平面向量數(shù)量積運算專題

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歡迎下載平面向量量積運算題型一平面向量數(shù)量積的基本算例(1)(2014·天津)知菱形ABCD的長為2BAD＝120°點EF分別在邊BCDC→→上，＝，DC.AEAF＝，則的值_→→已知圓O的徑為為圓的兩條切線為點的最小值為)－42C.－4＋

－＋－32→→→→→變式訓(xùn)練湖北已知向O⊥，|＝3則O＝題型二利用平面向量數(shù)量積求向量夾角例(1)(2015·重慶)非零向量ab足a＝為)ππ3πB.C.D.π2

，(ab)⊥＋2)，則與b的夾角π若平面向量平面向量b的角等于a＝2＝則2－與＋b的角的余弦值等于()學(xué)習(xí)好資料

歡迎下載11B.－C.12

－→→→→變式訓(xùn)練課標(biāo)全國Ⅰ已知BC為上三點若＝(＋AC)則A與→的夾角為題型三利用數(shù)量積求向量的模例已平面向量a和b，a＝，b＝2且a與b的角為，ab等()A.25

B.4D.6已知直角梯形ABCDADBC∠＝AD2＝1P是上動點，→→則PA3PB的小值為變式訓(xùn)練(2015·江已知是面單位向量e＝.平面向量b滿足be＝e1＝1則b＝

222222222222222222222學(xué)習(xí)好資料

歡迎下載高題精→→山東已知菱形的長為a∠ABC＝60°，則BDCD于)－a

2

－

2C.a

2

a

2浙江記max{x}＝x}min{|＋，－|}≤min{|a，|}min{|＋，－|}≥min{|，|}＋|，ab|}|＋b|max{|a＋|，－|}|＋|

設(shè)a為面向量)湖南已知點A在→→＋PB的大值為()

→＋y＝上動AB⊥BC若點P的標(biāo)2,0)則PAA.6

B.7D.922學(xué)習(xí)好資料

歡迎下載如，等腰直中，＝OB＝，為AB上近點的等分點，過C作→→→的垂線lP為垂線上任一點，OA，＝，＝p，·(－)等于()－C.－

→→→→→→→→1→在面⊥AB＝＝AP＝AB＋AB.OP|<|的取范圍是)12122，

]

B.(

7，]2C.(

，2]

D.(

，2]→→→→如所ABC中ACB＝90°且AC＝4滿＝3MACM等于()A.2

B.3D.6徽)，為零向量，b＝，組向量，x，，和，，y均由12412個和個列而若y＋＋y＋y所有可能取值中的最小值為4|，a11234與b的夾角()2πππC.622學(xué)習(xí)好資料

歡迎下載→→→→蘇如圖，在平行四邊形ABCD中已知＝，＝，CP3PDAPBP，→→則ABAD的值是設(shè)零量ab夾角為θ，記fa，)＝acos－bsinθ若，均為單位向量，且11＝

，則向量fe，)與fe，－)的夾角________.1221→→→10.如圖△為BC中＝1＝3＝________.已知向量＝(sin，，＝x，－1).當(dāng)∥b時求x－sinx值；→→12.在△，＝，過頂點C作的線，垂足為，AD，且滿＝DB→→求|－；→→→→存在實數(shù)t≥，使得向量＝＋，＝＋AC令，求的最小值學(xué)習(xí)好資料

歡迎下載平面向量量積運算題型一平面向量數(shù)量積的基本算例(1)(2014·天津)知菱形ABCD的長為2BAD＝120°點EF分別在邊BCDC→→上，＝，DC.AEAF＝，則的值_→→已知圓O的徑為為圓的兩條切線為點的最小值為)－42C.－4＋

－＋－32答案解析

(2)D(1)→→→→→→→→→→→→→→1→AF(AB)·(AD)(BC)·()ABADλλ33→→114410222×cos×2×××2×××cos120°＋，λλλ3λ33222222422222222222222222422222222222學(xué)習(xí)好資料

歡迎下載→→∵AF1∴

2＝∴33→→方法一PB∠APBθtanθtanx1θ1tan→→→→PAPBPA|·|PB|·cosθx

x1x11

1x1x1≥223x1x12→→x21APB23.方法二∠APBθ→→PA

tan

θ

→→→→PAPBPAPBθ(

tan

)θ

cos22222222222222222222222222222222222222學(xué)習(xí)好資料

歡迎下載θcos)θ2sin

θθθsinθxsin0<x≤→→PBx2－3≥3x2，.x2→→23.方法三Ox

2

1Ay(x)P(x10,→→PB(x)·(y)x2xx101→→OA⊥PA?OA(xy)·(x0111?xy1

0x11x1.10→→PA2xx10x1

2x(101

)222222222222學(xué)習(xí)好資料

歡迎下載2xx1

323.→→23.點評

(1)平面向量數(shù)量積的運算有兩種形式：一是依據(jù)長度和夾角，二是利用坐標(biāo)運算，具體應(yīng)用哪種形式由已知條件的特征來選.意兩向量ab的量積ab與數(shù)中，b乘積寫法不同，不應(yīng)該漏掉其中“”.向量的數(shù)量積運算需要注意的問題＝0時不到＝或＝0根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)有a|＝，a·b≤|.→→→→→變式訓(xùn)練湖北已知向O⊥，|＝3則O＝答案→→→→→→→→→→→→→解析A⊥OA0.OOBOAOAAB)OA|OA0

2

9.題型二利用平面向量數(shù)量積求向量夾角例(1)(2015·重慶)非零向量ab足a＝為)ππππ

，(ab)⊥＋2)，則與b的夾角π若平面向量平面向量b的角等于a＝2＝則2－與＋b的角的余弦值等于()C.

－－答案

(1)A2222222∵≤≤∴.222222222∵≤≤∴.22222解析

學(xué)習(xí)好資料歡迎下載(1)()a2)(a)·(3ab0a·bb0.∵a

babθa

a|·cosθb|

02∴b·cosb|∴cos

π2a2(2abπ43×2×3cosπb442××cos(2)·(ab223a891cosaa2|2a2點評求量的夾角時要注意(1)量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律數(shù)量積大于明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于兩向量不能共線時兩向量的夾角為鈍角→→→→變式訓(xùn)練課標(biāo)全國Ⅰ已知BC為上三點若O(＋AC)則A與→的夾角為答案90°→1→→解析∵AOABAC)2222222222學(xué)習(xí)好資料

歡迎下載∴OABCBC→→∴BCABC題型三利用數(shù)量積求向量的模例已平面向量a和b，a＝，b＝2且a與b的角為，ab等()A.25

B.4D.6已知直角梯形ABCDADBC∠＝AD2＝1P是上動點，→→則PA3PB的小值為答案解析

(1)A(1)a1|b2ab2×|2×b|cos120°

×1221×2.方法一DAyDP∴D(0,0)A(2,0)Ca)a(0x)→→PA)PBa)→→∴PA(5,3a4x22222222222222222222學(xué)習(xí)好資料

歡迎下載→→PA325x)≥25→→∴PA5.→→方法二DP(0<x→→∴)→→→→→PADADPDA→→→→→(1xDA→→5→→∴PADAx)DC→→→5→→→→PA3DA××4)DADC(34x25x)DC≥252→→∴PA5.點評

(1)把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，給有關(guān)向量賦以具體的坐標(biāo)求向量的模，如向量＝(x，y，求向量的只需利用公a＝x

＋y

即可求解.(2)向量不放在坐標(biāo)系中研究，求解此類問題的方法是利用向量的運算法則及其幾何意義或應(yīng)用向量的數(shù)量積公式，關(guān)鍵是會把向量的模進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：＝a.變式訓(xùn)練(2015·江已知是面單位向量e＝.平面向量b滿足be＝e1＝1則b＝

2答案

解析e|ee60°.bbe1be1122121e0b·(0b⊥ee).e30°eb|·|2121211.b

222222222222222222222222222222學(xué)習(xí)好資料

歡迎下載高題精→→山東已知菱形的長為a∠ABC＝60°，則BDCD于)－a

2

－

2C.a

2

a

2答案D解析BC∠BCD120°.BD

BC

CD

a

2×a

2

∴a→→→→∴CDCD|cosa

3×a2

浙江記max{x}＝

}＝

y，x≥y，x，x<，

設(shè)a為面向量

)min{|＋，－|}≤min{|a，|}min{|＋，－|}≥min{|，|}＋|，ab

}|＋b|＋|，ab|}＋|答案D222222222222222222222222學(xué)習(xí)好資料

歡迎下載解析aabAB.ba|>|b|>||b|aab|>|a|ab||b|D.→湖南已知點A在＋＝上動⊥.若點的坐標(biāo)(2,0)則→→＋PB的大值為()A.6

B.7D.9答案B解析∵ABCx1上AB⊥BC→→→→∴ACPA2(B(xy)∈(x2)→→→→→→∴PAx6yPBPCx37∴x如，等腰直中，＝OB＝，為AB上近點的等分點，過C作→→→的垂線lP為垂線上任一點，O＝，OB＝，OP＝p，·(b－a等于()－C.－

答案A解析OAx學(xué)習(xí)好資料

歡迎下載O1A(0,1)C()4ly＝x，xy＝Px)(2b(1,1)·(b)(x)→→→→→→→→1→在面⊥AB＝＝AP＝AB＋AB.OP|<|的取范圍是)12122，

]

B.(

7，]2C.(

，2]

D.(

，2]答案D解析12→→→→→AB⊥AB12ABB1→P222422222242222學(xué)習(xí)好資料

歡迎下載→7POAD.→→→→如所ABC中ACB＝90°且AC＝4滿B＝MAMCB于()A.2

B.3D.6答案→解析△∠ACB90°AC2BM→→3→→→→→→→→→→MABMBA.CMCB(CBBMCBCBBMCBCB

2

→→3BA16××4cos安徽)，為零向量，b＝，組向量，x，，和，，y均由12412個和個列而若y＋＋y＋y所有可能取值中的最小值為4|，a11234與b的夾角()2πππC.6答案B解析ay(i2Siii)ii①ab②a③aa222222322216222222322216學(xué)習(xí)好資料

歡迎下載∵b2|∴①10|a②8|acos③cos.②a

cosa

π∴cosθ，→→→→江蘇如圖，在平行四邊形ABCD中已知＝，＝，CP3PDAPBP，→→則ABAD的值是答案→→→→1→→→→→1→→→→→1→解析DPDCAPADDPADAPABADAB4→→3→→→→1→→3→→→→→－.P2(＋)·(－)DAB416

2→→→→2.AAB64B22.設(shè)零量ab夾角為θ，記fa，)＝acos－bsinθ若，均為單位向量，且11＝

，則向量fe，)與fe，－)的夾角________.1221答案

π解析1

e3cos1e|||21ππeeπ1121ππ1feeecose121222feecos22

5ππ1(e)sin.16212feef(12

33e)·(eee1121(e⊥f12212222222222222222222222學(xué)習(xí)好資料

歡迎下載π(eef().1212→→→10.如圖△為BC中＝1＝3＝________.答案

→→→→→→1→1→→解析ACAB|·||cos60°×3＝)→→→1→→→→→113→13AO()(2)AO(139).已知向量＝(sin，，＝x，－1).當(dāng)ab，求－2x的；設(shè)函數(shù)f()＝2(a＋bb