微分中值定理在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

微分中值定理在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用微分中值定理在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

微分中值定理主要是對一系列中值定理的概括，對研究函數(shù)有至關(guān)重要的作用。與其相關(guān)的定理主要有羅爾中值定理、拉格朗日中值定理以及柯西中值定理，發(fā)揮其在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用將是推動數(shù)學(xué)進步的重要保證。

一、微分中值定理的相互關(guān)系

1.微分中值定理

微分中值定理主要包括羅爾定理、拉格朗日中值定理與柯西中值定理。其中羅爾定理中，當(dāng)函數(shù)y=f〔x〕能夠滿足閉區(qū)間[a，b]連續(xù)；開區(qū)間〔a，b〕可導(dǎo)；f〔b〕=f〔a〕，至少會存在一點ζ∈〔a，b〕使f′〔ζ〕=0。拉格朗日中值定理中，當(dāng)函數(shù)滿足y=f〔x〕[a，b]閉區(qū)間連續(xù)，〔a，b〕開區(qū)間可導(dǎo)，那么存在一點ζ∈〔a，b〕，使得f′〔ζ〕=.柯西中值定理中，當(dāng)函數(shù)y=g〔x〕與y=f〔x〕滿足閉區(qū)間[a，b]連續(xù)；開區(qū)間〔a，b〕可導(dǎo)，且f′〔x〕和g′〔x〕都不為0，g〔a〕≠g〔b〕，將至少有一點ζ∈〔a，b〕，使得=.由此可見，拉格朗日中值定理與柯西中值定理都會波及到羅爾定理，而且在前提條件方面都比擬接近，因此下文中將會對三者之間的關(guān)系進行探析。

2.微分中值定理的相互聯(lián)系

羅爾定理、拉格朗日中值定理與柯西中值定理三者之間的關(guān)系主要體現(xiàn)在由一般到特殊，再由特殊到一般。當(dāng)柯西中值定理條件下G〔x〕=x，定理將轉(zhuǎn)變?yōu)槔窭嗜罩兄刀ɡ?，如果再使f〔a〕=f〔b〕，又會轉(zhuǎn)化為羅爾中值定理。換言之，柯西中值定理的特殊情況是拉格朗日中值定理，而拉格朗日中值定理的特殊情況是羅爾中值定理。

〔1〕從理論角度，很多情況下，至少有一點ζ能夠使此函數(shù)在該區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值保持一定的等量關(guān)系。而且定理的中值ζ在通常條件下很難發(fā)現(xiàn)，但對于定理理論研究與應(yīng)用價值沒有過多的影響。因此，對中值定理的掌握，必須要將三者在條件、證明辦法、結(jié)論及幾何解釋方面正確分析，使三個中值定理的關(guān)系在相互聯(lián)系的情況下可以進行辨別。

〔2〕拉格朗日中值定理與柯西中值定理在證明辦法上都需應(yīng)用羅爾定理，以構(gòu)造新函數(shù)的辦法得出結(jié)論。一般證明定理的過程必須保證新函數(shù)的構(gòu)造，但構(gòu)造的新函數(shù)應(yīng)合乎羅爾中值定理的前提條件，而且新函數(shù)在結(jié)構(gòu)上必須保持與導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系。現(xiàn)階段比擬常用的證明定理的辦法是構(gòu)造輔助函數(shù)，采用如原函數(shù)法、結(jié)論恒等變化形式等適當(dāng)?shù)霓k法。

〔3〕在形式結(jié)構(gòu)上，中值定理的根底為羅爾定理。關(guān)于羅爾定理的幾何解釋，首先通過這樣一個實例，即兩點縱坐標(biāo)相等的y=f〔x〕連續(xù)曲線，而且曲線上的任一一點都存在切線，則將會有一點〔ζ，f〔ζ〕〕使曲線在每個點處的切線保持水平狀態(tài)。而拉格朗日中值定理那么用自變量的增量乘以函數(shù)導(dǎo)數(shù)值進行表示Δy=f′〔x+θΔx〕Δx〔0二、微分中值定理的推廣

1.羅爾中值定理

羅爾定理中，當(dāng)函數(shù)y=f〔x〕能夠滿足閉區(qū)間[a，b]連續(xù)；開區(qū)間〔a，b〕可導(dǎo)；f〔b〕=f〔a〕，至少會存在一點ζ∈〔a，b〕使f′〔ζ〕=0，其具體證明辦法：f〔x〕在閉區(qū)間[a，b]連續(xù)，假設(shè)最大值M與最小值m的存在，當(dāng)M=m的時候，y=f〔x〕在〔a，b〕上是常函數(shù)，而且f′〔x〕=0恒成立，假設(shè)最大值與最小值不能相等，在[a，b]上將存在極值點，將其設(shè)為x0，因此可得出f′〔x0〕=0，至少會有一點ζ∈〔a，b〕使f′〔ζ〕=0。從整個證明過程中不難發(fā)現(xiàn)，假設(shè)函數(shù)f〔x〕在區(qū)間內(nèi)存在導(dǎo)函數(shù)，則區(qū)間兩端必存在相等的極限值。

2.拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理中，一般可通過構(gòu)造函數(shù)法、區(qū)間套定理將羅爾定理在拉格朗日中值定理中的作用進行證明。假設(shè)函數(shù)f〔x〕在〔a，b〕中可導(dǎo)，而且在兩個端點存在左右極限，便會得出這樣的結(jié)論，即f〔x〕在〔a，b〕可導(dǎo)，且存在f〔a+0〕與f〔b+0〕，則ζ∈〔a，b〕使f′〔ζ〕=0使f′〔ζ〕=.

3.柯西中值定理

柯西中值定理在證明辦法上與拉格朗日中值定理根本相似。在推廣方面，當(dāng)函數(shù)f〔x〕，g〔x〕在〔a，b〕中任一點x處存在導(dǎo)數(shù)f′〔x〕和g′〔x〕，而且滿足x∈〔a，b〕，g′〔x〕≠0，f〔a+b〕，f〔b-0〕，g〔a+0〕，g〔b-0〕那么至少有一點ζ∈〔a，b〕使.

三、微分中值定理在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1.討論方程根的存在性問題

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，除二次方程根的問題較為容易，對其他復(fù)雜的方程往往會使學(xué)生無從下手，因此可結(jié)合微分中值定理進行分析并解決。通過給定閉區(qū)間[a，b]上的函數(shù)，只需保證區(qū)間內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)，而且以f〔a〕=f〔b〕，便可通過羅爾定理解決方程的判根問題，具體做法為：首先命題條件，再進行輔助函數(shù)F〔x〕的構(gòu)造，然后將F〔x〕驗證以滿足羅爾定理條件，最后做出命題結(jié)論。示例，f〔x〕在〔a，b〕上可導(dǎo)，在[a，b]上連續(xù)，證明〔a，b〕內(nèi)，2x[f〔b〕-f〔a〕]=〔b2-a2〕f′〔x〕至少存在一個根。對此，可首先使F〔x〕[f〔b〕-f〔a〕]x2-〔b2-a2〕f〔x〕，其中F〔x〕在〔a，b〕上可導(dǎo)，在[a，b]上連續(xù)，F(xiàn)〔a〕=f〔b〕a2-b2f〔a〕=F〔b〕。至此，以羅爾定理為依據(jù)，將存在ζ使2ζ[f〔b〕-f〔a〕]=〔b2-a2〕f′〔ζ〕，在〔a，b〕內(nèi)，2x[f〔b〕-f〔a〕]=〔b2-a2〕f′〔x〕至少有一個根存在。2.證明不等式

不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中是重要的內(nèi)容，微分中值定理在其證明上發(fā)揮很大的作用，具體可在不等式兩邊的代數(shù)式進行不同的選取設(shè)為F〔x〕，通過微分中值定理，可得出一個等式，根據(jù)x取值范圍對等式進行討論，如對ln〔1+x〕≤x〔x>-1〕進行求證，當(dāng)x=0時，ln〔1+x〕=x=0；x≠0時，對于f〔t〕=lnt，將1與1+x設(shè)為端點，并應(yīng)用拉格朗日中值定理，在區(qū)間內(nèi)的ζ使f〔1+x〕-f〔1〕=f′〔ζ〕〔1+x-1〕，即ln〔1+x〕=；當(dāng)x>0時，ζ>0，01、ln〔1+x〕與x為負值，所以ln〔1+x〕≤x，即對x>-1恒成立。

3.用于求極限

中樞穴中對于極限的問題，很多時候在使用洛必達法那么，為教師及學(xué)生帶來很大的計算量，但通過微分中值定理可為較難的極限問題提供有效且簡單的辦法，主要是通過對某些局部進行輔助函數(shù)的構(gòu)造，通過微分中值定理的使用，得出極限。如a>0時，求n2〔a-a〕.整個求解過程：

4.函數(shù)單調(diào)性的討論

對函數(shù)單調(diào)性的判斷，采用微分中值定理的主要辦法是：當(dāng)f〔x〕能夠滿足閉區(qū)間[a，b]連續(xù)，開區(qū)間〔a，b〕可導(dǎo)，則〔a，b〕中f′〔x〕>0，可推出f〔x〕在[a，b]上單調(diào)增加；假設(shè)f′〔x〕5.求近似值

中學(xué)數(shù)學(xué)中，微分中值定理在求近似值中的應(yīng)用也比擬常見，一般只需構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，再通過微分中值定理的應(yīng)用便可得出近似值。如求的近似值，因為是f〔x〕=在x=0.97處的值，因此設(shè)x0=1，x=x0+△x，△x=-0.03，通過微分中值定理可得出≈+〔〕′x=1×〔-0.03〕=1+×〔-0.03〕=0