程中它們的加速度相同，所以同時停止，它們之間無位移差。事實是

機車多走了距離L才關(guān)閉油門，相應(yīng)的牽引力對機車多做了FL的功，這就要求機車相對

于末節(jié)車廂多走段距離

3Gr(2sin21/sincot)

TLcos即

sin

圖1—8乙

O"o=0

HiJ=0

o^

第2頁共12頁

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例6.如圖1—7所示，質(zhì)量M=10kg的木塊ABC靜置于粗糙的水平地面上，滑動摩擦因

數(shù)u=0.02,在木塊的傾角0為30°的斜面上，有一質(zhì)量m=L0kg的物塊靜止開始沿斜

面下滑，當滑行路程s=l.4m時，其速度v=1.4m/s,在這個過程中木塊沒有動，求地面對

木塊的摩擦力的大小和方向.（重力加速度取g=10/s2）

解析物塊m由靜止開始沿木塊的斜面下滑，受重力、彈力、

摩擦力，在這三個恒力的作用下做勻加速直線運動，由運動學(xué)公式可以求出下滑的加速

度，物塊m是處于不平衡狀態(tài)，說明木塊M一定受到地面給它的摩察力，其大小、方向可

根據(jù)力的平衡條件求解。此題也可以將物塊m、木塊V視為一個整體，根據(jù)系統(tǒng)的牛頓第

二定律求解。

由運動學(xué)公式得物塊m沿斜面下滑的加速度：

2

vt2vOvt2a0.7m/s2.

2s2s

解得繩CB的能力：T

3Grlcos

(2tan)2Lsincos

例8質(zhì)量為1.Okg的小球從高20m處自由下落到軟墊上，反彈后上升的最大高度為

5.0m,小球與

軟墊接觸的時間為L0s,在接觸時間內(nèi)小球受合力的沖量大小為(空氣阻力不計，取

g=10m/s2)A.ION?sB.20N?sC.30N?sD.40N?s

解析小球從靜止釋放后，經(jīng)下落、接觸軟墊、反彈上升三個過程后到達最高點。動量

沒有變化，初、末動量均為零，如圖1—9所示。這時不要分開過程求解，而是要把小球

運動的三個過程作為一個整體來求解。

設(shè)小球與軟墊接觸時間內(nèi)小球受到合力的沖量大小為L下落高度

為H1,下落時間為tl,接觸反彈上升的高度為H2,上升的時間為t2,則以豎直向上為

正方向，根

(mg)t1Imgt20

據(jù)動量定理得：而tl

以m和M為研究對象，受力如圖1—7一甲所示。由系統(tǒng)的牛頓第二定律可解得地面對木

塊M的摩擦力為f=macos0=0.61N,方向水平向左.

例1有一輕質(zhì)木板AB長為L,A端用錢鏈固定在豎直墻上，另一端用水平輕繩CB拉

住。板上

依次放著A、B、C三個圓柱體，半徑均為r,重均為G,木板與墻的夾角為。，如圖

1—8所示，不計一切摩擦，求BC繩上的張力。

解析以木板為研究對象，木板處于力矩平衡狀態(tài)，若分別以圓柱體A、B、C為研究對

象，求A、B、C對木板的壓力，非常麻煩，且容易出錯。若將A、B、C整體作為研究對

象，則會使問題簡單化。

以A、B、C整體為研究對象，整體受到重力3G、木板的支持力F和墻對整體的支持力

FN,其中重力的方向豎直向下，如圖1—8一甲所示。合重力經(jīng)過圓柱B的軸心，墻的支持

力FN垂直于墻面，并經(jīng)過圓柱C的軸心，木板給的支持力F垂直于木板。由于整體處于

平衡狀態(tài)，此三力不平行必共點，即木板給的支持力F必然過合重力墻的支持力FN的交

點.

根據(jù)共點力平衡的條件：EF=O,可得：F=3G/sin0.由幾何關(guān)系可求出F的力臂

L=2rsin20+r/sin0+r,cot9

以木板為研究對象，受力如圖1—8—乙所示，選A點為轉(zhuǎn)軸，根據(jù)力矩平衡條件

EM=0,有：F,L=T-Leos0

2Hlg

t2

2H2g

故I(2gHl2gH230Ns

例9.總質(zhì)量為M的列車以勻速率vO在平直軌道上行駛，各車廂受的阻力都是車重的k

倍，而與車速無關(guān).某時刻列車后部質(zhì)量為m的車廂脫鉤，而機車的牽引力不變，則脫鉤

的車廂剛停下的瞬間，前面列車的速度是多少？

解析此題求脫鉤的車廂剛停下的瞬間，前面列車的速度，就機車來說，在車廂脫鉤

后，開始做勻加速直線運動，而脫鉤后的車廂做勻減速運動，由此可見，求機車的速度可

用勻變速直線運動公式和牛頓第二定律求解.

現(xiàn)在若把整個列車當作一個整體，整個列車在脫鉤前后所受合外力都為零，所以整個列

車動量守恒，因而可用動量守恒定律求解.

根據(jù)動量守恒定律，得：

MvO=(M-m)VV=MvO/(M-m)

即脫鉤的車廂剛停下的瞬間，前面列車的速度為MvO/(M—m).【說明】顯然此題用整體

法以列車整體為研究對象，應(yīng)用動量守恒定律求解比用運動學(xué)公式和牛頓第二定律求簡

單、快速.

例10總質(zhì)量為M的列車沿水平直軌道勻速前進，其末節(jié)車廂質(zhì)量為m,中途脫鉤，司

機發(fā)覺時，機車已走了距離L,于是立即關(guān)閉油門，撤去牽引力，設(shè)運動中阻力與質(zhì)量成

正比，機車的牽引力是恒定的，求，當列車兩部分都靜止時，它們的距離是多少？

解析本題若分別以機車和末節(jié)車廂為研究對象用運動學(xué)、牛頓第二定律求解，比較復(fù)

雜，若以整體為研究對象，研究整個過程，則比較簡單。

假設(shè)末節(jié)車廂剛脫鉤時，機車就撤去牽引力，則機車與末節(jié)車廂同時減速，因為阻力與

質(zhì)量成正比，減速過程中它們的加速度相同，所以同時停止，它們之間無位移差。事實是

機車多走了距離L才關(guān)閉油門，相應(yīng)的牽引力對機車多做了FL的功，這就要求機車相對

于末節(jié)車廂多走一段距離

3Gr(2sin21/sincot)

TLcos即

sin

圖1—8乙

O"o=0

HiV=Q

O^t

第2頁共12頁

高中奧林匹克物理競賽解題方法

例6.如圖1—7所示，質(zhì)量M=10kg的木塊ABC靜置于粗糙的水平地面上，滑動摩擦因

數(shù)u=0.02,在木塊的傾角9為30°的斜面上，有一質(zhì)量m=l.0kg的物塊靜止開始沿斜

面下滑，當滑行路程s=L4m時，其速度v=1.4m/s,在這個過程中木塊沒有動，求地面對

木塊的摩擦力的大小和方向.（重力加速度取g=10/s2）

解析物塊m由靜止開始沿木塊的斜面下滑，受重力、彈力、

摩擦力，在這三個恒力的作用下做勻加速直線運動，由運動學(xué)公式可以求出下滑的加速

度，物塊m是處于不平衡狀態(tài)，說明木塊M一定受到地面給它的摩察力，其大小、方向可

根據(jù)力的平衡條件求解。此題也可以將物塊m、木塊M視為一個整體，根據(jù)系統(tǒng)的牛頓第

二定律求解。

由運動學(xué)公式得物塊m沿斜面下滑的加速度：

2

vt2v0vt2a0.7m/s2.

2s2s

解得繩CB的能力：T

3Grlcos

(2tan)2Lsincos

例8質(zhì)量為1.0kg的小球從高20m處自由下落到軟墊匕反彈后上升的最大高度為

5.0m,小球與

軟墊接觸的時間為1.0s,在接觸時間內(nèi)小球受合力的沖量大小為(空氣阻力不計，取

g=10m/s2)A.ION?sB.20N?sC.30N?sD.40N?s

解析小球從靜止釋放后，經(jīng)下落、接觸軟墊、反彈上升三個過程后到達最高點。動量

沒有變化，初、末動量均為零，如圖1—9所示。這時不要分開過程求解，而是要把小球

運動的三個過程作為一個整體來求解。

設(shè)小球與軟墊接觸時間內(nèi)小球受到合力的沖量大小為1,下落高度

為H1,下落時間為tl,接觸反彈上升的高度為H2,上升的時間為t2,則以豎直向上為

正方向，根

(mg)tlImgt20

據(jù)動量定理得：而tl

以m和M為研究對象，受力如圖1—7一甲所示。由系統(tǒng)的牛頓第二定律可解得地面對木

塊M的摩擦力為f=macos0=0.61N,方向水平向左.

例7有一輕質(zhì)木板AB長為L,A端用錢鏈固定在豎直墻上，另一端用水平輕繩CB拉

住。板上

依次放著A、B、C三個圓柱體，半徑均為r,重均為G,木板與墻的夾角為。，如圖

1—8所示，不計一切摩擦，求BC繩上的張力。

解析以木板為研究對象，木板處于力矩平衡狀態(tài)，若分別以圓柱體A、B、C為研究對

象，求A、B、C對木板的壓力，非常麻煩，且容易出錯。若揩A、B、C整體作為研究對

象，則會使問題簡單化。

以A、B、C整體為研究對象，整體受到重力3G、木板的支持力F和墻對整體的支持力

FN,其中重力的方向豎直向下，如圖1—8一甲所示。合重力經(jīng)過圓柱B的軸心，墻的支持

力FN垂直于墻面，并經(jīng)過圓柱C的軸心，木板給的支持力F垂直于木板。由于整體處于

平衡狀態(tài)，此三力不平行必共點，即木板給的支持力F必然過合重力墻的支持力FN的交

點.

根據(jù)共點力平衡的條件：EF=0,可得：F=3G/sin0.由幾何關(guān)系可求出F的力臂

L=2rsin20+r/sin0+r,cot9

以木板為研究對象，受力如圖1—8—乙所示，選A點為轉(zhuǎn)軸，根據(jù)力矩平衡條件

EM=0,有：F?L=T?Leos0

2Hlg

t2

2H2g

故I(2gHl2gH230Ns

例9.總質(zhì)量為M的列車以勻速率vO在平直軌道上行駛，各車廂受的阻力都是車重的k

倍，而與車速無關(guān).某時刻列車后部質(zhì)量為m的車廂脫鉤，而機車的牽引力不變，則脫鉤

的車廂剛停下的瞬間，前面列車的速度是多少？

解析此題求脫鉤的車廂剛停下的瞬間，前面列車的速度，就機車來說，在車廂脫鉤

后，開始做勻加速直線運動，而脫鉤后的車廂做勻減速運動，由此可見，求機車的速度可

用勻變速直線運動公式和牛頓第二定律求解.

現(xiàn)在若把整個列車當作一個整體，整個列車在脫鉤前后所受合外力都為零，所以整個列

車動量守恒，因而可用動量守恒定律求解.

根據(jù)動量守恒定律，得：

MvO=(M—m)VV=MvO/(M—m)

即脫鉤的車廂剛停下的瞬間，前面列車的速度為MvO/(M-m).【說明】顯然此題用整體

法以列車整體為研究對象，應(yīng)用動量守恒定律求解比用運動學(xué)公式和牛頓第二定律求簡

單、快速.

例10總質(zhì)量為M的列車沿水平直軌道勻速前進，其末節(jié)車廂質(zhì)量為m,中途脫鉤，司

機發(fā)覺時，機車已走了距離L,于是立即關(guān)閉油門，撤去牽引力，設(shè)運動中阻力與質(zhì)量成

正比，機車的牽引力是恒定的，求，當列車兩部分都靜止時，它們的距離是多少？

解析本題若分別以機車和末節(jié)車廂為研究對象用運動學(xué)、牛頓第二定律求解，比較復(fù)

雜，若以整體為研究對象，研究整個過程，則比較簡單。

假設(shè)末節(jié)車廂剛脫鉤時，機車就撤去牽引力，則機車與末節(jié)車廂同時減速，因為阻力與

質(zhì)量成正比，減速過程中它們的加速度相同，所以同時停止，它們之間無位移差。事實是

機車多走了距離L才關(guān)閉油門，相應(yīng)的牽引力對機車多做了FL的功，這就要求機車相對

于末節(jié)車廂多走段距離

3Gr(2sin21/sincot)

TLcos即

sin

圖1—8乙

mA

O"o=0

第2頁共12頁

高中奧林匹克物理競賽解題方法

例6.如圖1—7所示，質(zhì)量M=10kg的木塊ABC靜置于粗糙的水平地面上，滑動摩擦因

數(shù)U=0.02,在木塊的傾角0為30°的斜面上，有一質(zhì)量m=l.0kg的物塊靜止開始沿斜

面下滑，當滑行路程s=l.4m時，其速度v=1.4m/s,在這個過程中木塊沒有動，求地面對

木塊的摩擦力的大小和方向.（重力加速度取g=10/s2）

解析物塊m由靜止開始沿木塊的斜面下滑，受重力、彈力、

摩擦力，在這三個恒力的作用下做勻加速直線運動，由運動學(xué)公式可以求出下滑的加速

度，物塊m是處于不平衡狀態(tài)，說明木塊M一定受到地面給它的摩察力，其大小、方向可

根據(jù)力的平衡條件求解。此題也可以將物塊m、木塊M視為一個整體，根據(jù)系統(tǒng)的牛頓第

二定律求解。

由運動學(xué)公式得物塊m沿斜面下滑的加速度：

2

vt2v0vt2a0.7m/s2.

2s2s

解得繩CB的能力：T

3Grlcos

（2tan）2Lsincos

例8質(zhì)量為1.Okg的小球從高201n處自由下落到軟墊上，反彈后上升的最大高度為

5.0m,小球與

軟墊接觸的時間為L0s,在接觸時間內(nèi)小球受合力的沖量大小為（空氣阻力不計，取

g=10m/s2）A.ION?sB.20N?sC.30N?sD.40N?s

解析小球從靜止釋放后，經(jīng)下落、接觸軟墊、反彈上升三個過程后到達最高點。動量

沒有變化，初、末動量均為零，如圖1—9所示。這時不要分開過程求解，而是要把小球

運動的三個過程作為一個整體來求解。

設(shè)小球與軟墊接觸時間內(nèi)小球受到合力的沖量大小為I,下落高度

為H1,下落時間為tl,接觸反彈上升的高度為H2,上升的時間為t2,則以豎直向上為

正方向，根

(mg)tlImgt20

據(jù)動量定理得：而tl

以m和M為研究對象，受力如圖1—7一甲所示。由系統(tǒng)的牛頓第二定律可解得地面對木

塊M的摩擦力為f=macos0=0.61N,方向水平向左.

例7有一輕質(zhì)木板AB長為L,A端用較鏈固定在豎直墻上，另一端用水平輕繩CB拉

住。板上

依次放著A、B、C三個圓柱體，半徑均為r,重均為G,木板與墻的夾角為。，如圖

1—8所示，不計一切摩擦，求BC繩上的張力。

解析以木板為研究對象，木板處于力矩平衡狀態(tài)，若分別以圓柱體A、B、C為研究對

象,求A、B、C對木板的壓力，非常麻煩，且容易出錯。若將A、B、C整體作為研究對

象，則會使問題簡單化。

以A、B、C整體為研究對象，整體受到重力3G、木板的支持力F和墻對整體的支持力

FN,其中重力的方向豎直向下，如圖1一8一甲所示。合重力經(jīng)過圓柱B的軸心，墻的支持

力FN垂直于墻面，并經(jīng)過圓柱C的軸心，木板給的支持力F垂直于木板。由于整體處于

平衡狀態(tài)，此二力不平行必共點，即木板給的支持力F必然過合重力墻的支持力FN的交

點.

根據(jù)共點力平衡的條件：ZF=O,可得：F=3G/sin6.由幾何關(guān)系可求出F的力臂

L=2rsin20+r/sin0+r?cot9

以木板為研究對象，受力如圖1—8—乙所示，選A點為轉(zhuǎn)軸，根據(jù)力矩平衡條件

ZM=0,有：F?L=T?Leos9

2Hlg

t2

2112g

故I(2gHl2gII230Ns

例9.總質(zhì)量為M的列車以勻速率vO在平直軌道上行駛，各車廂受的阻力都是車重的k

倍，而與車速無關(guān).某時刻列車后部質(zhì)量為m的車廂脫鉤，而機車的牽引力不變，則脫鉤

的車廂剛停下的瞬間，前面列車的速度是多少？

解析此題求脫鉤的車廂剛停下的瞬間，前面列車的速度，就機車來說，在車廂脫鉤

后，開始做勻加速直線運動，而脫鉤后的車廂做勻減速運動，由此可見，求機車的速度可

用勻變速直線運動公式和牛頓第二定律求解.

現(xiàn)在若把整個列車當作一個整體，整個列車在脫鉤前后所受合外力都為零，所以整個列

車動量守恒，因而可用動量守恒定律求解.

根據(jù)動量守恒定律，得：

MvO=(M-m)VV=MvO/(M-m)

即脫鉤的車廂剛停下的瞬間，前面列車的速度為MvO/(M—m).【說明】顯然此題用整體

法以列車整體為研究對象，應(yīng)用動量守恒定律求解比用運動學(xué)公式和牛頓第二定律求簡

單、快速.

例10總質(zhì)量為M的列車沿水平直軌道勻速前進，其末節(jié)車廂質(zhì)量為m,中途脫鉤，司

機發(fā)覺時，機車已走了距離L,于是立即關(guān)閉油門，撤去牽引力，設(shè)運動中阻力與質(zhì)量成

正比，機車的牽引力是恒定的，求，當列車兩部分都靜止時，它們的距離是多少？

解析本題若分別以機車和末節(jié)車廂為研究對象用運動學(xué)、牛頓第二定律求解，比較復(fù)

雜，若以整體為研究對象，研究整個過程，則比較簡單。

假設(shè)末節(jié)車廂剛脫鉤時，機車就撤去牽引力，則機車與末節(jié)車廂同時減速，因為阻力與

質(zhì)量成正比，減速過程中它們的加速度相同，所以同時停止，它們之間無位移差。事實是

機車多走了距離L才關(guān)閉油門，相應(yīng)的牽引力對機車多做了FL的功，這就要求機車相對

于末節(jié)車廂多走一段距離

3Gr(2sin21/sincot)

TLcos即

圖1一8乙

BX3M“=0.02

圖1-7

第2頁共12頁

高中奧林匹克物理競賽解題方法

例6.如圖1—7所示，質(zhì)量M=10kg的木塊ABC靜置于粗糙的水平地面上，滑動摩擦因

數(shù)u=0.02,在木塊的傾角9為30°的斜面匕有一質(zhì)量m=l.0kg的物塊靜止開始沿斜

面下滑，當滑行路程s=L4m時，其速度v=1.4m/s,在這個過程中木塊沒有動，求地面對

木塊的摩擦力的大小和方向.（重力加速度取g=10/s2）

解析物塊m由靜止開始沿木塊的斜面下滑，受重力、彈力、

摩擦力，在這三個恒力的作用下做勻加速直線運動，由運動學(xué)公式可以求出下滑的加速

度，物塊m是處于不平衡狀態(tài)，說明木塊M一定受到地面給它的摩察力，其大小、方向可

根據(jù)力的平衡條件求解。此題也可以將物塊m、木塊M視為一個整體，根據(jù)系統(tǒng)的牛頓第

二定律求解。

由運動學(xué)公式得物塊m沿斜面下滑的加速度：

2

vt2v0vt2a0.7m/s2.

2s2s

解得繩CB的能力：T

3Grlcos

(2tan)2Lsincos

例8質(zhì)量為1.Okg的小球從高20m處自由下落到軟墊上，反彈后上升的最大高度為

5.0m,小球與

軟墊接觸的時間為L0s,在接觸時間內(nèi)小球受合力的沖量大小為(空氣阻力不計，取

g=10m/s2)A.ION?sB.20N?sC.30N?sD.40N?s

解析小球從靜止釋放后，經(jīng)下落、接觸軟墊、反彈上升三個過程后到達最高點。動量

沒有變化，初、末動量均為零，如圖1—9所示。這時不要分開過程求解，而是要把小球

運動的三個過程作為一個整體來求解。

設(shè)小球與軟墊接觸時間內(nèi)小球受到合力的沖量大小為1,下落高度

為H1,下落時間為tl,接觸反彈上升的高度為H2,上升的時間為t2,則以豎直向上為

正方向，根

(mg)t1Imgt20

據(jù)動量定理得：而tl

以m和M為研究對象，受力如圖1一7一甲所示。由系統(tǒng)的牛頓第二定律可解得地面對木

塊M的摩擦力為f=macos9=0.61N,方向水平向左.

例7有一輕質(zhì)木板AB長為L,A端用錢鏈固定在豎直墻上，另一端用水平輕繩CB拉

住。板上

依次放著A、B、C三個圓柱體，半徑均為r,重均為G,木板與墻的夾角為。，如圖

1—8所示，不計一切摩擦，求BC繩上的張力。

解析以木板為研究對象，木板處于力矩平衡狀態(tài)，若分別以圓柱體A、B、C為研究對

象，求A、B、C對木板的壓力，非常麻煩，且容易出錯。若將A、B、C整體作為研究對

象，則會使問題簡單化。

以A、B、C整體為研究對象，整體受到重力3G、木板的支持力F和墻對整體的支持力

FN,其中重力的方向豎直向下，如圖1一8一甲所示。合重力經(jīng)過圓柱B的軸心，墻的支持

力FN垂直于墻面，并經(jīng)過圓柱C的軸心，木板給的支持力F垂直于木板。由于整體處于

平衡狀態(tài)，此三力不平行必共點，即木板給的支持力F必然過合重力墻的支持力FN的交

點.

根據(jù)共點力平衡的條件：EF=O,可得：F=3G/sin0.由幾何關(guān)系可求出F的力臂

L=2rsin29+r/sin0+r,cot0

以木板為研究對象，受力如圖1一8一乙所示，選A點為轉(zhuǎn)軸，根據(jù)力矩平衡條件

EM=0,有：F?L=T?Leos0

2Hlg

t2

2H2g

故I(2gHl2gH230Ns

例9.總質(zhì)量為M的列車以勻速率vO在平直軌道上行駛，各車廂受的阻力都是車重的k

倍，而與車速無關(guān).某時刻列車后部質(zhì)量為m的車廂脫鉤，而機車的牽引力不變，則脫鉤

的車廂剛停下的瞬間，前面列車的速度是多少？

解析此題求脫鉤的車廂剛停下的瞬間，前面列車的速度，就機車來說，在車廂脫鉤

后，開始做勻加速直線運動，而脫鉤后的車廂做勻減速運動，由此可見，求機車的速度可

用勻變速直線運動公式和牛頓第二定律求解.

現(xiàn)在若把整個列車當作一個整體，整個列車在脫鉤前后所受合外力都為零，所以整個列

車動量守恒，因而可用動量守恒定律求解.

根據(jù)動量守恒定律，得：

MvO=(M—m)VV=MvO/(M—m)

即脫鉤的車廂剛停下的瞬間，前面列車的速度為MvO/(M—m).【說明】顯然此題用整體

法以列車整體為研究對象，應(yīng)用動量守恒定律求解比用運動學(xué)公式和牛頓第二定律求簡

單、快速.

例10總質(zhì)量為M的列車沿水平直軌道勻速前進，其末節(jié)車廂質(zhì)量為m,中途脫鉤，司

機發(fā)覺時，機車已走了距離L,于是立即關(guān)閉油門，撤去牽引力，設(shè)運動中阻力與質(zhì)量成

正比，機車的牽引力是恒定的，求，當列乍兩部分都靜止時，它們的距離是多少？

解析本題若分別以機車和末節(jié)車廂為研究對象用運動學(xué)、牛頓第二定律求解，比較復(fù)

雜，若以整體為研究對象，研究整個過程，則比較簡單。

假設(shè)末節(jié)車廂剛脫鉤時;機車就撤去牽引力，則機車與末節(jié)車廂同時減速，因為阻力與

質(zhì)量成正比，減速過程中它們的加速度相同，所以同時停止，它們之間無位移差。事實是

機車多走了距離L才關(guān)閉油門，相應(yīng)的牽引力對機車多做了FL的功，這就要求機車相對

于末節(jié)車廂多走一段距離

3Gr(2sin21/sincot)

TLcos即

sin

圖1—8乙

O"o=0

HiJ=0

o^

第2頁共12頁

高中奧林匹克物理競賽解題方法

例6.如圖1—7所示，質(zhì)量M=10kg的木塊ABC靜置于粗糙的水平地面上，滑動摩擦因

數(shù)u=0.02,在木塊的傾角0為30°的斜面上，有一質(zhì)量m=L0kg的物塊靜止開始沿斜

面下滑，當滑行路程s=l.4m時，其速度v=1.4m/s,在這個過程中木塊沒有動，求地面對

木塊的摩擦力的大小和方向.（重力加速度取g=10/s2）

解析物塊m由靜止開始沿木塊的斜面下滑，受重力、彈力、

摩擦力，在這三個恒力的作用下做勻加速直線運動，由運動學(xué)公式可以求出下滑的加速

度，物塊m是處于不平衡狀態(tài)，說明木塊M一定受到地面給它的摩察力，其大小、方向可

根據(jù)力的平衡條件求解。此題也可以將物塊m、木塊V視為一個整體，根據(jù)系統(tǒng)的牛頓第

二定律求解。

由運動學(xué)公式得物塊m沿斜面下滑的加速度：

2

vt2vOvt2a0.7m/s2.

2s2s

解得繩CB的能力：T

3Grlcos

(2tan)2Lsincos

例8質(zhì)量為1.Okg的小球從高20m處自由下落到軟墊上，反彈后上升的最大高度為

5.0m,小球與

軟墊接觸的時間為L0s,在接觸時間內(nèi)小球受合力的沖量大小為(空氣阻力不計，取

g=10m/s2)A.ION?sB.20N?sC.30N?sD.40N?s

解析小球從靜止釋放后，經(jīng)下落、接觸軟墊、反彈上升三個過程后到達最高點。動量

沒有變化，初、末動量均為零，如圖1—9所示。這時不要分開過程求解，而是要把小球

運動的三個過程作為一個整體來求解。

設(shè)小球與軟墊接觸時間內(nèi)小球受到合力的沖量大小為L下落高度

為H1,下落時間為tl,接觸反彈上升的高度為H2,上升的時間為t2,則以豎直向上為

正方向，根

(mg)t1Imgt20

據(jù)動量定理得：而tl

以m和M為研究對象，受力如圖1—7一甲所示。由系統(tǒng)的牛頓第二定律可解得地面對木

塊M的摩擦力為f=macos0=0.61N,方向水平向左.

例1有一輕質(zhì)木板AB長為L,A端用錢鏈固定在豎直墻上，另一端用水平輕繩CB拉

住。板上

依次放著A、B、C三個圓柱體，半徑均為r,重均為G,木板與墻的夾角為。，如圖

1—8所示，不計一切摩擦，求BC繩上的張力。

解析以木板為研究對象，木板處于力矩平衡狀態(tài)，若分別以圓柱體A、B、C為研究對

象，求A、B、C對木板的壓力，非常麻煩，且容易出錯。若將A、B、C整體作為研究對

象，則會使問題簡單化。

以A、B、C整體為研究對象，整體受到重力3G、木板的支持力F和墻對整體的支持力

FN,其中重力的方向豎直向下，如圖1—8一甲所示。合重力經(jīng)過圓柱B的軸心，墻的支持

力FN垂直于墻面，并經(jīng)過圓柱C的軸心，木板給的支持力F垂直于木板。由于整體處于

平衡狀態(tài)，此三力不平行必共點，即木板給的支持力F必然過合重力墻的支持力FN的交

點.

根據(jù)共點力平衡的條件：EF=O,可得：F=3G/sin0.由幾何關(guān)系可求出F的力臂

L=2rsin20+r/sin0+r,cot9

以木板為研究對象，受力如圖1—8—乙所示，選A點為轉(zhuǎn)軸，根據(jù)力矩平衡條件

EM=0,有：F,L=T-Leos0

2Hlg

t2

2H2g

故I(2gHl2gH230Ns

例9.總質(zhì)量為M的列車以勻速率vO在平直軌道上行駛，各車廂受的阻力都是車重的k

倍，而與車速無關(guān).某時刻列車后部質(zhì)量為m的車廂脫鉤，而機車的牽引力不變，則脫鉤

的車廂剛停下的瞬間，前面列車的速度是多少？

解析此題求脫鉤的車廂剛停下的瞬間，前面列車的速度，就機車來說，在車廂脫鉤

后，開始做勻加速直線運動，而脫鉤后的車廂做勻減速運動，由此可見，求機車的速度可

用勻變速直線運動公式和牛頓第二定律求解.

現(xiàn)在若把整個列車當作一個整體，整個列車在脫鉤前后所受合外力都為零，所以整個列

車動量守恒，因而可用動量守恒定律求解.

根據(jù)動量守恒定律，得：

MvO=(M-m)VV=MvO/(M-m)

即脫鉤的車廂剛停下的瞬間，前面列車的速度為MvO/(M—m).【說明】顯然此題用整體

法以列車整體為研究對象，應(yīng)用動量守恒定律求解比用運動學(xué)公式和牛頓第二定律求簡

單、快速.

例10總質(zhì)量為M的列車沿水平直軌道勻速前進，其末節(jié)車廂質(zhì)量為m,中途脫鉤，司

機發(fā)覺時，機車已走了距離L,于是立即關(guān)閉油門，撤去牽引力，設(shè)運動中阻力與質(zhì)量成

正比，機車的牽引力是恒定的，求，當列車兩部分都靜止時，它們的距離是多少？

解析本題若分別以機車和末節(jié)車廂為研究對象用運動學(xué)、牛頓第二定律求解，比較復(fù)

雜，若以整體為研究對象，研究整個過程，則比較簡單。

假設(shè)末節(jié)車廂剛脫鉤時，機車就撤去牽引力，則機車與末節(jié)車廂同時減速，因為阻力與

質(zhì)量成正比，減速過程中它們的加速度相同，所以同時停止，它們之間無位移差。事實是

機車多走了距離L才關(guān)閉油門，相應(yīng)的牽引力對機車多做了FL的功，這就要求機車相對

于末節(jié)車廂多走一段距離

3Gr(2sin21/sincot)

TLcos即

sin

圖1—8乙

O"o=0

HiV=Q

O^t

第2頁共12頁

高中奧林匹克物理競賽解題方法

例6.如圖1—7所示，質(zhì)量M=10kg的木塊ABC靜置于粗糙的水平地面上，滑動摩擦因

數(shù)u=0.02,在木塊的傾角9為30°的斜面上，有一質(zhì)量m=l.0kg的物塊靜止開始沿斜

面下滑，當滑行路程s=L4m時，其速度v=1.4m/s,在這個過程中木塊沒有動，求地面對

木塊的摩擦力的大小和方向.（重力加速度取g=10/s2）

解析物塊m由靜止開始沿木塊的斜面下滑，受重力、彈力、

摩擦力，在這三個恒力的作用下做勻加速直線運動，由運動學(xué)公式可以求出下滑的加速

度，物塊m是處于不平衡狀態(tài)，說明木塊M一定受到地面給它的摩察力，其大小、方向可

根據(jù)力的平衡條件求解。此題也可以將物塊m、木塊M視為一個整體，根據(jù)系統(tǒng)的牛頓第

二定律求解。

由運動學(xué)公式得物塊m沿斜面下滑的加速度：

2

vt2v0vt2a0.7m/s2.

2s2s

解得繩CB的能力：T

3Grlcos

(2tan)2Lsincos

例8質(zhì)量為1.0kg的小球從高20m處自由下落到軟墊匕反彈后上升的最大高度為

5.0m,小球與

軟墊接觸的時間為1.0s,在接觸時間內(nèi)小球受合力的沖量大小為(空氣阻力不計，取

g=10m/s2)A.ION?sB.20N?sC.30N?sD.40N?s

解析小球從靜止釋放后，經(jīng)下落、接觸軟墊、反彈上升三個過程后到達最高點。動量

沒有變化，初、末動量均為零，如圖1—9所示。這時不要分開過程求解，而是要把小球

運動的三個過程作為一個整體來求解。

設(shè)小球與軟墊接觸時間內(nèi)小球受到合力的沖量大小為1,下落高度

為H1,下落時間為tl,接觸反彈上升的高度為H2,上升的時間為t2,則以豎直向上為

正方向，根

(mg)tlImgt20

據(jù)動量定理得：而tl

以m和M為研究對象，受力如圖1—7一甲所示。由系統(tǒng)的牛頓第二定律可解得地面對木

塊M的摩擦力為f=macos0=0.61N,方向水平向左.

例7有一輕質(zhì)木板AB長為L,A端用錢鏈固定在豎直墻上，另一端用水平輕繩CB拉

住。板上

依次放著A、B、C三個圓柱體，半徑均為r,重均為G,木板與墻的夾角為。，如圖

1—8所示，不計一切摩擦，求BC繩上的張力。

解析以木板為研究對象，木板處于力矩平衡狀態(tài)，若分別以圓柱體A、B、C為研究對

象，求A、B、C對木板的壓力，非常麻煩，且容易出錯。若揩A、B、C整體作為研究對

象，則會使問題簡單化。

以A、B、C整體為研究對象，整體受到重力3G、木板的支持力F和墻對整體的支持力

FN,其中重力的方向豎直向下，如圖1—8一甲所示。合重力經(jīng)過圓柱B的軸心，墻的支持

力FN垂直于墻面，并經(jīng)過圓柱C的軸心，木板給的支持力F垂直于木板。由于整體處于

平衡狀態(tài)，此三力不平行必共點，即木板給的支持力F必然過合重力墻的支持力FN的交

點.

根據(jù)共點力平衡的條件：EF=0,可得：F=3G/sin0.由幾何關(guān)系可求出F的力臂

L=2rsin20+r/sin0+r,cot9

以木板為研究對象，受力如圖1—8—乙所示，選A點為轉(zhuǎn)軸，根據(jù)力矩平衡條件

EM=0,有：F?L=T?Leos0

2Hlg

t2

2H2g

故I(2gHl2gH230Ns

例9.總質(zhì)量為M的列車以勻速率vO在平直軌道上行駛，各車廂受的阻力都是車重的k

倍，而與車速無關(guān).某時刻列車后部質(zhì)量為m的車廂脫鉤，而機車的牽引力不變，則脫鉤

的車廂剛停下的瞬間，前面列車的速度是多少？

解析此題求脫鉤的車廂剛停下的瞬間，前面列車的速度，就機車來說，在車廂脫鉤

后，開始做勻加速直線運動，而脫鉤后的車廂做勻減速運動，由此可見，求機車的速度可

用勻變速直線運動公式和牛頓第二定律求解.

現(xiàn)在若把整個列車當作一個整體，整個列車在脫鉤前后所受合外力都為零，所以整個列

車動量守恒，因而可用動量守恒定律求解.

根據(jù)動量守恒定律，得：

MvO=(M—m)VV=MvO/(M—m)

即脫鉤的車廂剛停下的瞬間，前面列車的速度為MvO/(M-m).【說明】顯然此題用整體

法以列車整體為研究對象，應(yīng)用動量守恒定律求解比用運動學(xué)公式和牛頓第二定律求簡

單、快速.

例10總質(zhì)量為M的列車沿水平直軌道勻速前進，其末節(jié)車廂質(zhì)量為m,中途脫鉤，司

機發(fā)覺時，機車已走了距離L,于是立即關(guān)閉油門，撤去牽引力，設(shè)運動中阻力與質(zhì)量成

正比，機車的牽引力是恒定的，求，當列車兩部分都靜止時，它們的距離是多少？

解析本題若分別以機車和末節(jié)車廂為研究對象用運動學(xué)、牛頓第二定律求解，比較復(fù)

雜，若以整體為研究對象，研究整個過程，則比較簡單。

假設(shè)末節(jié)車廂剛脫鉤時，機車就撤去牽引力，則機車與末節(jié)車廂同時減速，因為阻力與

質(zhì)量成正比，減速過程中它們的加速度相同，所以同時停止，它們之間無位移差。事實是

機車多走了距離L才關(guān)閉油門，相應(yīng)的牽引力對機車多做了FL的功，這就要求機車相對

于末節(jié)車廂多走段距離

3Gr(2sin21/sincot)

TLcos即

sin

圖1—8乙

mA

O"o=0

第2頁共12頁

高中奧林匹克物理競賽解題方法

tanQ=

Fsin

②

Feosmg

假設(shè)水銀柱不移動，則兩部氣體的體積都不變，根據(jù)查理定律，有：pppT=,化

簡為：Ap=pTTTT

①、②聯(lián)立，消去F得：

1

tanB=tana③

4

因為四個球的球心構(gòu)成一個邊長為2r正四面體，如圖10—7所示，根據(jù)幾何關(guān)系，可

以知道：

有：ApA二

TT

pA,ApB=pBTT

tana二

B0A022rl2

由于pAVpB,所以：ApA<ApB,水銀柱向下移動。答案：C

例10：如圖10—10所示，將一定量的水銀灌入豎直放置的U形管中，管的內(nèi)徑均勻，

內(nèi)直徑d二

1.2cmo水銀灌完后，兩管聽水銀在平衡位置附近做簡諧振動，振動周期T=3.43s。

已知水銀的密度P=L36Xl(Mkg/m3。試求水銀的質(zhì)量m。

解析：題中水銀做簡諧振動，已知振動周期要求水銀的質(zhì)量mO根據(jù)簡諧振動的周期公

式T二，T已知，關(guān)鍵是求出ko簡諧振動的物體受的回復(fù)力F=—kx,代入③式得：

B0+r=B0sin

于是碗面的半徑