新概念型問題解決

“新概念”型問題解決策略

一、準(zhǔn)備知識

（一）什么是新概念

所謂“新概念"型問題，主要是指在問題中概念了中學(xué)數(shù)學(xué)中沒有學(xué)過的一些概念、新運算、新符號，

要求學(xué)生讀懂題意并結(jié)合已有知識、能力進行理解，根據(jù)新概念進行運算、推理、遷移的一種題型."新概

念"型問題成為近年來中考數(shù)學(xué)壓軸題的新亮點.在復(fù)習(xí)中應(yīng)重視學(xué)生應(yīng)用新的知識解決問題的能力

（二）問題提出

（蒲澤）將4個數(shù)a,b,c,d排成2行、2歹U，兩邊各加一條豎直線記成“"，概念"b

=ad-bc,

cdcd

x+11—x

上述記號就叫做2階行列式.若=8,則*=

1—XX+1

解決思路

"新概念”型問題解決關(guān)鍵要把握兩點：

一是掌握問題原型的特點及其問題解決的思想方法；

二是根據(jù)問題情景的變化，通過認真思考，合理進行思想方法的遷移.

例如;將原方程轉(zhuǎn)化成普通方程，由A+11一*=8,得：（x+1）2一（1-X）2=8,

1—XX+1

整理得：x2+2x+l-（1-2X+X2）-8=0,即埋=8,

解得：x=2.

故答案為：2

二、核心規(guī)律

1.核心結(jié)構(gòu)

“新概念”分類舉例方法

①根據(jù)原型的特點求出

若X是不等于1的實數(shù)，我們把稱113

1-X“一一一一（一獷4

規(guī)律型

為x的差倒數(shù)，如2的差倒數(shù)是—=-1,-111

與=1=2=4

1-21一1_2

14

113

的差倒數(shù)為=—,現(xiàn)已知XF--,X2"4一一的一】-(-獷4

1-(-1)23

是X1的差倒數(shù)，X3是X2的差倒數(shù)，X4是X3的差②尋找循環(huán)鏈，循環(huán)子項

倒數(shù)，…，依次類推，則X2O12=__________.

玉，壬，X3>

2012+3=67()2,

._3

??工2012=1'

運算型若(xi,yi)?(X2，y2)=xiX2+yiy2?則(4,5)①根據(jù)原型的特點可以轉(zhuǎn)

?(6,8)=_______.化成加減混合運算：

(4,5)-(6,8)=4x6+5x8

②根據(jù)加減混合運算法則計

算結(jié)果

(4,5)-(6,8)=64

如圖，A、B是OO上的兩個定點，P是。0上(1)①根據(jù)直徑所對的圓周

的動點(P不與A、B重合)、我們稱NAPB是角等于90。即可求解；

。。上關(guān)于點A、B的滑動角.②根據(jù)勾股定理的逆定理可

(1)已知NAPB是。。上關(guān)于點A、B的滑動得NAOB=90。，再分點P在

角，優(yōu)弧第上；點P在劣弧篇上

①若AB是。0的直徑，則

兩種情況討論求解；

ZAPB=_______________°；

(2)根據(jù)點P在。01上的位

②若00的半徑是1小8=,看,求2APB的度數(shù)；

置分為四種情況得到NAPB

(2)已知02是。01外一點，以02為圓心作

探索型與NMAN、ZANB之間的數(shù)

一個圓與。01相交于A、B兩點,NAPB是OOi

量關(guān)系.

上關(guān)于點A、B的滑動角，直線PA、PB分別交

002于M、N(點M與點A、點N與點B均不

重合)，連接AN,試探索NAPB與NMAN、

NANB之間的數(shù)量關(guān)系.

?

開放型請你規(guī)定一種適合任意非零實數(shù)a,b的新運算①根據(jù)原型可得：

"a十b",使得下列算式成立：22

1十2=2十1=3=—+—

1十2=2十1=3,(-3)?(-4)=(-4)?(-3)=-12

722

(-3)?(-4)=(-4)?(-3)=-——---1---

746-3-4

-,(-3)?5=5ffi(-3)=-一，...

615422

(—3)十5=5十(—3)———=一+—

-35

你規(guī)定的新運算affib=______________(用a,

②可得出：

b的一個代數(shù)式表示).

_,222a+2b

a十8=一+—=-------

ahah

在平面直角坐標(biāo)系中，對于平面內(nèi)任意一點(X,①閱讀材料得：

V),若規(guī)定以下兩種變換：f(-6,7)=(7,-6)

@f(X,y)=(y,x).如f(2,3)=(3,2)；②轉(zhuǎn)化g(f(—6,7))=g(7,-6)

閱讀型②g(x,y)=(-x,-y),如g(2,3)=(-2,-3).=(-7,6)

按照以上變換有：f(g(2,3))=f(-2,-3)=故選C

(-3,-2),那么g(f(-6,7))等于()

A.(7,6)B.(7,-6)C.(-7,6)D.(-7,-6)

2.核心方法

“新概念"型問題解決關(guān)鍵要把握兩點：

一是掌握問題原型的特點及其問題解決的思想方法；

二是根據(jù)問題情景的變化，通過認真思考，合理進行思想方法的遷移.

解''新概念型問題具體方法過程上分三個步驟：

①閱讀理解，讀懂新概念。

②具例印證、強化認識、。

③聯(lián)系應(yīng)用，解決問題或探究拓展

三、典型例題

ab23

例我們定義I|=ad-bc.例如1=2X5-3X4=10-12=-2若x、y均為整數(shù)，且滿足1<|

cd45

|<3,則x+y的值是單

y4—

思路分析:根據(jù)題中的新概念，結(jié)合具例，掌握新概念運算規(guī)定的程序，將問題遷移到不等式組問

題。

]X

解：由定義|1=4—xyVxy為整數(shù)

y4

A1<4—xy<3/.xy=2

那么x,y分別為1,2或2,1,T,-2或-2,-1

l<xy<3，x+y二±3

點評：此題考查式運算，屬新概念題型，涉及到不等式組整數(shù)解的問題。

【核心素養(yǎng)】

此題從定義新的運算開始,運用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想來解決問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)分析的核心素養(yǎng).

【解題分析】

]X

解：由定義1=4—xyVxy為整數(shù)

y4

.\l<4-xy<3，xy=2

那么x,y分別為1,2或21,T,-2或-2,-1

1<xy<3；.x+y=±3

四、素養(yǎng)提升

1.我們把按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，如1,3,9,19,33,...就是一個數(shù)列，如果一個數(shù)列從

第二個數(shù)起，每一個數(shù)與它前一個數(shù)的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做

這個等差數(shù)列的公差.如2,4,6,8,10就是一個等差數(shù)列，它的公差為2.如果一個數(shù)列的后一個數(shù)

與前一個數(shù)的差組成的新數(shù)列是等差數(shù)列，則稱這個數(shù)列為二階等差數(shù)列.例如數(shù)列1,3,9,19,33,....

它的后一個數(shù)與前一個數(shù)的差組成的新數(shù)列是2,6,10,14,這是一個公差為4的等差數(shù)列，所以,

數(shù)列1,3,9,19,33,...是一個二階等差數(shù)列.那么，請問二階等差數(shù)列1,3,7,13,...的第五個數(shù)應(yīng)

是.

2.如圖，A、B是。O上的兩個定點，P是。0上的動點(P不與A、B重合)、我們稱NAPB是。O上

關(guān)于點A、B的滑動角.

(1)已知ZAPB是。。上關(guān)于點A、B的滑動角，

①若AB是。O的直徑，則NAPB=。；

②若00的半徑是1,AB=&,求NAPB的度數(shù)；

(2)已知02是OO1外一點，以02為圓心作一個圓與。01相交于A、B兩點，NAPB是001上關(guān)于點

A、B的滑動角，直線PA、PB分別交002于M、N(點M與點A、點N與點B均不重合)，連接AN,

試探索NAPB與NMAN、NANB之間的數(shù)量關(guān)系.

3.[a,b]為一次函數(shù)y=ax+b（axO,a,b為實數(shù)）的"關(guān)聯(lián)數(shù)".若"關(guān)聯(lián)數(shù)"[1,m-2]的一次函數(shù)是正比例

函數(shù)，則關(guān)于x的方程一1+'=1的解為.

x-1m

五、中考銜接

1.根據(jù)下圖所示程序計算函數(shù)值，若輸入的X的值為則輸出的函數(shù)值為【】

2

2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于任意兩點Pi（xi，力）與P2（x2,y2）的"非常距離"，給出如下概

念：

^|xi-x2|>|yi-y2|,則點Pi與點P2的"非常距離"為|xrX2|；

若|Xl-X2|<M-y2|，則點P1與點P2的"非常距離"為M，2|.

例如：點P1（1，2）,點P2（3,5）,因為|1-3|<|2-5|,所以點P1與點P2的"非常距離"為|2-5|=3,也就

是圖1中線段PiQ與線段P2Q長度的較大值（點Q為垂直于y軸的直線PiQ與垂直于x軸的直線P2Q交

點）.

（1）已知點A（-；,0）,B為y軸上的一個動點，

①若點A與點B的“非常距離”為2,寫出一個滿足條件的點B的坐標(biāo)；

②直接寫出點A與點B的"非常距離"的最小值；

3

（2）已知C是直線y=：x+3上的一個動點，

①如圖2,點D的坐標(biāo)是(0,1),求點C與點D的"非常距離"的最小值及相應(yīng)的點C的坐標(biāo)；

②如圖3,E是以原點。為圓心，1為半徑的圓上的一個動點，求點C與點E的"非常距離"的最小值及相

應(yīng)的點E與點C的坐標(biāo).

素養(yǎng)提升參考答案

L【核心素養(yǎng)】

本題從數(shù)字變化規(guī)律類問題開始.關(guān)鍵是確定二階等差數(shù)列的公差為2,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)推理的

核心素養(yǎng).

【解題分析】

由于3-1=2,7-3=4,13-7=6...由此得出相鄰兩數(shù)之差依次大2,故13的后一個數(shù)比13大8.

解：由數(shù)字規(guī)律可知，第四個數(shù)13,設(shè)第五個數(shù)為X,

則x-13=8,解得x=21,即第五個數(shù)為21,

故答案為：21.

2.【核心素養(yǎng)】

本題考查了圓周角定理，勾股定理的逆定理，點與圓的位置關(guān)系，應(yīng)用了分類討論思想，體現(xiàn)了邏輯

推理的核心素養(yǎng).

【解題分析】

(1)①若AB是OO的直徑，則NAPB=90.

②如圖，連接AB、OA、OB.

在4AOB中，

OA=OB=1.AB=V^,

OA2+OB2=AB2.

ZAOB=90°.

當(dāng)點P在優(yōu)弧AB上時，ZAPiB=^NAOB=45°；

當(dāng)點P在劣弧金上時，NAP2B=4(360。-NAOB)=135。...6分

2

(2)根據(jù)點P在。Oi上的位置分為以下四種情況.

第一種情況：點P在。02外，且點A在點P與點M之間，點B在點P與點N之間，如圖①

?,1ZMAN=ZAPB+ZANB,

ZAPB=NMAN-ZANB；

第二種情況：點P在。02外，且點A在點P與點M之間，點N在點P與點B之間，如圖②.

???ZMAN=ZAPB+ZANP=ZAPB+(180°-ZANB),

ZAPB=ZMAN+ZANB-180°；

第三種情況：點P在。02外，且點M在點P與點A之間，點B在點P與點N之間，如圖③.

ZAPB+ZANB+ZMAN=180°,

ZAPB=180°-ZMAN-ZANB,

第四種情況：點P在。02內(nèi)，如圖④，

ZAPB=ZMAN+ZANB.

3.【核心素養(yǎng)】

本題主要是從一次函數(shù)開始，體現(xiàn)了邏輯推理和數(shù)學(xué)運算能力.

【解題分析】

根據(jù)題意可得：y=x+m-2,

???"關(guān)聯(lián)數(shù)”口，m-2］的一次函數(shù)是正比例函數(shù)，

/.m-2=0,

解得：m=2,

則關(guān)于x的方程----+一=1變?yōu)?----+—=1,

x—lmx—12

解得：x=3,

檢驗：把x=3