新教材高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)2.1單調(diào)性與最大小值課件新人教A版必修第一冊

1.借助函數(shù)圖象,會用符號語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值.2.理解函數(shù)單調(diào)性的作用和實(shí)際意義,會判斷函數(shù)的單調(diào)性.3.理解函數(shù)的最大(小)值的作用和實(shí)際意義,會借助單調(diào)性求函數(shù)的最大(小)值.3.2函數(shù)的基本性質(zhì)3.2.1單調(diào)性與最大(小)值1|增函數(shù)與減函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)條件一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,區(qū)間D?I如果①

?x1,x2∈D

,當(dāng)x1<x2時(shí),都有②

f(x1)<f(x2)

③

f(x1)>f(x2)

結(jié)論那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上④

單調(diào)遞增

那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上⑤單調(diào)遞減

圖示

圖象特征函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的圖象是上升的函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的圖象是下降的特別地,當(dāng)函數(shù)y=f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減時(shí),我們就稱它是

增函數(shù)或減函數(shù).如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就說函數(shù)y

=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足:?x∈I,都有⑥

f(x)≤M

,?x0∈I,使得f(x0)=M,那么,我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值;如果存在實(shí)數(shù)M滿足:?x∈I,都有⑦

f(x)≥M

,?x0∈I,使得f(x0)=M,那么我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值.當(dāng)一個(gè)函數(shù)f(x)的圖象有最低(高)點(diǎn)時(shí),我們就說函數(shù)f(x)有最小(大)值.2|函數(shù)的最大值與最小值科考隊(duì)對“早穿棉襖午穿紗,圍著火爐吃西瓜”這一獨(dú)特的沙漠氣候進(jìn)行科學(xué)考

察,如圖是某天氣溫隨時(shí)間的變化曲線.請根據(jù)曲線圖回答1~3題.

判斷正誤，正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“?”.1.該天的最高氣溫為25℃,最低氣溫為-5℃.

(√)2.該天氣溫在6時(shí)至17時(shí)內(nèi)隨著時(shí)間增加而增加.(√)3.該天的溫差是20℃.

(

?)4.函數(shù)f(x)取最大值時(shí),對應(yīng)的x可能有無限多個(gè).(√)提示:例如:f(x)=

f(x)的最大值為1,f(x)取最大值時(shí),x的取值集合為(0,+∞),有無數(shù)個(gè)值.判斷正誤，正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“?”.5.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2]和(2,3)上均為增函數(shù),則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上為增函數(shù).

(

?

)提示:例如:f(x)=

f(x)在區(qū)間(1,2]和(2,3)上均為增函數(shù),但由圖象(圖略)知函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上不是增函數(shù).6.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù),則f(x)在區(qū)間[a,b]上的最小值是f(a),最大值是

f(b).(√)1|如何判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性1.判斷函數(shù)單調(diào)性的方法(1)圖象法.根據(jù)函數(shù)圖象的升降情況進(jìn)行判斷.(2)直接法.運(yùn)用已知結(jié)論,直接得到函數(shù)的單調(diào)性,如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比

例函數(shù)的單調(diào)性均可直接得出.(3)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷依據(jù)如下:由函數(shù)u=g(x)與函數(shù)y=f(u)復(fù)合,得到函數(shù)y=f(g(x)),其單調(diào)性的判斷方法如下:u=g(x)y=f(u)y=f(g(x))增增增增減減減增減減減增復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可簡記為“同增異減”,即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同時(shí)單調(diào)遞增,相異時(shí)單調(diào)遞減.2.證明函數(shù)的單調(diào)性根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義,按照“取值→作差→變形→判斷符號→下結(jié)論”進(jìn)

行證明.利用定義證明f(x)=x3在R上是增函數(shù).證明

任取R上的兩個(gè)實(shí)數(shù)x1,x2,且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=

-

=(x1-x2)(

+x1x2+

)=(x1-x2)

,∵x1<x2,∴x1-x2<0,又

≥0,

≥0,且兩個(gè)等號不能同時(shí)成立,∴

+

>0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)=x3在R上是增函數(shù).設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),且對于任意正實(shí)數(shù)x,y,f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,已

知f(2)=1,且當(dāng)x>1時(shí),f(x)>0.(1)求f

的值;(2)判斷函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性并給出證明.思路點(diǎn)撥抽象函數(shù)問題求解的關(guān)鍵是根據(jù)結(jié)論對x,y進(jìn)行賦值,通過賦值解決.解析

(1)∵對于任意正實(shí)數(shù)x,y,f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,∴當(dāng)x=y=1時(shí),有f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0.當(dāng)x=2,y=

時(shí),有f

=f(2)+f

,即f(2)+f

=0,又f(2)=1,∴f

=-1.(2)函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù).證明如下:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,則f(x1)+f

=f(x2),即f(x2)-f(x1)=f

.∵

>1,∴f

>0,即f(x2)>f(x1),

∴f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù).2|如何利用函數(shù)的單調(diào)性解決相關(guān)函數(shù)問題利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式主要依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和性質(zhì),將符號“f”脫

掉,列出關(guān)于未知量的不等式(組),然后求解,此時(shí)注意函數(shù)的定義域.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)的取值范圍1.利用單調(diào)性的定義:在單調(diào)區(qū)間內(nèi)任取x1,x2,且x1<x2,由f(x1)-f(x2)<0(或f(x1)-f(x2)>0)

恒成立求參數(shù)的取值范圍.2.利用具體函數(shù)本身所具有的特征:如二次函數(shù)的圖象被對稱軸一分為二,可根據(jù)

對稱軸相對于所給單調(diào)區(qū)間的位置建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組),解不等式(組),求

出參數(shù)的取值范圍.注意:(1)若某個(gè)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)的,則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上

也是單調(diào)的.(2)對于定義域上單調(diào)的分段函數(shù)求參問題,一般從兩方面考慮:一方面每個(gè)分段

區(qū)間上函數(shù)具有相同的單調(diào)性,由此列出相關(guān)式子;另一方面要考慮分界點(diǎn)處函

數(shù)值之間的大小關(guān)系,由此列出另外的式子,從而解得參數(shù)的取值范圍.已知函數(shù)y=f(x)在定義域(-1,1)上是減函數(shù),且f(2a-1)<f(1-a),則實(shí)數(shù)a的取值范

圍是

(

B)A.

B.

C.(0,2)

D.(0,+∞)思路點(diǎn)撥利用單調(diào)性結(jié)合定義域去掉“f”,進(jìn)而求解不等式組.解析

函數(shù)y=f(x)在定義域(-1,1)上是減函數(shù),則有

解得

<a<1,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.故選B.(1)若函數(shù)f(x)=

是(-∞,+∞)上的減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(

B)A.(-2,0)

B.[-2,0)C.(-∞,1]

D.(-∞,0)(2)若函數(shù)f(x)=-x2-2(a+1)x+3在區(qū)間(-∞,3]上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-4]

.思路點(diǎn)撥(1)結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性,討論每段函數(shù)滿足減函數(shù)時(shí)的條件以及兩段函數(shù)分

界點(diǎn)處函數(shù)值的關(guān)系,列出不等式組求解;(2)結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性,先判斷其圖象的開口方向與對稱軸,再利用單調(diào)性確

定參數(shù)滿足的條件.解析

(1)因?yàn)閒(x)=

是定義在(-∞,+∞)上的減函數(shù),所以

解得-2≤a<0.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-2,0).(2)因?yàn)閒(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3,其圖象開口向下,對稱軸方程為x=-

a-1,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-a-1],由f(x)在(-∞,3]上單調(diào)遞增知3≤-a-1,解得a≤-4,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,-4].3|如何求二次函數(shù)在某閉區(qū)間上的最大(小)值二次函數(shù)在某閉區(qū)間上的最大(小)值問題的解法1.含參數(shù)的二次函數(shù)最大(小)值問題的解法:解決含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問題,首先將二次函數(shù)化為y=a(x-h)2+k的形式,再由

a的符號確定拋物線的開口方向,根據(jù)對稱軸方程x=h得出頂點(diǎn)的位置,再根據(jù)x的

定義區(qū)間結(jié)合大致圖象確定最大或最小值.2.對于含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問題,一般有下列幾種類型:(1)區(qū)間固定,對稱軸變動(含參數(shù)),求最值;(2)對稱軸固定,區(qū)間變動(含參數(shù)),求最值;(3)區(qū)間固定,最值也固定,對稱軸變動,求參數(shù).求解時(shí)通常都是根據(jù)區(qū)間端點(diǎn)和對稱軸的相對位置進(jìn)行分類討論.求函數(shù)f(x)=x2-2ax-1在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值.思路點(diǎn)撥由于二次函數(shù)的最值與其圖象的對稱軸位置有關(guān),而題中函數(shù)圖象的對稱軸為直

線x=a,其位置不確定,所以應(yīng)按函數(shù)圖象的對稱軸與區(qū)間[0,2]的相對位置進(jìn)行分

類討論.解析

f(x)=(x-a)2-1-a2,其圖象的對稱軸為直線x=a.(1)當(dāng)a<0時(shí),由圖①可知,f(x)min=f(0)=-1,f(x)max=f(2)=3-4a.

(2)當(dāng)0≤a≤1時(shí),由圖②可知,f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(2)=3-4a.(3)當(dāng)1<a≤2時(shí),由圖③可知,f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(0)=-1.

(4)當(dāng)a>2時(shí),由圖④可知,f(x)min=f(2)=3-4a,f(x)max=f(0)=-1.綜上,f(x)的最大值為M(a)=

f(x)的最小值為m(a)=

解題模板二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最大(小)值與二次函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸位置

有關(guān),求解時(shí)要注意這兩個(gè)因素.本題不是分a<0,0≤a≤2,a>2三種情況討論,而是

分四種情況,這是由于拋物線的對稱軸在區(qū)間[0,2]內(nèi)時(shí),最小值是在頂點(diǎn)處取得

的,但最大值有可能是f(0),也有可能是f(2).求函數(shù)f(x)=x2-2x+2在區(qū)間[t,t+1]上的最小值g(t).思路點(diǎn)撥因?yàn)閳D象的對稱軸固定,區(qū)間不定,所以可以從三個(gè)方面進(jìn)行討論:①圖象的對稱

軸在區(qū)間左側(cè);②圖象的對稱軸在區(qū)間右側(cè);③圖象的對稱軸在區(qū)間內(nèi).解析

f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[t,t+1],其圖象的對稱軸為直線x=1.

當(dāng)t+1<1,即t<0時(shí),函數(shù)圖象如圖①所示,f(x)在區(qū)間[t,t+1]上為減函數(shù),所以g(t)=f(t+1)=t2+1;當(dāng)t≤1≤t+1,即0≤t≤1時(shí),函數(shù)圖象如圖②所示,g(t)=f(1)=1;當(dāng)t>1時(shí),函數(shù)圖象如圖③所示,