人教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《18.2菱形》同步專(zhuān)項(xiàng)提升（Word版含答案）

人教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《菱形》同步專(zhuān)項(xiàng)提升一．選擇題1．如圖：在四邊形ABCD中，E是AB上的一點(diǎn)，△ADE和△BCE都是等邊三角形，點(diǎn)P、Q、M、N分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則四邊形MNPQ是（）A．等腰梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形2．如圖所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，分別以直角邊AB、斜邊AC為邊，向外作等邊△ABD和等邊△ACE，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，DE與AC交于點(diǎn)O，DF與AB交于點(diǎn)G，給出如下結(jié)論：①四邊形ADFE為菱形；②DF⊥AB；③AO＝AE；④CE＝4FG；其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④3．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD為AC的中線，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作BD的平行線，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，在AF的延長(zhǎng)線上截取FG＝BD，連接BG、DF．若CF＝6，AC＝AF+2，則四邊形BDFG的周長(zhǎng)為（）A． B．10 C． D．204．如圖，已知四邊形ABCD的四邊相等，等邊△AMN的頂點(diǎn)M、N分別在BC、CD上，且AM＝AB，則∠C為（）A．100° B．105° C．110° D．120°5．如圖，平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于O，BD＝2AD，E、F、G分別是OC、OD、AB的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①BE⊥AC；②EG＝GF；③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF；⑤四邊形BEFG是菱形．其中正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②⑤ D．②③⑤6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，0），B（，1），若平移點(diǎn)A到點(diǎn)C，使以點(diǎn)O，A，C，B為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則正確的平移方法是（）A．向左平移（）個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位 B．向左平移個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位 C．向右平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位 D．向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位7．如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是BD，BC，AC，AD的中點(diǎn)，且AB＝CD，下列結(jié)論：①EG⊥FH；②四邊形EFGH是菱形；③HF平分∠EHG；④EG＝（BC﹣AD），其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)8．如圖，由兩個(gè)長(zhǎng)為9，寬為3的全等矩形疊合而得到四邊形ABCD（不完全重合），則四邊形ABCD面積的最大值是（）A．15 B．16 C．19 D．209．如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F、G分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接CF、EF、FG，下列結(jié)論：①CE⊥FG；②四邊形ABGF是菱形；③EF＝CF；④∠EFC＝2∠CFD．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)10．如圖，分別以Rt△ABC的斜邊AB，直角邊AC為邊向外作等邊△ABD和△ACE，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，DE，AB相交于點(diǎn)G．連接EF，若∠BAC＝30°，下列結(jié)論：①EF⊥AC；②四邊形ADFE為菱形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．則正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④二．填空題11．已知：如圖所示，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC上任一點(diǎn)，O是BD的中點(diǎn)，連接MO，并延長(zhǎng)MO到N，使NO＝MO，連接BN與ND．若M是AC的中點(diǎn)，則四邊形BNDM的形狀是12．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以每秒cm的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，將△PQC沿BC翻折，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P′．設(shè)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t秒，則t的值為時(shí)，四邊形QPCP′為菱形．13．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD為AC的中線，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作BD的平行線，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，在AF的延長(zhǎng)線上截取FG＝BD，連接BG、DF．若AG＝13，CF＝6，則BG＝．14．如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，連接AE交對(duì)角線BD于點(diǎn)F，連接CF，若∠AED＝40°，則∠BCF＝°．15．如圖，在菱形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC，分別交BD，BC于點(diǎn)E，H，F(xiàn)為ED的中點(diǎn)，∠BAF＝120°，則∠C的度數(shù)為．16．如圖，在菱形ABCD中，AB＝18cm，∠A＝60°，點(diǎn)E以2cm/s的速度沿AB邊由A向B勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F以4cm/s的速度沿CB邊由C向B運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)到達(dá)點(diǎn)B時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)△DEF為等邊三角形時(shí)，t的值為．17．如圖，已知平行四邊形ABCD中，AB＝BC，BC＝10，∠BCD＝60°，兩頂點(diǎn)B、D分別在平面直角坐標(biāo)系的y軸、x軸的正半軸上滑動(dòng)，連接OA，則OA的長(zhǎng)的最小值是．18．如圖，在四邊形ABCD中，AC＝BD＝6，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則EG2+FH2＝．19．如圖所示，四邊形ABCD中，AC⊥BD于點(diǎn)O，AO＝CO＝8，BO＝DO＝6，點(diǎn)P為線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）填空：AD＝CD＝．（2）過(guò)點(diǎn)P分別作PM⊥AD于M點(diǎn)，作PH⊥DC于H點(diǎn)．連接PB，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PM+PH+PB的最小值為．三．解答題20．如圖，菱形ABCD中，E為AB邊上的一點(diǎn)，F(xiàn)為BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且∠BED+∠F＝180°求證：DE＝DF．21．如圖，菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，AB上的點(diǎn)，且AE＝AF，連接并延長(zhǎng)EF，與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，連接BD．（1）求證：四邊形EGBD是平行四邊形；（2）連接AG，若∠FGB＝30°，GB＝AE＝2，求AG的長(zhǎng)．22．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F．（1）若∠B＝30°，AC＝6，求CE的長(zhǎng)；（2）過(guò)點(diǎn)F作AB的垂線，垂足為G，連接EG，試判斷四邊形CEGF的形狀，并說(shuō)明原因．23．如圖，菱形ABCD中，∠B＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，且BE＝AF．（1）求證：△ECF為等邊三角形；（2）連接AC，若AC將四邊形AECF的面積分為1：2兩部分，當(dāng)AB＝6時(shí)，求△BEC的面積．24．如圖，在?ABCD中，CE平分∠BCD，交AD于點(diǎn)E，DF平分∠ADC，交BC于點(diǎn)F，CE與DF交于點(diǎn)P，連接EF，BP．（1）求證：四邊形CDEF是菱形；（2）若AB＝2，BC＝3，∠A＝120°，求BP的值．25．在?ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，且BE＝DF．（1）如圖1，求證：?ABCD是菱形；（2）如圖2，連接BD，交AE于點(diǎn)G，交AF于點(diǎn)H，連接EF、FG，若∠CEF＝30°，在不添加任何字母及輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中面積是△BEG面積2倍的所有三角形．參考答案一．選擇題1．解：連接BD、AC；∵△ADE、△ECB是等邊三角形，∴AE＝DE，EC＝BE，∠AED＝∠BEC＝60°；∴∠AEC＝∠DEB＝120°；∴△AEC≌△DEB（SAS）；∴AC＝BD；∵M(jìn)、N是CD、AD的中點(diǎn)，∴MN是△ACD的中位線，即MN＝AC；同理可證得：NP＝DB，QP＝AC，MQ＝BD；∴MN＝NP＝PQ＝MQ，∴四邊形NPQM是菱形；故選：C．2．解：∵∠BAC＝30°，△ABD是等邊三角形，∴∠BAD＝60°，∴∠DAF＝90°，∴DF＞AD，∴四邊形ADFE不可能是菱形．故①錯(cuò)誤．連接BF．∵△ABC是直角三角形，AF＝CF，∴FA＝FB，∵DA＝DB，∴DF垂直平分線段AB，故②正確，∵AE⊥AB，DF⊥AB，∴AE∥DF，∵AE＝2AF，DF＝2AF，∴AE＝DF，∴四邊形AEFD是平行四邊形，∴OA＝OF，∴AE＝AC＝4OA，故③正確，在Rt△AFG中，∠FAG＝30°，∴AF＝2FG，∵EC＝AC＝2AF，∴EC＝4FG，故④正確，故選：D．3．解：∵AG∥BD，BD＝FG，∴四邊形BGFD是平行四邊形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，∴BD＝DF＝AC，∴四邊形BGFD是菱形，設(shè)AF＝x，則AC＝x+2，F(xiàn)C＝6，∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，∴AF2+CF2＝AC2，即x2+62＝（2+x）2，解得：x＝8，故AC＝10，故四邊形BDFG的周長(zhǎng)＝4BD＝2×10＝20．故選：D．4．解：∵四邊形ABCD的四邊都相等，∴四邊形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，∠DAB＝∠C，AD∥BC，∴∠DAB+∠B＝180°，∵△AMN是等邊三角形，AM＝AB，∴∠AMN＝∠ANM＝60°，AM＝AD，∴∠B＝∠AMB，∠D＝∠AND，由三角形的內(nèi)角和定理得：∠BAM＝∠NAD，設(shè)∠BAM＝∠NAD＝x，則∠D＝∠AND＝180°﹣60°﹣2x，∵∠NAD+∠D+∠AND＝180°，∴x+2（180°﹣60°﹣2x）＝180°，解得：x＝20°，∴∠C＝∠BAD＝2×20°+60°＝100°．故選：A．5．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴BO＝DO＝BD，AD＝BC，AB＝CD，AB∥BC，又∵BD＝2AD，∴OB＝BC＝OD＝DA，且點(diǎn)E是OC中點(diǎn)，∴BE⊥AC，故①正確；∵E、F分別是OC、OD的中點(diǎn)，∴EF∥CD，EF＝CD，∵點(diǎn)G是Rt△ABE斜邊AB上的中點(diǎn)，∴GE＝AB＝AG＝BG∴EG＝EF＝AG＝BG，無(wú)法證明GE＝GF，故②錯(cuò)誤；∵BG＝EF，AB∥CD∥EF，∴四邊形BGFE是平行四邊形，∴GF＝BE，且BG＝EF，GE＝GE，∴△BGE≌△FEG（SSS）故③正確；∵EF∥CD∥AB，∴∠BAC＝∠ACD＝∠AEF，∵AG＝GE，∴∠GAE＝∠AEG，∴∠AEG＝∠AEF，∴AE平分∠GEF，故④正確，若四邊形BEFG是菱形∴BE＝BG＝AB，∴∠BAC＝30°與題意不符合故⑤錯(cuò)誤，故選：B．6．解：∵A（2，0），B（，1），∴OA＝2，OB＝＝2，∴OA＝OB，∴點(diǎn)A向右平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到點(diǎn)C，則四邊形OACB是菱形．故選：C．7．解：∵E、F、G、H分別是BD、BC、AC、AD的中點(diǎn)，∴EF＝CD，F(xiàn)G＝AB，GH＝CD，HE＝AB，∵AB＝CD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四邊形EFGH是菱形，∴①EG⊥FH，正確；②四邊形EFGH是菱形，正確；③HF平分∠EHG，正確；④當(dāng)AD∥BC，如圖所示：E，G分別為BD，AC中點(diǎn)，∴連接CD，延長(zhǎng)EG到CD上一點(diǎn)N，∴EN＝BC，GN＝AD，∴EG＝（BC﹣AD），只有AD∥BC時(shí)才可以成立，而本題AD與BC很顯然不平行，故本小題錯(cuò)誤．綜上所述，①②③共3個(gè)正確．故選：C．8．解：如圖1，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，，∵AD∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵兩個(gè)矩形的寬都是3，∴AE＝AF＝3，∵S四邊形ABCD＝AE?BC＝AF?CD，∴BC＝CD，∴平行四邊形ABCD是菱形．如圖2，當(dāng)菱形的一條對(duì)角線為矩形的對(duì)角線時(shí)，四邊形ABCD的面積最大，，設(shè)AB＝BC＝x，則BE＝9﹣x，∵BC2＝BE2+CE2，∴x2＝（9﹣x）2+32，解得x＝5，∴四邊形ABCD面積的最大值是：5×3＝15．故選：A．9．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵點(diǎn)F、G分別是AD、BC的中點(diǎn)，∴AF＝AD，BG＝BC，∴AF＝BG，∵AF∥BG，∴四邊形ABGF是平行四邊形，∴AB∥FG，∵CE⊥AB，∴CE⊥FG；故①正確；∵AD＝2AB，AD＝2AF，∴AB＝AF，∴四邊形ABGF是菱形，故②正確；延長(zhǎng)EF，交CD延長(zhǎng)線于M，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠A＝∠MDF，∵F為AD中點(diǎn)，∴AF＝FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ECD＝90°，∵FM＝EF，∴FC＝EF＝FM，故③正確；∴∠FCD＝∠M，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD∥BC，∵AF＝DF，AD＝2AB，∴DF＝DC，∴∠DCF＝∠DFC，∴∠M＝∠FCD＝∠CFD，∵∠EFC＝∠M+∠FCD＝2∠CFD；故④正確，故選：D．10．解：連接FC，如圖所示：∵∠ACB＝90°，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，∴FA＝FB＝FC，∵△ACE是等邊三角形，∴EA＝EC，∵FA＝FC，EA＝EC，∴點(diǎn)F、點(diǎn)E都在線段AC的垂直平分線上，∴EF垂直平分AC，即EF⊥AC；∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，∴DF⊥AB即∠DFA＝90°，BD＝DA＝AB＝2AF，∠DBA＝∠DAB＝∠EAC＝∠ACE＝60°．∵∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠EAF＝90°，∴∠DFA＝∠EAF＝90°，DA⊥AC，∴DF∥AE，DA∥EF，∴四邊形ADFE為平行四邊形而不是菱形；∵四邊形ADFE為平行四邊形，∴DA＝EF，AF＝2AG，∴BD＝DA＝EF，DA＝AB＝2AF＝4AG；在△DBF和△EFA中，，∴△DBF≌△EFA（SAS）；綜上所述：①③④正確，故選：C．二．填空題11．解：∵O是BD的中點(diǎn)，∴BO＝DO，且NO＝MO，∴四邊形BNDM是平行四邊形，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中點(diǎn)，∴BM＝AC＝DM，∴平行四邊形BNDM是菱形，故答案為：菱形．12．解：如圖，連接PP′交CQ于D，∵四邊形QPCP′為菱形，∴PP′⊥CQ，CD＝DQ，∵點(diǎn)Q的速度是每秒1cm，∴CD＝CQ＝（8﹣t）cm，過(guò)點(diǎn)P作PO⊥AC于O，則四邊形CDPO是矩形，∴CD＝PO，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝45°，∴PO＝AP，∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度是每秒cm，∴PO＝×t＝tcm，∴（8﹣t）＝t，解得t＝．故答案為：．13．解：∵AG∥BD，BD＝FG，∴四邊形BGFD是平行四邊形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，∴BD＝DF＝AC，∴四邊形BGFD是菱形，設(shè)GF＝x，則AF＝13﹣x，AC＝2x，∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，∴AF2+CF2＝AC2，即（13﹣x）2+62＝（2x）2，解得：x＝5，即BG＝5．故答案是：5．14．解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝CD，AD∥BC，∠ADF＝∠BDC，∵AD＝CD，∠ADF＝∠BDC，DF＝DF，∴△ADF≌△CDF（SAS），∴∠DAF＝∠DCF，∵∠AED＝40°，∴∠DAE+∠ADE＝140°，∴∠ADE+∠DCF＝140°，∵AD∥BC，∴∠ADE+∠BCD＝180°，∴∠ADE+∠BCF+∠DCF＝180°，∴∠BCF＝40°，故答案為：40．15．解：設(shè)∠CBD＝x，∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BC，∠ABD＝∠CBD＝x，∴∠ADB＝∠CBD＝x，∵AH⊥BC，AD∥BC，∴∠DAH＝∠AHB＝90°，∵F為ED的中點(diǎn)．∴AF＝FD，∴∠FAD＝∠ADB＝x，∵∠BAF＝120°，∴∠BAD＝120°+x，∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，可得：2x+120°+x＝180°，解得：x＝20°，∴∠BAD＝120°+x＝140°∵四邊形ABCD為菱形，∴∠C＝∠BAD＝140°．故答案為：140°．16．解：連接BD．如圖：∵四邊形ABCD是菱形，∠A＝60°，∴AD＝CD＝BC＝AB＝18，△ADB，△BDC都是等邊三角形，∴AD＝BD，∠ADB＝∠DBF＝60°，∵△DEF是等邊三角形，∴∠EDF＝60°，∴∠ADB＝∠EDF，∴∠ADE＝∠BDF，在△ADE和△BDF中，，∴△ADE≌△BDF（ASA），∴AE＝BF，∴2t＝18﹣4t，∴t＝3，故答案為：3s．17．解：如圖所示：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)A，O，E在一條直線上，此時(shí)AO最短，∵平行四邊形ABCD中，AB＝BC，BC＝10，∠BCD＝60°，∴AB＝AD＝CD＝BC＝10，∠BAD＝∠BCD＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AE過(guò)點(diǎn)O，E為BD中點(diǎn)，∵∠BOD＝90°，BD＝10，∴EO＝5，故AO的最小值為：AO＝AE﹣EO＝ABsin60°﹣×BD＝5﹣5．故答案為：5﹣5．18．解：如右圖，連接EF，F(xiàn)G，GH，EH，∵E、H分別是AB、DA的中點(diǎn)，∴EH是△ABD的中位線，∴EH＝BD＝3，同理可得EF，F(xiàn)G，GH分別是△ABC，△BCD，△ACD的中位線，∴EF＝GH＝AC＝3，F(xiàn)G＝BD＝3，∴EH＝EF＝GH＝FG＝3，∴四邊形EFGH為菱形，∴EG⊥HF，且垂足為O，∴EG＝2OE，F(xiàn)H＝2OH，在Rt△OEH中，根據(jù)勾股定理得：OE2+OH2＝EH2＝9，等式兩邊同時(shí)乘以4得：4OE2+4OH2＝9×4＝36，∴（2OE）2+（2OH）2＝36，即EG2+FH2＝36．故答案為：36．19．解：（1）∵AC⊥BD于點(diǎn)O，∴△AOD為直角三角形．∴AD＝＝＝10．∵AC⊥BD于點(diǎn)O，AO＝CO，∴CD＝AD＝10．故答案為：10；（2）如圖1所示：連接PD．∵S△ADP+S△CDP＝S△ADC，∴AD?PM+DC?PH＝AC?OD，即×10×PM+×10×PH＝×16×6．∴10×（PM+PH）＝16×6．∴PM+PH＝＝，∴當(dāng)PB最短時(shí)，PM+PH+PB有最小值，∵由垂線段最短可知：當(dāng)BP⊥AC時(shí)，PB最短．∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，PM+PH+PB有最小，最小值＝+6＝．故答案為：10，．三．解答題20．解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥AB于N，DM⊥BC于F，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵S菱形ABCD＝AB×DN＝BC×DM，∴DN＝DM，∵∠BED+∠F＝180°，∠BED+∠AED＝180°，∴∠F＝∠AED，又∵∠DNE＝∠DMF，∴△DNE≌△DMF（AAS）∴DE＝DF．21．證明：（1）連接AC，如圖1：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAB，且AC⊥BD，∵AF＝AE，∴AC⊥EF，∴EG∥BD．又∵菱形ABCD中，ED∥BG，∴四邊形EGBD是平行四邊形．（2）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H．∵∠FGB＝30°，∴∠DBC＝30°，∴∠ABH＝2∠DBC＝60°，∵GB＝AE＝2，∴AB＝AD＝4，在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∴AH＝2，BH＝2．∴GH＝4，∴AG＝＝＝2．22．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝30°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠BAF＝30°，∴CE＝AE，過(guò)點(diǎn)E用EH垂直于AC于點(diǎn)H，∴CH＝AH∵AC＝6，∴CE＝2答：CE的長(zhǎng)為2；（2）∵FG⊥AB，F(xiàn)C⊥AC，AF平分∠CAB，∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝GF，在Rt△ACF與Rt△AGF中，AF＝AF，CF＝GF，∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），∴∠AFC＝∠AFG，∵CD⊥AB，F(xiàn)G⊥AB，∴CD∥FG，∴∠CEF＝∠EFG，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴CE＝FG，∴四邊形CEGF是菱形23．解：（1）證明：連接AC，∵四邊形ABCD是菱形，∴BA＝BC＝AD＝DC，又∵∠B＝60°，∴△ABC和△ADC都是等邊三角形，∴∠CAD＝∠ACB＝∠ACD＝60°，在△CBE和△CAF中，，∴△CBE≌△CAF（SAS），∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，∴∠ECF＝60°，∴△ECF為等邊三角形；（2）由（1）可知△CBE≌△CAF，∴S△CBE＝S△CAF，∴S四邊形AECF＝S△ABC，作AH⊥BC交BC于點(diǎn)H，在△ABH中，∠B＝60°，AB＝6，∴BH＝3，∴AH＝3，∴S△ABC＝×6×3＝9，當(dāng)S△CBE：S△CAE＝1：2時(shí)，S△BEC的面積＝S△ABC＝3；當(dāng)S△CBE：S△CAE＝2：1時(shí)，S△BEC的面積＝S△ABC＝6；綜上，△BE