【高中數(shù)學(xué)必修四】復(fù)習(xí)講義-專題1.1-任意角和弧度制

第一章 三角函數(shù)1.1任意角和弧度制1．任意角（1）角的概念角可以看成平面內(nèi)一條____________繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形．我們規(guī)定：按____________方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，按____________方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角．如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個____________．（2）象限角：角的頂點(diǎn)與____________重合,角的始邊與x軸的____________重合,那么角的終邊在第幾象限,就認(rèn)為這個角是第幾象限角．具體表示如下：象限角角的表示第一象限的角{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z}第二象限的角{α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z}第三象限的角{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z}第四象限的角{α|k·360°–90°<α<k·360°,k∈Z}（3）軸線角：若角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限．具體表示如下：軸線角角的表示終邊在x軸非負(fù)半軸上的角{α|α=2kπ,k∈Z}終邊在x軸非正半軸上的角{α|α=(2k–1)π,k∈Z}終邊在y軸非負(fù)半軸上的角{α|α=2kπ+,k∈Z}終邊在y軸非正半軸上的角{α|α=2kπ–,k∈Z}終邊在x軸上的角{α|α=kπ,k∈Z}終邊在y軸上的角{α|α=kπ+,k∈Z}終邊在坐標(biāo)軸上的角{α|α=,k∈Z}（4）終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}={β|β=α+2kπ,k∈Z}．2．弧度制（1）定義：把長度等于___________的弧所對的圓心角叫作1弧度的角,記作___________,這種用弧度作單位來度量角的單位制叫作弧度制．（2）角α的弧度數(shù)公式：|α|=(弧長用l表示)．（3）角度與弧度的換算：①1°=___________rad;②1rad=___________°．（4）弧長公式：弧長l=___________．（5）扇形面積公式：S=___________．K知識參考答案：1．（1）射線逆時針順時針零角（2）原點(diǎn)非負(fù)半軸2．（1）半徑1rad（3）①②（4）|α|r（5）l·r=|α|·r2K—重點(diǎn)1．理解并掌握正角、負(fù)角、零角的概念；2．掌握終邊相同的角的表示方法及判定方法；3．了解弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化；4．由圓周角找出弧度制與角度制的聯(lián)系，記住常見特殊角對應(yīng)的弧度數(shù)．K—難點(diǎn)1．把終邊相同的角用集合表示出來；2．可以從六十進(jìn)制與十進(jìn)制區(qū)別角度制與弧度制；3．掌握弧度制中扇形的弧長公式和面積公式，能用公式進(jìn)行簡單的弧長及面積運(yùn)算．K—易錯注意從六十進(jìn)制與十進(jìn)制區(qū)別角度制與弧度制．1．任意角角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形．角的表示：如圖，（1）始邊：射線的起始位置OA；（2）終邊：射線的終止位置OB；（3）頂點(diǎn)：射線的端點(diǎn)O；（4）記法：圖中的角可記為“角α”或“∠α”或“∠AOB”．【例1】自行車大鏈輪有36齒，小鏈輪有24齒，當(dāng)大鏈輪轉(zhuǎn)過一周時，小鏈輪轉(zhuǎn)過的角度是_____________度．【答案】–540°【解析】因?yàn)榇箧溳嗈D(zhuǎn)過一周時，小鏈輪轉(zhuǎn)36齒．而小鏈輪有24齒，故小鏈輪轉(zhuǎn)周，一周為360°，而大鏈輪和小鏈輪轉(zhuǎn)動的方向相反，故小鏈輪轉(zhuǎn)過的角度為–360°×=540°，故答案為：–540°．【名師點(diǎn)睛】（1）在畫圖時，常用帶箭頭的弧來表示旋轉(zhuǎn)的方向．（2）為了簡單起見，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以簡記成“α”．（3）當(dāng)角的始邊相同時，若角相等，則終邊相同；但當(dāng)角的始邊相同時，若終邊也相同，則角不一定相等．2．角的分類在平面內(nèi)，一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)有兩個相反的方向一一順時針方向和逆時針方向．習(xí)慣上規(guī)定：名稱定義圖形正角一條射線按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負(fù)角一條射線按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角，包括正角、負(fù)角和零角．【例2】時針走過2時40分，則分針轉(zhuǎn)過的角度是A．80° B．–80° C．960° D．–960°【答案】D【解析】∵40÷60=，∴360°×=240°，由于時針都是順時針旋轉(zhuǎn)，∴時針走過2小時40分，分針轉(zhuǎn)過的角的度數(shù)為–2×360°–240°=–960°，故選D．【名師點(diǎn)睛】（1）正確理解正角、負(fù)角、零角的定義，關(guān)鍵是抓住角的終邊的位置是由角的始邊所對應(yīng)的射線按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)、順時針方向旋轉(zhuǎn)還是沒有旋轉(zhuǎn)得到的．（2）高中階段所說的角實(shí)際上是初中所學(xué)概念“由一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線組成的圖形叫做角”的推廣．對于角的形成過程，既要知道旋轉(zhuǎn)量又要知道旋轉(zhuǎn)方向．（3）角的概念推廣后，角度的范國不再限于0°~360°．（4）正常情況下，如果果以零時為起始位置，那么鐘表的時針或分針在旋轉(zhuǎn)時所形成的角總是負(fù)角．3．象限角、軸線角、終邊相同的角（1）在平面直角坐標(biāo)系中，如果角的頂點(diǎn)在在原點(diǎn)，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，便稱此角為第幾象限角．（2）軸線角：若角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限．（3）終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}={β|β=α+2kπ,k∈Z}．（4）確定角（n∈N）終邊所在象限的方法：已知角終邊所在的象限，確定（n∈N）終邊所在象限的常用方法有以下兩種：一是分類討論法．利用已知條件寫出α的范圍（用k表示），由此確定的范圍，然后對k進(jìn)行分類討論，從而確定所在象限．二是幾何法．先把各象限均分為n等份，再從x軸的正方向的上方起，逆時針依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，一、二、三、四，…則α原來是第幾象限角，標(biāo)號為幾的區(qū)域即終邊所在的區(qū)域．【例3】已知α銳角，那么2α是A．小于180°的正角 B．第一象限角C．第二象限角 D．第一或二象限角【答案】A【解析】∵α銳角，∴0°<α<90°，∴0°<2α<180°，故選A．【例4】與終邊相同的角的集合是____________．4．弧度制與角度制中先定義1度角的大小一樣，我們也要先定義1弧度的角：定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度．（1）正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是零．這樣就在角的集合與實(shí)數(shù)集之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系．（2）如果半徑為的圓的圓心角所對弧的長為，那么角的弧度數(shù)的絕對值是．即的值就是弧長中有多少個半徑．這里，的正負(fù)由角的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定．（3）角度與弧度的換算：1°=rad≈0.01745rad，1rad=()°≈57.30°=57°18′．特別地，弧度，弧度．【例5】–300°化為弧度是A．– B．– C．– D．–【答案】B【解析】–300°=–rad=–rad，故選B．【名師點(diǎn)睛】（1）把弧度作為單位表示角的大小時，“弧度”兩字可以省略不寫，但把度(°)作為單位表示角時，度(°)一定不能省略；（2）正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù),零角的弧度數(shù)為零；（3）在一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用．（4）特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表：度]0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度05．弧長及扇形面積公式（1）弧長公式：弧長l=|α|r．（2）扇形面積公式：S=l·r=|α|·r2．【例6】已知扇形面積為，半徑是1，則扇形的圓心角是A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)樯刃蚊娣e為，半徑是1，S=l·r，所以扇形的弧長為，因?yàn)閘=|α|r，所以扇形的圓心角為．故選C．【名師點(diǎn)睛】在應(yīng)用弧長公式l=|α|r及扇形面積公式S=l·r時，要注意的單位是“弧度”，而不是“度”，如果已知角是以“度”為單位的，則必須先把它化成以“弧度”為單位后再代入計(jì)算．1．下列角中，終邊與123°相同的角是A．237° B．–123° C．483° D．–483°2．若α=–835°，則角α的終邊在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在0到2π范圍內(nèi)，與角終邊相同的角是A． B． C． D．4．有小于360°的正角，這個角的5倍角的終邊與該角的終邊重合，這個角的大小是A．90° B．180° C．270° D．90°，180°或270°5．手表時針走過1小時，時針轉(zhuǎn)過的角度A．60° B．–60° C．30° D．–30°6．經(jīng)過2小時，鐘表上的時針旋轉(zhuǎn)了A．60° B．–60° C．30° D．–30°7．2018°的終邊在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．45°=A． B． C． D．9．–150°的弧度數(shù)是A．– B． C．– D．–10．半徑為πcm，圓心角為150°的扇形的弧長為A． B． C． D．11．已知集合{α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈Z}，則角α的終邊落在陰影處（包括邊界）的區(qū)域是A． B．C． D．12．下列說法中正確的是A．120°角與420°角的終邊相同B．若α是銳角．則2α是第二象限的角C．–240°角與480°角都是第三象限的角D．60°角與–420°角的終邊關(guān)于x軸對稱13．下列命題中正確的是A．終邊在x軸負(fù)半軸上的角是零角 B．第二象限角一定是鈍角C．第四象限角一定是負(fù)角 D．若β=α+k?360°（k∈Z），則α與β終邊相同14．若角α滿足α=45°+k?180°，k∈Z，則角α的終邊落在A．第一或第二象限 B．第一或第三象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限15．若一段圓弧的長度等于該圓內(nèi)接正三角形的邊長，則這段弧所對圓心角弧度為A． B． C． D．16．–π的角化為角度制的結(jié)果為___________，–135°的角化為弧度制的結(jié)果為___________．17．你在忙著答題，秒針在忙著“轉(zhuǎn)圈”，現(xiàn)在經(jīng)過了2分鐘，則秒針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是___________．18．如圖，已知扇形AOB的面積是4cm2，它的周長是10cm，則扇形的圓心角α（0<α<2π）的弧度數(shù)是___________．19．已知角α=390°（1）角α的終邊在第幾象限；（2）寫出與角α終邊相同的角的集合；（3）在–360°～720°范圍內(nèi)，寫出與α終邊相同的角．20．已知角β的終邊在直線y=–x上．（1）寫出角β的集合S；（2）寫出S中適合不等式–360°<β<360°的元素．21．已知α=–1090°．（1）把α寫成β+k?360°（k∈Z，0°≤β<360°）的形式，并指出它是第幾象限角（2）寫出與α終邊相同的角θ構(gòu)成的集合S，并把S中適合不等式–360°≤θ<360°的元素θ寫出來．22．已知α=．（1）寫出所有與α終邊相同的角；（2）寫出在（–4π，2π）內(nèi)與α終邊相同的角；（3）若角β與α終邊相同，則是第幾象限的角？23．已知α=1690°，（1）把α表示成2kπ+β的形式（k∈Z，β∈[0，2π））．（2）求θ，使θ與α的終邊相同，且θ∈（–4π，–2π）．12345678910CCCDDBCBAD1112131415BDDBC1．【答案】C【解析】終邊與123°相同的角的集合為{α|α=123°+k?360°，k∈Z}．取k=1，得α=483°．故選C．2．【答案】C【解析】因?yàn)楱C835°=–2×360°–115°，由角的定義得–115°的終邊在第三象限，所以角α的終邊在第三象限，故選C．3．【答案】C【解析】與角終邊相同的角是2kπ+（），k∈Z．令k=1，可得與角終邊相同的角是，故選C．4．【答案】D【解析】設(shè)這個角為α，則5α=k?360°+α，k∈Z，解得α=k?90°，又∵0°<α<360°，∴α=90°，180°或270°．故選D．5．【答案】D【解析】由于時針順時針旋轉(zhuǎn)，故時針轉(zhuǎn)過的角度為負(fù)數(shù)．–×360°=–30°，故選D．6．【答案】B【解析】鐘表上的時針旋轉(zhuǎn)一周是–360°，其中每小時旋轉(zhuǎn)–=–30°，所以經(jīng)過2小時應(yīng)旋轉(zhuǎn)–60°．故選B．9．【答案】A【解析】∵1°=rad，∴–150×=–．故選A．10．【答案】D【解析】150°=，所以扇形的弧長l=（cm）．故選D．11．【答案】B【解析】對于集合A={α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈Z}，當(dāng)k=0時，表示B={α|≤α≤}；當(dāng)k∈Z，表示與集合B終邊相同的角，故選B．12．【答案】D【解析】A，420°=360°+60°，∴420°與60°角的終邊相同，A不正確；B，若α是銳角，則0°<α<90°，0°<2α<180°．則2α不一定是第二象限的角，B不正確；C，480°=360°+120°，∴480°與120°角的終邊相同，是第二象限的角，C不正確；D，–420°=–360°–60°，∴–420°與–60°角的終邊相同，∴60°角與–420°角的終邊關(guān)于x軸對稱，D正確．故選D．13．【答案】D【解析】A，終邊在x軸負(fù)半軸上的角是零角，例如–180°，不是零角，所以A不正確；B，第二象限角不一定是鈍角，例如：460°是第二象限角，但是不是鈍角，所以B不正確；C，第四象限角不一定是負(fù)角，也可以是正角，例如：300°是第四象限角，是正角，所以C不正確；D，若β=α+k?360°（k∈Z），則α與β終邊相同，滿足終邊相同角的表示方法，正確．故選D．14．【答案】B【解析】α=45°+k?180°，k∈Z；當(dāng)k為偶數(shù)時，α為第一象限角，特別地，如當(dāng)k=0時，α=45°；當(dāng)k為奇數(shù)時，α為第三象限角，特別地，如當(dāng)k=1時，α=225°．∴角α的終邊落在第一或第三象限．故選B．15．【答案】C【解析】不妨設(shè)等邊△ABC的外接圓的半徑為2，如圖，取BC的中點(diǎn)D，連接OD，OC，則∠OCB=30°．由垂徑定理的推論可知，OD⊥BC，在Rt△OCD中，OD=OC=1，∴CD=，∴邊長BC=2．設(shè)該圓弧所對圓心角的弧度數(shù)為θ，則由弧長公式可得2θ=2，∴θ=．故選C．16．【答案】–300°；【解析】–π==–300°；–135°=–135°×．故答案為：–300°；．17．【答案】–4π【解析】由于經(jīng)過2分鐘，秒針轉(zhuǎn)過2圈，一個周角為2π，又由順時針旋轉(zhuǎn)得到的角是負(fù)角，故秒針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是–4π，故答案為：–4π．18．【答案】【解析】設(shè)半徑為r，由題意可得：2r+αr=10，=4，0<α<2π．化為2α2–17α+8=0．解得α=．故答案為：．19．【解析】（1）∵390°=360°+30°，30°是第一象限角，∴角α的終邊在第一象限；（2）所有和角α終邊相同的角的集合為{β