-高中數學課時練習2分類加法計數原理與分步乘法計數原理的綜合應用含解析新人教A版選修2-

PAGEPAGE7分類加法計數原理與分步乘法計數原理的綜合應用基礎全面練(15分鐘30分)1．(2021·石嘴山高二檢測)聯合國際援助組織計劃向非洲三個國家援助糧食和藥品兩種物資，每種物資既可以全部給一個國家，也可以由其中兩個或三個國家均分，若每個國家都要有物資援助，則不同的援助方案有多少種．()A．22B．23C．24D．25【解析】選D.由題意知，若每個國家都要有物資援助，需要分為：三個國家糧食和藥品都有，有1種方法；一個國家糧食，兩個國家藥品，有3種方法；一個國家藥品，兩個國家糧食，有3種方法；兩個國家糧食，三個國家藥品，有3種方法；兩個國家藥品，三個國家糧食，有3種方法；一個國家糧食和藥品，另兩個國家各一種，有3×(2＋2)＝12種方法．根據分類加法計數原理，方法總數是25.2．如圖為我國數學家趙爽(約3世紀初)在為《周髀算經》作注時驗證勾股定理的示意圖，現在提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案共有________種()A.120B．260C．340D．420【解析】選D.由題意可知上下兩塊區(qū)域可以相同，也可以不同，則共有5×4×3×1×3＋5×4×3×2×2＝180＋240＝420(種).3．小明正在玩一款“種菜”的游戲，他計劃從倉庫里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡蘿卜這5種種子中選出4種分別種植在四塊不同的空地上(一塊空地只能種植一種作物)，若小明已決定在第一塊空地上種茄子或辣椒，則不同的種植方案共有________種.【解析】當第一塊地種茄子時，有4×3×2＝24種不同的種法；當第一塊地種辣椒時，有4×3×2＝24種不同的種法，故共有48種不同的種植方案．答案：484．如圖，從A城到B城有3條路；從B城到D城有4條路；從A城到C城有4條路，從C城到D城有5條路，則某旅客從A城到D城共有________條不同的路線．【解析】不同路線共有3×4＋4×5＝32(條).答案：325．從1到200的自然數中，各個數位上都不含有數字8的自然數有多少個？【解析】第一類：一位數中除8外符合要求的有8個；第二類：兩位數中，十位上數字除0和8外有8種情況，而個位數字除8外，有9種情況，有8×9個符合要求；第三類：三位數中，百位上數字是1的，十位和個位上數字除8外均有9種情況，有9×9個，而百位上數字是2的只有200符合．所以總共有8＋8×9＋9×9＋1＝162(個).綜合突破練(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．某年級要從3名男生，2名女生中選派3人參加某次社區(qū)服務，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案有()A．6種B．7種C．8種D．9種【解析】選D.可按女生人數分類：若選派一名女生，有2×3＝6種；若選派2名女生，則有3種．由分類加法計數原理，共有9種不同的選派方法．2．由數字1，2，3，4組成的三位數中，各位數字按嚴格遞增(如“134”)或嚴格遞減(如“421”)順序排列的數的個數是()A．4B．8C．16D．24【解析】選B.由題意分析知，嚴格遞增的三位數只要從4個數中任取3個，共有4種取法；同理嚴格遞減的三位數也有4個，所以符合條件的數的個數為4＋4＝8.3．對于自然數n作豎式運算n＋(n＋1)＋(n＋2)時不進位，那么稱n是“良數”，如32是“良數”，由于計算32＋33＋34時不進位，23不是“良數”，由于計算23＋24＋25時要進位，那么小于1000的“良數”有()A．36個B．39個C．48個D．64個【解析】選C.如果n是良數，則n的個位數字只能是0，1，2，非個位數字只能是0，1，2，3(首位不為0)，而小于1000的數至多三位，一位的良數有0，1，2，共3個，二位良數個位可取0，1，2，十位可取1，2，3，共有3×3＝9個，三位良數個位可取0，1，2，十位可取0，1，2，3，百位可取1，2，3，共有3×4×3＝36，綜上，小于1000“良數”的個數為3＋9＋36＝48個．【拓展延伸】本題考查分類加法計數原理、分步乘法計數原理及新定義問題，屬于難題．新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎上，依據題目提供的信息，聯系所學的知識和方法，實現信息的遷移，達到靈活解題的目的．遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決．本題通過定義“良數”達到考查兩個計數原理的目的．4．從1，2，3，…，9，這9個整數中任意取3個不同的數作為二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c的系數，則滿足eq\f(f（1）,2)∈Z的函數f(x)共有()A．44個B．204個C．264個D．504個【解析】選C.由題設可得f(1)＝a＋b＋c是偶數，可分兩類：一是取出的三個數都是偶數，只能從2，4，6，8中選取，根據分步乘法計數原理共有4×3×2＝24種；第二類取出的三個數是兩奇一偶，偶數從2，4，6，8中選取，共有4種，兩個奇數從1，3，5，7，9中選取，有10種，然后再全排，根據分步乘法計數原理共有4×3×2×1×10＝240種；由分類加法計數原理可得函數的個數為240＋24＝264個．5．(2021·白銀高二檢測)如果一個三位正整數如“a1a2a3”滿足a1<a2A．240B．204C．729D．920【解析】選A.分8類．當中間數為2時，有1×2＝2(個)；當中間數為3時，有2×3＝6(個)；當中間數為4時，有3×4＝12(個)；當中間數為5時，有4×5＝20(個)；當中間數為6時，有5×6＝30(個)；當中間數為7時，有6×7＝42(個)；當中間數為8時，有7×8＝56(個)；當中間數為9時，有8×9＝72(個).故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(個).二、填空題(每小題5分，共15分)6．如圖，現有4種不同顏色給圖中5個區(qū)域涂色，要求任意兩個相鄰區(qū)域不同色，共有________種不同涂色方法．13425【解析】區(qū)域1有4種選法，區(qū)域2有3種選法，區(qū)域3有2種選法，區(qū)域4可選與3不同的3種顏色，有3種選法，區(qū)域5從區(qū)域4剩下的2種顏色中選，有2種選法，共有4×3×2×3×2＝144種．答案：1447．用數字2，3組成四位數，且數字2，3至少都出現一次，這樣的四位數共有________個．(用數字作答)【解析】方法一：數字2只出現一次的四位數有4個；數字2出現兩次的四位數有6個；數字2出現三次的四位數有4個．故總共有4＋6＋4＝14(個).方法二：由數字2，3組成的四位數共有24＝16個．其中沒有數字2的四位數只有1個，沒有數字3的四位數也只有1個，故符合條件的四位數共有16－2＝14(個).答案：148．如圖的陰影部分由方格紙上3個小方格組成，我們稱這樣的圖案為L形，那么在由3×5個小方格組成的方格紙上可以畫出不同位置的L形圖案的個數為________(注：其他方向的也是L形).【解析】每四個小正方形圖案都可畫出四個不同的L形圖案，該圖中共有8個這樣的小正方形．故可畫出不同位置的L形圖案的個數為4×8＝32.答案：32三、解答題(每小題10分，共20分)9．一個袋子里裝有10張不同的中國移動手機卡，另一個袋子里裝有12張不同的中國聯通手機卡．(1)某人要從兩個袋子中任取一張供自己使用的手機卡，共有多少種不同的取法？(2)某人手機是雙卡雙待機，想得到一張移動卡和一張聯通卡供自己今后使用，問一共有多少種不同的取法？【解析】(1)從兩個袋子中任取一張卡有兩類情況：第1類，從第一個袋子中取一張移動手機卡，共有10種取法；第2類，從第二個袋子中取一張聯通手機卡，共有12種取法．根據分類加法計數原理，共有10＋12＝22(種)取法．(2)想得到一張移動卡和一張聯通卡可分兩步進行：第一步，從第一個袋子中任取一張移動手機卡，共有10種取法；第二步，從第二個袋子中任取一張聯通手機卡，共有12種取法．根據分步乘法計數原理，共有10×12＝120(種)取法．【補償訓練】若某人只需要兩張卡(可同為移動卡或聯通卡)，放到兩個手機內使用，問共有多少種不同的取法？【解析】可以分兩步完成：第一步，從包括移動和聯通在內的22張卡中任選一張，有22種選法；第二步，從剩下的21張卡中任選一張，共有21種選法．根據分步乘法計數原理，共有22×21＝462(種)取法．10．如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法總數．【解析】方法一：可分為兩大步進行，先將四棱錐一側面三頂點染色，然后再分類考慮另外兩頂點的染色數，用分步乘法計數原理即可得出結論．由題設，四棱錐S-ABCD的頂點S，A，B所染的顏色互不相同，它們共有5×4×3＝60(種)染色方法．當S，A，B染好時，不妨設其顏色分別為1，2，3，若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4，則D可染3或5，有2種染法；若C染5，則D可染3或4，有2種染法．可見，當S，A，B已染好時，C，D還有7種染法，故不同的染色方法有60×7＝420(種).方法二：以S，A，B，C，D順序分步染色．第一步，S點染色，有5種方法；第二步，A點染色，與S在同一條棱上，有4種方法；第三步，B點染色，與S，A分別在同一條棱上，有3種方法；第四步，C點染色，也有3種方法，但考慮到D點與S，A，C相鄰，需要針對A與C是否同色進行分類，當A與C同色時，D點有3種染色方法；當A與C不同色時，因為C與S，B也不同色，所以C點有2種染色方法，D點也有2種染色方法．由分步乘法、分類加法計數原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(種).方法三：按所用顏色種數分類．第一類，5種顏色全用，共有5×4×3×2×1＝120種不同的方法；第二類，只用4種顏色，則必有某兩個頂點同色(A與C，或B與D)，共有2×5×4×3×2＝240種不同的方法；第三類，只用3種顏色，則A與C、B與D必定同色，共有5×4×3＝60種不同的方法．由分類加法計數原理，得不同的染色方法總數為120＋240＋60＝420(種).創(chuàng)新遷移練(2021·南寧高二檢測)算籌是在珠算發(fā)明以前我國獨創(chuàng)并且有效的計算工具，為我國古代數學的發(fā)展做出了很大貢獻．在算籌計數法中，以“縱式”和“橫式”兩種方式來表示數字，如圖：表示多位數時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空，如圖：如果把5根算籌以適當的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位數的個數為()A.46B．44C．42D．40【解析】選B.按每一位算籌的根數分類一共有15種情況，如下：(5，0，0)，(4，1