2023屆二輪復(fù)習(xí) 專題13 排列組合、二項(xiàng)式定理 二級(jí)結(jié)論講練 學(xué)案

專題13排列組合、二項(xiàng)式定理二級(jí)結(jié)論1：排列組合中的分組與分配【結(jié)論闡述】①“非均勻分組”是指將所有元素分成元素個(gè)數(shù)彼此不相等的組，使用分步組合法；②“均勻分組”是指將所有元素分成所有組元素個(gè)數(shù)相等或部分組元素個(gè)數(shù)相等的組．不論是全部均勻分組，還是部分均勻分組，如果有個(gè)組的元素是均勻的，都有種順序不同的分法只能算一種分法；③對(duì)于非均勻編號(hào)分組采用分步先組合后排列法，部分均勻編號(hào)分組采用分組法；④平均分堆問題倍縮法采用縮倍法、除倍法、倍除法、除序法、去除重復(fù)法）；⑤有序分配問題逐分法采用分步法）；⑥全員分配問題采用先組后排法；⑦名額分配問題采用隔板法（或元素相同分配問題隔板法、無差別物品分配問題隔板法）；⑧限制條件分配問題采用分類法．【應(yīng)用場景】需要根據(jù)題意判斷出符合題意的分組、分配方式，涉及平均分配、部分平均不定向分配、非平均不定向分配，以及分類、分步計(jì)數(shù)原理等．【典例指引1】1．某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選派4人分別到西部四城市參加中國西部經(jīng)濟(jì)開發(fā)建設(shè)，其中甲同學(xué)不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？【答案】4088【分析】分析題意,可以按照是否含有甲、乙來分類,①若甲、乙都不參加,②若甲參加而乙不參加,③若乙參加而甲不參加,④若甲、乙都參加;然后求出各種情況的排法,結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理即可解答.【詳解】因?yàn)榧滓矣邢拗茥l件,所以按照是否含有甲乙來分類,有以下四種情況：①若甲乙都不參加,則有派遣方案種;②若甲參加而乙不參加,先安排甲有3種方法,然后安排其余學(xué)生有方法,所以共有3種;③若乙參加而甲不參加同理也有3種;④若甲、乙都參加,則先安排甲乙,有7種方法,然后再安排其余8人到另外兩個(gè)城市有種,共有7方法.所以共有不同的派遣方法總數(shù)為種.即共有4088種不同派遣方案.【典例指引2】2．有本不同的書，分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少種分法？【答案】【分析】根據(jù)分類加法原理，結(jié)合組合、排列的下定義進(jìn)行求解即可.【詳解】根據(jù)題意先分組，有3種分組方式：（1）每組2本；（2）分別為1本、2本、3本；（3）兩組各1本，另一組4本．∴根據(jù)加法原理，分組法是（種）．再考慮排列，即再乘以三人全排列，∴一共有種不同的分法．【針對(duì)訓(xùn)練】（2022·江蘇省蘇州）3．現(xiàn)有5個(gè)不同的小球，放到標(biāo)號(hào)分別為①②③的三個(gè)空盒中，每個(gè)盒子至少放一個(gè)小球，有（

）種不同的放法A．240種 B．150種 C．360種 D．540種【答案】B【分析】先把小球分成3組，再分配到三個(gè)空盒中即可求解.【詳解】把5個(gè)小球分成3組，有2、2、1和3、1、1兩種分法，共有種.故選：B.4．將20個(gè)完全相同的小球放入編號(hào)分別為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子中球的個(gè)數(shù)不小于它的編號(hào)，則不同的放法種數(shù)為（

）A．1615 B．1716C．286 D．364【答案】C【分析】先在編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子內(nèi)分別放0，1，2，3個(gè)球，再利用插空法即可求解.【詳解】先在編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子內(nèi)分別放0，1，2，3個(gè)球，再將剩下的14個(gè)小球分成四份分別放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子里．14個(gè)球之間有13個(gè)空隙，選出3個(gè)空隙放入隔板，所以有種放法．故選：C.5．10個(gè)相同的小球放在三個(gè)編號(hào)為1，2，3的盒中，每盒至少1個(gè)，有_________種方分法.【答案】36【分析】轉(zhuǎn)化條件可得將10個(gè)相同小球分成三組，每組至少1個(gè)，使用隔板法即可得解.【詳解】依據(jù)題意，10個(gè)相同的小球放在3個(gè)盒中，每盒至少1個(gè)，可轉(zhuǎn)化為將10個(gè)相同小球分成三組，每組至少1個(gè)；可將10個(gè)小球排成一列，進(jìn)而在排除兩端的9個(gè)空位中，選取2個(gè)，插入隔板即可，由組合公式可得共有種分法.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了組合的應(yīng)用及隔板法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.（2022·重慶巴蜀中學(xué)高二）6．學(xué)校要安排2名班主任，3名科任老師共五人在本校以及另外兩所學(xué)校去監(jiān)考，要求在本校監(jiān)考的老師必須是班主任，且每個(gè)學(xué)校都有人去，則有（

）種不同的分配方案．A．18 B．20 C．28 D．34【答案】D【分析】首先分類，即本校監(jiān)考分為1人和2人，在分類的基礎(chǔ)上分配或分組.【詳解】根據(jù)本校監(jiān)考人數(shù)分為：本校1人監(jiān)考，另外4人分配給兩所學(xué)校，有2，2和3，1兩種分配方案，所以總數(shù)為：；本校2人監(jiān)考，另外3人分配給兩所學(xué)校，有2，1一種分配方案，所以總數(shù)為：，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，所有分配方案總數(shù)為28+6=34；故選：D.（2022·山西·芮城）7．有3個(gè)完全相同的標(biāo)號(hào)為1的小球和兩個(gè)標(biāo)號(hào)為2，3的小球，將這5個(gè)小球放入3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放一個(gè)小球，則不同的放法總數(shù)為（

）A．45 B．90 C．24 D．150【答案】A【分析】根據(jù)3個(gè)相同小球的分布進(jìn)行分類討論【詳解】①若3個(gè)相同小球在同一個(gè)盒子中，則有中②若恰有2個(gè)相同小球在同一個(gè)盒子中，1個(gè)在另一個(gè)盒子中，此時(shí)先將5個(gè)小球分為3組若為“311”分組有2種，若為“221”分組則有3種故共種③若3個(gè)相同小球在3個(gè)不同的盒子中，則剩余兩個(gè)小球都有3種放法，有種共種故選：A（2022·山西省長治市）8．某社區(qū)服務(wù)站將5名志愿者分到3個(gè)不同的社區(qū)參加活動(dòng)，要求每個(gè)社區(qū)至少1人，不同的分配方案有（

）A．360種 B．300種 C．90種 D．150種【答案】D【分析】先分類，分為3個(gè)社區(qū)的志愿者人數(shù)分別為3,1,1或2,2,1，再求出兩種情況下的不同分配方案，注意部分平均分組問題.【詳解】若3個(gè)社區(qū)的志愿者人數(shù)分別為3,1,1，此時(shí)不同的分配方案有種，若3個(gè)社區(qū)的志愿者人數(shù)分別為2,2,1，此時(shí)不同的分配方案有種，綜上：不同的分配方案有60+90=150種.故選：D（2022·江蘇·昆山）9．（1）4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子，共有多少種放法；（2）4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子，恰有一個(gè)盒子空，共有多少種放法；（3）10個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子，每個(gè)盒子不空，共有多少種放法；（4）4個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子，恰有兩個(gè)盒子空，共有多少種放法？【答案】（1）256；（2）144；（3）84；（4）18.【分析】（1）按照分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算；（2）先選1個(gè)空盒，再把4個(gè)小球分成3組，放入3個(gè)盒子中；（3）按照插板法進(jìn)行計(jì)算即可；（4）先選2個(gè)空盒，再按照插板法進(jìn)行計(jì)算.【詳解】（1）每個(gè)小球有4種方法，共有種放法；（2）先選1個(gè)空盒，再把4個(gè)小球分成3組，最后分到3個(gè)盒子，共有種放法；（3）9個(gè)空中插入3個(gè)板即可，種放法；（4）先選2個(gè)空盒，再3個(gè)空中插入1個(gè)板即可，共有種放法.10．按下列要求分配6本不同的書,各有多少種不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配給甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外兩份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外兩人每人得1本;【答案】（1）60；（2）360；（3）15；（4）90；（5）15；（6）90.【分析】（1）先從6本書中選1本，再從剩余5本書中選擇2本，剩余的就是三本書．（2）由（1）可知，將分成的三份分別給與甲乙丙即可．（3）依次從6本書中選擇2本，從剩余4本書中選擇2本，剩余2本，即可分成每份都有2本的三份，但在分配中，每種情況都出現(xiàn)了次重復(fù)，所以要除以重復(fù)的遍數(shù)即可得分配方法的種類數(shù)．（4）根據(jù)（3）可知，將三種分配方式分別分給甲乙丙三人即可．（5）先從6本書選出4本書，剩余的2本書中選出1本，在選擇過程中，后面2本選擇1本時(shí)發(fā)生重復(fù)，所以要除以.（6）根據(jù)（5），將三種情況分別分配給甲乙丙三個(gè)人即可．【詳解】（1）先從6本書中選1本，有種分配方法；再從剩余5本書中選擇2本，有種分配方法剩余的就是2本書，有種分配方法所以總共有種分配方法．（2）由（1）可知分組后共有60種方法，分別分給甲乙丙后的方法有種．（3）從6本書中選擇2本書，有種分配方法；再從剩余4本書中選擇2本書，有種分配方法；剩余的就是2本書，有種分配方法;所以有種分配方法．但是，該過程有重復(fù)．假如6本書分別為A、B、C、D、E、F，若三個(gè)步驟分別選出的是．則所有情況為，，，，，．所以分配方式共有種（4）由（3）可知，將三種分配方式分別分給甲乙丙三人，則分配方法為種（5）從6本書中選4本書的方法有種從剩余2本書中選1本書有種因?yàn)樵谧詈髢杀緯x擇中發(fā)生重復(fù)了所以總共有種（6）由（5）可知，將三種分配情況分別分給甲乙丙三人即可，即種．【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合的綜合應(yīng)用，特別注意計(jì)算過程中的重復(fù)，屬于中檔題．二級(jí)結(jié)論2：型的系數(shù)【結(jié)論闡述】一、三項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)（系數(shù)）問題的處理方法：（1）通常將三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式積的形式，然后利用多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)（系數(shù)）問題的處理方法求解；（2）將其中某兩項(xiàng)看成一個(gè)整體，直接利用二項(xiàng)式展開，然后再分類考慮特定項(xiàng)產(chǎn)生的所有可能情形；（3）也可以按照推導(dǎo)二項(xiàng)式定理的方法解決問題．二、幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)（系數(shù)）問題的處理方法：可先分別化簡或展開為多項(xiàng)式和的形式，再分類考慮特定項(xiàng)產(chǎn)生的每一種情形，求出相應(yīng)的特定項(xiàng)，最后進(jìn)行合并即可．【應(yīng)用場景】對(duì)于型系數(shù)問題，可以采用相應(yīng)的方法解決問題?！镜淅敢?】（2022年新高考I卷13）11．的展開式中的系數(shù)為________________（用數(shù)字作答）．【答案】-28【分析】可化為，結(jié)合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以的展開式中含的項(xiàng)為，的展開式中的系數(shù)為-28故答案為：-28【典例指引2】12．已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為32，則展開式中的系數(shù)為__________．（用數(shù)字作答）【答案】120【詳解】由題意，(2x2+x-y)n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為32，即2n=32，∴n=5，那么(2x2+x-y)5=[(2x2+x)-y]5，通項(xiàng)公式，展開式中含有x5y2，可知r=2．那么(2x2+x)3中展開必然有x5，由通項(xiàng)公式，可得，含有x5的項(xiàng)：則t=1，∴展開式中x5y2的系數(shù)為.【針對(duì)訓(xùn)練】13．的展開式中，的系數(shù)為A．10 B．20C．30 D．60【答案】C【詳解】在的5個(gè)因式中，2個(gè)取因式中剩余的3個(gè)因式中1個(gè)取，其余因式取y,故的系數(shù)為=30，故選C.考點(diǎn)：本題主要考查利用排列組合知識(shí)計(jì)算二項(xiàng)式展開式某一項(xiàng)的系數(shù).【名師點(diǎn)睛】本題利用排列組合求多項(xiàng)展開式式某一項(xiàng)的系數(shù)，試題形式新穎，是中檔題，求多項(xiàng)展開式式某一項(xiàng)的系數(shù)問題，先分析該項(xiàng)的構(gòu)成，結(jié)合所給多項(xiàng)式，分析如何得到該項(xiàng)，再利用排列組知識(shí)求解.14．的展開式中，的系數(shù)為A． B． C． D．【答案】B【詳解】分析：題中為獨(dú)立項(xiàng)，所以展開式中含的為，其中中的系數(shù)為展開式中與的系數(shù)差．最后再將兩部分系數(shù)相乘即得所求．詳解：由，得含的項(xiàng)為，中的項(xiàng)為系數(shù)為故選B.點(diǎn)睛：本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，多項(xiàng)式展開問題要抓住獨(dú)立項(xiàng)，以此為簡化問題的突破點(diǎn)，從而減少計(jì)算和分類討論的難度.15．的展開式共項(xiàng)A．10 B．15 C．20 D．21【答案】B【詳解】因?yàn)樗栽龠\(yùn)用二項(xiàng)式定理展開共有項(xiàng)，應(yīng)選答案B．16．展開式中的系數(shù)為A． B．C． D．【答案】C【分析】化簡已知代數(shù)式，利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式可以求出展開式中的系數(shù)．【詳解】因?yàn)?，則展開式中含的項(xiàng)為；展開式中含的項(xiàng)為，故的系數(shù)為，故選：C．17．的展開式中的系數(shù)為（

）A．4 B．-4 C．6 D．-6【答案】B【詳解】，所以的項(xiàng)為，故的系數(shù)為，故選B.18．的展開式的常數(shù)項(xiàng)是A．-3 B．-2 C．2 D．3【答案】C【詳解】先求出展開式中的系數(shù)，，令，所以，展開式中常數(shù)項(xiàng)為-1，因此的展開式的常數(shù)項(xiàng)是，選C.二級(jí)結(jié)論3：二項(xiàng)式系數(shù)和的性質(zhì)【結(jié)論闡述】賦值法若，則設(shè)，有：；②；③；④；⑤.【應(yīng)用場景】【典例指引1】（2022年高考浙江卷12）19．已知多項(xiàng)式，則__________，___________．【答案】

【分析】第一空利用二項(xiàng)式定理直接求解即可，第二空賦值去求，令求出，再令即可得出答案．【詳解】含的項(xiàng)為：，故；令，即，令，即，∴，故答案為：；．【典例指引2】20．已知，若，則的值為A． B． C． D．【答案】D【詳解】令，得，而表示的系數(shù)，，故選D.【針對(duì)訓(xùn)練】21．若，且，則實(shí)數(shù)的值可以為（

）A．1或 B． C．或3 D．【答案】A【分析】利用賦值法，分別令，和，，，再根據(jù)，求得的值．【詳解】在中，令可得，即，令，可得，∵，∴，∴，整理得，解得，或．故選：A22．已知，若，則（

）A．992 B．－32 C．－33 D．496【答案】D【分析】先由求得，再通過賦值法令和求得即可.【詳解】由題意知：，則，解得；令，則，令，則，兩式相加得，則.故選：D.23．若，則的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】分別把與代入題干所給的式子中，再求出的系數(shù)，即可得到答案.【詳解】令，得；令，得；展開式中的系數(shù)為2，故.所以.故選：A.24．設(shè)若，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件先求解出的值，然后根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和求解出的值，從而確定出二項(xiàng)式系數(shù)的最大值及其對(duì)應(yīng)的項(xiàng).【詳解】由題可知，，當(dāng)時(shí)，，的展開式中，通項(xiàng)為：，則常數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的系數(shù)為：，即，得，所以，解得：，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大為：，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為：故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于的值的求解以及二項(xiàng)式系數(shù)最大值的確定；注意：當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞增的，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞減的；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大.25．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合組合數(shù)計(jì)算公式變形和式的通項(xiàng)，再借助二項(xiàng)式性質(zhì)即可得解.【詳解】依題意，，當(dāng)時(shí)，，于是得.故選：B26．若，則=（

）A．244 B．1 C． D．【答案】D【分析】分別令代入已知關(guān)系式，再兩式求和即可求解.【詳解】根據(jù)，令時(shí)，整理得：令x=2時(shí)，整理得:由①+②得，，所以.故選：D.27．已知，若的展開式的第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則=（

）A．32 B．64 C．128 D．256【答案】D【分析】由題可得，再利用賦值法即得.【詳解】由題意可得，∴．令，得，∴．故選：D.28．若，則的值為（

）A．1 B．-1 C．1023 D．1024【答案】C【分析】利用賦值法求解，先令，求出，再令，求出，從而可求得答案【詳解】解：令，則，令，則，所以，故選：C29．若（），則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)賦值法分別令、，然后可得.【詳解】令，則，再令，則，∴.故選：B.30．若，則_______．【答案】243##【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式可得，令，即可得解.【詳解】解：的展開式得通項(xiàng)為，則，令，則，即.故答案為：243.31．若，，則___________.【答案】【解析】本題首先可令，得出，然后令，得出，最后兩者相減，即可得出結(jié)果.【詳解】令，則，即，令，則，即，故，故答案為：.32．若，則_