2020-2021高中數(shù)學(xué)人教版第二冊學(xué)案：9.1.1簡單隨機(jī)抽樣含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精新教材2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版必修第二冊學(xué)案：9.1.1簡單隨機(jī)抽樣含解析第九章統(tǒng)計(jì)9．1隨機(jī)抽樣9．1.1簡單隨機(jī)抽樣［目標(biāo)]1.理解簡單隨機(jī)抽樣的概念；2.掌握常見的兩種簡單隨機(jī)抽樣的方法;3.能合理地從實(shí)際問題的總體中抽取樣本．[重點(diǎn)］掌握用簡單隨機(jī)抽樣方法（抽簽法和隨機(jī)數(shù)法)從總體中抽取樣本的方法和步驟．[難點(diǎn)]運(yùn)用簡單隨機(jī)抽樣方法解決實(shí)際問題．要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)知識點(diǎn)一簡單隨機(jī)抽樣的概念［填一填］一般地，設(shè)一個總體含有N（N為正整數(shù)）個個體，從中逐個抽取n（1≤n<N）個個體作為樣本，如果抽取是放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡單隨機(jī)抽樣；如果抽取是不放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)未進(jìn)入樣本的各個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡單隨機(jī)抽樣．放回簡單隨機(jī)抽樣和不放回簡單隨機(jī)抽樣統(tǒng)稱為簡單隨機(jī)抽樣．［答一答］1．現(xiàn)有甲、乙兩位同學(xué)對同一個總體用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽樣，那么他們抽取的樣本一定一樣嗎?提示：這兩位同學(xué)抽出來的樣本不一定一樣．因?yàn)閷τ谝淮魏唵坞S機(jī)抽樣來說，抽出來的樣本是確定的，而這兩位同學(xué)分別抽取時(shí)，各個個體是否入樣帶有隨機(jī)性，且個體間無固定間距．2．利用簡單隨機(jī)抽樣，從一個含有N個個體的總體中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本（n≤N)，每個個體入樣的可能性是多少?提示：簡單隨機(jī)抽樣每一次抽取時(shí)總體中的各個個體有相同的可能性被抽到,均為eq\f(n,N)。3．根據(jù)簡單隨機(jī)抽樣的定義，簡單隨機(jī)抽樣有哪些特征？提示:簡單隨機(jī)抽樣的特征是:總體個數(shù)有限、逐個抽取、等可能．知識點(diǎn)二簡單隨機(jī)抽樣的方法［填一填］1．抽簽法一般地，抽簽法就是把總體中的N個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個不透明的容器中，攪拌均勻后，從中不放回地逐個抽取號簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個容量為n的樣本．2．隨機(jī)數(shù)法利用隨機(jī)數(shù)表、隨機(jī)數(shù)骰子或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行抽樣．［答一答]4．抽取一個號簽，記錄其編號后放入容器中，再次抽取記錄,連續(xù)n次后得到號簽上的號碼對應(yīng)的個體,這些個體組成樣本，這種抽樣方法是抽簽法嗎?提示：不是．因?yàn)槌楹灧ㄊ侵饌€不放回抽取，目的是保證抽取的號簽不會重復(fù)，而這里是將號簽記錄編號后又放回容器中，所以該抽樣方法不是抽簽法．5．抽簽法的一般步驟是什么？提示：（1）將總體中個體編號1～N.（2）將所有編號1～N寫在形狀、大小相同的號簽上．(3)將號簽放在一個不透明的容器中，攪拌均勻．(4)從容器中不放回地逐個抽取號簽,并記錄其編號,連續(xù)抽取n次．(5）從總體中將與抽取到的號簽的編號相一致的個體取出．6．抽簽法與隨機(jī)數(shù)法有哪些相同點(diǎn)與不同點(diǎn)?提示：相同點(diǎn):①抽簽法和隨機(jī)數(shù)法都是簡單隨機(jī)抽樣的方法，并且要求被抽取樣本的總體的個數(shù)有限;②抽簽法和隨機(jī)數(shù)法都是從總體中逐個地進(jìn)行抽取,都是不放回抽樣．不同點(diǎn)：①抽簽法相對于隨機(jī)數(shù)法簡單；②隨機(jī)數(shù)法更適用于總體中的個體數(shù)較多的情況，而抽簽法適用于總體中的個體數(shù)相對較少的情況,所以當(dāng)總體中的個體數(shù)較多時(shí),應(yīng)當(dāng)選用隨機(jī)數(shù)法，這樣可以節(jié)約制作號簽的成本．知識點(diǎn)三總體平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)[填一填］1．一般地，總體中有N個個體,它們的變量值分別為Y1，Y2，…,YN，則稱eq\x\to(Y)＝eq\f（Y1＋Y2＋…＋YN,N)＝eq\f（1，N）eq\i\su(i＝1,N，Y)i為總體均值,又稱總體平均數(shù)．2．一般地，對于f1個x1，f2個x2,…，fn個xn，共f1＋f2＋…＋fn個數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(x1f1＋x2f2＋…＋xnfn,f1＋f2＋…＋fn)。這個平均數(shù)叫做加權(quán)平均數(shù)，其中f1，f2，…,fn叫做權(quán)，這個“權(quán)"，含有權(quán)衡所占份量的輕重之意，即fi(i＝1,2，…,k）越大，表明xi的個數(shù)越多,“權(quán)"就越大．[答一答］7．算術(shù)平均數(shù)與加權(quán)平均數(shù)有什么區(qū)別？提示：一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)與加權(quán)平均數(shù)概念是不一樣的，簡單的說,如果一組數(shù)據(jù)是：70，90，那么,它的算術(shù)平均數(shù)＝(70＋90）÷2＝80，而加權(quán)平均數(shù)則取決于各個數(shù)據(jù)的權(quán)(或權(quán)重)．當(dāng)70的權(quán)重是40%,90的權(quán)重是60％時(shí),加權(quán)平均數(shù)＝70×40%＋90×60％＝82;當(dāng)70的權(quán)重是70％，90的權(quán)重是30%時(shí),加權(quán)平均數(shù)＝70×70％＋90×30%＝76；當(dāng)70的權(quán)重是50％，90的權(quán)重是50%時(shí),加權(quán)平均數(shù)＝70×50％＋90×50％＝80。由此可見，一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)只有一個，當(dāng)數(shù)據(jù)組中的每個數(shù)據(jù)確定后,算術(shù)平均數(shù)也確定了．而一組數(shù)據(jù)的加權(quán)平均數(shù)可能有多個，它是根據(jù)各個數(shù)據(jù)的權(quán)重不同而發(fā)生變化的，當(dāng)各個數(shù)據(jù)的權(quán)重一樣時(shí)，加權(quán)平均數(shù)等于算術(shù)平均數(shù)．當(dāng)各個數(shù)據(jù)的權(quán)重不同時(shí),加權(quán)平均數(shù)不一定等于算術(shù)平均數(shù).典例講練破題型類型一簡單隨機(jī)抽樣的概念[例1］（1）關(guān)于簡單隨機(jī)抽樣,下列說法正確的是（)①它要求被抽取樣本的總體的個數(shù)有限；②它是從總體中逐個地進(jìn)行抽取;③它包括不放回抽樣；④它是一種等可能性抽樣，每次從總體中抽取一個個體時(shí)，不僅各個個體被抽取的可能性相等，而且在整個抽樣過程中，各個個體被抽取的可能性也相等，從而保證了這種抽樣方法的公平性．A．①② B．③④C．①②③ D．①②③④（2)下面的抽樣方法是簡單隨機(jī)抽樣的是________．①從無數(shù)張高考試卷中抽取50張?jiān)嚲碜鳛闃颖荆虎趶?0臺筆記本電腦中一次性抽取6臺電腦進(jìn)行質(zhì)量檢查;③一福彩彩民買30選7彩票時(shí)，從裝有30個大小、形狀都相同的乒乓球的盒子(不透明)中逐個無放回地摸出7個有標(biāo)號的乒乓球，作為購買彩票的號碼；④用抽簽法從10件產(chǎn)品中選取3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)．［分析]根據(jù)簡單隨機(jī)抽樣的概念及特征去判斷．[解析]（1）由隨機(jī)抽樣的特征可知①②③④正確,故選D。(2）①中樣本總體數(shù)目不確定，不是簡單隨機(jī)抽樣；②中樣本不是從總體中逐個抽取,不是簡單隨機(jī)抽樣；③④符合簡單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)，是簡單隨機(jī)抽樣．[答案］(1）D(2)③④判斷一個抽樣是否是簡單隨機(jī)抽樣，一定要看它是否滿足簡單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)，這是判斷的唯一標(biāo)準(zhǔn).1簡單隨機(jī)抽樣的總體個數(shù)有限；2簡單隨機(jī)抽樣的樣本是從總體中逐個抽取;3簡單隨機(jī)抽樣包括放回和不放回兩種抽樣;4簡單隨機(jī)抽樣的每個個體入樣機(jī)會均等.[變式訓(xùn)練1］下面的抽樣方法是簡單隨機(jī)抽樣嗎？為什么？(1)從無數(shù)個個體中抽取50個個體作為樣本；（2）質(zhì)量監(jiān)督部門從180種兒童玩具中選出18種玩具進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn),在抽樣操作過程中，從中任取一種玩具檢驗(yàn)后再放回；（3)國家跳水隊(duì)挑出最優(yōu)秀的10名跳水隊(duì)員,備戰(zhàn)2016年里約熱內(nèi)盧奧運(yùn)會;(4）一彩民選號,從裝有36個大小、形狀都相同的號簽的盒子中無放回地抽出6個號簽．解：（1)不是簡單隨機(jī)抽樣，因?yàn)楹唵坞S機(jī)抽樣要求被抽取的樣本總體的個數(shù)是有限的．(2)是簡單隨機(jī)抽樣，因?yàn)楹唵坞S機(jī)抽樣包括放回地抽取樣本．（3)不是簡單隨機(jī)抽樣，因?yàn)檫@10名跳水隊(duì)員是挑選出來的最優(yōu)秀的，每個個體被抽到的可能性不同，不符合簡單隨機(jī)抽樣中“等可能抽樣”的要求．（4）是簡單隨機(jī)抽樣,因?yàn)榭傮w中的個體數(shù)是有限的，并且是從總體中逐個進(jìn)行抽取的，是不放回、等可能的抽樣．類型二簡單隨機(jī)抽樣的應(yīng)用命題視角1：抽簽法的應(yīng)用［例2]某班40名同學(xué)，隨機(jī)抽取10名同學(xué)參加某項(xiàng)活動，請寫出采用抽簽法抽取的過程．［分析］根據(jù)抽簽法的一般步驟來寫．［解]第一步，對這40個學(xué)生進(jìn)行編號,編號分別為1，2，…，40。第二步，將號碼寫在形狀、大小相同的號簽上．第三步，將號簽放在一個不透明的箱中，并攪拌均勻．第四步，從箱中不放回地逐個抽取號簽，連續(xù)抽取10次．第五步，將與號簽上的號碼對應(yīng)的同學(xué)選出即得樣本．一個抽樣能否用抽簽法，關(guān)鍵看兩點(diǎn)：一是制簽是否方便，二是號簽是否容易被攪勻.在適用此法時(shí),一定要注意“放入不透明容器,并充分?jǐn)噭颉?［變式訓(xùn)練2］要從某汽車廠生產(chǎn)的30輛汽車中隨機(jī)抽取3輛進(jìn)行測試，請選擇合適的抽樣方法，并寫出抽樣過程。解：應(yīng)使用抽簽法，步驟如下：①將30輛汽車編號，號碼是1,2，3，…，30；②將1～30這30個編號寫在大小、形狀都相同的號簽上；③將寫好的號簽放入一個不透明的容器中,并攪拌均勻；④從容器中不放回地逐個抽取號簽,連續(xù)抽取3次,并記錄上面的編號；⑤所得號碼對應(yīng)的3輛汽車就是要抽取的對象．命題視角2：隨機(jī)數(shù)表法的應(yīng)用［例3]某學(xué)校高二年級有500名學(xué)生，考試后為詳細(xì)分析教學(xué)中存在的問題，計(jì)劃抽取一個容量為20的樣本，使用隨機(jī)數(shù)法進(jìn)行抽取,要取三位數(shù),寫出抽取過程．（寫出具體方法即可)[分析]已知N＝500,n＝20，用隨機(jī)數(shù)表法抽樣時(shí)編號001,002，…，500,抽取20個編號（都是三位數(shù))，對應(yīng)的學(xué)生組成樣本．[解］第一步：給500名學(xué)生編號:001,002,003,…，500；第二步:從隨機(jī)數(shù)表的第13行第7列（任意選取的)開始向右連續(xù)讀取數(shù)字,以3個數(shù)為一組,碰到右邊線時(shí)向下錯一行由左向右繼續(xù)讀?。谧x取時(shí)，遇到大于500或重復(fù)前數(shù)時(shí)，將它舍棄，再繼續(xù)向下取,直到取滿20個小于或等于500的數(shù)為止，說明20個樣本號碼已取滿;第三步：以上這20個號碼所對應(yīng)的20名學(xué)生就是要抽取的對象．1.在利用隨機(jī)數(shù)表法抽樣的過程中應(yīng)注意：1編號要求位數(shù)相同；2第一個數(shù)字的抽取是隨機(jī)的;3讀數(shù)的方向是任意的，且要事先定好。2.隨機(jī)數(shù)表法的特點(diǎn):優(yōu)點(diǎn)：簡單易行.它很好地解決了當(dāng)總體中的個體數(shù)較多時(shí)用抽簽法制簽難的問題.缺點(diǎn)：當(dāng)總體中的個體數(shù)很多，需要的樣本量也很大時(shí)，用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本容易重號.[變式訓(xùn)練3］總體由編號為01,02，…，19，20的20個個體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個個體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右一次選取兩個數(shù)字,則選出來的第5個個體的編號為（D)7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A．08B．07C．02D．01解析：從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字中小于20的編號依次為08，02，14，07，02，01.其中第二個和第四個都是02，重復(fù)．可知對應(yīng)的數(shù)值為08,02，14，07,01，則第5個個體的編號為01.類型三總體平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)［例4］某班進(jìn)行個人投籃比賽,受污損的下表記錄了在規(guī)定時(shí)間內(nèi)投入n個球的人數(shù)分布情況,同時(shí)，已知進(jìn)球3個或3個以上的人平均每人投進(jìn)3.5個球，進(jìn)球4個或4個以下的人平均每人投進(jìn)2.5個球，問投進(jìn)3個球和4個球的各有多少人？[分析］根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義進(jìn)行列式計(jì)算即可．［解］設(shè)投進(jìn)3個球的人數(shù)為a,投進(jìn)4個球的人數(shù)為b,根據(jù)已知有eq\f（3×a＋4×b＋5×2，a＋b＋2）＝3.5，eq\f（0×1＋1×2＋2×7＋3×a＋4×b,1＋2＋7＋a＋b）＝2.5,即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（0。5a－0。5b＝3,,0.5a＋1.5b＝9,）)解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝9，，b＝3。））故進(jìn)3個球的有9人,進(jìn)4個球的有3人．eq\a\vs4\al（這類題目通常屬簡單題，一般解題模式是：，1根據(jù)題干條件結(jié)合公式列出方程；,2解方程或方程組.)[變式訓(xùn)練4]小林在八年級第一學(xué)期的數(shù)學(xué)書面測驗(yàn)成績分別為：平時(shí)考試第一單元得84分，第二單元得76分，第三單元得92分；期中考試得82分；期末考試得90分，如果按照平時(shí)、期中、期末的權(quán)重分別為10%、30％、60%計(jì)算,那么小林該學(xué)期數(shù)學(xué)書面測驗(yàn)的總平均成績應(yīng)為多少分?解：eq\x\to(x)（平時(shí)單元測試平均成績）＝eq\f（84＋76＋92，3)＝84(分）．所以總平均成績?yōu)閑q\f(84×10％＋82×30％＋90×60%,10%＋30%＋60%）＝87(分)．所以小林該學(xué)期數(shù)學(xué)書面測驗(yàn)的總平均成績應(yīng)為87分．課堂達(dá)標(biāo)練經(jīng)典1．為了了解一批零件的長度，抽測了其中200個零件的長度,在這個問題中，200個零件的長度是（C)A．總體 B．個體C．總體的一個樣本 D．樣本量解析：200個零件的長度從總體中抽出的個體所組成的集合,是總體的一個樣本，故選C.2．用簡單隨機(jī)抽樣方法從含有10個個體的總體中,抽取一個容量為3的樣本,其中某一個體a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分別是(A)A。eq\f（1，10)，eq\f(1,10) B.eq\f(3,10)，eq\f（1，5)C。eq\f(1，5)，eq\f（3,10） D.eq\f（3，10），eq\f(3，10)解析：根據(jù)簡單隨機(jī)抽樣的定義知選A。3．為了了解參加運(yùn)動會的2000名運(yùn)動員的年齡情況，從中抽取20名運(yùn)動員的年齡進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析．就這個問題，下列說法中正確的有④⑤⑥.①2000名運(yùn)動員是總體；②每個運(yùn)動員是個體;③所抽取的20名運(yùn)動員是一個樣本;④樣本量為20;⑤這個抽樣方法可采用隨機(jī)數(shù)表法抽樣;⑥每個運(yùn)動員被抽到的機(jī)會相等．解析:①2000名運(yùn)動員不是總體,2000名運(yùn)動員的年齡才是總體；②每個運(yùn)動員的年齡是個體；③20名運(yùn)動員的年齡是一個樣本．4．天津某大學(xué)為了支持東亞運(yùn)動會,從報(bào)名的60名大三學(xué)生中選10人組成志愿小