2020-2021學年河南省信陽市高二上學期期末教學質(zhì)量檢測數(shù)學（理）解析版

2020-2021學年河南省信陽市高二（上）期末數(shù)學試卷（理科）一、選擇題（共12小題）.1．命題p：“”的否定￢p為（）A．B．C．D．2．在長方體ABCD﹣A'B'C'D'中，＝（）A．B．C．D．3．若a＞b＞0，則下列不正確的是（）A．B．C．a(chǎn)+1＞b+1D．4．“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻．十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于．若第一個單音的頻率為f，則第六個單音的頻率為（）A．fB．fC．fD．f5．雙曲線C：＝1的漸近線方程為（）A．B．y＝±xC．D．y＝±2x6．設△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a、b、c，已知2ccosB﹣bcosA＝acosB，則角B＝（）A．B．C．D．7．已知{an}，{bn}均為等差數(shù)列，且a1+b1＝1，a2+b2＝3，則a2020+b2020＝（）A．4043B．4041C．4039D．40378．方程|x|+＝2所表示的曲線大致形狀為（）A．B．C．D．9．設a＞0，b＞0，若a+b＝4，則的最小值為（）A．B．C．D．10．設有窮數(shù)列{an}的前n項和為Sn，令Tn＝，稱Tn為數(shù)列a1，a2，…，an的“凱森和”．已知數(shù)列1，2，4，a的“凱森和”為6，則a＝（）A．6B．5C．4D．311．已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且c2+2ab＝a2+b2+6，若△ABC的面積為，則tanC的值為（）A．B．C．1D．12．已知圓＝1和焦點為F的拋物線C2：y2＝8x，點N是圓C1上一點，點M是拋物線C2上一點，則|MF|+|MN|的最小值為（）A．1B．C．4D．5二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13．已知p：x＜m，q：﹣1≤x≤3，若p是q的必要不充分條件，則m的值可能為（填一個滿足條件的值即可）．14．若實數(shù)x，y滿足，則z＝2x+y的最大值為．15．設直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|等于C的半實軸長，則C的離心率為．16．伴隨著國內(nèi)經(jīng)濟的持續(xù)增長，人民的生活水平也相應有所提升，其中旅游業(yè)帶來的消費是居民消費領域增長最快的，因此挖掘特色景區(qū)，營造文化氛圍尤為重要．某景區(qū)的部分道路如圖所示，AB＝30m，，CD＝50m，∠ABC＝∠BCD＝45°，要建設一條從點A到點D的空中長廊，則AD＝m．三、解答題：包括必考題和選考題兩部分，第17題～第21題為必考題，每道試題考生都必須作答；第22、23題為選考題，考生任選一題作答。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（一）必考題17．在①b2﹣a2﹣c2＝ac，②2a+c＝2bcosC，③4S＝這三個條件中任選一個，補充在下面問題的橫線處，并作出解答．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．△ABC的面積為S，且______．（1）求角B；（2）若a＝2，b＝2，求△ABC的周長．18．已知等差數(shù)列{an}滿足a3＝4，a5＝6，數(shù)列{log2bn}是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列．（1）求an和bn；（2）若cn＝an?bn，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．19．如圖所示，四棱錐S﹣ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2AD＝2AB＝2SD＝4，SD⊥平面ABCD．（1）求證：BC⊥平面SBD；（2）若點M是線段SC的中點，求平面MAB與平面SBD所成銳二面角的余弦值．20．已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，F(xiàn)為右焦點，B為C的上頂點，且|FB|＝2．O為坐標原點．（1）求橢圓C的方程；（2）設直線y＝x﹣1與C相交于P，Q兩點，求△OPQ的面積．21．如圖，河的兩岸，分別有生活小區(qū)ABC和DEF，其中AB⊥BC，EF⊥DF，DF⊥AB，C，E，F(xiàn)三點共線，F(xiàn)D與BA的延長線交于點O，測得AB＝3km，BC＝4km，DF＝km，F(xiàn)E＝3km，EC＝km．若以OA，OD所在直線為x，y軸建立平面直角坐標系xoy，則河岸DE可看成是曲線y＝（其中a，b為常數(shù)）的一部分，河岸AC可看成是直線y＝kx+m（其中k，m為常數(shù)）的一部分．（1）求a，b，k，m的值；（2）現(xiàn)準備建一座橋MN，其中M，N分別在DE，AC上，且MN⊥AC，設點M的橫坐標為t．①請寫出橋MN的長l關于t的函數(shù)關系式l＝f（t），并注明定義域；②當t為何值時，l取得最小值？最小值是多少？選考題請考生在第（22）、（23）題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。作答時請在答題卡上把所選題目對應題號后的方框涂黑。[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22．在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)）．以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．（1）求曲線C的普通方程與直線l的直角坐標方程；（2）點Q為曲線C上的動點，求點Q到直線l的距離的最大值．[選修4-5：不等式選講]23．已知函數(shù)f（x）＝|2x﹣7|+|2x﹣5|．（1）求函數(shù)f（x）的最小值m；（2）在（1）的條件下，正數(shù)a，b滿足a2+b2＝m，證明：a+b≥2ab．參考答案一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．命題p：“”的否定￢p為（）A．B．C．D．解：根據(jù)命題否定的概念知，￢p為，sinx0≥cosx0，故選：C．2．在長方體ABCD﹣A'B'C'D'中，＝（）A．B．C．D．解：故選：B．3．若a＞b＞0，則下列不正確的是（）A．B．C．a(chǎn)+1＞b+1D．【解答】對于A，，∵a＞b＞0，∴＜0，即，故A正確；對于B，由均值不等式可知，當a＞b＞0時，＞，故B正確；對于C，∵a＞b＞0，∴a+1＞b+1，故C正確；對于D，取a＝4，b＝1，而，＜，故D不正確．故選：D．4．“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻．十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于．若第一個單音的頻率為f，則第六個單音的頻率為（）A．fB．fC．fD．f解：由題意知，十三個單音的頻率構成等比數(shù)列{an}，a1＝f，q＝，∴第六個單音的頻率．故選：B．5．雙曲線C：＝1的漸近線方程為（）A．B．y＝±xC．D．y＝±2x解：雙曲線的漸近線方程為，即，故選：C．6．設△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a、b、c，已知2ccosB﹣bcosA＝acosB，則角B＝（）A．B．C．D．解：因為2ccosB﹣bcosA＝acosB，所以2sinCcosB﹣sinBcosA＝sinAcosB，所以2sinCcosB＝sin（A+B）＝sinC，因為sinC≠0，所以cosB＝，因為B∈（0，π），所以B＝．故選：B．7．已知{an}，{bn}均為等差數(shù)列，且a1+b1＝1，a2+b2＝3，則a2020+b2020＝（）A．4043B．4041C．4039D．4037解：∵{an}，{bn}均為等差數(shù)列，且a1+b1＝1，a2+b2＝3，∴數(shù)列{an+bn}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，∴a2020+b2020＝1+2019×2＝4039．故選：C．8．方程|x|+＝2所表示的曲線大致形狀為（）A．B．C．D．解：方程|x|+＝2，表示的曲線關于x，y軸對稱，只看第一象限，當x＞0，y＞0時，方程可變?yōu)?，y＝（x﹣2）2，x∈（0，2]，且x＝0時，y＝4，只有D符合題意，故選：D．9．設a＞0，b＞0，若a+b＝4，則的最小值為（）A．B．C．D．解：∵a＞0，b＞0，a+b＝4，∴，當且僅當，即時取等號，故選：A．10．設有窮數(shù)列{an}的前n項和為Sn，令Tn＝，稱Tn為數(shù)列a1，a2，…，an的“凱森和”．已知數(shù)列1，2，4，a的“凱森和”為6，則a＝（）A．6B．5C．4D．3解：由已知可得＝6，∴a＝6，故選：A．11．已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且c2+2ab＝a2+b2+6，若△ABC的面積為，則tanC的值為（）A．B．C．1D．解：由題意c2＝a2+b2﹣2ab+6＝a2+b2﹣2abcosC，即﹣2ab+6＝﹣2abcosC，即ab（1﹣cosC）＝3①，②聯(lián)立①②得，整理得，即，又0＜C＜π，∴，∴，∴，故選：B．12．已知圓＝1和焦點為F的拋物線C2：y2＝8x，點N是圓C1上一點，點M是拋物線C2上一點，則|MF|+|MN|的最小值為（）A．1B．C．4D．5解：過點M作直線x＝﹣2的垂線，垂足為H，則|MF|＝|MH|?|MF|+|MN|＝|MH|+|MC1|﹣1，故M是過圓心向準線x＝﹣2所作垂線與C2的交點，即；|MF|+|MN|的最小值為3+2﹣1＝4．故選：C．二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13．已知p：x＜m，q：﹣1≤x≤3，若p是q的必要不充分條件，則m的值可能為4（填一個滿足條件的值即可）．解：p是q的必要不充分條件，所以[﹣1，3]?（﹣∞，m），則m＞3，故答案不唯一，只需填大于3的數(shù)即可．故答案為：4．14．若實數(shù)x，y滿足，則z＝2x+y的最大值為6．解：實數(shù)x，y滿足的可行域為如圖所示陰影部分，由解得A（2，2），把y＝﹣2x+z，平移，當直線經(jīng)過點A（2，2）時，z取最大值，最大值為z＝6．故答案為：6．15．設直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|等于C的半實軸長，則C的離心率為．解：不妨設雙曲線，焦點F（﹣c，0），對稱軸y＝0，由題設知，∴，由，得a2＝2b2，∴c2＝2b2+b2＝3b2，∴，∴．故答案為：．16．伴隨著國內(nèi)經(jīng)濟的持續(xù)增長，人民的生活水平也相應有所提升，其中旅游業(yè)帶來的消費是居民消費領域增長最快的，因此挖掘特色景區(qū)，營造文化氛圍尤為重要．某景區(qū)的部分道路如圖所示，AB＝30m，，CD＝50m，∠ABC＝∠BCD＝45°，要建設一條從點A到點D的空中長廊，則AD＝40m．解：由題可知∠ABC＝∠BCD＝45°，所以AB∥CD．由，則，，，，所以，則．故答案為：40．三、解答題：包括必考題和選考題兩部分，第17題～第21題為必考題，每道試題考生都必須作答；第22、23題為選考題，考生任選一題作答。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（一）必考題17．在①b2﹣a2﹣c2＝ac，②2a+c＝2bcosC，③4S＝這三個條件中任選一個，補充在下面問題的橫線處，并作出解答．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．△ABC的面積為S，且______．（1）求角B；（2）若a＝2，b＝2，求△ABC的周長．解：（1）若選①，因為b2﹣a2﹣c2＝ac，可得，又B∈（0，π），可得．若選②，由2a+c＝2bccosC，由正弦定理可得：2sinA+sinC＝2sinBcosC，即2sin（B+C）+sinC＝2sinBcosC，整理得sinC（2cosB+1）＝0，而sinC≠0，可得，又B∈（0，π），可得．若選③，由，得，即，又B∈（0，π），可得．（2）由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB，即，解得c＝2或c＝﹣4（舍去），可得△ABC周長．18．已知等差數(shù)列{an}滿足a3＝4，a5＝6，數(shù)列{log2bn}是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列．（1）求an和bn；（2）若cn＝an?bn，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．解：（1）依題意，2d＝6﹣4＝2，∴d＝1，∴a1＝2，∴an＝2+（n﹣1）＝n+1，∵數(shù)列{log2bn}是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列，∴l(xiāng)og2bn＝1+（n﹣1）＝n，即．（2）由（1）得，∴，①，②①﹣②得＝＝﹣n?2n+1，∴．19．如圖所示，四棱錐S﹣ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2AD＝2AB＝2SD＝4，SD⊥平面ABCD．（1）求證：BC⊥平面SBD；（2）若點M是線段SC的中點，求平面MAB與平面SBD所成銳二面角的余弦值．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，AD⊥DC，AB＝AD＝2，∴，又∵CD＝4，∴CD2＝BD2+BC2，故BC⊥BD，又∵SD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴BC⊥SD，∵SD∩BD＝D，BD?平面SBD，SD?平面SBD，∴BC⊥平面SBD．（2）如圖，分別以的方向為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標系D﹣xyz，則D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），S（0，0，2），M（0，2，1），由（1）得平面SBD的一個法向量為，設n＝（x，y，z）為平面ABM的一個法向量，由，得，不妨取，設平面SBD與平面ABM所成的角為θ，∴|cosθ|＝，即平面MAB與平面SBD所成銳二面角的余弦值為．20．已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，F(xiàn)為右焦點，B為C的上頂點，且|FB|＝2．O為坐標原點．（1）求橢圓C的方程；（2）設直線y＝x﹣1與C相交于P，Q兩點，求△OPQ的面積．解：（1）由|FB|＝2得a＝2，又∴∴b2＝a2﹣c2＝1故C的方程為．（2）解法1：聯(lián)立直線與橢圓方程：，化簡得5x2﹣8x＝0，∴x＝0或x＝，∴，∴＝，∴O到直線y＝x﹣1的距離，∴．解法2：聯(lián)立直線與橢圓方程：，消去x得5y2+2y﹣3＝0，設P（x1，y1），Q（x2，y2），則，∴．21．如圖，河的兩岸，分別有生活小區(qū)ABC和DEF，其中AB⊥BC，EF⊥DF，DF⊥AB，C，E，F(xiàn)三點共線，F(xiàn)D與BA的延長線交于點O，測得AB＝3km，BC＝4km，DF＝km，F(xiàn)E＝3km，EC＝km．若以OA，OD所在直線為x，y軸建立平面直角坐標系xoy，則河岸DE可看成是曲線y＝（其中a，b為常數(shù)）的一部分，河岸AC可看成是直線y＝kx+m（其中k，m為常數(shù)）的一部分．（1）求a，b，k，m的值；（2）現(xiàn)準備建一座橋MN，其中M，N分別在DE，AC上，且MN⊥AC，設點M的橫坐標為t．①請寫出橋MN的長l關于t的函數(shù)關系式l＝f（t），并注明定義域；②當t為何值時，l取得最小值？最小值是多少？解：（1）由題意得：OD＝BC＝4，OB＝FC，∴D（0，），E（3，4），A（，0），C（，4），把D（0，），E（3，4）代入y＝得：，解得：a＝﹣4，b＝﹣7，把A（，0），C（，4）代入y＝kx+m得：，解得：k＝，m＝﹣2；（2）由（1）得：M點在y＝上，∴M（t，），t∈[0，3]，①橋MN的長l為MN到直線y＝x﹣2的距離，故l＝f（x）＝＝|4t+﹣9|，t∈[0，3]；②由①得：f（t）＝|4t+﹣9|＝|4（t﹣4）++7|，而t﹣4＜0，＜0，∴4（t﹣4）+≤﹣2＝﹣12，當且僅當4（t﹣4）＝時即t＝“＝”成立，∴f（t）min＝|﹣12+7|＝1．選考題請考生在第（22）、（23）題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。作