高中數(shù)學(xué)第3章概率32古典概型教學(xué)案蘇教版必修3蘇教版高一必修3數(shù)學(xué)案

古典概型預(yù)習(xí)課本P100～103，思慮并達成以下問題1．什么叫基本領(lǐng)件？什么叫等可能事件？2．什么叫古典概型？古典概型有什么特色？3．古典概型的概率計算公式是什么？[新知初探]1．基本領(lǐng)件與等可能事件(1)基本領(lǐng)件：在一次試驗中可能出現(xiàn)的每一個基本結(jié)果．(2)等可能事件：若在一次試驗中，每個基本領(lǐng)件發(fā)生的可能性都同樣，則稱這些基本事件為等可能基本領(lǐng)件．[點睛](1)基本領(lǐng)件是試驗中不可以再分的簡單的隨機事件，其余事件能夠用它們來表示．(2)任何兩個基本領(lǐng)件是不會同時發(fā)生的．(3)任何事件都能夠表示成基本領(lǐng)件的和．2．古典概型(1)特色：①有限性：全部的基本領(lǐng)件只有有限個；②等可能性：每個基本領(lǐng)件的發(fā)生都是等可能的．(2)定義：將知足上述條件的隨機試驗的概率模型稱為古典概型．(3)古典概型概率的計算公式：假如1次試驗的等可能基本領(lǐng)件共有n個，那么每一個等可能基本領(lǐng)件發(fā)生的概率都是1；假如某個事件

A包括了此中

m個等可能基本領(lǐng)件，那么事件

A發(fā)生的概率為

P(A)nm＝n.即P(A)＝事件A包括的基本領(lǐng)件數(shù).試驗的基本領(lǐng)件總數(shù)[點睛]mmm古典概型的概率公式P(A)＝n與事件A發(fā)生的頻次n有實質(zhì)的差別，此中P(A)＝n是一個定值，且對同一試驗的同一事件m，n均為定值，而頻次中的m，n均隨試驗次數(shù)的變化而變化，但跟著試驗次數(shù)的增添頻次總靠近于P(A)．[小試身手]1．一個家庭中有兩個兒童，則全部等可能的基本領(lǐng)件是________．(列舉出來)答案：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)2．從字母a，b，c，d中隨意拿出兩個不一樣字母的試驗中，有哪些基本領(lǐng)件？這些基本領(lǐng)件是等可能基本領(lǐng)件嗎？解：共有6個基本領(lǐng)件：A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{a，d}，D＝{b，c}，E＝{b，d}，F(xiàn)＝{c，d}．每個基本領(lǐng)件取到的概率都為1，屬于等可能基本領(lǐng)件．6[典例]以下概率模型是古典概型嗎？為何？古典概型的判斷(1)從區(qū)間[1,10]內(nèi)隨意拿出一個實數(shù)，求取到實數(shù)2的概率；(2)向上投擲一枚不平均的舊硬幣，求正面向上的概率；(3)從1,2,3，，100這100個整數(shù)中隨意拿出一個整數(shù)，求取到偶數(shù)的概率．[解](1)不是古典概型，因為區(qū)間[1,10]中有無窮多個實數(shù)，拿出的那個實數(shù)有無窮多種結(jié)果，與古典概型定義中“全部可能結(jié)果只有有限個”矛盾．不是古典概型，因為硬幣不平均致使“正面向上”與“反面向上”的概率不相等，與古典概型定義中“每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性同樣”矛盾．是古典概型，因為在試驗中全部可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的，并且每個整數(shù)被抽到的可能性相等．只有同時知足有限性和等可能性這兩個條件的試驗才是古典概型，兩個條件只需有一個不知足就不是古典概型．[活學(xué)活用]以下隨機事件：①某射手射擊一次，可能命中0環(huán)，1環(huán)，2環(huán)，，10環(huán)；②一個小組有男生5人，女生3人，從中任選1人進行活動報告；③一只使用中的燈泡壽命長短；④拋出一枚質(zhì)地平均的硬幣，察看其出現(xiàn)正面或反面的狀況；⑤中秋節(jié)前夜，某市工商部門檢查轄區(qū)內(nèi)某品牌的月餅質(zhì)量，給該品牌月餅評“優(yōu)”或“差”．這些事件中，屬于古典概型的有________．分析：題號判斷原由剖析①不屬于命中0環(huán)，1環(huán)，2環(huán)，，10環(huán)的概率不必定同樣②屬于任選1人與學(xué)生的性別沒關(guān)，還是等可能的③不屬于燈泡的壽命是任何一個非負實數(shù)，有無窮多種可能④屬于該試驗結(jié)果只有“正”“反”兩種，且時機均等⑤不屬于該品牌月餅評“優(yōu)”與“差”的概率不必定同樣答案：②④[典例]從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的3件產(chǎn)品中每次任取1件，連續(xù)取兩放回”與“不放回”問題次．(1)若每次拿出后不放回，連續(xù)取兩次，求拿出的產(chǎn)品中恰有一件是次品的概率；(2)若每次拿出后又放回，求拿出的兩件產(chǎn)品中恰有一件是次品的概率．[解](1)每次取一件，取后不放回地連續(xù)取兩次，其全部可能的結(jié)果為(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，此中小括號內(nèi)左側(cè)的字母表示第1次拿出的產(chǎn)品，右側(cè)的字母表示第2次拿出的產(chǎn)品．由6個基本領(lǐng)件構(gòu)成，并且能夠以為這些基本領(lǐng)件的出現(xiàn)是等可能的．用A表示“拿出的兩件中恰巧有一件次品”這一事件，則A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．事件A由4個基本領(lǐng)件構(gòu)成．因此42P(A)＝＝.63(2)有放回地連續(xù)拿出兩件，其全部可能的結(jié)果為(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)共9個基本領(lǐng)件．因為每一件產(chǎn)品被取到的時機均等，所以能夠以為這些基本領(lǐng)件的出現(xiàn)是等可能的．用B表示“恰有一件次品”這一事件，則B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．4事件B由4個基本領(lǐng)件構(gòu)成，因此P(B)＝.9抽取問題是古典概型的常有問題，解決此類問題需要注意兩點：一是所給問題能否需要將被抽取的個體進行劃分才能知足古典概型的條件，二是看抽取的方式是有放回還是不放回，兩種抽取方式對基本領(lǐng)件的總數(shù)是有影響的．此外，不放回抽樣看作無序或有序抽取均可，有放回抽樣要看作有序抽取．[活學(xué)活用]從1,2,3,4,5五個數(shù)字中隨意有放回地連續(xù)抽取兩個數(shù)字，求以下事件的概率：(1)兩個數(shù)字不一樣；(2)兩個數(shù)字中不含有1和5；(3)兩個數(shù)字中恰有一個1.解：全部基本領(lǐng)件為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25個．4(1)設(shè)A＝“兩個數(shù)字不一樣”，則P(A)＝25＝5.9(2)設(shè)B＝“兩個數(shù)字中不含1和5”，則P(B)＝25.8(3)設(shè)C＝“兩個數(shù)字中恰有一個1”，則P(C)＝25.[典例]有A，B，C，成立D概四率位模貴型賓解，決應(yīng)問分題別坐在a，b，c，d四個席位上，此刻這四人均未留神，在四個席位上隨意就座．(1)求這四人恰巧都坐在自己的席位上的概率；(2)求這四人恰巧都沒坐在自己的席位上的概率；(3)求這四人恰有一位坐在自己的席位上的概率．[解]將A，B，C，D四位嘉賓就座狀況用以下圖的圖形表示出來．a(chǎn)席位b席位c席位d席位a席位b席位c席位d席位a席位b席位c席位d席位a席位b席位c席位d席位由圖可知，全部的等可能基本領(lǐng)件共有24個．(1)設(shè)事件A為“這四人恰巧都坐在自己的席位上”，則事件A只包括1個基本領(lǐng)件，所以P(A)＝241.(2)設(shè)事件B為“這四人恰巧都沒坐自己的席位上”，則事件B包括9個基本領(lǐng)件，所93以P(B)＝24＝8.(3)設(shè)事件C為“這四人恰有一位坐在自己的席位上”，則事件C包括8個基本領(lǐng)件，1所以P(C)＝24＝3.關(guān)于一些比較復(fù)雜的古典概型問題，一般能夠經(jīng)過分類，有序地把事件包括的狀況分別排列出來，進而清楚地找出知足條件的狀況．在列舉時必定要注意合理分類，才能做到不重不漏，結(jié)果了然，而樹狀圖則是解決此類問題的較好方法．[活學(xué)活用]甲、乙、丙、丁四名學(xué)生按隨意序次站成一排，試求以下事件的概率：(1)甲在邊上；(2)甲和乙都在邊上；(3)甲和乙都不在邊上．解：利用樹狀圖來列舉基本領(lǐng)件，以下圖．由樹狀圖可看出共有24個基本領(lǐng)件．(1)甲在邊上有12種情況：(甲，乙，丙，丁)，(甲，乙，丁，丙)，(甲，丙，乙，丁)，(甲，丙，丁，乙)，(甲，丁，乙，丙)，(甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲)，(乙，丁，丙，甲)，(丙，乙，丁，甲)，(丙，丁，乙，甲)，(丁，乙，丙，甲)，(丁，丙，乙，甲)．1故甲在邊上的概率為P＝24＝2.(2)甲和乙都在邊上有4種情況：(甲，丙，丁，乙)，(甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲)，(乙，丁，丙，甲)，1故甲和乙都在邊上的概率為P＝24＝6.(3)甲和乙都不在邊上有4種情況：(丙，甲，乙，丁)，(丙，乙，甲，丁)，(丁，甲，乙，丙)，(丁，乙，甲，丙)，1故甲和乙都不在邊上的概率為P＝24＝6.古典概型的綜合應(yīng)用[典例]海關(guān)對同時從A，B，C三個不一樣地域入口的某種商品進行抽樣檢測，從各地區(qū)入口此種商品的數(shù)目(單位：件)以下表所示．工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進行檢測.地域ABC數(shù)目50150100(1)求這6件樣品中來自A，B，C各地域商品的數(shù)目；(2)若在這6件樣品中隨機抽取2件送往甲機構(gòu)進前進一步檢測，求這2件商品來自相同地域的概率．[解](1)因為樣本容量與整體中的個體數(shù)的比是6＝1，所以樣本中包括三50＋150＋10050111個地域的個體數(shù)目分別是50×50＝1,150×50＝3,100×50＝2.所以A，B，C三個地域的商品被選用的件數(shù)分別為1,3,2.(2)設(shè)6件來自A，B，C三個地域的樣品分別為A；B1，B2，B3；C1，C2，則抽取的這件商品構(gòu)成的全部基本領(lǐng)件為{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15個．每個樣品被抽到的時機均等，所以這些基本領(lǐng)件的出現(xiàn)是等可能的．記事件D：“抽取的這2件商品來自同樣地域”，則事件D包括的基本領(lǐng)件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B，B}，{C，C}共4個．所以P(D)＝15.231244即這2件商品來自同樣地域的概率為15.(1)概率問題經(jīng)常與統(tǒng)計問題聯(lián)合在一同考察，在此類問題中，概率與頻次的差別其實不是十分顯然，往常直接用題目中的頻次取代概率進行計算．(2)波及方程或許函數(shù)的相關(guān)概率問題，考察的是怎樣計算要求的事件A所包括的基本事件的個數(shù)，往常需要將函數(shù)與方程的知識應(yīng)用此中．解決此類問題，只需要利用函數(shù)、方程知識找出知足條件的參數(shù)的范圍，進而確立基本領(lǐng)件的個數(shù)，最后利用古典概型的概率計算公式進行計算．[活學(xué)活用]把一枚骰子投擲2次，察看出現(xiàn)的點數(shù)，并記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為a，第二次出現(xiàn)的點數(shù)為b，試就方程組ax＋by＝3，x＋2y＝2解的狀況，解答以下各題：(1)求方程組只有一個解的概率；(2)求方程組只有正數(shù)解的概率．解：若第一次出現(xiàn)的點數(shù)為a，第二次出現(xiàn)的點數(shù)為b記為有序數(shù)值組(a，b)，則全部可能出現(xiàn)的結(jié)果有：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)，(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)，(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)，(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)，(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)，(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)，共36種．由方程組

ax＋by＝3，x＋2y＝2，

可得

2a－bx＝6－2b，2a－by＝2a－3，(1)若方程組只有一個解，則

b≠2a，知足

b＝2a的有(1,2)，(2,4)，(3,6)，故合適

b≠2a的有

36－3＝33個．其概率為：

331136＝12.6－2bx＝＞0，2a－b(2)方程組只有正數(shù)解，需知足b－2a≠0且2a－3y＝＞0.2a－b3a＞2，分兩種狀況：當2a＞b時，得b＜3，3a＜2，當2a＜b時，得b＞3.易得包括的基本領(lǐng)件有13個：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，所以所求的概率p132[層級一學(xué)業(yè)水平達標]1．一枚硬幣連續(xù)擲三次，基本領(lǐng)件共有________個．分析：畫樹形圖：共8種．答案：82．從甲、乙、丙三人中任選兩名代表，甲被選中的概率為________．分析：此題中基本領(lǐng)件有{甲，乙}，{甲，丙}，{乙，丙}共三個，此中甲被選中包括兩2個基本領(lǐng)件，故甲被選中的概率為3.答案：

233．從標有1,2,3,4,5,6的6張紙片中任取2張，那么這2張紙片數(shù)字之積為偶數(shù)的概率為________．分析：基本領(lǐng)件為{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}共15個．此中切合要求的有{1,2}，{1,4}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}共12個．故P＝12415＝5.答案：454．一個口袋里裝有2個白球和2個黑球，這4個球除顏色外完整同樣，從中摸出2個球，則1個是白球，1個是黑球的概率是________．分析：這四個球記為白1，白2，黑1，黑2.則基本領(lǐng)件為{白1，白2}，{白1，黑1}，{白1，黑2}，{白2，黑1}，{白2，黑2}，{黑1，黑2}共6個．此中切合要求的為{白1，黑1}，{白1，黑2}，{白2，黑1}，{白2，黑2}共4個．故P426＝3.答案：

235．設(shè)會合P＝{b,1}，Q＝{c,1,2}，P?Q，若b，c∈{2,3,4,5,6,7,8,9}．(1)求b＝c的概率；(2)求方程x2＋bx＋c＝0有實根的概率．解：(1)因為P?Q，當b＝2時，c＝3,4,5,6,7,8,9；當b＞2時，b＝c＝3,4,5,6,7,8,9，基71本領(lǐng)件總數(shù)為

14.此中

b＝c的事件數(shù)為

7種，所以

b＝c的概率為：

14＝2.(2)記“方程有實根

”為事件

A，若使方程有實根，則

＝b2－4c≥0，即

b＝c＝4,5,6,7,8,9共6種.3所以P(A)＝14＝7.[層級二應(yīng)試能力達標]1．同時擲兩枚骰子，點數(shù)之和大于9的概率為________．1分析：P＝36＝6.答案：162．某班委會由3名男生和2名女生構(gòu)成，現(xiàn)從中選出2人擔(dān)當正副班長，此中起碼有一個女生入選的概率為________．分析：這五名同學(xué)分別表示為男1，男2，男3，女1，女2，用(x，y)表示基本領(lǐng)件，此中x是正班長，y是副班長，則基本領(lǐng)件為(男1，男2)，(男2，男1)，(男1，男3)，(男3，男1)，(男1，女1)，(女1，男1)，(男1，女2)，(女2，男1)，(男2，男3)，(男3，男2)，(男2，女1)，(女1，男2)，(男2，女2)，(女2，男2)，(男3，女1)，(女1，男3)，(男3，女2)，(女2，男3)，(女1，女2)，(女2，女1)共20個．7此中切合要求的有14個，故P＝20＝10.答案：7103．在正六邊形的6個極點中隨機選擇4個極點，則構(gòu)成的四邊形是梯形的概率為________．分析：如圖，在正六邊形此中構(gòu)成的四邊形是梯形的有

ABCDEF的6個極點中隨機選擇ABEF，BCDE，ABCF，CDEF

4個極點，共有，ABCD，ADEF

15種選法，，共6種情2況，故構(gòu)成的四邊形是梯形的概率P＝15＝5.答案：254．假如3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù)．從1,2,3,4,5中任取3個不一樣的數(shù)，則這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為________．分析：基本領(lǐng)件為(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，1(2,4,5)，(3,4,5)共10個．此中勾股數(shù)只有(3,4,5)，∴P＝10.答案：1105．一個袋子中裝有六個形狀完整同樣的小球，此中一個編號為1，兩個編號為2，三個編號為3，現(xiàn)從中任取一球記下編號后放回，再任取一球，則兩次拿出球的編號之和為4的概率為________．分析：用列表法列出全部基本領(lǐng)件共36個，此中和為4的有10個.105故P＝36＝18.答案：1856．甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排合影，則甲站在乙的左側(cè)的概率為________．分析：我們不考慮丙、丁、戊詳細站在什么地點，只考慮甲、乙的相對地點，只有甲站1在乙的左側(cè)和甲站在乙的右側(cè)，共2個等可能發(fā)生的結(jié)果，所以甲站在乙的左側(cè)的概率為2.答案：127．在5瓶飲猜中，有2瓶已過了保質(zhì)期，從中任取2瓶，取到的全部是已過保質(zhì)期的飲料的概率為________．分析：設(shè)過保質(zhì)期的2瓶記為a，b，沒過保質(zhì)期的3瓶用1,2,3表示，試驗的結(jié)果為：(1,2)，(1,3)，(1，a)，(1，b)，(2,3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)共10種結(jié)果，2瓶都過保質(zhì)期的結(jié)果只有1個，∴P＝1.10答案：110A8.以下圖方格，在每一個方格中填入一個數(shù)字，

數(shù)字能夠是

1,2,3,4

中

B的任何一個，同意重復(fù)，則填入

A方格的數(shù)字大于

B方格的數(shù)字的概率為

________．分析：只考慮

A，B兩個方格的填法，不考慮大小，

A，B

兩個方格有

16種填法．要使填入

A方格的數(shù)字大于

B方格的數(shù)字，則從

1,2,3,4中選

2個數(shù)字，大的放入

A格，小的放入B格，有(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)，共

6種，故填入

A方格的數(shù)字大于

B方格的數(shù)字的概率為

6316＝8.答案：

389．一個盒子中裝有三張卡片，分別標志有數(shù)字

1,2,3，這三張卡片除標志的數(shù)字外完整同樣．隨機有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字挨次記為(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字知足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完整同樣”的概率．

a，b，c.解：由題意知(a，b，c)全部可能的結(jié)果為(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)