人教版八年級數(shù)學(xué)下冊16.1二次根式教案及反思（2課時）

第十六章二次根式16．1二次根式第1課時二次根式的概念教學(xué)目標【知識與技能】了解二次根式的概念，理解eq\r(a)是一個非負數(shù)．【過程與方法】通過新舊知識的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生觀察、演繹能力，發(fā)展學(xué)生的歸納概括能力．【情感態(tài)度】通過觀察一些特殊的情形，獲得一般結(jié)論，使學(xué)生感受歸納的思想方法，進而體驗成功的喜悅，并通過合作學(xué)習(xí)增進終身學(xué)習(xí)的信念．【教學(xué)重點】二次根式的概念及eq\r(a)≥0的基本性質(zhì)【教學(xué)難點】經(jīng)歷知識產(chǎn)生的過程，探索新知識．教學(xué)過程一、情境導(dǎo)入，初步認識問題(1)一個長方形的圍欄，長是寬的3倍，面積為39m2，則它的寬為________m；(2)面積為S的正方形的邊長為________；(3)一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間t(單位：s)與開始落下的高度h(單位：m)滿足關(guān)系h＝5t2，如果用含h的式子表示t，則t＝________．【教學(xué)說明】設(shè)置上述問題的目的是讓學(xué)生感受到研究二次根式是實際的需要，二次根式與實際生活聯(lián)系緊密．教師提出問題后，讓學(xué)生獨立思考，然后相互交流，獲得對二次根式的感性認識．二、思考探究，獲取新知思考通過對上述問題的探究，可得到形如eq\r(13)，eq\r(S)，eq\r(\f(h,5))的式子，這些式子有什么特點？【教學(xué)說明】教師提出問題，同學(xué)生一道分析，體會這些式子的特征，從而引出二次根式的定義．二次根式：一般地，我們把形如eq\r(a)(a≥0)形式的式子稱為二次根式，其中“eq\r()”稱為二次根號．針對上述定義，教師可強調(diào)以下幾點：(1)eq\r(a)中，a必須是大于等于0的數(shù)或式子，否則它就沒有意義了；(2)盡管eq\r(4)＝2是一個整數(shù)，但eq\r(4)仍應(yīng)稱為一個二次根式；(3)當(dāng)a≥0時，eq\r(a)表示a的算術(shù)平方根，而一個非負數(shù)的算術(shù)平方根必然也是非負數(shù)，因而總有eq\r(a)≥0(a≥0)．三、典例精析，掌握新知【例1】下列各式中，一定是二次根式的有________．①eq\r(－3)；②－2eq\r(a2)；③eq\r(a2＋1)；④eq\r(a＋1).分析：判斷二次根式應(yīng)關(guān)注兩點：(1)有二次根號“eq\r()”；(2)被開方數(shù)必須是非負數(shù)．因而在所給出四個式子中，只有②③中的式子同時符合兩個要求，故應(yīng)填②③.【例2】當(dāng)x為何值時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義．(1)eq\r(x－2)；(2)eq\r(3－x)＋eq\r(x－2)；(3)eq\f(1,\r(2x－1)).解：(1)中，由x－2≥0，得x≥2；(2)中，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x≥0,x－2≥0))得2≤x≤3；(3)中，由2x－1＞0，得x＞eq\f(1,2).【例3】(1)已知eq\r(x＋1)＋eq\r(y－3)＝0，求x，y的值；(2)若y＝eq\r(2x－1)＋eq\r(1－2x)＋3，求xy的值．解：(1)由eq\r(x＋1)≥0，eq\r(y－3)≥0，又因為它們的和為0，故當(dāng)且僅當(dāng)eq\r(x＋1)＝0和eq\r(y－3)＝0才行，從而x＝－1，y＝3；(2)中，由二次根式定義可知，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1≥0，,1－2x≥0))，∴x＝eq\f(1,2)，∴y＝0＋0＋3＝3，故xy＝(eq\f(1,2))3＝eq\f(1,8).【教學(xué)說明】對于例3，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生分析題目特征，抓住解決問題的突破口，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉慝@得解題思路，進一步體驗eq\r(a)中a≥0及a≥0的雙重非負性特征.四、運用新知，深化理解1．填空題：(1)形如________的式子叫二次根式；(2)負數(shù)________(填“有”或者“沒有”)算術(shù)平方根．2．當(dāng)a是怎樣的實數(shù)時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義：(1)eq\r(a－1)；(2)eq\r(2a＋3)；(3)eq\r(a2＋2)；3．已知eq\r(2a＋1)＋(b－3)2＝0，試求a、b的值；4．已知實數(shù)x、y滿足等式y(tǒng)＝eq\r(3－x)＋eq\r(x－3)－5，求x2－2xy＋y2的值．5．已知實數(shù)a滿足eq\r(（2022－a）2)＋eq\r(a－2022)＝a，求a－20222的值．6．已知eq\r(a－2)＋eq\r(b＋\f(1,2))＝0，求－a2b的值．【教學(xué)說明】學(xué)生自主探究，教師巡視，了解學(xué)生對本節(jié)課知識的掌握情況，及時予以指導(dǎo)，幫助學(xué)生鞏固新知．解：1.(1)eq\r(a)(a≥0)(2)沒有2．(1)a≥1(2)a≥－eq\f(3,2)(3)a為一切實數(shù)3．由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋1＝0,b－3＝0))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,2),b＝3))4．由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x≥0,x－3≥0))，∴x＝3，y＝－5，∴x2－2xy＋y2＝(x－y)2＝(3＋5)2＝64.5．由題意知：a－2022≥0，∴a≥2022，∴2022－a＜0，原式可化為a－2022＋eq\r(a－2022)＝a，∴eq\r(a－2022)＝2022，∴a－2022＝20222，∴a－20222＝2022.6．當(dāng)eq\r(a－2)≥0，eq\r(b＋\f(1,2))≥0，又∵它們的和為0，∴a－2＝0且b＋eq\f(1,2)＝0，解得a＝2，b＝－eq\f(1,2)，∴－a2b＝－22×(－eq\f(1,2))＝2.五、師生互動，課堂小結(jié)通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你掌握了哪些新知識，你獲得哪些解決二次根式問題的方法？你還有哪些問題？請與同伴交流．【教學(xué)說明】學(xué)生相互交流，回顧知識，反思問題，共同發(fā)展提高．課后作業(yè)1．布置作業(yè)：從教材“習(xí)題”中選取．2．完成練習(xí)冊中本課時練習(xí)．教學(xué)反思1．教師創(chuàng)設(shè)情境，給出實例．學(xué)生積極主動探索，教師引導(dǎo)與啟發(fā)，師生互動．體現(xiàn)教師的組織者、引導(dǎo)者與合作者地位．2．注意知識之間的銜接，在溫故知新的過程中引導(dǎo)出新知，講練結(jié)合旨在鞏固學(xué)生對新知的理解．

第2課時二次根式的性質(zhì)教學(xué)目標【知識與技能】理解并掌握二次根式的性質(zhì)，正確區(qū)分(eq\r(a))2＝a(a≥0)與eq\r(a2)＝a(a≥0)，并利用它們進行化簡和計算．【過程與方法】在探索二次根式性質(zhì)的學(xué)習(xí)活動中，進一步增強學(xué)生的參與意識，培養(yǎng)學(xué)生的計算能力和解決問題的能力．【情感態(tài)度】通過創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生主動探究意識和創(chuàng)新精神，形成良好的心理品質(zhì)，促進身心健康發(fā)展．【教學(xué)重點】(eq\r(a))2＝a(a≥0)，eq\r(a2)＝a(a≥0)及其應(yīng)用．【教學(xué)難點】用探究的方法探索(eq\r(a))2＝a(a≥0)及eq\r(a2)＝a(a≥0)的結(jié)論．教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情境，初步認識試一試：請根據(jù)算術(shù)平方根填空．(eq\r(4))2＝________；(eq\r(2))2＝________；(eq\r(\f(1,3)))2＝________；(eq\r(0))2＝________．猜一猜：通過對上述問題的思考，你能猜想出(eq\r(a))2(a≥0)的結(jié)論是什么？說說你的理由．【教學(xué)說明】讓學(xué)生通過具體實例所展示的特征，猜想出結(jié)果，然后再利用算術(shù)平方根的意義對所猜測結(jié)論進行分析，由感性認識到理性思考，培養(yǎng)學(xué)生利用代數(shù)語言進行推理的能力．二、思考探究，獲取新知在學(xué)生相互交流的基礎(chǔ)上可歸納出：(eq\r(a))2＝a(a≥0)．進一步地，引導(dǎo)學(xué)生探究新的問題．探究(1)填空：eq\r(22)＝________，eq\r＝________，eq\r(（\f(2,3)）2)＝________，eq\r(02)＝________．(2)通過(1)的思考，你能確定eq\r(a2)(a≥0)的化簡結(jié)果嗎？說說你的理由．【教學(xué)說明】教師應(yīng)盡力引導(dǎo)學(xué)生積極主動進行探究思考，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)現(xiàn)與完善的過程，深化對所學(xué)知識的理解和記憶，最后師生共同完成對知識的歸納總結(jié)．【歸納結(jié)論】一般地，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，有eq\r(a2)＝a(a≥0)．最后，教師給出代數(shù)式的概念．代數(shù)式：用運算符號(加、減、乘、除、乘方和開方)把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子稱為代數(shù)式．(代數(shù)式的定義只要求學(xué)生了解就行，不必深究．)三、典例精析，掌握新知【例1】計算：(1)(eq\r)2(2)(2eq\r(5))2【例2】化簡：(1)eq\r(16)；(2)eq\r(（－5）2).【例3】試一試：在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(1)x2－3；(2)3x2－4.解：(1)x2－3＝x2－(eq\r(3))2＝(x＋eq\r(3))(x－eq\r(3))；(2)3x2－4＝(eq\r(3)x)2－22＝(eq\r(3)x＋2)(eq\r(3)x－2)．想一想：我們知道，當(dāng)a≥0時，eq\r(a2)＝a，那么當(dāng)a＜0時，eq\r(a2)的結(jié)論又如何？你是怎樣想的？【教學(xué)說明】讓學(xué)生自主探究，相互交流，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過探討eq\r(（－5）2)，eq\r(（－\f(2,3)）2)，eq\r(（－）2)等來發(fā)現(xiàn)結(jié)論．【歸納結(jié)論】eq\r(a2)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a＞0），,0（a＝0），,－a（a＜0）.))做一做：實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：eq\r(a2)－eq\r(b2)－eq\r(（a－b）2).解：由圖可知，a＜0，b＞0，a－b＜0，∴eq\r(a2)－eq\r(b2)－eq\r(（a－b）2)＝|a|－|b|－|a－b|＝－a－b－[－(a－b)]＝－a－b＋a－b＝－2b.【教學(xué)說明】以上例1、例2可由學(xué)生自主完成，教師巡視，對有困難的學(xué)生及時予以指導(dǎo)，讓每個學(xué)生都能得到發(fā)展．例3教師引導(dǎo)學(xué)生看懂?dāng)?shù)軸，結(jié)合數(shù)軸確定a、b的符號．四、運用新知，深化理解1．化簡：(1)eq\r(16)；(2)eq\r(（－3）2)；(3)eq\r(25)；(4)eq\r(（－\f(1,2)）2).2．填空題：(1)若eq\r(20m)是一個正整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是________．(2)當(dāng)x＞2時，則eq\r(（x－2）2)－eq\r(（1－2x）2)＝______．3．計算或化簡：(1)(－eq\r(5))2－eq\r(（－5）2)＋(1－eq\r(2))0；(2)eq\r(（－7）2)＋(－7eq\r(\f(2,7)))2.4．綜合提高題：(1)在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式．①x2－2；②x4－9.(2)若－3≤x≤2時，試化簡|x－2|＋eq\r(（x＋3）2)＋eq\r(x2－10x＋25).【教學(xué)說明】以上1～3題可試著讓學(xué)生自主完成，第4題稍有難度，教師適時點撥．解：(1)eq\r(20m)是一個正整數(shù)，則20m應(yīng)該是一個完全平方數(shù)，20m＝22×5m，所以m的最小值應(yīng)取5.(2)本題中的兩個二次根式都可以利用eq\r(a2)＝|a|進行化簡．然后再根據(jù)x＞2這個范圍，來判斷x－2與1－2x的正負，最后化簡掉絕對值符號．∵x＞2，∴x－2＞0，1－2x＜0.∴eq\r(（x－2）2)－eq\r(（1－2x）2)＝(x－2)＋(1－2x)＝－x－1.3.(1)原式＝5－5＋1＝1(2)原式＝7＋49×eq\f(2,7)＝7＋14＝214．(1)①x2－2＝x2－(eq\r(2))2＝(x＋eq\r(2))(x－eq\r(2))；②x4－9＝x4－32＝(x2＋3)(x2－3)＝(x2＋3)(x＋eq\r(3))(x－eq\r(3).(2)首先利用a2＝|a|化簡掉二次根號，再根據(jù)x的取值范圍來判斷絕對值中的代數(shù)式的正負，化掉絕對值的符號．|x－2|＋eq\r(（x＋3）2)＋eq\r(x2－10x＋25)＝|x－2|＋|x＋3|＋|x－5|.∵－3≤x≤2，∴x－2≤0，x＋3≥0，x－5≤0，∴原式＝－(x－2)＋(x＋3)－(x－5)＝－x＋2＋x＋3－x＋5＝10－x.五、師生互動，課堂小結(jié)1．本節(jié)知識可這樣歸納：(1)(eq\r(a))2＝a(a≥0)(2)eq\r(a2)＝|a|＝eq