兩因素方差分析

兩因素方差分析當(dāng)前1頁(yè)，總共71頁(yè)。

【例1】對(duì)某地區(qū)5類海產(chǎn)食品中無(wú)機(jī)砷含量進(jìn)行檢測(cè)，測(cè)定結(jié)果見表1，其中藻類以干重計(jì)，其他4類以鮮重計(jì)。試分析不同類型海產(chǎn)品的砷含量差異是否顯著。

2.1各處理重復(fù)數(shù)相等的方差分析表1五種不同類型海產(chǎn)品中無(wú)機(jī)砷含量0.57當(dāng)前2頁(yè)，總共71頁(yè)。

這是一個(gè)單因素試驗(yàn)，k=5，n=7。現(xiàn)對(duì)此試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行方差分析：

1、計(jì)算各項(xiàng)平方和與自由度當(dāng)前3頁(yè)，總共71頁(yè)。2、列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn)

表2不同類型海產(chǎn)品無(wú)機(jī)砷含量方差分析表當(dāng)前4頁(yè)，總共71頁(yè)。根據(jù)df1=dft=4,df2=dfe=30查臨界F值得：F0.05(4,30)=2.69，F(xiàn)0.01(4,30)=4.023、多重比較采用新復(fù)極差法SSR因?yàn)镕＞F0.01(4,30)，即P＜0.01，表明品種間無(wú)機(jī)砷含量差異達(dá)到1%顯著水平，有極顯著差異。當(dāng)前5頁(yè)，總共71頁(yè)。

因?yàn)镸Se=0.0084，n=7，所以為：根據(jù)dfe=30，秩次距k=2，3，4，5由附表6查出α=0.05和α=0.01的各臨界SSR值，乘以，即得各最小顯著極差，所得結(jié)果列于表2。當(dāng)前6頁(yè)，總共71頁(yè)。

表3SSR值及LSR值當(dāng)前7頁(yè)，總共71頁(yè)。表4不同類型海產(chǎn)品無(wú)機(jī)砷含量差異重比較結(jié)果(SSR法)結(jié)論：藻類中無(wú)機(jī)砷含量極顯著高于貝類、軟體類、甲殼類以及魚類；貝類、軟體類、甲殼類3種海產(chǎn)品無(wú)機(jī)砷含量差異不顯著，但均極顯著高于魚類。類型平均數(shù)/（mg/kg）差異顯著性α=0.05α=0.01藻類（D）1.341aA貝類（B）0.637bB軟體類（E）0.636bB甲殼類（C）0.613bB魚類（A）0.393cC當(dāng)前8頁(yè)，總共71頁(yè)。第三節(jié)兩因素試驗(yàn)的

方差分析考查兩個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響情況當(dāng)前9頁(yè)，總共71頁(yè)。3.1交叉分組資料的方差分析

設(shè)試驗(yàn)考察A、B兩個(gè)因素，A因素分a個(gè)水平，B因素分b個(gè)水平。所謂交叉分組是指A因素每個(gè)水平與B因素的每個(gè)水平都要搭配，兩者交叉搭配形成ab個(gè)水平組合即處理，試驗(yàn)因素A、B在試驗(yàn)中處于平等地位

。如果將試驗(yàn)單元分成ab個(gè)組，每組隨機(jī)接受一種處理，因而試驗(yàn)數(shù)據(jù)也按兩因素兩方向分組，這種試驗(yàn)數(shù)據(jù)資料稱為兩向分組資料，也叫交叉分組資料。分無(wú)重復(fù)觀測(cè)值和重復(fù)觀測(cè)值兩種類型。當(dāng)前10頁(yè)，總共71頁(yè)。對(duì)于A、B兩個(gè)試驗(yàn)因素的全部ab個(gè)水平組合，每個(gè)水平組合只有一個(gè)觀測(cè)值（無(wú)重復(fù)），全試驗(yàn)共有ab個(gè)觀測(cè)值，其數(shù)據(jù)模式如表5所示。3.1.1兩因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)資料的方差分析當(dāng)前11頁(yè)，總共71頁(yè)。

表5兩因素?zé)o重復(fù)觀測(cè)值的試驗(yàn)數(shù)據(jù)模式注：A因素有a個(gè)水平，B因素有b個(gè)水平，共計(jì)有ab個(gè)水平組合，每一組合觀測(cè)一次，有ab個(gè)觀測(cè)值（表5），xij為A的第i水平與B的第j水平組合觀測(cè)值。當(dāng)前12頁(yè)，總共71頁(yè)。A的第i水平b個(gè)觀測(cè)值之和A的第i水平b個(gè)觀測(cè)值的平均數(shù)B的第j水平a個(gè)觀測(cè)值之和B的第j水平a個(gè)觀測(cè)值的平均數(shù)ab個(gè)觀測(cè)值的總和ab個(gè)觀測(cè)值的總平均數(shù)當(dāng)前13頁(yè)，總共71頁(yè)。

兩因素?zé)o重復(fù)觀測(cè)值試驗(yàn)資料的數(shù)學(xué)模型為：

式中，μ為總平均數(shù)；(5-26)αi，βj分別為Ai、Bj的效應(yīng)；

αi=μi-μ，βj=μj-μ，

μi、μj分別為Ai、Bj觀測(cè)值總體平均數(shù)，且Σαi=0，Σβj=0；

εij為隨機(jī)誤差，相互獨(dú)立，且服從N(0，σ2)當(dāng)前14頁(yè)，總共71頁(yè)。A因素的每個(gè)水平有b次重復(fù)，B因素的每個(gè)水平有a次重復(fù)，每個(gè)觀測(cè)值同時(shí)受到A、B兩因素及隨機(jī)誤差的作用。因此全部ab個(gè)觀測(cè)值的總變異可以分解為A因素水平間變異、B因素水平間變異及試驗(yàn)誤差三部分；自由度也相應(yīng)分解。離差平方和與自由度的分解如下：當(dāng)前15頁(yè)，總共71頁(yè)。

矯正數(shù)總平方和

A因素離差平方和

B因素離差平方和各項(xiàng)離差平方和與自由度的計(jì)算公式為:

誤差平方和SSe=SST-SSA-SSB

總自由度dfT=ab-1A因素自由度dfA=a-1B因素自由度dfB=b-1

誤差自由度dfe=dfT

-dfA–dfB

=(a-1)(b-1)當(dāng)前16頁(yè)，總共71頁(yè)。相應(yīng)均方為當(dāng)前17頁(yè)，總共71頁(yè)?！纠?】某廠現(xiàn)有化驗(yàn)員3人，擔(dān)任該廠牛奶酸度（°T）的檢驗(yàn)。每天從牛奶中抽樣一次進(jìn)行檢驗(yàn)，連續(xù)10天的檢驗(yàn)分析結(jié)果見表6。試分析3名化驗(yàn)員的化驗(yàn)技術(shù)有無(wú)差異，以及每天的原料牛奶酸度有無(wú)差異（新鮮牛奶的酸度不超過(guò)20°T

）?；?yàn)員B1B2B3B4B5B6B7B8B9B10xi.xi.A111.7110.8112.3912.5610.6413.2613.3412.6711.2712.68121.3312.13A211.7810.712.512.3510.3212.9313.8112.4811.612.65121.1212.11A311.6110.7512.412.4110.7213.113.5812.8811.4612.94121.8512.19x.j35.1032.2637.2937.3231.6839.2940.7338.0334.3338.27364.3x.j11.7010.7512.4312.4410.5613.1013.5812.6811.4412.76表6牛奶酸度測(cè)定結(jié)果當(dāng)前18頁(yè)，總共71頁(yè)。A因素（化驗(yàn)員）有3個(gè)水平，即a=3；B因素（天數(shù)）有10個(gè)水平，即b=10，共有a×b=3×10=30個(gè)觀測(cè)值。1計(jì)算各項(xiàng)離差平方和與自由度當(dāng)前19頁(yè)，總共71頁(yè)。當(dāng)前20頁(yè)，總共71頁(yè)。當(dāng)前21頁(yè)，總共71頁(yè)。2列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn)

表7資料的方差分析表變異來(lái)源SSdfMSF值顯著性化驗(yàn)員間0.028320.01420.550日期間26.759192.9732115.240**誤差0.4635180.0258合計(jì)27.250929

結(jié)果表明，3個(gè)化驗(yàn)員的化驗(yàn)技術(shù)沒(méi)有顯著差異，不同日期牛奶的酸度有極顯著差異。注：F0.01(9,18）=3.60當(dāng)前22頁(yè)，總共71頁(yè)。3多重比較在兩因素?zé)o重復(fù)觀測(cè)值試驗(yàn)中，A因素每一水平的重復(fù)數(shù)恰為B因素的水平數(shù)b，故A因素的標(biāo)準(zhǔn)誤為；同理，B因素的標(biāo)準(zhǔn)誤對(duì)例5-4分析，a=3，MSe=0.0258。故根據(jù)dfe=18，秩次距k=2，3，…，10，查臨界q值，計(jì)算最小顯著極差LSR，見表8。當(dāng)前23頁(yè)，總共71頁(yè)。

表8q值與LSR值dfe秩次距kq0.05q0.01LSR0.05LSR0.011822.974.070.280.3833.614.70.340.4444.005.090.370.4754.285.380.400.5064.495.60.420.5274.675.790.430.5484.825.940.450.5594.966.080.460.57105.076.20.470.58當(dāng)前24頁(yè)，總共71頁(yè)。B因素各水平均值多重比較結(jié)果見表9測(cè)定日期x.jx.j-10.56x.j-10.7511.4411.7012.4312.4412.6812.7613.10B713.583.02**2.832.141.881.151.140.900.820.48B613.102.542.351.661.400.670.660.420.34B1012.762.202.011.321.060.330.320.08B812.682.121.931.240.980.250.24B412.441.881.691.000.740.01B312.431.871.680.990.73B111.701.140.950.26B911.440.880.69B210.750.19B510.56表9不同測(cè)定日牛奶酸度多重比較結(jié)果（q法）當(dāng)前25頁(yè)，總共71頁(yè)。處理均值5%顯著水平1%極顯著水平B713.58

a

AB613.10

b

ABB1012.76

bc

BCB812.68

bc

BCB412.44

c

CB312.43

c

CB111.70

d

DB911.44

d

DB210.75

e

EB510.56

e

E附表：多重比較結(jié)果字母表示當(dāng)前26頁(yè)，總共71頁(yè)。

結(jié)果表明，除B2與B5，B1與B9，B4與B3，B8與B3、B4，B10與B3、B4、B8差異不顯著外，其余不同測(cè)定日間牛奶酸度均差異極顯著或顯著。酸度最高的是B7，最低的是B5和B2。從牛奶質(zhì)量要求看，連續(xù)10d的牛奶酸度均在鮮奶范圍內(nèi)。當(dāng)前27頁(yè)，總共71頁(yè)。

在進(jìn)行兩個(gè)因素或多個(gè)因素的試驗(yàn)時(shí)，除了要研究每一個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響外，往往更希望知道因素之間的交互作用對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響情況。通過(guò)研究環(huán)境溫度、濕度、光照、氣體成分等環(huán)境條件對(duì)導(dǎo)致食品腐爛變質(zhì)的酶和微生物的活動(dòng)的影響有無(wú)交互作用，對(duì)有效控制酶和微生物活動(dòng)，保持食品質(zhì)量有著重要意義。當(dāng)前28頁(yè)，總共71頁(yè)。

兩個(gè)因素?zé)o重復(fù)觀測(cè)值試驗(yàn)只適用于兩個(gè)因素間無(wú)交互作用的情況；若兩因素間有交互作用，則每個(gè)水平組合中只設(shè)一個(gè)試驗(yàn)單位(觀察單位)的試驗(yàn)設(shè)計(jì)是不正確的或不完善的。這是因?yàn)椋?/p>

(1)在這種情況下，SSe,dfe實(shí)際上是A、B兩因素交互作用平方和與自由度，所算得的MSe是交互作用均方，主要反映由交互作用引起的變異。

(2)這時(shí)若仍按前述方法進(jìn)行方差分析，由于誤差均方值大（包含交互作用在內(nèi)），有可能掩蓋試驗(yàn)因素的顯著性，從而增大犯Ⅱ型錯(cuò)誤的概率。

(3)每個(gè)水平組合只有一個(gè)觀測(cè)值，無(wú)法估計(jì)真正的試驗(yàn)誤差，因而不可能對(duì)因素的交互作用進(jìn)行研究。當(dāng)前29頁(yè)，總共71頁(yè)。交互作用交互作用：在多因素試驗(yàn)中一個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響依賴于另一因素所取的水平時(shí)，稱兩因素有交互作用。在多因素對(duì)比試驗(yàn)中，某些因素對(duì)指標(biāo)的影響往往是互相制約、互相聯(lián)系的。即在試驗(yàn)中不僅因素起作用，而且因素間有時(shí)聯(lián)合起來(lái)起作用，這種聯(lián)合作用并不等于各因素單獨(dú)作用所產(chǎn)生的影響之和，稱這種聯(lián)合作用為交互作用。例：某農(nóng)場(chǎng)對(duì)四塊大豆試驗(yàn)田作施肥試驗(yàn)。每塊田以不同的方式施以磷肥和氮肥，其產(chǎn)量如下：可以看出當(dāng)施氮肥和不施氮肥時(shí)，施以4公斤磷肥后的增產(chǎn)數(shù)量是不同的當(dāng)施磷肥和不施磷肥時(shí)，施以6公斤氮肥后的增產(chǎn)數(shù)量是不同的若N,P分別起作用時(shí)增產(chǎn)為50,30kg。但同時(shí)施時(shí)其效果并不是50+30=80kg，而是增產(chǎn)560-400=160kg，增加的80公斤則為交互作用的效果。P1=0P2=4P2-P1N1=040045050N1=6430560130N2-N130110當(dāng)前30頁(yè)，總共71頁(yè)。

對(duì)兩因素和多因素等重復(fù)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，可以研究因素的簡(jiǎn)單效應(yīng)、主效應(yīng)和因素間的交互作用（互作效應(yīng)）。3.2兩因素等重復(fù)試驗(yàn)的方差分析當(dāng)前31頁(yè)，總共71頁(yè)。下一張

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三種效應(yīng)1．簡(jiǎn)單效應(yīng)（simpleeffect）是指在某一因素同一個(gè)水平上，比較另一因素不同水平對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響。當(dāng)前32頁(yè)，總共71頁(yè)。三種效應(yīng)2．主效應(yīng)（maineffect）是指某一因素各水平間的平均差別。它與簡(jiǎn)單效應(yīng)的區(qū)別是，主效應(yīng)指的是某一因素各水平間的平均差別是綜合了另一因素各水平與該因素每一水平所有組合的情況。當(dāng)前33頁(yè)，總共71頁(yè)。三種效應(yīng)3.互作效應(yīng)（interactioneffect）如果某一因素的各簡(jiǎn)單效應(yīng)隨另一因素的水平變化而變化，而且變化的幅度超出隨機(jī)波動(dòng)的程度，則稱兩個(gè)因素間存在互作效應(yīng)。當(dāng)前34頁(yè)，總共71頁(yè)。

設(shè)A、B兩因素，A因素有a個(gè)水平，B因素有b個(gè)水平，共有ab個(gè)水平組合，每個(gè)水平組合有n次重復(fù)試驗(yàn)，則全試驗(yàn)共有abn個(gè)觀測(cè)值。試驗(yàn)結(jié)果的數(shù)據(jù)模式如表10所示。兩因素等重復(fù)試驗(yàn)的方差分析當(dāng)前35頁(yè)，總共71頁(yè)。表10兩因素等重復(fù)觀測(cè)值試驗(yàn)數(shù)據(jù)模式

當(dāng)前36頁(yè)，總共71頁(yè)。A因素B因素Ai合計(jì)xi..B1B2…BbA1x1jlx111x121…x1b1x112x122…x1b2x1..x113x123…x1b3…………x11nx12n…x1bnx1j.x11.x12.x1b.x1j.x11.x12.x1b.A2………………………………兩因素等重復(fù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)模式（部分）當(dāng)前37頁(yè)，總共71頁(yè)。表10中每個(gè)組合處理n

次重復(fù)之和B因素第j水平an個(gè)數(shù)據(jù)之和abn個(gè)數(shù)據(jù)總和A因素第i水平bn個(gè)數(shù)據(jù)之和當(dāng)前38頁(yè)，總共71頁(yè)。其中，為總平均數(shù)；

αi為Ai的效應(yīng)；

βj為Bj的效應(yīng)；

(αβ)ij為Ai與Bj的互作效應(yīng)。(5-32)兩因素等重復(fù)試驗(yàn)資料的數(shù)學(xué)模型為:分別為Ai、Bj、AiBj觀測(cè)值總體平均數(shù)；且當(dāng)前39頁(yè)，總共71頁(yè)。3.2.1離差平方和與自由度分解其中，SSA×B，dfA×B為A因素與B因素交互作用平方和與自由度。

為隨機(jī)誤差，相互獨(dú)立，且服從N（0，σ2）。當(dāng)前40頁(yè)，總共71頁(yè)。

若用SSAB，dfAB表示A、B水平組合間的平方和與自由度，即處理間平方和與自由度，則處理引起的變異可進(jìn)一步剖分為A因素、B因素及A、B交互作用三部分，于是SSAB、dfAB可分解為：

當(dāng)前41頁(yè)，總共71頁(yè)。矯正數(shù)

總平方和與自由度因素水平組合平方和與自由度A因素平方和與自由度各項(xiàng)平方和、自由度及均方的計(jì)算公式如下：B因素平方和與自由度當(dāng)前42頁(yè)，總共71頁(yè)。

交互作用平方和與自由度誤差平方和與自由度所以，相應(yīng)均方為因素A的方差因素B的方差A(yù)、B互作的方差誤差方差當(dāng)前43頁(yè)，總共71頁(yè)。3.2.2列方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn)當(dāng)前44頁(yè)，總共71頁(yè)。FA顯著，應(yīng)對(duì)A因素各水平的平均數(shù)作多重比較，其平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤為：FB顯著，應(yīng)對(duì)B因素各水平的平均數(shù)作多重比較，其平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤為：FAB顯著，應(yīng)對(duì)各組合的平均數(shù)作多重比較，其平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤為：

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3.2.3多重比較當(dāng)前45頁(yè)，總共71頁(yè)。配方（A）食品添加劑（B）B1B2B3A1876875866A2978997866A37810779689表113種食品添加劑對(duì)3種不同配方蛋糕質(zhì)量的影響【例3】現(xiàn)有3種食品添加劑對(duì)3種不同配方蛋糕質(zhì)量的影響試驗(yàn)結(jié)果，試作方差分析當(dāng)前46頁(yè)，總共71頁(yè)。A因素（配方）有3個(gè)水平，即a=3；B因素（食品添加劑）有3個(gè)水平，即b=3；共有ab=3×3=9個(gè)水平組合；每個(gè)水平組合重復(fù)數(shù)n=3；全試驗(yàn)共有=3×3×3=27個(gè)觀測(cè)值。

（1）計(jì)算各項(xiàng)平方和與自由度

當(dāng)前47頁(yè)，總共71頁(yè)。當(dāng)前48頁(yè)，總共71頁(yè)。當(dāng)前49頁(yè)，總共71頁(yè)。變異來(lái)源平方和自由度均方F值顯著性A因素間6.2323.125.29*B因素間1.5620.781.32AxB22.2145.559.41**誤差10.67180.59總變異40.6726表12方差分析表（2）列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn)查臨界F值：F0.05（2,18）=3.55，F(xiàn)0.01（2,18）=6.01；

F0.01（4,18）=4.58。因?yàn)?，F(xiàn)A＞F0.05(2,18）；FB<F0.05(2,18）；FA×B＞F0.01（4,18），表明不同配方、食品添加劑與配方的互作對(duì)蛋糕質(zhì)量有顯著或極顯著影響，而食品添加劑間的差異不顯著。因此，應(yīng)進(jìn)一步進(jìn)行不同處理均數(shù)間、配方各水平均數(shù)間的多重比較。當(dāng)前50頁(yè)，總共71頁(yè)。

①配方因?yàn)锳因素各水平的重復(fù)數(shù)為bn，故A因素各水平的標(biāo)準(zhǔn)誤為：對(duì)本例而言，（3）多重比較由dfe=18，秩次距k=2,3，從附表5中查出SSR0.05與SSR0.01的臨界值，計(jì)算LSR值，結(jié)果列于表13。當(dāng)前51頁(yè)，總共71頁(yè)。

表13配方各水平均數(shù)比較SSR值與LSR值dfe秩次距SSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.011822.974.070.761.0433.124.270.801.09處理均值5%顯著水平1%極顯著水平A3

7.9

a

AA2

7.7

a

ABA1

6.8

b

B表14配方間平均數(shù)多重比較結(jié)果（SSR法）

因素A主效應(yīng)分析，結(jié)果表明配方A3與A1之間差異極顯著，A2與A1差異顯著，A2與A3差異不顯著。當(dāng)前52頁(yè)，總共71頁(yè)。

因B因素各水平的重復(fù)數(shù)為an，故B因素各水平的標(biāo)準(zhǔn)誤為：在本例，B因素的影響不顯著，不必進(jìn)行多重比較。

以上所進(jìn)行的多重比較，實(shí)際上是A、B兩因素主效應(yīng)的檢驗(yàn)。若A、B因素交互作用不顯著，則可從主效應(yīng)檢驗(yàn)中分別選出A、B因素的最優(yōu)水平，得到最優(yōu)水平組合；若A、B因素交互作用顯著，則應(yīng)進(jìn)行水平組合平均數(shù)間的多重比較，以選出最優(yōu)水平組合，同時(shí)可進(jìn)行簡(jiǎn)單效應(yīng)的檢驗(yàn)。當(dāng)前53頁(yè)，總共71頁(yè)。

因?yàn)樗浇M合數(shù)通常較大(本例ab=4×4=16)，采用最小顯著極差法進(jìn)行各水平組合平均數(shù)的比較，計(jì)算較麻煩。為了簡(jiǎn)便起見，常采用LSD法。當(dāng)前54頁(yè)，總共71頁(yè)。

因?yàn)樗浇M合的重復(fù)數(shù)為n，故水平組合的標(biāo)準(zhǔn)誤為：本例

②各水平組合平均數(shù)間的比較當(dāng)前55頁(yè)，總共71頁(yè)。水平組合均值5%顯著水平1%極顯著水平A3B39.3

a

AA2B18.7

ab

ABA1B18.0

abc

ABA3B27.7

bc

ABCA2B27.3

bc

BCA2B37.0

cd

BCA1B26.7

cd

BCA3B16.7

cd

BCA1B35.7

d

C表