離心率的求法總結(jié)精

-.z.圓錐曲線中的離心率問題離心率兩大考點(diǎn)：求值、求圍求值:1.利用a與c的關(guān)系式（或齊次式）2.幾何法3.與其它知識點(diǎn)結(jié)合求圍:1.利用圓錐曲線相關(guān)性質(zhì)建立不等關(guān)系求解.2.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合建立不等關(guān)系求解3.利用曲線的圍，建立不等關(guān)系4.運(yùn)用函數(shù)思想求解離心率5.運(yùn)用判別式建立不等關(guān)系求解離心率一、求離心率的值1.利用a與c的關(guān)系式（或齊次式）題1：(市2010第二次診斷性檢測)已知橢圓的一個焦點(diǎn)為F，若橢圓上存在點(diǎn)P，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF相切于線段PF的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為．題2：已知以雙曲線C的兩個焦點(diǎn)及虛軸的兩個端點(diǎn)為原點(diǎn)的四邊形中，有一個角為60°，則雙曲線C的離心率為題3：設(shè)雙曲線的漸近線與拋物線相切，則該雙曲線的離心率等于（）（A）（B）2（C）（D）解：由題雙曲線的一條漸近線方程為，代入拋物線方程整理得，因漸近線與拋物線相切，所以，即，故選擇C。題4：(2009理)過雙曲線的右頂點(diǎn)A作斜率為-1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為B，C.若，則雙曲線的離心率是（）（A）（B）（C）（D）2.幾何法題1：以橢圓的右焦點(diǎn)F，為圓心作圓，使這圓過橢圓的中心，且交橢圓于點(diǎn)M，若直線MFl(Fl為左焦點(diǎn))是圓F2的切線，M是切點(diǎn)，則橢圓的離心率是題2：Fl，F(xiàn)2為橢圓的左、右兩個焦點(diǎn)，過F2的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，PF1PQ，且，求橢圓的離心率．題3：（采用離心率的定義以及橢圓的定義求解）解：如右圖所示，有故選D3.與其它知識點(diǎn)結(jié)合題1：已知M為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)l，F(xiàn)2是其兩個焦點(diǎn)，且∠MFlF2=2，∠MF2Fl=(≠0)，則橢圓的離心率為()(A)1—2sin(B)l—sin2(C)1-cos2(D)2cos-1 題2：已知P為雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)l、F2是其左、右兩焦點(diǎn)，且∠PFlF2=15°，∠PF2Fl=75°，則雙曲線的離心率為．練習(xí)：.A2.已知雙曲線的漸近線為，則雙曲線的離心率為3.過雙曲線的一個焦點(diǎn)F作垂直于實(shí)軸的弦MN，A為雙曲線的距F較遠(yuǎn)的頂點(diǎn)，∠MAN=90°，雙曲線的離心率等于2二、求離心率的取值圍1.利用圓錐曲線相關(guān)性質(zhì)建立不等關(guān)系求解.題1：（2008）雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點(diǎn)為F1、F2,若P為其上一點(diǎn)，且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值圍為()A.(1,3) B. C.(3,+) D.分析求雙曲線離心率的取值圍需建立不等關(guān)系，題設(shè)是雙曲線一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)之間關(guān)系應(yīng)想到用雙曲線第一定義.如何找不等關(guān)系呢？解析：∵|PF1|=2|PF2|,∴|PF1||PF2|=|PF2|=，|PF2|即∴所以雙曲線離心率的取值圍為，故選B. 點(diǎn)評：本題建立不等關(guān)系是難點(diǎn)，如果記住一些雙曲線重要結(jié)論（雙曲線上任一點(diǎn)到其對應(yīng)焦點(diǎn)的距離不小于）則可建立不等關(guān)系使問題迎刃而解.題2：（04）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且,則此雙曲線的離心率e的最大值為：()ABCD∵|PF1|=4PF2|,∴|PF1||PF2|=3|PF2|=，|PF2|即∴所以雙曲線離心率的取值圍為，故選B.練習(xí)：1.已知，分別為的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上任一點(diǎn)，若的最小值為，則該雙曲線的離心率的取值圍是（）ABCD解析，欲使最小值為，需右支上存在一點(diǎn)P，使，而即所以.2.利用曲線的圍，建立不等關(guān)系題1．設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，如果橢圓上存在點(diǎn)P，使，求離心率e的取值圍。解：設(shè)因?yàn)?，所以將這個方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，可解得題2：橢圓：的兩焦點(diǎn)為，橢圓上存在點(diǎn)使.求橢圓離心率的取值圍；解析設(shè)……①將代入①得求得.點(diǎn)評：中，是橢圓中建立不等關(guān)系的重要依據(jù)，在求解參數(shù)圍問題中經(jīng)常使用，應(yīng)給予重視.3.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合建立不等關(guān)系求解題1：（06）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值圍是（A）（B）（C）（D）解析欲使過點(diǎn)F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率，∴≥，即即∴即故選C.題2：直線L過雙曲線的右焦點(diǎn)，斜率k=2，若L與雙曲線的兩個交點(diǎn)分別在左、右兩支上，求雙曲線離心率的取值圍。如圖1，若，則L與雙曲線只有一個交點(diǎn)；若，則L與雙曲線的兩交點(diǎn)均在右支上，題3：已知F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過F1且垂直于*軸的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)。若△ABF2是銳角三角形，求雙曲線的離心率的取值圍。解：如圖2，因?yàn)椤鰽BF2是等腰三角形，所以只要∠AF2B是銳角即可，即∠AF2F1<45°。則4.運(yùn)用函數(shù)思想求解離心率題1：（08全國卷Ⅱ）設(shè)，則雙曲線的離心率e的取值圍是A．B.C.D.解析：由題意可知∵∴∴，故選B.5.運(yùn)用判別式建立不等關(guān)系求解離心率題1：（全國Ⅰ）設(shè)雙曲線C：相交于兩個不同的點(diǎn)A、B.求雙曲線C的離心率e的取值圍解析由C與相交于兩個不同的點(diǎn)，故知方程組有兩個不同的實(shí)數(shù)解.消去y并整理得（1－a2）*2+2a2*－2a2=0.①所以解得雙曲線的離心率∴所以雙曲線的離心率取值圍是練習(xí)：1。設(shè)兩條漸近線含實(shí)軸的所成角為，離心率，則的圍1組1。分析求雙曲線離心率的取值圍需建立不等關(guān)系，題設(shè)是雙曲線一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)之間關(guān)系應(yīng)想到用雙曲線第一定義.如何找不等關(guān)系呢？解析：∵|PF1|=2|PF2|,∴|PF1||PF2|=|PF2|=，|PF2|即∴所以雙曲線離心率的取值圍為，故選B.點(diǎn)評：本題建立不等關(guān)系是難點(diǎn)，如果記住一些雙曲線重要結(jié)論（雙曲線上任一點(diǎn)到其對應(yīng)焦點(diǎn)的距離不小于）則可建立不等關(guān)系使問題迎刃而解.2，∵|PF1|=4PF2|,∴|PF1||PF2|=3|PF2|=，|PF2|即∴所以雙曲線離心率的取值圍為，故選B.練習(xí)：解析，欲使最小值為，需右支上存在一點(diǎn)P，使，而即所以.2組1。解：設(shè)因?yàn)?，所以將這個方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，可解得2，解析設(shè)……①將代入①得求得.點(diǎn)評：中，是橢圓中建立不等關(guān)系的重要依據(jù)，在求解參數(shù)圍問題中經(jīng)常使用，應(yīng)給予重視.3組1，解析欲使過點(diǎn)F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率，∴≥，即即∴即故選C.2，解：如圖1，若，則L與雙曲線只有一個交點(diǎn)；若，則L與雙曲線的兩交點(diǎn)均在右支上，3，解：如圖2，因?yàn)椤鰽BF2是