2020-2021高中數(shù)學(xué)人教版第一冊(cè)學(xué)案：3.2.2 奇偶性含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)新教材人教A版必修第一冊(cè)學(xué)案：3.2.2奇偶性含解析3。2.2奇偶性【素養(yǎng)目標(biāo)】1．理解奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念．(數(shù)學(xué)抽象)2．掌握判斷某些函數(shù)奇偶性的方法．（邏輯推理）3．掌握奇偶函數(shù)的圖象特征．(直觀想象）4．會(huì)根據(jù)概念和圖象判斷簡(jiǎn)單函數(shù)的奇偶性．（邏輯推理）【學(xué)法解讀】1．學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí)要注意結(jié)合前面所學(xué)的知識(shí)，如單調(diào)性、函數(shù)圖象、解析式等，加強(qiáng)它們的聯(lián)系．2．學(xué)生應(yīng)理解“奇偶性”的實(shí)質(zhì)，也就是圖象的對(duì)稱性：是關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱還是關(guān)于y軸的軸對(duì)稱．必備知識(shí)·探新知基礎(chǔ)知識(shí)知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的奇偶性前提函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮，?x∈I，都有－x∈I條件f(－x)＝__f(x）__f（－x）＝__－f(x）__結(jié)論函數(shù)f（x)叫__偶函數(shù)__函數(shù)f（x）叫__奇函數(shù)__思考1：(1）如果定義域內(nèi)存在x0，滿足f(－x0）＝f(x0),函數(shù)f（x)是偶函數(shù)嗎？（2)函數(shù)的奇偶性定義中,對(duì)于定義域內(nèi)任意的x，滿足f（－x）＝f（x)或f（－x）＝－f（x)，那么奇、偶函數(shù)的定義域有什么特征？提示:(1）不一定，必須對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x都成立．(2)奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．知識(shí)點(diǎn)2圖象特征（1）偶函數(shù)的圖象關(guān)于__y__軸對(duì)稱．（2)奇函數(shù)的圖象關(guān)于__原點(diǎn)__對(duì)稱．思考2：奇函數(shù)圖象一定過(guò)原點(diǎn)嗎?提示：若奇函數(shù)f(x)在x＝0處有意義，則f(0）＝0,圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；若奇函數(shù)f(x)在x＝0處無(wú)意義,圖象就不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．基礎(chǔ)自測(cè)1．下列圖象表示的函數(shù)具有奇偶性的是（B)2．下列函數(shù)是偶函數(shù)的是(A）A．y＝2x2－3 B．y＝x3C．y＝x2，x∈［0,1] D．y＝x[解析］對(duì)于A：f(－x）＝2（－x）2－3＝2x2－3＝f（x)，所以f（x)是偶函數(shù)，B，D都為奇函數(shù)，C中定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)不具備奇偶性．3．（2020·南陽(yáng)市高一期中測(cè)試）已知f(x）＝ax2＋bx是定義在［a－1,2a]上的偶函數(shù)，則a＋b的值為(B)A．0 B．eq\f(1,3）C．1 D．2［解析］由題意得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a－1＋2a＝0,b＝0）），∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝\f(1,3），b＝0）），∴a＋b＝eq\f（1,3）。4．已知y＝f(x)，x∈（－a,a），F(xiàn)(x）＝f（x)＋f（－x），則F(x)是（B）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．既奇又偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)[解析］f(－x)＋f（x）＝F（x)．又x∈(－a，a）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以F（x)是偶函數(shù)．5．已知函數(shù)f（x)＝x－eq\f（a,x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，1)．(1)求a的值；（2）判斷f(x)的奇偶性．[解析]（1）∵點(diǎn)（2,1）在函數(shù)f(x）的圖象上，∴1＝2－eq\f（a，2），∴a＝2。(2）由(1）知f(x)＝x－eq\f（2，x)，定義域?yàn)椋ǎ蓿?)∪(0，＋∞）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．f(－x）＝－x－eq\f（2,－x）＝－x＋eq\f（2，x)＝－(x－eq\f（2,x）)＝－f（x），∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．關(guān)鍵能力·攻重難題型探究題型一函數(shù)奇偶性的判斷例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x)＝x＋1；（2)f(x）＝eq\r（x－1)＋eq\r（1－x）；(3)f（x)＝|x－2｜＋|x＋2|；(4)f（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)x2＋1x＞0,－\f（1，2）x2－1x＜0）)。［分析］(1)函數(shù)具備奇偶性時(shí)，函數(shù)的定義域有什么特點(diǎn)?（2)判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)把握好哪幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)?[解析］(1）函數(shù)f（x)＝x＋1的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．因?yàn)閒（－x)＝－x＋1＝－（x－1),－f(x)＝－（x＋1)，即f（－x）≠－f(x），f（－x)≠f(x），所以函數(shù)f（x）＝x＋1既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)．（2）使函數(shù)有意義滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，1－x≥0))，∴定義域?yàn)椋?}，∵定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴f(x）為非奇非偶函數(shù)．(3)函數(shù)f（x)＝|x－2|＋|x＋2|的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．因?yàn)閒(－x）＝|－x－2｜＋｜－x＋2｜＝｜x＋2｜＋|x－2|＝f(x），所以函數(shù)f（x)＝|x－2｜＋｜x＋2|是偶函數(shù)．(4）函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?0)∪（0，＋∞）,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．當(dāng)x＞0時(shí)，－x＜0，則f(－x）＝－eq\f(1，2)(－x）2－1＝－(eq\f（1，2）x2＋1)＝－f(x)；①當(dāng)x＜0時(shí),－x＞0，f（－x)＝eq\f（1，2）（－x)2＋1＝eq\f（1，2）x2＋1＝－（－eq\f(1，2)x2－1)＝－f(x）．②綜上可知，函數(shù)f(x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(1,2）x2＋1x＞0,－\f(1，2)x2－1x＜0）)是奇函數(shù)．[注意］①由于這里的－x＜0，因此應(yīng)將－x代入f(x）＝－eq\f（1，2）x2－1;②由于這里的－x＞0，因此應(yīng)將－x代入f（x）＝eq\f(1,2)x2＋1.［歸納提升]判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)定義法：（2）圖象法：即若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則函數(shù)為偶函數(shù)．此法多用在解選擇題、填空題中．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f(x）＝eq\f(1,x）；(2）f（x)＝－3x2＋1；(3)f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x2＋xx〈0，x－x2x〉0)）；（4)f（x）＝0;（5)f（x）＝2x＋1；(6）f(x）＝eq\f(x3－x2,x－1）.［解析](1）函數(shù)f（x)＝eq\f（1,x)的定義域?yàn)椋ǎ蓿?)∪（0，＋∞)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（－x)＝－eq\f(1,x）＝－f（x)，∴f（x)＝eq\f（1，x)是奇函數(shù)．（2）函數(shù)f（x)＝－3x2＋1的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(－x）＝－3（－x)2＋1＝－3x2＋1＝f（x），∴f（x）＝－3x2＋1是偶函數(shù)．（3）顯然函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．當(dāng)x>0時(shí)，－x〈0,f（－x）＝x2－x＝－（x－x2)＝－f(x),當(dāng)x<0時(shí),－x>0,f（－x）＝－x－x2＝－（x2＋x)＝－f(x)，∴f（－x）＝－f(x),∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．(4）由于f（－x)＝0＝f（x),且f(－x)＝0＝－f（x)，∴f（x)＝0既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)．(5）函數(shù)f（x）＝2x＋1的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．∵f(1）＝3，f(－1）＝－1，－f(1)＝－3,∴f（－1)≠f（1)，∴y＝2x＋1不是偶函數(shù)，又f(－1)≠－f(1），∴y＝2x＋1不是奇函數(shù)，∴y＝2x＋1既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)．(6)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ǎ蓿?)∪（1,＋∞），不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)f（x）不具有奇偶性．題型二奇偶函數(shù)圖象的應(yīng)用例2設(shè)奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇－5，5]，若當(dāng)x∈[0,5］時(shí),f(x)的圖象如圖所示，求不等式f(x）<0的解集．［分析］利用奇函數(shù)圖象的對(duì)稱性，畫出函數(shù)f(x）在［－5,0］上的圖象,再根據(jù)圖象寫出不等式f(x)〈0的解集．［解析]因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是奇函數(shù)，所以函數(shù)f（x)在[－5，5］上的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．根據(jù)f(x)在［0,5]上的圖象畫出在[－5,0］上的圖象，如圖中虛線所示．由圖象知不等式f(x)〈0的解集為｛x｜－2〈x〈0或2<x≤5｝．[歸納提升］已知函數(shù)的奇偶性及部分圖象，根據(jù)對(duì)稱性可補(bǔ)出另一部分圖象，奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同;偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?已知函數(shù)y＝f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f（x)＝x2＋2x.現(xiàn)已畫出函數(shù)f（x）在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示．（1)請(qǐng)補(bǔ)全完整函數(shù)y＝f(x）的圖象；(2）根據(jù)圖象寫出函數(shù)y＝f(x）的增區(qū)間．[分析］∵函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，∴f(x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱性作出函數(shù)y＝f（x)在x>0時(shí)的圖象．［解析］（1)由題意作出函數(shù)圖象如圖：（2）據(jù)圖可知，單調(diào)增區(qū)間為(－1，0），（1,＋∞)．題型三利用函數(shù)的奇偶性求解析式例3已知函數(shù)y＝f（x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x）＝x2－2x＋3。試求f(x)在R上的表達(dá)式．[分析]（1)如何把(－∞,0)上的未知解析式轉(zhuǎn)移到(0，＋∞）上的已知解析式？(2)奇函數(shù)f（x)在x＝0處的函數(shù)值是多少?由函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知y＝f(x)是奇函數(shù)．利用奇函數(shù)性質(zhì)可求得解析式．［解析]∵函數(shù)f(x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．∴f(x）為奇函數(shù)，則f(0)＝0,設(shè)x＜0，則－x＞0,∵x〉0時(shí)，f（x）＝x2－2x＋3,∴f(x)＝－f（－x）＝－(x2＋2x＋3）＝－x2－2x－3于是有：f（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x2－2x＋3x＞0,0x＝0,－x2－2x－3x＜0））。[歸納提升］利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式的關(guān)鍵是利用奇偶函數(shù)的關(guān)系式f(－x）＝－f（x)或f（－x)＝f(x)成立,但要注意求給定哪個(gè)區(qū)間的解析式就設(shè)這個(gè)區(qū)間上的變量為x，然后把x轉(zhuǎn)化為－x（另一個(gè)已知區(qū)間上的解析式中的變量)，通過(guò)適當(dāng)推導(dǎo),求得所求區(qū)間上的解析式．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?已知f(x)是R上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈（0，＋∞）時(shí)，f(x)＝x2＋x－1,求x∈(－∞，0）時(shí)，f(x）的解析式．［解析]設(shè)x<0，則－x>0，∴f（－x)＝(－x）2＋（－x)－1＝x2－x－1,∵f(x）為偶函數(shù)，∴f（－x）＝f（x），∴f(x)＝x2－x－1。∴當(dāng)x∈（－∞，0)時(shí),f(x）＝x2－x－1.題型四單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用例4定義在（－1，1)上的奇函數(shù)f（x)在整個(gè)定義域上是減函數(shù)，若f（1－a)＋f（1－3a)<0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[分析]利用f(x)是奇函數(shù)，把f(1－a）＋f（1－3a）<0變形為f(1－3a)〈f（a－1),再根據(jù)單調(diào)性列出不等式(組）求解．［解析]原不等式化為f(1－3a）〈－f（1－a）．因?yàn)閒（x)是奇函數(shù),所以－f(1－a）＝f(a－1)．所以原不等式化為f(1－3a）〈f(a－1）．因?yàn)閒(x）是減函數(shù)，且定義域?yàn)?－1,1）,所以有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（－1<a－1〈1，，－1<1－3a<1，,1－3a〉a－1，))解得0<a〈eq\f（1，2).所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，eq\f（1，2))．［歸納提升］解答這類題的思路是:先由函數(shù)的奇偶性將不等式兩邊都變成只含“f”的式子，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列出不等式（組）求解．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?已知偶函數(shù)f（x)在區(qū)間［0，＋∞）上單調(diào)遞增，則滿足f(2x－1）<f（eq\f(1，3)）的x的取值范圍為(A)A．(eq\f（1，3），eq\f（2，3）） B．[eq\f（1,3)，eq\f(2，3）)C．(eq\f（1,2)，eq\f(2,3）） D．[eq\f（1，2)，eq\f（2,3））[解析］由于f（x)為偶函數(shù)，且在[0,＋∞）上單調(diào)遞增，則不等式f（2x－1）<f(eq\f（1,3）)，即－eq\f(1,3）〈2x－1〈eq\f(1，3)，解得eq\f(1,3)〈x〈eq\f（2，3).誤區(qū)警示判斷函數(shù)奇偶性時(shí)忽視定義域例5判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1）f(x）＝3x2,x∈（－2,2];（2）f(x)＝（x－1)eq\r(\f（1＋x,1－x)）。[錯(cuò)解]（1）∵f（－x）＝3(－x)2＝3x2＝f(x)，∴函數(shù)是偶函數(shù)．(2）∵f（x）＝－eq\r(1－x2·\f（1＋x,1－x）)＝－eq\r（1＋x1－x)＝－eq\r（1－x2），∴f(－x）＝－eq\r（1－－x2）＝－eq\r（1－x2)＝f(x），∴f(x）為偶函數(shù)．[錯(cuò)因分析]錯(cuò)解中忽略了函數(shù)的定義域，若一個(gè)函數(shù)是奇（偶）函數(shù)，其定義域必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，它是函數(shù)具有奇偶性的前提條件,若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則此函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．[正解］（1)函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?,2］，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故此函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．（2)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇－1，1），不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故此函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．[方法點(diǎn)撥]判斷函數(shù)奇偶性的步驟如下：（1)確定函數(shù)的定義域,并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．(2）①當(dāng)函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，函數(shù)不具有奇偶性，此函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．②當(dāng)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，判斷f（－x)與f(x)的關(guān)系：若對(duì)于函數(shù)f（x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝f（x),則f(x)為偶函數(shù)；若對(duì)于函數(shù)f(x）定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(x)＋f（－x）＝0，則f（x)為奇函數(shù)．學(xué)科素養(yǎng)邏輯推理與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用——再談恒成立問(wèn)題1．在我們數(shù)學(xué)研究中，存在大量的恒成立問(wèn)題,如：(1）f(x）在區(qū)間D上單調(diào)遞增，則對(duì)任意x1，x2∈D，當(dāng)x1〈x2時(shí)，f(x1)〈f（x2)恒成立;(2）若f(x)是奇函數(shù)，定義域?yàn)镸，則f(－x)＝－f(x）對(duì)任意x∈M恒成立;若f(x）是偶函數(shù)，定義域?yàn)镸,則對(duì)任意x∈M,f（－x）＝f（x）恒成立；(3）若f（x)的最大值為M，最小值為m，定義域?yàn)锳，則對(duì)任意x∈A，有m≤f（x）≤M。解答這類問(wèn)題時(shí)，應(yīng)充分利用其恒成立的特點(diǎn)選取解答方法．2．遇到f(－x)與f(x)的關(guān)系問(wèn)題時(shí)，應(yīng)首先從函數(shù)f（x）的奇偶性入手考慮，如果f（x)不具有奇偶性，看是否存在奇(偶）函數(shù)g（x），使f（x）用g(x)表示，再利用g（x)的奇偶性來(lái)解答．例6已知f（x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，則f（2）等于(A)A．－26 B．－18C．－10 D．10［分析］只有一個(gè)條件f(－2）＝10,兩個(gè)待定系數(shù)a，b，不能通過(guò)列方程組方法求出a，b.由f（－2)求f（2)，我們可聯(lián)想函數(shù)的奇偶性,觀察f(x)的表達(dá)式有什么特征？如何借助函數(shù)的奇偶性求f（2）？［解析］解法一：令g(x)＝x5＋ax3＋bx,易知g（x)是R上的奇函數(shù)，從而g（－2）＝－g(2)，又f（x）＝g（x)－8，∴f(－2)＝g（－2）－8＝10，∴g(－2)＝18，∴g（2)＝－g(－2）＝－18.∴f(2）＝g(2)－8＝－18－8＝－26。解法二：由已知條件，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(f－2＝－25＋a－23＋b－2－8①，f2＝25＋a·23＋b·2－8②）），①＋②得f（2）＋f（－2)＝－16.又f(－2）＝10,∴f(2)＝－26。例7設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x）＝x2.若對(duì)任意的x∈［a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥2f（x)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__[eq\r(2），＋∞)__。［解析］由題意知f（x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x2，x≥0,，－x2，x〈0,））則2f（x）＝f（eq\r（2）x），因此，原不等式等價(jià)于f(x＋a)≥f(eq\r(2)x)．易知f(x）在R上是增函數(shù)，所以x＋a≥eq\r(2）x，即a≥(eq\r（2)－1)x.又x∈［a，a＋2］，所以當(dāng)x＝a＋2時(shí)，(eq\r（2)－1)x取得最大值（eq\r(2)－1）（a＋2)，因此，a≥（eq\r（2）－1）(a＋2),解得a≥eq\r（2）