新版名校聯(lián)盟四川省成都翔博教育咨詢公司高三數(shù)學復習：空間幾何專題卷

評卷人得分一、選擇題〔題型注釋〕91．如圖，到的距離分別是和，與所成的角分別是和，在內(nèi)的射影分別是和，假設(shè)，那么〔〕A． B．C． D．2．設(shè)是平面內(nèi)的兩條不同直線；是平面內(nèi)的兩條相交直線，那么的一個充分而不必要條件是()A.B.C.D.3．一個幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等，那么這個幾何體不可以是A、球B、三棱柱C、正方形D、圓柱4．一個棱錐的三視圖如圖，那么該棱錐的全面積〔單位：c〕為()〔A〕48+12〔B〕48+24〔C〕36+12〔D〕36+245．某幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的體積為俯視圖俯視圖側(cè)視圖2正視圖4242A． B．C． D．6．某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為和的線段，那么的最大值為〔〕A．B．C．4D．7．將正三棱柱截去三個角〔如圖1所示A，B，C分別是△CHI三邊的中點〕得到幾何體如圖2，那么該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖〔或稱左視圖〕為A、B、C、D、8．正方體ABCD-中，B與平面AC所成角的余弦值為〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕9．正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，CC1=E為CC1的中點，那么直線AC1與平面BED的距離為A、2B、C、D、110．三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，在底面內(nèi)的射影為的中心，那么與底面所成角的正弦值等于〔〕A． B． C． D．11．正四棱錐中，，那么當該棱錐的體積最大時，它的高為A.1B.C.2D.312．正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都相等，是的中點，那么所成的角的余弦值為〔〕A． B． C． D．13．三棱錐的所有頂點都在球的求面上，是邊長為的正三角形，為球的直徑，且；那么此棱錐的體積為〔〕A.B.C.D.14．半徑為1的球面上的四點是正四面體的頂點，那么與兩點間的球面距離為〔A〕 〔B〕 〔C〕〔D〕15．如圖，體積為V的大球內(nèi)有4個小球，每個小球的球面過大球球心且與大球球面有且只有一個交點，4個小球的球心是以大球球心為中心的正方形的4個頂點.V1為小球相交局部〔圖中陰影局部〕的體積，V2為大球內(nèi)、小球外的圖中黑色局部的體積，那么以下關(guān)系中正確的選項是A、V1= B、V2=C、V1>V2 D、V1<V216．如圖，半徑為的半球的底面圓在平面內(nèi)，過點作平面的垂線交半球面于點，過圓的直徑作平面成角的平面與半球面相交，所得交線上到平面的距離最大的點為，該交線上的一點滿足，那么、兩點間的球面距離為〔〕A、B、C、D、

第II卷〔非選擇題〕請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分二、填空題〔題型注釋〕17．一個幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的外表積為______________。18．假設(shè)一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2的半圓面，那么該圓錐的體積為.19．如圖，假設(shè)正四棱柱的底面連長為2，高為4，那么異面直線與AD所成角的大小是______________〔結(jié)果用反三角函數(shù)表示〕.20．，，那么四棱錐的體積為▲cm3．21．正三棱錐ABC，點P，A，B，C都在半徑為的求面上，假設(shè)PA，PB，PC兩兩互相垂直，那么球心到截面ABC的距離為________。22．三菱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，BAA1=CAA1=60°那么異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為____________.23．等邊三角形與正方形有一公共邊，二面角的余弦值為，分別是的中點，那么所成角的余弦值等于。24．如果一個凸多面體是n棱錐，那么這個凸多面體的所有頂點所確定的直線共有_____條，這些直線中共有對異面直線，那么；f(n)=______(答案用數(shù)字或n的解析式表示)25．長方體的各頂點都在球的球面上，其中．兩點的球面距離記為，兩點的球面距離記為，那么的值為．26．三個球的半徑，，滿足，那么它們的外表積，，，滿足的等量關(guān)系是___________.27．如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC=2.假設(shè)AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c為常數(shù)，那么四面體ABCD的體積的最大值是.AABCD28．多面體上，位于同一條棱兩端的頂點稱為相鄰的，如圖，正方體的一個頂點A在平面內(nèi)，其余頂點在的同側(cè)，正方體上與頂點A相鄰的三個頂點到的距離分別為1，2和4，P是正方體的其余四個頂點中的一個，那么P到平面的距離可能是：①3；②4；=3\*GB3③5；④6；⑤7以上結(jié)論正確的為________________________?！矊懗鏊姓_結(jié)論的編號〕ABABCDA1B1C1D1A129．如圖1，一個正四棱柱形的密閉容器底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實心裝飾塊，容器內(nèi)盛有升水時，水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點P。如果將容器倒置，水面也恰好過點〔圖2〕。有以下四個命題：A．正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半B．將容器側(cè)面水平放置時，水面也恰好過點C．任意擺放該容器，當水面靜止時，水面都恰好經(jīng)過點D．假設(shè)往容器內(nèi)再注入升水，那么容器恰好能裝滿其中真命題的代號是：〔寫出所有真命題的代號〕。30．在正方體上任意選擇4個頂點，它們可能是如下各種幾何形體的4個頂點，這些幾何形體是〔寫出所有正確結(jié)論的編號〕.①矩形；②不是矩形的平行四邊形；③有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體；④每個面都是等邊三角形的四面體；⑤每個面都是直角三角形的四面體.評卷人得分三、解答題〔題型注釋〕31．(本小題總分值13分)如圖，在直三棱柱ABC—中，AB=1,；點D、E分別在上，且，四棱錐與直三棱柱的體積之比為3：5?！?〕求異面直線DE與的距離；(8分)〔2〕假設(shè)BC=，求二面角的平面角的正切值。(5分)32．〔此題14分〕在如下圖的幾何體中，平面，平面，且，是的中點．〔=1\*ROMANI〕求證：；〔=2\*ROMANII〕求與平面所成的角．33．(本小題總分值12分)如圖,在底面為直角梯形的四棱錐，,BC=6.(Ⅰ)求證:(Ⅱ)求二面角的大小.34．(本小題總分值14分)如圖，在六面體ABCD－A1B1C1D1中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，四邊形A1B1C1D1是邊長為1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2.〔Ⅰ〕求證：A1C1與AC共面，B1D1與BD共面；〔Ⅱ〕求證：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1；〔Ⅲ〕求二面角A－BB1－C的大小〔用反三角函數(shù)值表示〕.35．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.〔Ⅰ〕證明PC⊥AD；〔Ⅱ〕求二面角A-PC-D的正弦值；〔Ⅲ〕設(shè)E為棱PA上的點，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長.參考答案1．D【解析】設(shè)A，B在l上的射影分別為A′，B′，那么由可得，，那么易得，，應(yīng)選D．2．B【解析】要得到必須是一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另外一個平面平行。假設(shè)兩個平面平行，那么一個平面內(nèi)的任一直線必平行于另一個平面。對于選項A，不是同一平面的兩直線，顯既不充分也不必要；對于選項B，由于與時相交直線，而且由于//m可得，故可得，充分性成立，而不一定能得到//m，它們也可以異面，故必要性不成立，應(yīng)選B.對于選項C，由于m,n不一定的相交直線，故是必要非充分條件.對于選項D，由可轉(zhuǎn)化為C，故不符合題意。綜上選B.3．D【解析】圓的正視圖〔主視圖〕、側(cè)視圖〔左視圖〕和俯視圖均為圓；三棱錐的正視圖〔主視圖〕、側(cè)視圖〔左視圖〕和俯視圖可以為全等的三角形；正方體的正視圖〔主視圖〕、側(cè)視圖〔左視圖〕和俯視圖均為正方形；圓柱的正視圖〔主視圖〕、側(cè)視圖〔左視圖〕為矩形，俯視圖為圓。【考點定位】考查空間幾何體的三視圖與直觀圖，考查空間想象能力、邏輯推理能力4．A【解析】棱錐的直觀圖如右，那么有PO＝4，OD＝3，由勾股定理，得PD＝5，AB＝6，全面積為：×6×6＋2××6×5＋×6×4＝48＋12，應(yīng)選.A。5．B【解析】由三視圖我們易知原幾何體為一個圓柱體的一局部，并且有正視圖知是一個1/2的圓柱體，底面圓的半徑為1，圓柱體的高為6，那么知所求幾何體體積為原體積的一半為.選B.【考點定位】本小題考查立體幾何中的三視圖，三視圖是新課標新增內(nèi)容，是高考的重點和熱點，年年必考，一般以選擇或填空題的形式出現(xiàn)，經(jīng)常與外表積。體積相結(jié)合來考查。6．C【解析】通過構(gòu)造幾何體為長方體，不妨設(shè)長方體的三邊長分別為，因此7．Ａ【解析】此題考查視圖的相關(guān)知識，有一定的難度，可考慮構(gòu)造長方體模型解決問題；構(gòu)造如下圖的長方體模型，將幾何體ＡＢＣ—ＤＥＦ放入長方體模型中，再將幾何體投影到長方體右平面中，即容易得到答案為Ａ。8．D【解析】本小題主要考查正方體的性質(zhì)、直線與平面所成的角.因為BB1//DD1，所以B與平面AC所成角和DD1與平面AC所成角相等，連接BD，設(shè)與AC交于O，在正方體中易知平面，過D作于E，那么．又，那么平面，所以即為所求角，易知．9．D【解析】連結(jié)交于點，連結(jié)，因為是中點，所以,且，所以，即直線與平面BED的距離等于點C到平面BED的距離，過C做于,那么即為所求距離.因為底面邊長為2，高為，所以,,,所以利用等積法得，選D.【答案】B【解析】設(shè)邊長為，由于側(cè)棱與底面邊長相等，可知點到底面距離。頂點在底面的射影是底面的中心，故知道頂點與底面構(gòu)成的是正三棱錐，故，然后由，結(jié)合直角三角形正弦公式可得。11．C【解析】設(shè)h=SO,那么,所以底面邊長為,所以，令得，，故當h=2時，該棱錐的體積最大.所以選C12．C【解析】解法一：連接AC、BD交于O，連接OE，因OE∥SD。所以∠AEO為所求。設(shè)側(cè)棱長與底面邊長都等于2，那么在⊿AEO中，OE＝1，AO＝，AE=，于是。解法二：建立如下圖坐標系，令正四棱錐的棱長為2，那么A〔1，-1，0〕，D〔-1，-1，0〕，S〔0，0，〕,E〔〕,那么,因此可知cos,應(yīng)選C.考點：此題主要考查了多面體的結(jié)構(gòu)特征和空間角的求法，同時，還考查了轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬中檔題．點評：解決該試題的關(guān)鍵是由于是正方體，又是求角問題，所以易選用向量量，所以建立如下圖坐標系，先求得相關(guān)點的坐標，進而求得相關(guān)向量的坐標，最后用向量夾角公式求解．13．A【解析】的外接圓的半徑，點到面的距離,為球的直徑點到面的距離為此棱錐的體積為另：排除,選A.14．C【解析】半徑為1的球面上的四點是正四面體的頂點，設(shè)AB=a，P為△BCD的中心，O為球心，那么OB=1，OP=，BP=a，由解得，∴由余弦定理得∠AOB=arcos(－)，∴與兩點間的球面距離為，選C。【答案】D【解析】設(shè)大球半徑為，小球半徑為，根據(jù)題意，所以，于是，即，所以。【答案】A【解析】以O(shè)為原點，分別以O(shè)B、OC、OA所在直線為x、y、z軸，那么A[點評]此題綜合性較強，考查知識點較為全面，題設(shè)很自然的把向量、立體幾何、三角函數(shù)等根底知識結(jié)合到了一起.是一道知識點考查較為全面的好題.要做好此題需要有扎實的數(shù)學根本功.17．38【解析】由三視圖可以看出該幾何體為一個長方體從中間挖掉了一個圓柱，長方體外表積為，圓柱的側(cè)面積為，上下兩個底面積和為，所以該幾何體的外表積為.考點定位：此題考查三視圖，意在考查考生三視圖與幾何體之間的轉(zhuǎn)化能力18．【解析】如圖，l=2，又2r2=l=2r=1，所以h=，故體積.考點：此題主要是考查旋轉(zhuǎn)體的條件的求法，側(cè)面展開圖的應(yīng)用，考查空間想象能力，計算能力．點評：解決該試題的關(guān)鍵是通過側(cè)面展開圖的面積．求出圓錐的母線，底面的半徑，求出圓錐的體積即可．19．【解析】連接,因為∥,所以即是異面直線與AD所成的角，在中，由知為直角三角形,因為，所以,那么，因此異面直線與AD所成角的大小是.20．6?！窘馕觥縞m，cm〔它也是中上的高〕。四棱錐的體積為?！究键c定位】此題重點考查空間幾何體的體積公式的運用，此題綜合性較強，結(jié)合空間中點線面的位置關(guān)系，平面與平面垂直的性質(zhì)定理考查，重點找到四棱錐的高為AO，這是解決該類試題的關(guān)鍵，在復習中，要對空間幾何體的外表積和體積公式記準、記牢，并且會靈巧運用，此題屬于中檔題，難度適中。21．【解析】正三棱錐P-ABC可看作由正方體PADC-BEFG截得，如下圖，PF為三棱錐P-ABC的外接球的直徑，且,設(shè)正方體棱長為a，那么，由，得，所以，因為球心到平面ABC的距離為.考點定位：此題考查三棱錐的體積與球的幾何性質(zhì)，意在考查考生作圖的能力和空間想象能力22．【解析】如圖設(shè)設(shè)棱長為1，那么，因為底面邊長和側(cè)棱長都相等，且所以，所以，，，設(shè)異面直線的夾角為，所以.【答案】【解析】設(shè)邊長為2，先取線段，然后求解邊長，而，取由余弦定理求,利用直角梯形,在中求解。24．，12，【解析】當多面體的棱數(shù)由n增加到n+1時，所確定的直線的條數(shù)將增加n+1，由遞推關(guān)系f(n+1)-f(n)=n+1我們能夠求出答案。從圖中我們明顯看出四棱錐中異面直線的對數(shù)為12對。能與棱錐每棱構(gòu)成異面關(guān)系的直線的條數(shù)為，進而得到f(n)的表達式。25．【解析】正方體的外接球中的球面距離問題，特殊化注意球心為長方體的中心，可求得體對角線，球心O和A，B構(gòu)成的三角形為等腰三角形且，球心O和A，D1構(gòu)成的三角形為等腰三角形且．26．【解析】根據(jù)題意,得，同理得，，代入得，化簡可得.27．ADBADBECABCDE【解析】作BE⊥AD于E，連接CE，那么AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，由題設(shè)，B與C都是在以AD為焦距的橢球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，所以BE=CE.取BC中點F，連接EF，那么EF⊥BC，EF=2，，四面體ABCD的體積，顯然，當E在AD中點，即B是短軸端點時，BE有最大值為b=，所以.[評注]此題把橢圓拓展到空間，對缺少聯(lián)想思維的考生打擊甚大！當然，作為填空押軸題，區(qū)分度還是要的，不過，就搶分而言，膽大、靈巧的考生也容易找到突破點：AB=BD(同時AC=CD)，從而致命一擊，逃出生天！28．①③④⑤【解析】解：如圖，B、D、A1到平面的距離分別為1、2、4，那么D、A1的中點到平面的距離為3，所以D1到平面的距離為6；B、A1的中點到平面的距離為，所以B1到平面的距離為5；那么D、B的中點到平面的距離為，所以C到平面的距離為3；C、A1的中點到平面的距離為，所以C1到平面的距離為7；而P為C、C1、B1、D1中的一點，所以選①③④⑤。29．BD【解析】設(shè)圖〔1〕水的高度h2幾何體的高為h1圖〔2〕中水的體積為b2h1-b2h2=b2〔h1-h2〕，所以b2h2=b2〔h1-h2〕，所以h1=h2，故A錯誤，D正確．對于B，當容器側(cè)面水平放置時，P點在長方體中截面上，又水占容器內(nèi)空間的一半，所以水面也恰好經(jīng)過P點，故B正確．對于C，假設(shè)C正確，當水面與正四棱錐的一個側(cè)面重合時，經(jīng)計算得水的體積為b2h2＞b2h2，矛盾，故C不正確．應(yīng)選BD30．①③④⑤【解析】在正方體ABCD－A1B1C1D1上任意選擇4個頂點，它們可能是如下各種幾何形體的4個頂點，這些幾何形體是①矩形如ACC1A1；.③有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體，如A－A1BD；④每個面都是等邊三角形的四面體，如ACB1D1；⑤每個面都是直角三角形的四面體，如AA1DC，所以填①③④⑤。31．〔1〕〔2〕【解析】解法一：〔Ⅰ〕因，且，故面，從而，又，故是異面直線與的公垂線．設(shè)的長度為，那么四棱椎的體積為．而直三棱柱的體積為．由條件，故，解之得．從而．在直角三角形中，，又因，故．〔Ⅱ〕如圖，過作，垂足為，連接，因，，故面．由三垂線定理知，故為所求二面角的平面角．在直角中，，又因，故，所以．解法二：〔Ⅰ〕如圖，以點為坐標原點建立空間直角坐標系，那么，，，，那么，．設(shè)，那么，又設(shè)，那么，從而，即．又，所以是異面直線與的公垂線．下面求點的坐標．設(shè)，那么．因四棱錐的體積為．而直三棱柱的體積為．由條件，故，解得，即．從而，，．接下來再求點的坐標．由，有，即〔1〕又由得．〔2〕聯(lián)立〔1〕，〔2〕，解得，，即，得．故．〔Ⅱ〕由，那么，從而，過作，垂足為，連接，設(shè)，那么，因為，故……=1\*GB3①因且得，即……②聯(lián)立=1\*GB3①②解得，，即．那么，．．又，故，因此為所求二面角的平面角．又，從而，故，為直角三角形，所以．32．〔I〕證明見解析〔II〕．【解析】方法一：〔=1\*ROMANI〕證明：因為，是的中點，所以．又平面，所以．〔=2\*ROMANII〕解：過點作平面，垂足是，連結(jié)交延長交于點，連結(jié)，．是直線和平面所成的角．因為平面，所以，又因為平面，所以，那么平面，因此．設(shè)，，在直角梯形中，，是的中點，所以，，，得是直角三角形，其中，所以．在中，，所以，故與平面所成的角是．方法二：如圖，以點為坐標原點，以，分別為軸和軸，過點作與平面垂直的直線為軸，建立直角坐標系，設(shè)，那么，，．，．〔=1\*ROMANI〕證明：因為，，所以，故．〔=2\*ROMANII〕解：設(shè)向量與平面垂直，那么，，即，．因為，，所以，，即，，直線與平面所成的角是與夾角的余角，所以，因此直線與平面所成的角是．33．(Ⅰ)證明見解析(Ⅱ)【解析】解法一：〔Ⅰ〕平面，平面．．又，．，，，即．又．平面．〔Ⅱ〕過作，垂足為，連接．AEDAEDPCBF平面，是在平面上的射影，由三垂線定理知，為二面角的平面角．又，，，又，，．由得．在中，，．二面角的大小為．解法二：〔Ⅰ〕如圖，建立坐標系，AAEDPCByzx那么，，，，，，，，，．，，又，平面．〔Ⅱ〕設(shè)平面的法向量為，那么，，又，，解得平面的法向量取為，，．二面角的大小為．34．〔Ⅰ〕證明見解析〔Ⅱ〕證明見解析〔Ⅲ〕二面角的大小為【解析】解法1〔向量法〕：以為原點，以所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系如圖，ABCABCD那么有．〔Ⅰ〕證明：．．與平行，與平行，于是與共面，與共面．〔Ⅱ〕證明：，，，．與是平面內(nèi)的兩條相交直線．平面．又平面過．平面平面．〔Ⅲ〕解：．設(shè)為平面的法向量，