同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第七版1-1映射與函數(shù)

同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第七版1_1映射與函數(shù)第一頁(yè)，共81頁(yè)。第一章二、映射三、函數(shù)一、集合第一節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束映射與函數(shù)四、

初等函數(shù)第二頁(yè)，共81頁(yè)。元素a

屬于集合M,記作元素a不屬于集合M,記作一、集合1.定義及表示法定義1.

具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合.組成集合的事物稱為元素.不含任何元素的集合稱為空集,記作

.

(或).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第三頁(yè)，共81頁(yè)。表示法：(1)列舉法：按某種方式列出集合中的全體元素.例:有限集合自然數(shù)集(2)描述法：

x所具有的特征例:

整數(shù)集合或有理數(shù)集

p與q互質(zhì)實(shí)數(shù)集合

x為有理數(shù)或無(wú)理數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注:

M為數(shù)集表示M中排除0的集;表示M中排除0與負(fù)數(shù)的集.第四頁(yè)，共81頁(yè)。是B的子集,或稱B包含A,2.集合之間的關(guān)系及運(yùn)算定義2.則稱A若且則稱A與B

相等,例如,顯然有下列關(guān)系:,,若設(shè)有集合記作記作必有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第五頁(yè)，共81頁(yè)。定義3

.

給定兩個(gè)集合A,B,并集交集且差集且定義下列運(yùn)算:余集直積特例:記為平面上的全體點(diǎn)集機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束或第六頁(yè)，共81頁(yè)。3.區(qū)間與領(lǐng)域是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).稱為開(kāi)區(qū)間,稱為閉區(qū)間,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束區(qū)間:第七頁(yè)，共81頁(yè)。稱為半開(kāi)區(qū)間,稱為半開(kāi)區(qū)間,以上是有限區(qū)間無(wú)限區(qū)間機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第八頁(yè)，共81頁(yè)。鄰域:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第九頁(yè)，共81頁(yè)。絕對(duì)值設(shè)a是一個(gè)實(shí)數(shù)，數(shù)軸上

a所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離稱為a的絕對(duì)值，記為：一般：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十頁(yè)，共81頁(yè)。數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)

a的距離為運(yùn)算性質(zhì):機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十一頁(yè)，共81頁(yè)。邏輯量詞全稱量詞任意AForAllForAll存在量詞E存在ThereExistThereExist機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十二頁(yè)，共81頁(yè)。解釋以下命題對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都存在比x更大的實(shí)數(shù)y。任意兩個(gè)實(shí)數(shù)之間，都存在著一個(gè)實(shí)數(shù)。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十三頁(yè)，共81頁(yè)。二、映射1.映射的概念

某校學(xué)生的集合學(xué)號(hào)的集合按一定規(guī)則查號(hào)某班學(xué)生的集合某教室座位的集合按一定規(guī)則入座機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束引例第十四頁(yè)，共81頁(yè)。定義4.設(shè)X,Y是兩個(gè)非空集合,若存在一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則f,使得有唯一確定的與之對(duì)應(yīng),則稱f為從X到Y(jié)的映射,記作元素y稱為元素x在映射f下的像,記作元素x稱為元素y在映射f下的原像.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十五頁(yè)，共81頁(yè)。定義域：Df=

X

Rf=值域：注意:1)映射的三要素—定義域,對(duì)應(yīng)規(guī)則,值域.2)元素x的像y是唯一的,但y的原像不一定唯一.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束對(duì)應(yīng)規(guī)則：f第十六頁(yè)，共81頁(yè)。幾種映射的類型滿映射（滿射）單映射（單射）一一映射（雙射）機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十七頁(yè)，共81頁(yè)。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十八頁(yè)，共81頁(yè)。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十九頁(yè)，共81頁(yè)。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十頁(yè)，共81頁(yè)。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十一頁(yè)，共81頁(yè)。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十二頁(yè)，共81頁(yè)。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十三頁(yè)，共81頁(yè)。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十四頁(yè)，共81頁(yè)。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十五頁(yè)，共81頁(yè)。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十六頁(yè)，共81頁(yè)。定義.則當(dāng)由上述映射鏈可定義由D

到Y(jié)

的設(shè)有映射鏈記作復(fù)合映射,時(shí),或機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注意:構(gòu)成復(fù)合映射的條件不可少.復(fù)合映射第二十七頁(yè)，共81頁(yè)。三、函數(shù)1.函數(shù)的概念機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十八頁(yè)，共81頁(yè)。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十九頁(yè)，共81頁(yè)。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第三十頁(yè)，共81頁(yè)。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.反函數(shù)（教材14頁(yè)）

第三十一頁(yè)，共81頁(yè)。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第三十二頁(yè)，共81頁(yè)。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第三十三頁(yè)，共81頁(yè)。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束InExcel:abs(x)第三十四頁(yè)，共81頁(yè)。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7：符號(hào)函數(shù)（Thesignfunction）當(dāng)x>0當(dāng)x=0當(dāng)x<0InExcel:sign(x)奇函數(shù)第三十五頁(yè)，共81頁(yè)。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例8：取整函數(shù)當(dāng)InExcel:[x]=INT(x)第三十六頁(yè)，共81頁(yè)。

3、函數(shù)的幾種特性(1)有界性(2)單調(diào)性(3)奇偶性(4)周期性機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第三十七頁(yè)，共81頁(yè)。

3、函數(shù)的幾種特性定義：設(shè)函數(shù)(1)有界性恒有則稱在

[a,b]上為有界函數(shù).否則稱在[a,b]上為無(wú)界函數(shù).有界函數(shù)必介于直線與之間。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第三十八頁(yè)，共81頁(yè)。在D上有上(或下）界。如果存在常數(shù)M(N),有時(shí)還要用到有上界或有下界。使得對(duì)任意的總有則稱函數(shù)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間D上有界時(shí)函數(shù)既有上界、也有下界，反之也成立。但當(dāng)函數(shù)在D上只有上界（或有下界）時(shí)，函數(shù)在D上無(wú)界。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第三十九頁(yè)，共81頁(yè)。當(dāng)時(shí)，則稱當(dāng)時(shí)為有界函數(shù)。當(dāng)不存在正數(shù)使則稱當(dāng)時(shí)，為無(wú)界函數(shù)。說(shuō)明：一個(gè)函數(shù)是否有界與所給的實(shí)數(shù)集密切相關(guān)。同一個(gè)函數(shù)在不同的實(shí)數(shù)集是否有界的結(jié)論可能不一樣。例1

設(shè)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束時(shí)，第四十頁(yè)，共81頁(yè)。則稱f(x)則稱上是單調(diào)增加的;上是單調(diào)減少的.(2)單調(diào)性定義：設(shè)函數(shù)且在在單增和單減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第四十一頁(yè)，共81頁(yè)。例1：證明的符號(hào)。證明函數(shù)且的單調(diào)性，關(guān)鍵是看看機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束時(shí)，判別（或（或。或當(dāng)?shù)谒氖?yè)，共81頁(yè)。例2這說(shuō)明：有時(shí)一個(gè)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間D不是單調(diào)的，而將D分成幾個(gè)小區(qū)間，卻在每個(gè)小區(qū)間上是單調(diào)的，這需要分別討論。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第四十三頁(yè)，共81頁(yè)。(3)奇偶性若則稱

f(x)為偶函數(shù);若則稱f(x)為奇函數(shù).

定義：設(shè)函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上有定義。且滿足其圖形對(duì)稱于y軸。其圖形對(duì)稱于原點(diǎn)。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第四十四頁(yè)，共81頁(yè)。(3)奇偶性說(shuō)明:若在x=0有定義,為奇函數(shù)時(shí),則當(dāng)必有偶倍奇零機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第四十五頁(yè)，共81頁(yè)。則此函數(shù)在為偶函數(shù)。例2

判斷函數(shù)的奇偶性。解是偶函數(shù)是奇函數(shù)例1：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第四十六頁(yè)，共81頁(yè)。是定義在上的任意函數(shù)，證明是偶函數(shù)，是奇函數(shù)。證明對(duì)于任意的是偶函數(shù)，是奇函數(shù)。例3設(shè)一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之積是奇函數(shù)。補(bǔ)充：兩個(gè)奇（偶）函數(shù)之和仍是奇（偶）函數(shù)；之積是偶函數(shù);機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第四十七頁(yè)，共81頁(yè)。(4)周期性且則稱為周期函數(shù)

,若稱

l

為周期(一般指最小正周期

).周期為周期為注:

周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如,常量函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第四十八頁(yè)，共81頁(yè)。求周期函數(shù)的周期的方法：由此等式中解出

l.例：求函數(shù)的周期l.解：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第四十九頁(yè)，共81頁(yè)。4、復(fù)合函數(shù)定義：的定義域內(nèi)，則即：設(shè)有函數(shù)鏈稱為由①,②確定的復(fù)合函數(shù),①②u稱為中間變量.注意:構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件不可少.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第五十頁(yè)，共81頁(yè)。兩個(gè)以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù).例如,可定義復(fù)合函數(shù):或機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第五十一頁(yè)，共81頁(yè)。例1：設(shè)求解：即：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第五十二頁(yè)，共81頁(yè)。求f(x).解：例2：已知機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第五十三頁(yè)，共81頁(yè)。四.初等函數(shù)1、基本初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)2、初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱為非初等函數(shù)

.例如,并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成,稱為初等函數(shù).可表為故為初等函數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第五十四頁(yè)，共81頁(yè)。1、冪函數(shù)無(wú)論為何值，冪函數(shù)在內(nèi)總是有定義。反比例函數(shù)：定義域?yàn)椋簷C(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第五十五頁(yè)，共81頁(yè)。冪函數(shù)的圖形和性質(zhì)1、圖形都通過(guò)點(diǎn)（1，1）。2、時(shí)，圖形過(guò)原點(diǎn)，且在內(nèi)單調(diào)增加。3、時(shí)，圖形在內(nèi)單調(diào)減少。圖像特點(diǎn)及性質(zhì)：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第五十六頁(yè)，共81頁(yè)。2、指數(shù)函數(shù)此類函數(shù)的特點(diǎn)是：底數(shù)均為常數(shù)，指數(shù)是變量定義

稱為指數(shù)函數(shù)，用描點(diǎn)法在同一坐標(biāo)系中引例三個(gè)函數(shù)的圖形分別為:它的定義域是整個(gè)實(shí)數(shù)第五十七頁(yè)，共81頁(yè)。指數(shù)函數(shù)（3）曲線從左到右逐漸上升。曲線從左到右逐漸下降。但與x軸不相交.(4)與的圖形對(duì)稱于y軸.（1）圖形在x軸的上方（2）圖形均過(guò)點(diǎn)性質(zhì)：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第五十八頁(yè)，共81頁(yè)。3、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義的反函數(shù)記為稱為對(duì)數(shù)函數(shù),指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第五十九頁(yè)，共81頁(yè)。對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)2、圖形在y軸的右方1、圖形均過(guò)點(diǎn)(4)與的圖形對(duì)稱于x軸.不與y軸相交。曲線從左到右逐漸上升。曲線從左到右逐漸下降。3、機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第六十頁(yè)，共81頁(yè)。特別：自然對(duì)數(shù)函數(shù)的反函數(shù)記為稱為自然對(duì)數(shù)函數(shù),互為反函數(shù)。與機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第六十一頁(yè)，共81頁(yè)。例1：驗(yàn)證函數(shù)是單調(diào)增加的。證：且是單調(diào)增加的。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第六十二頁(yè)，共81頁(yè)。則此函數(shù)為奇函數(shù)判斷函數(shù)的奇偶性.解例2機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第六十三頁(yè)，共81頁(yè)。4、三角函數(shù)1、是有界函數(shù)；是奇函數(shù)，4、周期3、是單增函數(shù)；此為最小周期。圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；值域:[-1,1]（1）正弦函數(shù)的性質(zhì)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第六十四頁(yè)，共81頁(yè)。（2）余弦函數(shù)的性質(zhì)1、是有界函數(shù)；是偶函數(shù)對(duì)稱于y

軸；4、周期3、是單減函數(shù)；。值域:[-1,1]機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第六十五頁(yè)，共81頁(yè)。（3）正切函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第六十六頁(yè)，共81頁(yè)。正切函數(shù)的性質(zhì)（1）在定義域中是無(wú)界函數(shù)；（2）是奇函數(shù)；（3）在內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)；（4）周期為第六十七頁(yè)，共81頁(yè)。（4）余切函數(shù)性質(zhì)：（1）在定義域（2）是奇函數(shù)；（3）在內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)；（4）周期為中是無(wú)界函數(shù)；第六十八頁(yè)，共81頁(yè)。（5）正割函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第六十九頁(yè)，共81頁(yè)。（6）余割函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第七十頁(yè)，共81頁(yè)。5、反三角函數(shù)三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系在其定義域內(nèi)是單值的，但是，它們的反對(duì)應(yīng)關(guān)系是多值的。根據(jù)反函數(shù)的定義，三角函數(shù)在其定義域內(nèi)是沒(méi)有反函數(shù)的。如果把三角函數(shù)的定義域劃分成若干個(gè)區(qū)間，使在每個(gè)區(qū)間函數(shù)的反對(duì)應(yīng)關(guān)系是單值的。那么，三角函數(shù)在這些區(qū)間內(nèi)都分別存在反函數(shù)。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第七十一頁(yè)，共81頁(yè)。（1）反正弦函數(shù)的定義正弦函數(shù)反正弦函數(shù)定義正弦函數(shù)在上的反函數(shù)，稱為反正弦函數(shù)，記為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回