2018屆四川省綿陽(yáng)市高三第三次診斷性考試數(shù)學(xué)理試題（解析版）

2018屆四川省綿陽(yáng)市高三第三次診斷性考試數(shù)學(xué)理試題（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則=（）A.1B.-1C.D.【答案】A、詳解：由題設(shè)有，選A.點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)的加、減、乘、除等四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.已知集合，，集合，則集合的子集個(gè)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】分析：為一元二次不等式的解集，可先計(jì)算出，求得為單元素集合，其子集的個(gè)數(shù)為2.詳解：由題設(shè)有，故，所以的子集的個(gè)數(shù)為，選B.點(diǎn)睛：本題為集合與集合的交集運(yùn)算，它們往往和一元二次不等式結(jié)合在一起考查，注意如果一個(gè)有限集中元素的個(gè)數(shù)為，那么其子集的個(gè)數(shù)為.3.下表是某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)某產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到關(guān)于的線性回歸方程，則（）A.0.25B.0.35C.0.45D.0.55【答案】B【解析】分析：題設(shè)中給出了關(guān)于的線性回歸方程中的一個(gè)參數(shù)，可利用計(jì)算.詳解：由題設(shè)有，故，解得，選B.點(diǎn)睛：本題考查線性回歸方程中系數(shù)的計(jì)算，注意線性回歸方程表示的直線必過(guò)點(diǎn).4.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（）A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】分析：題設(shè)中給出的是二元一次不等式組，要求的是線性目標(biāo)函數(shù)的最小值，可以先畫出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域，再把目標(biāo)函數(shù)看成一條動(dòng)直線即可判斷出目標(biāo)函數(shù)的最小值.詳解：不等式組對(duì)應(yīng)的可行域如圖所示：由當(dāng)動(dòng)直線過(guò)時(shí)，取最小值為6，選C.點(diǎn)睛：當(dāng)題設(shè)條件給出的是關(guān)于的二元一次不等式組時(shí)，我們可考慮利用線性規(guī)劃來(lái)求目標(biāo)函數(shù)的最值.5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：題設(shè)中的算法是結(jié)合的范圍計(jì)算分段函數(shù)的函數(shù)值.詳解：由題設(shè)有，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，從而當(dāng)時(shí)，，選C.點(diǎn)睛：本題考察算法中的選擇結(jié)構(gòu)，屬于基本題.解題時(shí)注意判斷的條件及其每個(gè)分支對(duì)應(yīng)的函數(shù)形式.6.甲、乙、丙三人各買了一輛不同品牌的新汽車，汽車的品牌為奇瑞、傳祺、吉利.甲、乙、丙讓丁猜他們?nèi)烁髻I的什么品牌的車，丁說(shuō)：“甲買的是奇瑞，乙買的不是奇瑞，丙買的不是吉利.”若丁的猜測(cè)只對(duì)了一個(gè)，則甲、乙所買汽車的品牌分別是（）A.吉利，奇瑞B(yǎng).吉利，傳祺C.奇瑞，吉利D.奇瑞，傳祺【答案】A【解析】分析：因?yàn)槎〉牟聹y(cè)只對(duì)了一個(gè)，所以我們從“甲買的是奇瑞，乙買的不是奇瑞”這兩個(gè)判斷著手就可以方便地解決問(wèn)題.詳解：因?yàn)槎〉牟聹y(cè)只對(duì)了一個(gè)，所以“甲買的是奇瑞，乙買的不是奇瑞”這兩個(gè)都是錯(cuò)誤的.否則“甲買的不是奇瑞，乙買的不是奇瑞”或“甲買的是奇瑞，乙買的是奇瑞”是正確的，這與三人各買了一輛不同的品牌矛盾，“丙買的不是吉利”是正確的，所以乙買的是奇瑞，甲買的是吉利，選A.點(diǎn)睛：本題為邏輯問(wèn)題，此類問(wèn)題在解決時(shí)注意結(jié)合題設(shè)條件尋找關(guān)鍵判斷.7.如圖1，四棱錐中，底面，底面是直角梯形，是側(cè)棱上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，.該四棱錐的俯視圖如圖2所示，則的大小是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：根據(jù)俯視圖，計(jì)算的長(zhǎng)度，然后在直角三角形中，計(jì)算的大小即可.詳解：在俯視圖中，因?yàn)?，所以，而四邊形為直角梯形，故為直角三角形斜邊上的高且大小為，又，所以在直角三角形中，，從而，，選C.點(diǎn)睛：本題中所要求解的角是直角三角形內(nèi)角的補(bǔ)角，該直角三角形的一個(gè)直角邊已知，所以只要求出的長(zhǎng)度即可，但該長(zhǎng)度隱含在俯視圖中，利用勾股定理和等積法可以求出其大小.8.在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)，則事件“”發(fā)生的概率是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：根據(jù)給出的三角不等式求出所在的區(qū)間，計(jì)算出該區(qū)間的長(zhǎng)度再利用幾何概率的計(jì)算方法計(jì)算概率.詳解：，從而.而，所以，也就是，故所求概率為，選B.點(diǎn)睛：幾何概型的概率計(jì)算關(guān)鍵是基本事件的測(cè)度的選取，通常是線段的長(zhǎng)度、平面區(qū)域的面積或幾何體的體積等.9.雙曲線的離心率是，過(guò)右焦點(diǎn)作漸近線的垂線，垂足為，若的面積是1，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是（）A.B.C.1D.2【答案】D【解析】分析：利用點(diǎn)到直線的距離計(jì)算出，從而得到，再根據(jù)面積為1得到，最后結(jié)合離心率求得.詳解：因?yàn)椋?，所以，故即，由，所以即，故，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為.點(diǎn)睛：在雙曲線中有一個(gè)基本事實(shí)：“焦點(diǎn)到漸近線的距離為虛半軸長(zhǎng)”，利用這個(gè)結(jié)論可以解決焦點(diǎn)到漸進(jìn)線的距離問(wèn)題.10.已知圓，圓交于不同的，兩點(diǎn)，給出下列結(jié)論：①；②；③，.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】分析：根據(jù)兩個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到公共弦的方程為，兩點(diǎn)均在該直線上，故其坐標(biāo)滿足①②.而的中點(diǎn)為直線與直線的交點(diǎn)，利用直線方程構(gòu)成的方程組可以得到交點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到③也是正確的.詳解：公共弦的方程為，所以有，②正確；又，所以，①正確；的中點(diǎn)為直線與直線的交點(diǎn)，又，.由得，故有，③正確，綜上，選D.點(diǎn)睛：當(dāng)兩圓相交時(shí)，公共弦的方程可由兩個(gè)圓的方程相減得到，而且在解決圓的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，注意合理利用圓的幾何性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算.11.中，，，，點(diǎn)是內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：根據(jù)點(diǎn)在三角形內(nèi)部（含邊界）可以得到，再通過(guò)的解析式來(lái)求的最大值.詳解：因?yàn)闉槿切蝺?nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，所以，從而.又，因?yàn)?，所以的最大值為，故，選B.點(diǎn)睛：本題中向量的模長(zhǎng)、數(shù)量積都是已知的，故以其為基底計(jì)算，其中的取值范圍可以由的位置來(lái)確定.12.對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，總存在三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：題設(shè)中給出的二元方程可以化簡(jiǎn)為，因?yàn)閷?duì)每一個(gè)，總有三個(gè)不同的使得等式成立，因此我們需要研究的值域和的圖像，兩者均需以導(dǎo)數(shù)為工具來(lái)研究它們的單調(diào)性.詳解：由題設(shè)有.令，.，當(dāng)時(shí)，，在為單調(diào)增函數(shù)，所以的值域?yàn)?，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，所以的圖像如圖所示.因?yàn)殛P(guān)于的方程，對(duì)任意的總有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以，也就是，選A.點(diǎn)睛：較為復(fù)雜函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，均需以導(dǎo)數(shù)為工具研究函數(shù)的極值，從而刻畫出函數(shù)的圖像，最后數(shù)形結(jié)合考慮參數(shù)的取值范圍.第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.的展開(kāi)式中，的系數(shù)是__________．【答案】16【解析】分析：展開(kāi)式中的系數(shù)取決于展開(kāi)式中的和的系數(shù)，后者可以利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)求得.詳解：的展開(kāi)式中，，故的系數(shù)分別為，從而的展開(kāi)式中的系數(shù)為.點(diǎn)睛：本題考慮二項(xiàng)展開(kāi)式中特定項(xiàng)的系數(shù)的計(jì)算，這類問(wèn)題可利用多項(xiàng)式的乘法和二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)來(lái)處理.14.奇函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，則__________．【答案】2【解析】分析：因?yàn)楹瘮?shù)的圖像具有兩個(gè)對(duì)稱中心，可通過(guò)解析式滿足的條件推出函數(shù)為周期函數(shù)且周期為2，從而求出.詳解：由題設(shè)有，從而有，為周期函數(shù)且周期為，所以.點(diǎn)睛：一般地，定義在上的函數(shù)如果滿足，（），那么的一個(gè)周期為.15.已知圓錐的高為3，側(cè)面積為，若此圓錐內(nèi)有一個(gè)體積為的球，則的最大值為_(kāi)_________．【答案】詳解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)，底面的半徑為，則即，又，解得.當(dāng)球的體積最大時(shí)，該球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則，故，所以.點(diǎn)睛：對(duì)于圓錐中的基本量的計(jì)算，可以利用軸截面來(lái)考慮，因?yàn)樗辛藞A錐的高、底面的半徑和圓錐的母線長(zhǎng).16.如圖，在中，，，的垂直平分線與分別交于兩點(diǎn)，且，則__________．【答案】【解析】分析：連接，因?yàn)槭侵写咕€，所以.在中，由正弦定理得到與角的關(guān)系.在直角三角形中，，兩者結(jié)合可得的大小，從而在中利用正弦定理求得，最后在中利用余弦定理求得..詳解：由題設(shè)，有，所以，故.又，所以，而，故，因此為等腰直角三角形，所以.在中，，所以，故，在中，.點(diǎn)睛：解三角形時(shí)，如果題設(shè)給出的幾何量分散在不同的三角形中，我們就需要找出溝通這些不同三角形的幾何量，如本題中的和，通過(guò)它們得到分散的幾何量之間的關(guān)系.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，試問(wèn)當(dāng)為何值時(shí)，最??？并求出最小值.【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）-10.【解析】分析：（Ⅰ）題設(shè)給出了與的關(guān)系，從該關(guān)系可以得到或以及，故可得的兩種不同的通項(xiàng)；（Ⅱ）數(shù)列為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和的最值與項(xiàng)的正負(fù)相關(guān)，故考慮項(xiàng)何時(shí)變號(hào)即可.詳解：（Ⅰ）由已知，可得當(dāng)時(shí)，，可解得，或，當(dāng)時(shí)，由已知可得，兩式相減得.若，則，此時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式為.若，則，化簡(jiǎn)得，即此時(shí)數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故.∴綜上所述，數(shù)列的通項(xiàng)公式為或.（Ⅱ）因?yàn)?，?設(shè)，則，顯然是等差數(shù)列，由解得，∴當(dāng)或，最小，最小值為.點(diǎn)睛：（1）一般地，如果知道，那么我們可以利用將前者轉(zhuǎn)化為關(guān)于或的遞推關(guān)系；（2）數(shù)列前項(xiàng)和的最值往往和項(xiàng)的正負(fù)有關(guān)，解題時(shí)注意合理使用.18.十九大提出，加快水污染防治，建設(shè)美麗中國(guó).根據(jù)環(huán)保部門對(duì)某河流的每年污水排放量（單位：噸）的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，得到如下頻率分布表：將污水排放量落入各組的頻率作為概率，并假設(shè)每年該河流的污水排放量相互獨(dú)立.（Ⅰ）求在未來(lái)3年里，至多1年污水排放量的概率；（Ⅱ）該河流的污水排放對(duì)沿河的經(jīng)濟(jì)影響如下：當(dāng)時(shí)，沒(méi)有影響；當(dāng)時(shí)，經(jīng)濟(jì)損失為10萬(wàn)元；當(dāng)時(shí)，經(jīng)濟(jì)損失為60萬(wàn)元.為減少損失，現(xiàn)有三種應(yīng)對(duì)方案：方案一：防治350噸的污水排放，每年需要防治費(fèi)3.8萬(wàn)元；方案二：防治310噸的污水排放，每年需要防治費(fèi)2萬(wàn)元；方案三：不采取措施.試比較上述三種文案，哪種方案好，并請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）方案二.【解析】分析：（Ⅰ）根據(jù)給出的頻率分布表可以得到每年排放量在噸到噸的概率為，而三年中之多有一年排放量滿足題設(shè)要求的概率可由二項(xiàng)分布來(lái)計(jì)算.（Ⅱ）考慮不同方案導(dǎo)致的經(jīng)濟(jì)損失.方案一的經(jīng)濟(jì)損失為萬(wàn)元；方案，排列量在噸到噸的概率為，相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)損失為萬(wàn)，排放量不在此范圍內(nèi)的概率為，相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)損失為防治費(fèi)萬(wàn)，故經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望為，同理可以計(jì)算出方案三的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望為萬(wàn)，故方案二較好.詳解：（Ⅰ）由題得，設(shè)在未來(lái)3年里，河流的污水排放量的年數(shù)為，則.設(shè)事件“在未來(lái)3年里，至多有一年污水排放量”為事件，則.∴在未來(lái)3年里，至多1年污水排放量的概率為.（Ⅱ）方案二好，理由如下：由題得，.用分別表示方案一、方案二、方案三的經(jīng)濟(jì)損失.則萬(wàn)元.的分布列為：.的分布列為：.∴三種方案中方案二的平均損失最小，所以采取方案二最好.點(diǎn)睛：本題為統(tǒng)計(jì)與離散型隨機(jī)變量的綜合題，往往需要從頻率分布表中得到隨機(jī)事件發(fā)生的概率，注意常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的概率分布（如二項(xiàng)分布、超幾何分布等）.另外，這類問(wèn)題還涉及到不同方案的選擇，我們往往通過(guò)數(shù)學(xué)期望或方差來(lái)決定方案的優(yōu)劣.19.如圖，在五面體中，棱底面，.底面是菱形，.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）要證明，可證明，它可由證得.（Ⅱ）取的中點(diǎn)為，可證，，從而建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，計(jì)算兩個(gè)法向量夾角的余弦值則可得二面角的相應(yīng)的余弦值.詳解：（Ⅰ）在菱形中，，∵，，∴.又，面，∴.（Ⅱ）作的中點(diǎn)，則由題意知，∵，∴.如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，∴，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由，，得，令，則，，即，同理，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，，得，令，則，，即，∴，即二面角的余弦值為.點(diǎn)睛：立體幾何中二面角的余弦值的計(jì)算可以用空間向量來(lái)計(jì)算，注意對(duì)建立空間直角坐標(biāo)系的合理性的證明（即要有兩兩垂直且交于一點(diǎn)的三條直線）.20.如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，軸，直線交軸于點(diǎn)，，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，的面積的最大值為1.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作兩條直線與橢圓分別交于，且使軸，如圖，問(wèn)四邊形的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）意味著通徑的一半，最大面積為，所以，故橢圓的方程為.(Ⅱ)根據(jù)對(duì)稱性，猜測(cè)定點(diǎn)必定在軸上，故可設(shè)，，則，，再設(shè)，根據(jù)三點(diǎn)共線可以得到，聯(lián)立直線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后消去，利用韋達(dá)定理可以得到，從而過(guò)定點(diǎn)，同理直線也過(guò)即兩條直線交于定點(diǎn).詳解：（Ⅰ）設(shè)，由題意可得，即.∵是的中位線，且，∴，即，整理得.①又由題知，當(dāng)在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，的面積最大，∴，整理得，即，②聯(lián)立①②可得，變形得，解得，進(jìn)而.∴橢圓的方程式為.(Ⅱ)設(shè)，，則由對(duì)稱性可知，.設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，直線的方程為，聯(lián)立，消去，得，∴，，由三點(diǎn)共線，即，將，代入整理得，即，從而，化簡(jiǎn)得，解得，于是直線的方程為，故直線過(guò)定點(diǎn).同理可得過(guò)定點(diǎn)，∴直線與的交點(diǎn)是定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.點(diǎn)睛：（1）若橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則通徑長(zhǎng)為；（2）圓錐曲線中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，往往需要設(shè)出動(dòng)直線方程，再把定點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)為動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)應(yīng)該滿足的關(guān)系，然后聯(lián)立方程用韋達(dá)定理把前述關(guān)系化簡(jiǎn)即可得到某些參數(shù)的關(guān)系或確定的值，也就是動(dòng)直線過(guò)某定點(diǎn).21.已知函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)滿足，且，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）求的取值范圍.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）由題設(shè)有，因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)且，所以有兩個(gè)不同解為，故，結(jié)合題設(shè)有，從而得到.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以，又，從而，其中，利用導(dǎo)數(shù)可以求出該函數(shù)的值域.詳解：（Ⅰ），由題意知即為方程的兩個(gè)根.由韋達(dá)定理：，所以且.令，則由可得，解得.（Ⅱ），∵，∴，由（Ⅰ）知，代入得，令，于是可得，故∴在上單調(diào)遞減，∴.點(diǎn)睛：（1）因?yàn)楹瘮?shù)在上導(dǎo)數(shù)是存在的，所以函數(shù)的極值點(diǎn)即為導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，也是對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根，利用根分布就可以求出參數(shù)的取值范圍.（2）復(fù)雜的多元函數(shù)的最值問(wèn)題可以先消元處理，再利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性從而求出函數(shù)的值域.請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題