連續(xù)與極限課件

第二章極限與連續(xù)§2.4

函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性二、函數(shù)的間斷點(diǎn)三、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)五、小結(jié)一、函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的增量1/9/5.12.連續(xù)的定義設(shè)f(x)在的某鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)時(shí),有,即,則稱f(x)在點(diǎn)連續(xù).亦即2/9/5.1例1證由定義知4/9/5.1（無窮小量乘以有界量）4.單側(cè)連續(xù)5.單側(cè)連續(xù)說明(1)左連續(xù)即;(2)右連續(xù)即;(3)不存在時(shí),單側(cè)連續(xù)性也不存在;(4)f(x)在連續(xù).5/9/5.1例2解右連續(xù)但不左連續(xù),6/9/5.1例3證當(dāng)x0時(shí),由于無窮小量與有界量之積還是無窮小量,當(dāng)x0時(shí),有y0.8/9/5.1連續(xù)點(diǎn)處的要求:Ex1:研究函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性:(3)成立以下等式:(1)在處有確定的函數(shù)值;(2)時(shí),函數(shù)的極限存在;當(dāng)以上等式不滿足時(shí)就出現(xiàn)間斷。9/9/5.1二、函數(shù)的間斷點(diǎn)(以上3條是我們證明連續(xù)的主要依據(jù))1/11/5.2解x=1為函數(shù)的可去間斷點(diǎn).3/11/5.2例52.跳躍間斷點(diǎn)是f(x)的跳躍間斷點(diǎn).解在處有或者沒有確定的函數(shù)值,但4/11/5.2如例4中,可去間斷點(diǎn)與跳躍間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).特點(diǎn)注意

可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).5/11/5.2例7解說明:(1)無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)都是第二類間斷點(diǎn);(2)函數(shù)的間斷點(diǎn)可能有限,也可能有無窮多個(gè).7/11/5.2Dirichlet(狄利克雷)函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,且都是第二類間斷點(diǎn).僅在x=0處連續(xù),其余各點(diǎn)處處間斷.★★8/11/5.2在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,但其絕對(duì)值處處連續(xù).★判斷下列間斷點(diǎn)類型:9/11/5.2Ex5:指出函數(shù)間斷點(diǎn)類型:Ex4:指出a為何值時(shí),函數(shù)f(x)在[0,4]內(nèi)連續(xù):(無窮,跳躍,可去間斷點(diǎn))(無窮,跳躍間斷點(diǎn))。11/11/5.2三、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1.四則運(yùn)算性質(zhì)(定理1)2.復(fù)合函數(shù)性質(zhì)(定理2)3.反函數(shù)性質(zhì)(定理3)4.幾點(diǎn)結(jié)論(1)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)合函數(shù)都是連續(xù)函數(shù);(2)嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)也是嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù);(3)基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)函數(shù);(4)初等函數(shù)在其有定義的任何區(qū)間上連續(xù);1/3/5.3例9解2同理可得(5)連續(xù)的復(fù)合函數(shù)“l(fā)im”與“f”可交換:解1等價(jià)無窮小代換:利用連續(xù)復(fù)合函數(shù)性質(zhì)2/3/5.3四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)(三個(gè)性質(zhì)、一個(gè)定理)1.最大值、最小值定義2.最值性(定理4)3.有界性:閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定有界;4.介值性(定理5,以下說明兩點(diǎn))(1)c介于端點(diǎn)值f(a)和f(b)之間時(shí),有使;(2)d介于最值M和m之間時(shí),也有使1/5/5.45.零點(diǎn)定理如果f(x)在[a,b]上連續(xù),且,則至少存在一點(diǎn),使得.6.三點(diǎn)說明(1)以上性質(zhì)和定理僅從理論上給出結(jié)論,沒有給出具體的取值和計(jì)算方法;(2)介值性中的開區(qū)間、閉區(qū)間有別;(3)零點(diǎn)定理常用于判斷方程根的存在性,但沒有給出求根的具體方法.2/5/5.4Ex6:1.設(shè)在上連續(xù),,且滿足,證明:至少存在一點(diǎn),使得;2.證明在之間至少有兩個(gè)根;3.證明方程在之間有根;4.設(shè)在上連續(xù)(a>0),且,證明:在內(nèi)至少有一實(shí)根。5/5/5.4五、小結(jié)1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;3.間斷點(diǎn)的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點(diǎn):可去型,跳躍型.第二類間斷點(diǎn):