導數(shù)及其應用本章達標檢測含解析

本章達標檢測(總分值:150分;時間:120分鐘)一、單項選擇題(本大題共8小題,每題5分,共40分.在每題給出的四個選項中,只有一項為哪一項符合題目要求的)1.函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間[-1,2]上的平均變化率為()2.以下求導運算正確的選項是()A.x+1x'=1+1x2B.(log2C.(5x)'=5xlog5xD.(x2cosx)'=-2xsinx3.一質(zhì)點做直線運動,假設它所經(jīng)過的路程與時間的關(guān)系為s(t)=13t3+1,設其在時間段[1,2]內(nèi)的平均速度為v1,在t=2時的瞬時速度為v2,那么vA.13B.712C.54.函數(shù)f(x)=lnx-x的極大值點為()5.函數(shù)f(x)=x2-2cosx,那么f(0),f-13,f2A.f(0)<f-13<B.f-13<f(0)<C.f23<f-13D.f(0)<f23<f6.函數(shù)f(x)=2x2-ln|x|的圖象大致為()7.函數(shù)h(x)=mex+ex在區(qū)間[0,1]上不單調(diào),那么實數(shù)mA.[1,e]B.(1,e)C.[1,e2]D.(1,e2)8.設函數(shù)f(x)=-x(x-a)2(x∈R),當a>3時,不等式f(-k-sinθ-1)≥f(k2-sin2θ)對任意的k∈[-1,0]恒成立,那么θ的可能取值是()π3B.4π3二、多項選擇題(本大題共4小題,每題5分,共20分.在每題給出的選項中,有多個選項符合題目要求,全部選對的得5分,局部選對的得3分,有選錯的得0分)9.以下結(jié)論中正確的有()y=sinπ3,那么y'f(x)=3x2-f'(1)x,那么f'(1)=3y=-x+x,那么y'=-12y=sinx+cosx,那么y'=cosx+sinx10.定義在區(qū)間-12,4上的函數(shù)f(x)的導函數(shù)f'(x)f(x)在區(qū)間(0,4)上單調(diào)遞增f(x)在區(qū)間-1f(x)在x=1處取得極大值f(x)在x=0處取得極小值11.假設實數(shù)m的取值使函數(shù)f(x)在定義域上有兩個極值點,那么稱函數(shù)f(x)具有“凹凸趨向性〞.f'(x)是函數(shù)f(x)的導數(shù),且f'(x)=mx-2lnx,當函數(shù)f(x)具有“凹凸趨向性〞時,m的取值范圍的子集有A.-2eC.-∞,-12.定義在0,π2上的函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f'(x),且f(0)=0,f'(x)cosx+f(x)sinxA.fπ6<62fπ4B.C.fπ6>3fπ3D.fπ4>三、填空題(本大題共4小題,每題5分,共20分.將答案填在題中橫線上)13.f'(x0)=m,那么limΔx14.設函數(shù)f(x)=x+cosx,x∈(0,1),那么滿足不等式f(t2)>f(2t-1)的實數(shù)t的取值范圍是.

15.假設f(x)=x3-3x+m,當m=0時,f(x)的極大值為;關(guān)于x的方程f(x)=0在[0,2]上有根,那么實數(shù)m的取值范圍是.(第一個空2分,第二個空3分)

16.函數(shù)f(x)=1+lnx,x≥1,x+12,x<1,假設存在x1≠x2,使得f(x1四、解答題(本大題共6小題,共70分,解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題總分值10分)在①f(x)的一個極值點為0;②曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線x+(e-1)y-1=0垂直;③y=f(-x)-f'(x)為奇函數(shù)這三個條件中任選一個,補充在下面的問題中,并答復以下問題.函數(shù)f(x)=ex+ax-1,且,求f(x)在[-1,1]上的最大值與最小值.

注:選擇多個條件分別解答時,按第一個解答計分.18.(本小題總分值12分)函數(shù)f(x)=(a-b)x2-x-xlnx.(1)假設曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與x軸平行,且f(1)=a,求a,b的值;(2)假設a=1,f(x)≥0對任意x∈(0,+∞)恒成立,求b的取值范圍.19.(本小題總分值12分)函數(shù)f(x)=cosx+xsinx-1.(1)假設x∈(0,π),求f(x)的極值;(2)證明:當x∈[0,π]時,2sinx-xcosx≥x.20.(本小題總分值12分)如圖,A、B兩個城鎮(zhèn)相距20千米,設M是AB的中點,在AB的中垂線上有一高鐵站P,P、M的距離為10千米.為方便居民出行,在線段PM上任取一點O(點O不與P、M重合)建設交通樞紐,從高鐵站鋪設快速路到O處,再鋪設快速路分別到A、B兩個城鎮(zhèn).因地質(zhì)條件等各種因素,其中快速路PO造價為1.5百萬元/千米,快速路OA造價為1百萬元/千米,快速路OB造價為2百萬元/千米.設∠OAM=θ(rad),總造價為y(單位:百萬元).(1)求y關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式,并指出函數(shù)的定義域;(2)求總造價的最小值,并求出此時θ的值.21.(本小題總分值12分)函數(shù)f(x)=x-alnx(a>0).(1)假設a=1,求f(x)的極值;(2)假設存在x0∈[1,e],使得f(x0)+1+ax0<0成立,求實數(shù)22.(本小題總分值12分)函數(shù)f(x)=1-x2e(1)求函數(shù)f(x)的零點x0,以及曲線y=f(x)在x=x0處的切線方程;(2)設方程f(x)=m(m>0)有兩個實數(shù)根x1,x2,求證:|x1-x2|<2-m1+1答案全解全析本章達標檢測一、單項選擇題1.B因為f(x)=x2,所以f(x)在區(qū)間[-1,2]上的平均變化率為f(2)-f(-12.B由導數(shù)的運算法那么,知x+1x'=1-1x2,(5x)'=5xln5,(x2cosx)'=2xcosx-x2sinx,A、C、3.B由題意知,該質(zhì)點在時間段[1,2]內(nèi)的平均速度v1=ΔsΔt=13×23+1-13×13+12-1=73,因為s'(t)=t4.A因為f(x)=lnx-x(x>0),所以f'(x)=1x-1=1-xx,當x>1時,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當0<x<1時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,所以在即函數(shù)f(x)=lnx-x的極大值點為1,應選A.5.A易知f(x)=x2-2cosx為偶函數(shù),∴f-13=f∵f'(x)=2x+2sinx,當x∈(0,1)時,f'(x)>0,∴f(x)在(0,1)上為增函數(shù),∴f(0)<f13<f2∴f(0)<f-13<f236.A∵f(-x)=2(-x)2-ln|-x|=2x2-ln|x|=f(x),∴函數(shù)f(x)是偶函數(shù),∴f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,故排除B.當x→0時,f(x)→+∞,故排除D.當x>0時,f(x)=2x2-lnx,f'(x)=4x-1x=(2x-1)(2x+1)x,當x=12時,ln12>0,故排除應選A.7.D因為h(x)=mex+ex,所以h'(x)=-mex+ex,又因為函數(shù)h(x)=mex+ex在區(qū)間[0,1]上不單調(diào),所以h'(x)=-mex+ex在區(qū)間(0,1)上存在變號零點,所以h'(0)h'(1)<0,即(1-m)e-8.D由f(x)=-x(x-a)2,得f'(x)=-(3x-a)·(x-a),令f'(x)=0,得x=a3或x=a,當a>3時,a3<所以f(x)在-∞,a3,[a,+∞)上單調(diào)遞減,在a又當a>3時,a3>1,所以f(x)在(-∞,1]上為減函數(shù)因為k∈[-1,0],sinθ∈[-1,1],所以-2≤-k-sinθ-1≤1,-1≤k2-sin2θ≤1,由不等式f(-k-sinθ-1)≥f(k2-sin2θ)對任意的k∈[-1,0]恒成立,得sin2θ-sinθ-1≤k2+k=k+122-14對任意的所以sin2θ-sinθ-1≤-14恒成立解得-12≤sinθ≤32,即-12≤sin結(jié)合選項知,θ的可能取值是5π6應選D.易錯警示利用單調(diào)性解決相關(guān)問題時,要注意單調(diào)區(qū)間的判定,當自變量都在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)才能利用相應的單調(diào)性,解題時防止漏證導致解題錯誤.二、多項選擇題9.ABC選項A中,假設y=sinπ3=32,那么y'=0,故A正確;選項B中,假設f(x)=3x2-f'(1)·x,那么f'(x)=6x-f'(1),令x=1,那么f'(1)=6-f'(1),解得f'(1)=3,故B正確;選項C中,假設y=-x+x,那么y'=-12x+1,故C正確;選項D中,假設y=sinx+cosx,那么y'=cosx-sinx,故D10.ABD由y=f'(x)的圖象知,當-12<x<0時,f'(x)<0;當0<x<4時,f'(x)>0,因此f(x)在-12,0上單調(diào)遞減,在(0,4)上單調(diào)遞增,故A、B正確;f(x)在x=1附近單調(diào)遞增,在x=1處不取極大值,故C錯誤;由f(x)在-12,0上單調(diào)遞減,在(0,4)上單調(diào)遞增,得f(x)在x=011.BDf'(x)=mx-2lnx=m-2假設函數(shù)f(x)具有“凹凸趨向性〞,那么m=2xlnx在(0,+∞)上有2個不同的實數(shù)根,令g(x)=2xlnx,那么g'(x)=2(1+lnx),令g'(x)>0,解得x>1e;令g'(x)<0,解得0<x<1∴g(x)在0,1e上單調(diào)遞減,在故g(x)的極小值是g1e=-2e,也是最小值,當x→0時,g(x)→0,故-2e<m12.CD令g(x)=f(x)cosx那么g'(x)=f'(因為f'(x)cosx+f(x)sinx<0,所以g'(x)=f'(x)cosx因此函數(shù)g(x)=f(x)cosx在0,π2上單調(diào)遞減,因此gπ6>gπ4,即fπ6cosπ又f(0)=0,所以g(0)=f(0)cos0=0,所以g(x)=f(x因為lnπ3∈0,π2,所以flnπ又gπ6>gπ3,所以fπ6cosπ6>fπ3cosπ3,又gπ4>gπ3,所以fπ4cosπ4>fπ3cosπ3,即解題模板通過構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性比擬大小.構(gòu)造函數(shù)時,利用含導函數(shù)的不等式分析其結(jié)構(gòu),結(jié)合求導法那么構(gòu)造函數(shù).平時要積累構(gòu)造函數(shù)的方法.三、填空題13.答案-3m解析∵f'(x0)=m,∴原式=-3lim=-3f'(x0)=-3m.14.答案1解析因為f'(x)=1-sinx>0,所以f(x)為增函數(shù),因為f(t2)>f(2t-1),所以t2>2t-1,即t≠1,因為f(x)的定義域為(0,1),所以0<t2<1,0<2t15.答案2;[-2,2]解析當m=0時,f(x)=x3-3x,f'(x)=3x2-3,令f'(x)>0,得x>1或x<-1;令f'(x)<0,得-1<x<1,故函數(shù)f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(-1,1)上單調(diào)遞減,所以f(x)的極大值為f(-1)=(-1)3-3×(-1)=2.關(guān)于x的方程f(x)=0在[0,2]上有根,令g(x)=-x3+3x,即m=g(x)在[0,2]上成立,由于g'(x)=-3x2+3=-3(x-1)(x+1),當x∈(0,1)時,g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增;當x∈(1,2)時,g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減,而g(0)=0,g(1)=2,g(2)=-2,所以g(x)的值域為[-2,2],即實數(shù)m的取值范圍是[-2,2].16.答案[3-2ln2,+∞)解析因為x1≠x2,所以不妨設x1<x2.當x≥1時,f(x)=1+lnx≥1,當x<1時,f(x)=x+12<1,根據(jù)f(x1)+f(x2)=2可知x1<1<x2,所以f(x1)=x1+12,f(x2)=1+lnx2,所以f(x1)+f(lnx2=2,故x1=1-2lnx2,所以x1+x2=x2-2lnx2+1.記g(x2)=x2-2lnx2+1(x2>1),那么g'(x2)=x2-2x2,于是易得g(x2)在(1,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x2)≥g(2)=3-2ln2,又當x2→+∞時,g(x2)→+∞,所以g(x所以x1+x2的取值范圍是[3-2ln2,+∞).解后反思分段函數(shù)問題要根據(jù)自變量的取值范圍選擇函數(shù)解析式,找到x1、x2的關(guān)系,進而構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)解決函數(shù)的值域,從而得到取值范圍.四、解答題17.解析選擇①,由題意得f'(x)=ex+a,那么f'(0)=1+a=0,故a=-1,(2分)故f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1.令f'(x)=ex-1=0,得x=0.(4分)當x∈(-1,0)時,f'(x)<0;當x∈(0,1)時,f'(x)>0.所以f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減,在(0,1)上單調(diào)遞增,所以f(x)的極小值為f(0)=0,也是最小值.(7分)因為f(-1)=1e<f所以f(x)的最大值為f(1)=e-2.(10分)選擇②,由題意得f'(x)=ex+a,所以f'(1)=e+a,由曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線x+(e-1)y-1=0垂直,得f'(1)=e-1,所以e+a=e-1,故a=-1,(2分)那么f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1.令f'(x)=ex-1=0,得x=0.(4分)當x∈(-1,0)時,f'(x)<0;當x∈(0,1)時,f'(x)>0.所以f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減,在(0,1)上單調(diào)遞增,所以f(x)的極小值為f(0)=0,也是最小值.(7分)因為f(-1)=1e<f所以f(x)的最大值為f(1)=e-2.(10分)選擇③,由題意得f'(x)=ex+a.所以f(-x)-f'(x)=e-x-ex-ax-1-a,(1分)因為y=f(-x)-f'(x)為奇函數(shù),所以f(-x)-f'(x)=f'(-x)-f(x),可得a=-1.(3分)那么f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1,令f'(x)=ex-1=0,得x=0.(4分)當x∈(-1,0)時,f'(x)<0;當x∈(0,1)時,f'(x)>0.所以f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減,在(0,1)上單調(diào)遞增,所以f(x)的極小值為f(0)=0,也是最小值.(7分)因為f(-1)=1e<f所以f(x)的最大值為f(1)=e-2.(10分)18.解析(1)由f(x)=(a-b)x2-x-xlnx,得f'(x)=2(a-b)x-lnx-2,(2分)由f(1)=a(2)由題意得f(x)=(1-b)x2-x-xlnx.(5分)f(x)≥0對任意x∈(0,+∞)恒成立等價于b≤1-1x-lnxx對任意x∈(0,+∞)恒成立令g(x)=1-1x-lnxx,那么g'(x)=lnx當x∈(0,1)時,g'(x)<0,所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,(9分)當x∈(1,+∞)時,g'(x)>0,所以g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,(10分)所以g(x)min=g(1)=0,所以b∈(-∞,0].(12分)19.解析(1)∵f(x)=cosx+xsinx-1,∴f'(x)=xcosx,(2分)當x∈0,π2時,f'當x∈π2,π時,f'(x)<0.當x發(fā)生變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:x0ππf'(x)+0-f(x)↗極大值↘因此,當x=π2時,f(x)有極大值,并且極大值為fπ2=π2-1,沒有極小值.(2)證明:令g(x)=2sinx-xcosx-x,那么g'(x)=cosx+xsinx-1=f(x),由(1)知f(x)在0,π2上單調(diào)遞增,在π2,又f(0)=0,fπ2=π2-1>0,所以f(x)在(0,π)上存在唯一零點,設為x0,那么g'(x0)=f(x0)=0.(9分)當x∈(0,x0)時,g'(x)>0;當x∈(x0,π)時,g'(x)<0,所以g(x)在區(qū)間(0,x0)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(x0,π)上單調(diào)遞減,又g(0)=0,g(π)=0,所以當x∈[0,π]時,g(x)≥0,(11分)故2sinx-xcosx≥x.(12分)20.解析(1)∵∠OAM=θ,PM⊥AB,M為AB的中點,∴OA=OB=10cosθ,OM=10tanθ,OP=10-10tanθ,(2∴y=10cosθ×1+10cosθ×2+(10-10tanθ)×1.5==152cosθ-tanθ+15(2)設f(θ)=2cosθ=2-那么f'(θ)=-=2sinθ-1co令f'(θ)=0,得sinθ=12又0<θ<π4,∴θ=π6.(8當0<θ<π6時,sinθ<12,f'(θ)<0,f(θ)單調(diào)遞減;(9當π6<θ<π4時,sinθ>12,f'(θ)>0,f(θ)單調(diào)遞增.∴f(θ)的最小值為fπ6=3,此時總造價最小.(11分∴當θ=π6時,總造價最小,最小值為(153+15)百萬元.(12分21.解析(1)a=1時,f(x)=x-lnx,函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),(1分)f'(x)=1-1x=x-1令f'(x)>0,解得x>1,令f'(x)<0,解得0<x<1,(3分)故f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,故f(x)的極小值是f(1)=1,無極大值.(5分)(2)存在x0∈[1,e],使得f(x0)+1+ax0<0成立,等價于f(x0)+1+設h(x)=x-alnx+1+a那么h'(x)=(x令h'(x)=0,解得x=-1(舍)或x=1+a.(8分)①當1+a≥e時,h(x)在[1,e]上遞減,∴h(x)的最小值為h(e)=e-a+1+a令h(x)min<0,即e-a+1+ae<0,解得a>e2②當1+a<e時,h(x)在(1,1+a)上單調(diào)遞減,在(1+a,e)上單調(diào)遞增,ln(1+a)<lne=1,∴h(x)的最小值為h(1+a)=1+a-aln(1+a)+1=a[1-ln(a+1)]+2>2,與h(x)